Notas de La Unidad I (Numeros Complejos)
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Instituto Tecnológico de Tepic Departamento de Ingeniería Industrial
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Unidad I Números Complejos 1
Contenido LOS NÚMEROS COMPLEJOS .................................................................................................................. 2
Aplicaciones ....................................................................................................................................... 2 Un toque de humor ........................................................................................................................... 2
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. ...................................................... 3 Forma binómica de un número complejo ................................................................................................ 4 Conjugado de un número complejo ......................................................................................................... 4 Operaciones con Números Complejos en forma Binómica ..................................................................... 5
Suma y multiplicación de números complejos ................................................................................ 5 División de números complejos ........................................................................................................ 6 Potencia de un número complejo ..................................................................................................... 7
Módulo y argumento de un número complejo ......................................................................................... 7 Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1 ................................................................................... 9 Operaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar ................................................. 14
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar ................................. 14 División de números complejos en su forma trigonométrica Polar ............................................ 14 Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar ......................................... 15
Fórmula de Moivre ................................................................................................................................ 18 Anexo A ................................................................................................................................................. 19 Anexo B ................................................................................................................................................. 20 Ejercicios con Números Complejos 2 .................................................................................................... 21 Raíces n-ésimas de un número complejo ............................................................................................... 22 El logaritmo de un número complejo .................................................................................................... 27 Ejercicios de la Sección 3 ...................................................................................................................... 28 Aplicación .............................................................................................................................................. 28 Respuestas ............................................................................................................................................. 29
Sección 1 ........................................................................................................................................... 29 Sección 2 ........................................................................................................................................... 29 Sección 3 ........................................................................................................................................... 29
Fuentes de Información: ........................................................................................................................ 29
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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado 2 0ax bx c se analizó el signo del
discriminante 2 4b ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la
ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar
los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y
una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del
conjunto de los números complejos.
El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1977, cuando le otorgo a
1 el nombre de i (de “imaginario”)
Aplicaciones Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias
y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con
elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:
Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método
del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable,
r(en concreto r->0), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia
si dicho límite depende del ángulo θ. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su
valor es el obtenido en el límite en polares.
Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de
ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x2 + y2=9 como
ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3como ecuación en polares.
Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,
y)es la representación gráfica del número complejo z=x + yi (esta forma de representar un
número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo
(r) y el argumento (θ) de z y con ello la forma polar de z: z=rθ
Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como
son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.
Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una
circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una
opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la
misma.
Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la
utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar
dicha actividad.
Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.
Un toque de humor Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:
¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.
Motivación. La no existencia, en el cuerpo de los números reales, de la raíz cuadrada de
números negativos.
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Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra z al conjunto de los
pares de números reales z= ,a b . Los números complejos expresan la suma de un número real a y un
número imaginario b.
En el número complejo z= ,a b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la
suma y producto de pares no está definida en 2R .
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad. , ,a b c d a c como b d
Multiplicación por un escalar. ( , ) ( , )a b a b dónde R .
Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil
demostrar que 2 1i .
2 2(0,1) (0,1)(0,1) 0(0) 1(1),0(1) 1(0) ( 1,0) 1i
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación 2 1 0x .
2 2 2 21 0 1x x x i x i
Las soluciones de . NegativoNo carecen de sentido porque 1 no es un número real. Para dar
validez a estas expresiones surgen los números reales complejos.
Se llama Unidad Imaginaria al nuevo número i= 1
Ejemplo. Dados 2,1 =2+ i y 0, 3 =-3i, hallar:
a) 2,1 0, 3 2 0,1 ( 3) 2, 2 =2-2i
b) 2, 1 0, 3 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0) 3, 6 =3-6i
c) 2,1 0, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8 =5-8i
Por la definición de número complejo dicha anteriormente, suena razonable representarlo como un punto
en un plano cartesiano, lo cual descubrió Argand, quien fue contemporáneo de Gauss y Leibniz quienes
hicieron grandes avances en el análisis complejo.
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los
mismos mediante el plano 2R (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y
eje imaginario (Im) al eje de las y .
Figura 1: Representación del número complejo ( , )a b =a+bi.
{ a+bi a,b R}.
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Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el
plano 2 el número complejo ,0a coincide con el número real a . De este modo tenemos ( ,0)a a
cuando a . Los números complejos de la forma (0, )b son llamados imaginarios puros.
Ejemplo:
A continuación se representan algunos puntos en forma gráfica
Figura 2.
