Notas de Clase Gradientes Resueltos

MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CAPITULO – GRADIENTES EJERCICIOS RESUELTOS

1 CARLOS MARIO MORALES C – NOVIEMBRE 2009

1. Un documento exige hacer 12 pagos mensuales vencidos. Si el primer pago es de $6.000 y c/u

disminuye en $800;

a) ¿Cuál será el valor del último pago?

b) ¿cuál será el valor final de todos ellos, suponiendo una tasa del 36% NM (CM)?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Valor de las cuotas de cada periodo

Periodo Pago

1 6.000

2 5.200

3 4.400

4 3.600

5 2.800

6 2.000

7 1.200

8 400

9 (400)

10 (1.200)

11 (2.000)

12 (2.800)

Tasa de Interés

J = i x m

0,36/12 = i

0,03 = i = 3% EM

Valor final

P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)]

P = (6.000/0,03)[1-(1+0,03)-12]+(-800/0,03)[(1-(1+0,03)-12)/0,03)-(12*(1+0,03)-12)] = 18.725,06

S = P (1+i)n

S = 18.725,06 (1+0,03)12

S = 26.698,06



2. Hallar el valor de $X del siguiente flujo de caja, con intereses al 30%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El Valor de X debe ser igual a: El valor de la serie valorada en 5 más el valor de (1 y 2),

valorado en 5

Valor en 2 de la serie base 80 y gradiente aritmético de 20

P = (80/0,3)[1-(1+0,3)-8]+(20/0,3)[(1-(1+0,3)-8)/0,3)-(8*(1+0,3)-8)] = $363,58

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El valor de (1) y (2) valorado en 5

80(1+0,3)4 + 80(1+0,3)3

El valor de X será igual:

X = 80(1+0,3)4 + (80+363,58)(1+0,3)3 = 1.203,02

3. Hallar el primer pago de un gradiente lineal creciente en $300, que tenga 50 pagos y que sea

equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con primer pago de $1.000, suponga una tasa del

20%

Para hallar el primer pago de la serie aritmética con g=300 y 50 pagos; debemos hallar primero

el valor presente de la serie geométrica con t=20% y un A= 1.000.

P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i); si t ≠i

Ya que t = i entonces debemos utilizar

P = An/(1+i); si t = i

P = 1.000*50/(1+0,2) = 41.666

A partir de este valor presente se puede calcular el valor de A de la serie aritmética con un

g=300.

P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)]

41.666 = (A/0,2)[1-(1+0,2)-50]+ (300/0,2) [1-(1+0,2)-50/0,2]-(50(1+0,2)-50)

80 80 80 100

120 140 160

180

X

80 80

363,58

X

200 220



A = $6.835

4. Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie:

Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Valor 300 500 700 900 1.100 1.300 1.000 700 400 100 -200 -500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

El Valor final será igual a la suma de las dos series creciente y decreciente valoradas en (12)

El Valor S en la serie creciente

Primero hallamos P y después S

P = (A/i)[1-(1+i)-n]+(g/i)[(1-(1+i)-n)/i)-(n*(1+i)-n)]

P = (300/0,14)[1-(1+0,14)-6]+(200/0,14)[(1-(1+0,14)-6)/0,14)-(6*(1+0,14)-6)]

P = 2.816,81

S1 = 2.816,81(1+0,14)12 = 13.571,13

El Valor S de la serie decreciente

P en 6:

P = (1000/0,14)[1-(1+0,14)-6]+(-300/0,14)[(1-(1+0,14)-6)/0,14)-(6*(1+0,14)-6)]

P = 1.413,35

S2 = 1.413,35(1+0,14)6 = 3.102,26

El valor futuro de las dos series, será entonces:

S = S1 + S2 = 13.571,13 + 3.102,26 = 16.673,39

5. Con una tasa del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie utilizando gradientes:

Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Valor 60 60 60 60 72 86,4 103,68 124,42 149,3 + 9,4 179,16 215

El valor presente P será igual al Valor Presente de la anualidad más Valor Presente Serie

geométrica + Valor presente 9,4

Valor presente de la anualidad

P = A (1-(1+i)-n)/i

P = 60(1-(1+0,06)-3/0,06) = 160,38

300 500 700

900 1100

1300 1000 700

400 100

-200 -500



La serie geométrica a partir del periodo 3; con cuota base de 60 y un crecimiento t= 20%; para

hallar el valor presente procedemos como sigue:

Se calcula el P en 3, así:

P = 60((1+0,2)9(1+0,06)-9 –1)/(0,2-0,06) =880,31

P en 0, será igual a:

P = 880,31/(1+0,06)3 = 739,13

El valor presente de 9,4

P = 9,4/(1+0,06)9 = 5,56

Valor Presente = 160,38 + 739,13 + 5,56 = 905,07

6. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos si el primero vale $1.000 y son crecientes

en un 10%. Suponga una tasa efectiva del 8%

Considerando que es una serie geométrica infinita, entonces:

P = A/(i-t) si t<i y ∞ si t > i

Ya que t > i entonces P es infinito

7. ¿Cuál es el valor presente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $3

000 y cuyo primer pago es de $20.000. Suponga una tasa del 2.5% efectivo mensual.

