Notas-Enseñanza

La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad Permiso de reproduccin limitada 2003 Key Curriculum Press. Derechos reservados. Key Curriculum Press le otorga al profesor que adquiera el texto La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad el derecho de reproducir las actividades y los dibujos de ejemplo para su uso con sus estudiantes. La copia no autorizada de La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad es una violacin a las leyes federales.

The Geometers Sketchpad, Dynamic Geometry y Key Curriculum Press son marcas registradas de Key Curriculum Press. TMSketchpad es una marca de Key Curriculum Press. Las dems marcas y nombres de productos son marcas o marcas registradas de sus respectivos poseedores.

Diseo de The Geometers Sketchpad: Nicholas Jackiw Instrumentacin del software: Nicholas Jackiw y Scott Steketee Apoyo tcnico: Keith Dean, Jill Binker, Matt Litwin Versin en espaol: A. Homero Flores S. Revisores tcnicos: M. en C. Hectr Argueta Villamar (DGESCA-UNAM); M. en C. Mara Juana Linares Altamirano (DGESCA-UNAM); Mario Marn (Instituto Tecnolgico de Costa Rica); Dr. Hugo Meja Velasco (Departamento de Matemtica Educativa -Cinvestav-IPN); Juan Snchez Reyes (Dreyfous y Asociados); Dr. Jorge Vazquez (Universidad Nacional de Colombia)

Key Curriculum Press 1150 65th Street, Emeryville, CA 94608 USA http://www.keypress.com/Sketchpad

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 07 06 05 04 03

2003 Key Curriculum Press La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad iii

Contenido

Sugerencias para profesores.. 01 The Geometers Sketchpad y los cambios en la enseanza de las matemticas.. 01

De dnde surgi Sketchpad.. 03

Uso de Sketchpad en el aula. 03

Una investigacin guiada: el teorema de Napolen. 05

Una exploracin abierta: construccin de rombos 06

Una exposicin: demostracin visual del teorema de Pitgoras 07

Uso de Sketchpad en diferentes escenarios escolares... 08

Un aula con una computadora 08

Una computadora y un dispositivo de proyeccin.. 08

Un aula con varias computadoras... 09

Un laboratorio de cmputo.. 09

Uso de Sketchpad como herramienta de presentacin 09

Uso de Sketchpad como herramienta de produccin... 10

Sketchpad y su libro de texto... 11

Muestra de actividades... 13 Introduccin... 13

ngulos... 14

Construccin de un calidoscopio con Sketchpad.. 15

Propiedades de reflexin.. 19

Teselado usando slo traslaciones.. 22

El segmento de Euler. 25

Teorema de Napolen... 27

Construccin de rombos... 29

Cuadrilteros de puntos medios. 30

Un rectngulo de mxima rea 31

Demostracin visual del teorema de Pitgoras. 34

El rectngulo ureo 36

Trazador de una onda seno.. 39

Suma de enteros. 42

Alineacin de puntos en el plano 46

iv La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 2003 Key Curriculum Press

Parbolas en forma de vrtice.. 50

Reflexin en geometra y en lgebra... 54

Paseando a Rex: introduccin a los vectores. 58

Prueba de Leonardo da Vinci.. 61

Construccin del crculo doblado... 64

Construccin del crculo expandible.. 69

Distancias en un tringulo equiltero. 73

rea de Varignon... 77

Visualizacin del cambio: velocidad... 82

Salindose por la tangente 87

Acumulacin de reas... 91

Observaciones sobre la muestra de actividades 97

2003 Key Curriculum Press La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 1

Sugerencias para profesores Si ya ha ledo la Gua de aprendizaje, entonces sabr cmo utilizar The Geometers Sketchpad y, tal vez, haya descubierto que la cantidad de cosas que puede hacer con el programa es mayor que lo que, en un principio, haba imaginado. Sin embargo, independientemente de todos sus usos potenciales, Sketchpad fue diseado principalmente como una herramienta de enseanza y de aprendizaje. En la presente seccin estableceremos un contexto para el uso de Sketchpad en la enseanza de la geometra y daremos sugerencias para su uso en diferentes escenarios escolares. Despus de estas observaciones, se tiene una muestra de ms de 20 actividades sobre una amplia gama de temas matemticos. Al explorar la muestra de documentos que vienen instalados junto con el programa, se encontrar con ms ideas. Prubelas con sus estudiantes para que vea de qu manera Sketchpad puede serle de mayor utilidad en el aula.