Forma binómica de un número complejo
Sea ( , )z a b un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:
( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)z a b a b a b
Pero como (1,0) 1 y (0,1) i , entonces ( , )a b a bi . En este caso Z= a bi se llama forma binómica
o binomia del número complejo.
Conjugado de un número complejo Si z x yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z x yi , es
decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo. Si 3 2z i , entonces 3 2z i y si 3 2z i , entonces 3 2z i .
Ejemplo.
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Figura 3: Opuesto y conjugado
A continuación se presentan las propiedades de los conjugados
Operaciones con Números Complejos en forma Binómica
Suma y multiplicación de números complejos
1 2 3 1 2 1 2
1 2 3
y z , obteber z , s suman las partes reales de z y z y las partes imagiarias
de z y z , ; , puesto que son todos n meros reales.
Sea z a bi c di z z e
así z a c b d i ú
Obtener el producto de z1 por z2, así; z1z2= 2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i
dado que 2 1i .
Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;
por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede
realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se
trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.
Ejemplo. Si 1 (3, 2)z y 2 (4, 1)z , halle 1 2z z y 1 2z z .
1 2 (3,2) (4, 1) 3 2 4 7z z i i i
2
1 2 (3,2)(4, 1) (3 2 )(4 ) 12 3 8 2 (12 2) ( 3 8) 14 5z z i i i i i i i
Obtener
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División de números complejos
La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación del numerador y del denominador
por el conjugado del denominador:
Dado que
entonces
1
2 2 2
2 2
( ) ( )z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc i
z c di c di c di c d z
Ejemplo. Dados 1 2 3z i y 2 1 2z i , halle: (a) 2z y (b) 1
2
z
z.
(a) Como 2 1 2z i entonces 2 1 2z i
(b) Para hallar 1
2
z
z multiplicamos y dividimos por el conjugado 2z .
Si z≠0, entonces z > 0 y z tiene un inverso multiplicativo, denotado mediante 1/z 0 z-1 y dado por
_
11 zz
z z
Resolviendo en ejemplo anterior
Ejemplos:
Obtener
1
2
2
2 2
2 3 2 3 1 2 (2 3 )( 1 2 )
1 2 1 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2 )
2 4 3 6 8 8 1
5 5 5( 1) (2)
z i i i i i
z i i i i i
i i i ii
2 2
2 2 2
2
1 21 2
2 2
( 1) 2 1 4 5
( 1 2 ) 2 4 3 6 8 8 1(2 3 )
5 5 5 5 5
z z z
z z i i i i iz i i
z z
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Potencia de un número complejo
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 =i2. i=-1.i=−i, i4 =i2 .i2=-1. -1=1, i5=i4 . i=1.i=i
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente
de la potencia equivalente a la dada.
Ejemplos:
Módulo y argumento de un número complejo Sea ( , )z a b a bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo o magnitud del número
complejo z , al número real dado por 2 2a b y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como
la distancia al origen del número z y también se expresa por r (Gráfica 4a).
Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z a bi , al ángulo comprendido entre el
eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg( )z , que también se
expresa como θ se calcula mediante la expresión:
θ= arg( ) arctanb
za
, donde -π < arg z < π
2 2 de zMagnitud z r a b
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Figura 4a: Módulo y argumento de un número complejo. Figura 4b: θ=arg (z).
A continuación se presentan diversas formas de comportamiento para θ dados diversos comportamentos
de a y de b:
1er. Cuadrante
180 2do. Cuadrante
arctan180 3er. Cuadrante
360 4o. Cuadrante
o
o
o
b
a
b
ab
ba
a
b
a
Propiedad: 2
z z z
Demostración:
2 2 2
22 2 2 2 2 2
( )( )
0
z z a bi a bi a abi abi y i
a b ab ab i a b i a b z
Raíces complejas de la ecuación de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación 2 0ax bx c es negativo, debe sustituirse el signo negativo por 2i y
de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo. Resolver la ecuación 2 2 6 0x x .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
2( 2) ( 2) 4(1)(6) 2 4 24 2 20
2(1) 2 2x
Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 220i . Por lo tanto:
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22 20 2 20 2 2 51 5
2 2 2
i ix i
Así, las raíces complejas de la ecuación son: 1 1 5x i y 2 1 5x i .
Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1
1) Dados los números complejos (3,2)z y ( 1, 4)w , halle:
(a) z w , (b) z w , (c) 3 4z w , (d) ( 1,0)w , (e) (0, 2)z .
2) Muestre que (0,0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.
3) Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.
4) Calcule:
(a) 3i , (b) 4i , (c) 5i , (d) 1
i , (e)
2
1
i.
5) Calcule:
(a) 4ni , (b) 4 1ni , (c) 4 2ni , (d) 4 3ni .
6) Dado el número complejo ( , )x y halle el par ( , )u v tal que ( , ) ( , ) (1,0)x y u v . Al par se le llama
inverso multiplicativo de ( , )x y . Concluya que el par ( , )u v es único y que el (0,0) no tiene inverso
multiplicativo.
7) Verifique que z z .
8) Verifique que uv y uv son conjugados.
9) Calcule:
(a) 3 3
2 4
i
i
, (b)
1 3
2 2
i
i
.
10) Resuelva la ecuación ( 2 ) 3i z i .
11) Halle z tal que (2 )(1 ) 2i i z i .
12) Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi , tales que:
(a) 5z , (b) 5z .
13) Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi tales que:
(a) 2 5z , (b) z i z i , (c) 2
z z z .
14) Resuelva la ecuación cuadrática 2 3 3 0x x .
15) Resuelva la ecuación cuadrática 22 4 5 0x x .
16) Resuelva la ecuación cuadrática 2 3 8 0x x .
17) Resuelva la ecuación 4 213 36 0x x .
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Forma trigonométrica o polar de un número complejo La forma trigonométrica o Polar de un número complejo se establece observando la Figura 5:
Figura 5: Forma Trigonométrica o Polar de un número complejo
En este caso se tiene que ( , )r z x y y que 1arg( ) tany
zx
.
Luego:
s s n
cos cos
yen y r e
r
xx r
r
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica, todo punto P del plano corresponde a un
par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la
recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario.
La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es
la «coordenada angular» o «ángulo polar».
Comportamiento de las funciones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente en el plano cartesiano
Tabla con valores trigonométricos para los ángulos más comunes (α = θ)
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Ejemplo: Obtenga el argumento de los siguientes números complejos:
Ejemplo:
Escriba los siguientes números complejos en forma polar usando sus argumentos principales.
Como se muestra en la figura 6.
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Como se muestra en la figura 6.
Figura 6
Y se muestra en el Anexo A más adelante qué cos s nie i e , como cos(-θ)=cosθ y sen(-θ)= -senθ,
también se tiene cos( ) s n( ) cos s nie i e i e
La anterior formula se denomina Identidad de Euler. Sí se utiliza la identidad de Euler y las fórmulas de
x e y en función de θ, se tiene
( , ) cos s n (cos s n ) iz x y x yi r i r e r i e re
Por ejemplo
Ésta es la llamada forma Ttrigonométrica del número complejo, la cual está en términos del módulo y el
argumento. Se denota comúnmente por iz re . Así, el número complejo z=a+bi en su forma Polar o
forma Exponencial se puede escribir de la siguiente manera:
iz r re
Esta expresión es la llamada forma exponencial o Polar del número complejo. Note que la forma
exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y
argumento del número complejo z . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la
multiplicación, división y potenciación o raíces n-ésimas empleando las leyes del álgebra.
Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de 1z i .
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Hallemos 2 2(1) ( 1) 2r y 1 1
tan1 4
.
Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:
4
41 2 cos s n 2 cos s n 2 2
4 4 4 4z i i e i e e
.
Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de 3z i .
Hallemos 2 2(3) ( 1) 2r y 1 01tan 330
63
.
Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:
6
63 2 cos s n 2 cos s n 2 26 6 6 6
z i i e i e e
Ejemplo: Represente en forma binómica la siguiente representación polar
a) ei = cos+ i sen = -1
b) 3ei/2 = 3(cos[ / 2] + i sen[ / 2]) = 3i
c) 2ei/6 = 2(cos[ / 6] + i sen[ / 6]) = 3 i
Ejemplos: Pasar de la forma binómica a la polar o trigonométrica (α = θ):
z = 260º = 2(cos 60º + i
sen 60º)
z = 2120º
=2(cos 120º + i sen 120º)
z = 2240º
=2(cos 240º + i sen 240º)
z = 2300º
=2(cos 300º + i sen 300º)
z = 2
z = 20º
=2(cos 0º + i sen 0º)
z = −2
z = 2180º
=2(cos 180º + i sen 180º)
z = 2i
z = 290º
=2(cos 90º + i sen 90º)
z = −2i
z = 2270º
=2(cos 270º + i sen 270º)
Pasar de la forma trigonométrica o polar a la forma binómica:
z = 2120º
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Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma
trigonométrica
rθ = r (cos θ + i sen θ)
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
Operaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar
La multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número
complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los
argumentos.