Respuesta: $5´600.000

Considerando que es una serie aritmética infinita, entonces:

P = (A/i) + (g/i2)

P = (20.000/0,025) + (3.000/(0,025)2)

P = $5´600.000

8. Para mantener en buen estado una carretera veredal los hacendados de la región desean

establecer un fondo, para proveer las reparaciones futuras. Estas se estiman en un millón de

pesos para el próximo año; también, se estima que su costo se incrementará todos los años en

un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo un interés del 28% efectivo anual.

Considerando que es una serie geométrica infinita, entonces:

P = A/(i-t) si t<i

P = 1´000.000/(0,28-0,18)

P = 10´000.000

9. Una entidad financiera presta a un cliente $3 millones, con un interés del 34.8% NM (CM). El

deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales.

Suponiendo que la primera cuota es de $10.000 y vence al final del primer mes, ¿cuál debe ser

el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?

Calculo del interés

J = i x m

0,348/12 = i

i = 0,029 = 2,9 EM

Para calcular el porcentaje incremental, utilizamos la fórmula del Valor Presente



P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i)

3´000.000 = 10.000((1+t)180(1+0,029)-180 -1)/(t-0,029)

300 = ((1+t)180(1+0,029)-180 -1)/(t-0,029)

Resolviendo por tanteo: t = 3,47%

10. Se ofrece la administración de un restaurante durante un año y se garantiza que comprarán

exactamente 6.000 almuerzos mensuales durante ese año, los cuales serán pagaderos en un

solo contado a razón de $500 cada uno, pero su valor total será cancelado al final del año sin

intereses, la persona calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $200 los

cuales deberán ser adquiridos y pagados al principio de cada mes y su valor aumentará cada

mes un 5%. El costo mensual de mano de obra se considera estable en $250.000 y además, se

requerirá una inversión inicial de $1 millón para la adecuación del restaurante. Suponiendo un

interés mensual del 3%. Calcular cuál será el valor de su ganancia: a) en pesos de hoy y b) en

pesos futuros.

Respuestas: a) $5´719.285 b) $8´154.333

Valor de los almuerzos del año: 6.000x500x12 = 36´000.000 pagaderos en el mes 12

Costo de los almuerzos: 6000x200 =1´200.000 – Serie geométrica, incrementada 5% pagadero

anticipados.

Costo de la mano de Obra: 250.000 – anualidad 12 meses

Inversión Inicial: $1´000.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Utilidad = Ingresos – Costos (en pesos de hoy)

Costos Materia Prima - Valor presente serie geométrica

P = A ((1+t)n(1+i)-n –1)/(t-i)

P = 1´250.000 ((1+0,05)11(1+0,03)-11 –1)/(0,05-0,03) = 14´724.096,41

A este valor presente hay que sumarle el valor de la materia prima del primer mes.

P´= 14´724.096,41 + 1´200.000 = 15´924.096,41

Costos Inversión: 1´000.000

Costos Mano de Obra- valor presente de la anualidad

P = A (1-(1+i)-n)/i

P = 250.000(1-(1+0,03)-12)/0,03 = 2´488.501,00

Ingresos – Valor presente de $36´000.000

P = S/(1+i)12 = 25´249.675,69

1´200.000 + 1´000.000

36´000.000

1´250.000 +250.000



Utilidad = 25´249.675,69 - 2´488.501,00 - 1´000.000 - 15´924.096,41

Utilidad = 5´837.078,28

Utilidad = Ingresos – Costos (en pesos futuros)

Costos Materia Prima - Valor futuro serie geométrica anticipada

S = A ((1+t)n-(1+i)n)/(t-i)

S = (1´200.000 ((1+0,05)12-(1+0,03)12)/(0,05-0,03))(1+0,03)

S = 22´871.898,14

Inversión – Valor futuro de la inversión

S = P(1+i)n = 1´000.000(1+0,03)12 = 1´425.760,89

Costos Mano de Obra- valor futuro de la anualidad

S = A ((1+i)n – 1)/i

S = 250.000((1+0,03)12 – 1)/0,03 = 3´548.007,39

Ingresos – Valor futuro: $36´000.000

Utilidad = 36´000.000- 22´871.898,14- 1´425.760,89- 3´548.007,39

Utilidad = 8´154.334,11

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