Normal o Gauss Adm(3)
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Funcin de densidad de una variable
con distribucin normal (Gauss)
2
2
1
2
1)(
x
exf
donde:
x es la variable con distribucin normal
es la media o valor esperado de X
es la desviacin estndar o tpica de X
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Grfica de la distribucin normal
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Leptocrtica Platicrtica Mesocrtica
Existe una familia de curvas normales.
La forma de la curva normal cambia
dependiendo de la dispersin de los datos, la
cual est dada por la desviacin estndar
La Mesocrtica es la Normal Estndar
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EL CASO DE LA VARIABLE
NORMAL ESTNDAR
Es aquella que tiene media, = 0 y
desviacin estndar o tpica, = 1.
Se representa por la letra z.
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Distribucin normal estndar
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Si una variable tiene distribucin normal
estndar, calcula las probabilidades siguientes:
a) P( Z = 2 )
b) P( Z < 2.15 )
c) P( Z > 1.75 )
d) P( -1.5 < Z < 2.83 )
e) P( Z < -2.49 Z > 2.49 )
f) P(0 < Z < 4.8)
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reas notables de la distribucin normal
(reas redondeadas)
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
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reas notables de la distribucin normal
(reas redondeadas)
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AREAS NOTABLES EN UNA
VARIABLE ALEATORIA
NORMAL
rea entre = 68.26% rea entre 0.68 = 50%
rea entre 2 =95.44% rea entre 1.96 = 95%
rea entre 3 =99.74% rea entre 2.58 = 99%
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La expresin de que X est
distribuida en forma normal (o de
Gauss) con parmetros y 2 se abrevia de la siguiente manera:
X ~ N ( , 2 )
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Ejercicio 1.
Si las calificaciones del coeficiente de
inteligencia tienen distribucin normal con
promedio de 100 y desviacin estndar
de 15, qu porcentaje de personas
califica para ser miembro de una
asociacin internacional cuyo coeficiente
debe ser de 132 o ms alto?
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Grfica del ejercicio 1
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ESTANDARIZACIN DE X
Si queremos calcular probabilidades para
X, cuyos parmetros y no son 0 y 1
respectivamente, entonces debemos hacer
un cambio, de la variable X, a una
variable normal estndar, Z, de la
siguiente manera:
XZ
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reas equivalentes
X x1 x2 Z z1 0 z2
P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2)
rea bajo la funcin f(x) rea bajo la funcin f(z)
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Aplica las reas notables de toda
distribucin normal al ejercicio de los
coeficientes de inteligencia.
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Ejercicio 2: Un estudio reciente acerca de los salarios de los
trabajadores de mantenimiento de las aerolneas ms
importantes, demostr que el salario medio por hora
era de $20.5 dlares con una desviacin estndar de
$3.50. Se sabe que estos salarios se distribuyen en
forma normal o de Gauss. Si se elige un trabajador al
azar,
a) cul es la probabilidad de que gane entre $20.50
y $24.00 la hora?
b) qu porcentaje de trabajadores de mantenimiento
ganan entre $20.50 y $24.00 la hora? Extrado de: Lind et al. Estadstica. (2008).
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Ejercicio 2.
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Ejercicio 3:
Si las estaturas de 300 estudiantes estn
distribuidas en forma normal, con media
de 1.7 m y desviacin estndar de 9 cm.
Cuntos estudiantes tienen estatura
mayor a 1.60 m?
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Ejercicio 3.
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Ejercicio 4:
Hallar el valor de cada uno de los tres
cuartiles en la Distribucin Normal
Estndar.
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Ejercicio 4.
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Ejercicio 5:
Hallar el valor de cada uno de los
percentiles siguientes en la Distribucin
normal estndar:
P15
P25
P90
P95
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Ejercicio 5.
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Ejercicio 6:
Del grupo de personas del ejercicio 2,
supn que tienes a una de ellas cuya
estatura es de 1.65 m, en qu percentil se
encuentra? media = 1.7 m y la desviacin estndar = 9 cm
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Ejercicio 6.
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Ejercicio 7:
El promedio para recibir mencin
honorfica en una universidad es de 97 y
la desviacin estndar de 0.8. En una
convocatoria honorfica especial, se dar
un reconocimiento a los estudiantes con
promedio dentro del 3% ms alto; si los
promedios se distribuyen en forma
normal, cul es el mnimo que debe
tener un estudiante para recibir el
reconocimiento?
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Ejercicio 7.
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Ejercicio 8:
Un grupo de alumnos resuelven un examen y
los tiempos que tardan en contestarlo sigue
una distribucin normal con un tiempo medio
de 47 minutos y una desviacin estndar de
4.5 minutos. La maestra va a otorgan 5 puntos
extra al 15% de los alumnos que entreguen
primero. Calcula el tiempo mximo que deben
tardar los estudiantes si quieren obtener los
puntos extra. 42.32 minutos
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Ejercicio 8.
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Las medidas descriptivas:
Apuntamiento y Sesgo, las
da Excel cuando pedimos
las medidas descriptivas con
la Herramienta Anlisis de
datos.
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39 La curva normal a la que se hace referencia en las tres grficas es la
Normal Estndar.
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Coeficiente de Asimetra (As) o Sesgo
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Respuestas del ejercicio 1
(Aplicacin de las reas notables):
EL 68.14% de las personas tienen un IQ entre 85 y 115;
el 95.14% de las personas tienen un IQ entre 70 y 130; y
el 99.74% de las personas tienen un IQ entre 60 y 145.
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Respuesta del ejercicio 6: Percentil
28.77% = P29 , es decir que la persona se
encuentra dentro del 29% de personas con
estatura menor o igual a 1.65 m.