Sean 1
iz re y 2
iz se
Entonces: ( )
1 2
i i iz z re se rs e .
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos.
. .r s r s e
Como 1 2
iz z rs e
. En forma trigonométrica tenemos:
1 2 cos( ) s n( )z z rs i e
Demostración:
1 2
2
( )
cos s n cos n
cos cos cos s n s n cos s n s n
cos cos s n s n (cos s n s n cos )
cos( ) s n( )
( )
i i
i i
i
z z re se
rs e e
rs i e ise
rs i e i e i e e
rs e e i e i e
rs i e
rs e
Para su mejor comprensión ver Anexo B.
Ejemplo: Producto
645° · 315° = (6 . 3)45o
+150o = 1860°
División de números complejos en su forma trigonométrica Polar
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La división de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número
complejo cuyo módulo es igual al cociente de sus módulos y cuyo argumento es igual a la resta de los
argumentos.
Entonces: ( )1
2
ii
i
z re re
z sse
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.
r r
s s
Ejemplo: Cociente
645° / 315° = 230°
Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar
La potencia de un número complejo es su forma trigonométrica da como resultado un
número complejo cuyo modulo es el modulo es igual modulo elevado a la potencia y
cuyo argumento es igual a la potencia por el argumento.
.( ) ( )n n nnz r r
Ejemplo: Potencia 4 4
30 4.30 120(2 ) (2) 16o o o
Ejemplos:
Visto de otra manera:
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Se obtiene
Que es la forma polar de un número complejo con valor absoluto r1r2 y argumento θ1 + θ2 que es la forma
polar de un número complejo con valor absoluto r1r2 y argumento 1 + θ2. Esto demuestra que
La fórmula (1) dice que para multiplicar dos números complejos, se multiplican sus valores absolutos y se
suman sus argumentos. Vea la figura 7.
Figura 7
De igual modo, al usar las identidades trigonométricas de resta para seno y coseno, es posible demostrar
que
Por tanto
Y se ve que para dividir dos número complejos se dividen sus valores absolutos y se restan sus
argumentos.
Como caso especial del último resultados se obtiene una fórmula para el rescíproco de un número
complejo en forma polar. Al hacer z1=1 (y por lo tanto θ1=0) y z2=z ( y por lo tanto θ2=θ), se obtiene lo
siguiente
Ver figura 8
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Figura 8
Ejemplo:
Esto implica que
Por lo tanto, se tiene un método para encontrar el seno y el coseno de un ángulo como π/12, que no es un
ángulo especial, sino que puede obtenerse como una suma o diferencia de ángulo especiales.
Ejemplo: Sea 41 6
i
z e
y 42 3
i
z e
. Entonces 21 2 18 6
i
z z e i
y (0)1
2
2 2ize
z .
Las últimas relaciones nos dan las igualdades siguientes entre las diversas formas de escribir un número
complejo Z:
( , ) (cos s n ) iz a b a bi r i e re r
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Ejemplo. Sea 4
1 2i
z e
y 4
2 3 cos 34 4
i
z i sen e
.
Entonces (0)
1 2 6 6 cos(0) s n(0) 6iz z e i e
Para calcular (1+i)8, primero re-escribimos 1+i como i /42e
. Entonces
8 8i /4 i8( /4) 2 i2e 2 e 16e 16
Así, puesto que z z ,
Si i m rez
, entonces - i m rez
Fórmula de Moivre
Ahora, suponga que escribe un número complejo i m rez
. Entonces
( ) ( ) cos n + i sen nn
n n i n ni nz r e r e r
Así;
n
n n
nz r r
y tomando 1r , tenemos:
cos s n (cos( ) s n( ))n nn
nz i e r n i e n r
.
Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.
Dicho de manera diferente, se tiene
En palabras, el teorema de De Moivre dice que para calcular la n-ésima potencia de un número complejo
se evalúa la n-ésima potencia de su valor absoluto y su argumento se multiplica por n.
Ejemplo:
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La figura 9 muestra
Figura 9
Anexo A Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función,
derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:
cos s nie i e .
Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función 0 !
nx
n
xe
n
, suponiendo que sea válido para
cuando la variable x es un número complejo z .
2 3
0
1 ..... ...! 1! 2! 3! !
n nz
n
z z z z ze
n n
Si tomamos z i , nos queda:
2 3
0
2 3 4 52 3 4 5
2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ..... ...
! 1! 2! 3! !
1 ...1! 2! 3! 4! 5!
1 ....1! 2! 3! 4! 5!
n ni
n
i i i i ie
n n
i i i i i
i i i
Agrupando tendremos:
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2 4 3 5
1 .... ....2! 4! 1! 3! 5!
ie i
Estos son los desarrollos de cos y sin respectivamente. Así que cos s nie i e .
Sea (cos s n )z r i e un número complejo donde r es su módulo y su argumento. Entonces
mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:
(cos s n ) iz r i e r e .
Anexo B Trigonometría Aplicada: producto de complejos
Recordemos las siguientes igualdades trigonométricas:
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β
sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β
Notad que las dos segundas (a través de las que daremos una expresión del cociente de
números complejos) se siguen inmediatamente de las dos primeras (que nos sirven para expresar el
producto de dos números complejos).
Escribamos z1 = r
1 (cos θ1 + i sen θ
1 ) y z2 = r
2(cos θ
2 + i sen θ2 ). Entonces
z1 z2 = r
1(cos θ
1 + i sen θ1 )r2
(cos θ2 + i sen θ
2 )
= r1r
2
cos θ1 cos θ
2 − sen θ1 sen θ
2 + i(sen θ1 cos θ
2 + cos θ1 sen θ
2 )
= r1r
2
cos(θ
1 + θ2 ) + i(sen θ
1 + θ2) ,
de donde se sigue que para multiplicar números complejos en forma módulo argumental, se
multiplican los módulos y se suman los argumentos.
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Ejercicios con Números Complejos 2 1) Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 3 3i .
(b) en la forma binómica el número complejo 2 cos s ni e .
2) Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 2 2i .
(b) en la forma binómica el número complejo 2 cos s n3 3
i e
.
3) Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para
comprobar que si
1 1 1 1(cos s n )z r i e ,
2 2 2 2(cos s n )z r i e
, …,
(cos s n )n n n nz r i e
entonces
(a) 2 2
1 1 1 1cos(2 ) s n(2 )z r i e
(b) 1 1 1 1cos( ) s n( )n nz r n i e n
(c) 1 2 ...
1 2 1 2... ... n
n nz z z r r r e
.
Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.
4) Calcule:
(a) 9
1 3i , (b)
7
1
2 2i
5) Dados 2 2u i y 2 2v i , emplee la forma exponencial para hallar:
(a) uv , (b) u v .
6) Dados 2 2u i y 2 3v i , emplee la forma exponencial para hallar:
(a) uv , (b) u v .
7) Halle
4
6
3
1 3
i
i
.
8) Halle
84
9
1
1
i
i
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Raíces n-ésimas de un número complejo
Para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo se parte de que la raíz n-esima de un número
complejo es otro número complejo. Así sean
n s w
Elevando al cuadrado ambos términos
n n
n s w , así
n
ns w
Igualando los módulos y argumentos
S=wn y α=nβ con lo que y =nw sn
El argumento α se repite cada ciclo n veces
0
0
0
360
720
para k=0, 1, 2,...,n-1:
360 k
n
donde k es el número
de vueltas (Existen n distintas raíces que están uniformemente distribuidas en el círculo unitario).
por lo que 0360 k
zn
.
Si es una raíz de índice 3 al representar y unir sus afijos obtenemos un triángulo. Si es de índice 4 un
cuadrado, si es de índice 5 un pentágono y así sucesivamente.
En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma
trigonométrica(o exponencial) o Polar un mismo número complejo tiene infinitas representaciones
diferentes, ( 2 )i kz r e con k . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número
complejo z .
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En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma
trigonométrica(o exponencial) o Polar un mismo número complejo tiene infinitas representaciones
diferentes, ( 2 )i kz r e con k . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número
complejo z .
Existen n distintas raíces. Estas están uniformemente distribuidas en el círculo unitario.
Para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo
0
1
2
de las Raíces r=
*00
k *1 = 1 =
*22 =
n
n
Modulo R
kn
RArgumentos k
n n
kn
Obtenemos tantas soluciones como tenga el índice de la raíz n. Las expresamos como rϕ
Ejemplo:
En foma polar, -27 = 27(cos π + isen π ). Se tiene que las raíces cúbicas de -27 están dadas por
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Como muestra la figura 10, las tres raíces cúbicas de -27 están
igualmente espaciadas 2π/3 radianes (120o) alrededor de un
círculo de radio 3 con centro en el origen,
Figura 10: Raíz cúbica de -27
En general, la formula (2) implica que las raíces n-ésimas de z=r(cos θ + i sen θ) se hallaran en un círculo
de radio
1
nr con centro en el origen. Más aún, estarán igualmente espaciados 2π/n radianes (360o). Por
ende, si se puede encontrar una raíz n-ésima de z, las restantes raíces n-ésimas de pueden obtenerse al
rotar la primera raíz en incrementos sucesivos de 2π/n radianes. De haber sido esto en el ejemplo anterior
podría haber usado el hecho de que la raíz cúbica real de -27 es -3 y entonces rotarla dos veces un ángulo
de 2π/n radianes (120o) para obtener las otras dos raíces cúbicas.
Ejemplo:
Ejemplo: Hallar las 6 raíces sextas de
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Ejemplo: Hallar las 2 raíces cuadradas de 1 i .
41 2i
i e
. Por lo tanto 42 2s y 2
4
2
k , con 0,1k . Entonces:
Para 0k , tenemos 4 81 2
i
z e
.
Para 1k , tenemos 9
4 82 2
i
z e
.
Ejemplo: Hallar las 3 raíces cúbicas de
3
0
330
1
2
de las Raíces r= 8 2
30 *00 10
3
8 30 k 30 *1 = 1 = 130
3 3
30 *22 = 250
3
o
oo
o oo
oo
Modulo
k
Argumentos k
k
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En esta figura se observa su representación gráfica
Ejemplo:
Calcula 6 729i y representa las 6 raíces y une sus afijos.
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En la siguiente figura se observa su representación gráfica
Ejemplo: Hallar las cuatro raíces cuartas de 4 1 3 i
060Como1 3 2i , dado que el argumento es
3
=60° y el modulo es 2. Por lo tanto 42 2s y
24
2
k , con 0,1k . Entonces:
Para 0k , tenemos 4 31 2
i
z e
.
Para 1k , tenemos 9
4 32 2
i
z e
.
Ejemplo:
4
0
460
1
2
3
de las Raíces r= 2
60 *00 15
4
2 60 k 60 *1 = 1 = 105
4 4
60 *22 = 195
4
60 *33 285
4
o
oo
o oo
oo
oo
Modulo
k
Argumentos k
k
k
Por lo que las raíces son 04
150Z = 2 , 04
1050Z = 2 , 04
1950Z = 2 , y 04
2850Z = 2
El logaritmo de un número complejo Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación
inversa de la exponencial, esto es:
log zz w e w .
Supóngase que iw re es un número complejo de módulo r y argumento , entonces:
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( 2 ) ln ( 2 )z i ke r e w z r i k .
Ejemplo. Sea (0)1 1 ie . Por tanto log (1) ln(1) (2 ) 2i k k i , con k .
Ejercicios de la Sección 3 1) Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y i .
2) Halle las raíces cúbicas de 1.
3) Halle las raíces cúbicas de 1 .
4) Halle las raíces cuadradas del número 1 3 i y expréselas en la forma binómica.
5) Halle las raíces cúbicas del número 1 3i y expréselas en la forma binómica.
6) Halle las raíces cuadradas de 2 2i y represéntelas en el plano complejo.
7) Muestre que log( 1) i .
8) Halle:
(a) log( )e , (b) log( )i , (c) log( )ei .
9) Muestre que 1
log(1 ) ln 22 4
i i
.
Aplicación
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Respuestas
Sección 1 1) a) (2, 2) , b) (5, 14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)
6) 2 2 2 2
, ,x y
u vx y x y
9) a) 3 9
10
i
11) 3 i
13) a) 2 22 25x y , círculo de radio 5 centrado en (2,0) y su interior.
15) 1
12
i
17) 2 , 3i i
Sección 2
1 a) 3
3 2 cis4
5) a) 2, b) i
7) 10
31
4
i
e
Sección 3
3) 1 3
2 2i
5) 4 10 16
9 9 92 ,2 ,2i i i
e e e
8) a) 1 2k i , c) 12
i
Fuentes de Información: Algebra Lineal, una introducción moderna David Pool 3ª. Edición anexo: números complejos
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htm
Algebra Lineal 6ta Edicion Stanley Grossman, Anexo 1
www.campusoei.org/cursos/centrocima/matematica/complejo.pdf
www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejo
s_operaciones.htm
http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/cuadernillo_041.pdf