The Geometers Sketchpad y los cambios en la enseanza de las Matemticas La forma en que enseamos matemticas, y geometra en particular, ha cambiado gracias a unos cuantos desarrollos importantes llevados a cabo en los ltimos aos. Despus de ms de un siglo de no poder ser accesibles a la mayora de los estudiantes, ahora se tienen enfoques alternativos al planteamiento estrictamente deductivo (la Evaluacin Nacional sobre el Progreso Educativo en Estados Unidos, encontr en 1982 que el tema matemtico que menos gustaba entre los estudiantes de 17 aos era la demostracin matemtica, encontr tambin que menos de 50% de estos estudiantes consideraban el tema como importante). Primero, en 1985 Judah Schwartz y Michael Yerushalmy del estadounidense Centro de Desarrollo Educativo crearon un notable software educativo que permiti a maestros y estudiantes utilizar computadoras como herramientas de enseanza y de aprendizaje y no slo como instrumentos de trabajo. El programa The Geometric Supposers, para las computadoras Apple II, animaba a los estudiantes a inventar sus propias matemticas al facilitarles la creacin de figuras geomtricas sencillas y de conjeturas acerca de sus propiedades. El aprendizaje de la geometra podra convertirse en una serie de exploraciones abiertas de relaciones en figuras geomtricas: un proceso de descubrimiento que motiva el aprendizaje de la demostracin, ms que la repeticin de la demostracin de teoremas que los estudiantes dan por ciertos o que no entienden.

En 1989, el estadounidense Consejo Nacional de Profesores de Matemticas (NCTM, por sus siglas en ingls: National Council of Teachers of Mathematics) public sus Estndares Curriculares y de Evaluacin para la Matemtica Escolar (mejor conocidos como los Estndares) que convocan a hacer cambios significativos en la manera en que se ensean las matemticas. En la enseanza de la geometra, los Estndares hacen un llamado a disminuir el nfasis en la presentacin de la geometra como un sistema deductivo completo y en las demostraciones de dos columnas. Con respecto al currculo, los Estndares proponen un aumento en la exploracin abierta y en el planteamiento de conjeturas, y una mayor

1+ = 1/

Aunque todava no hay un consenso al respecto, algunos arquitectos y matemticos creen que el Partenn fue diseado utilizando la Media Dorada. En el diagrama se muestra cmo el Partenn aproximadamente se ajusta a un rectngulo dorado.

2 La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 2003 Key Curriculum Press

atencin a temas de la geometra de transformaciones. En su convocatoria al cambio, los Estndares reconocen el impacto que las herramientas tecnolgicas tienen en la forma en que se ensean las matemticas, al liberar al estudiante de tareas mundanas que le llevan mucho tiempo y darle los medios de ver y explorar relaciones interesantes.

Con la publicacin de la primera edicin de la obra de Michael Serra, Discovering Geometry: An Inductive Approach, en 1989, Key Curriculum Press se uni a las fuerzas del cambio. En Discovering Geometry, un libro de texto de geometra para bachillerato (grados 10-12 de la educacin bsica), se retoma mucho del enfoque que los creadores de The Geometric Supposers defendan: los estudiantes deben crear sus propias construcciones geomtricas y formular, ellos mismos, las matemticas que describen las relaciones que hayan descubierto. Con este libro de texto, los estudiantes, trabajando en grupos cooperativos, hacen investigaciones utilizando herramientas de geometra para descubrir propiedades. Los estudiantes buscan patrones y utilizan el razonamiento inductivo para plantear conjeturas. No se espera que demuestren sus descubrimientos hasta despus que hayan asimilado los conceptos geomtricos y puedan apreciar la importancia de la demostracin. Ahora, en su segunda edicin, Discovering Geometry hace que los estudiantes aprovechen una gama ms amplia de herramientas, incluyendo papel encerado (patty paper: un papel especial que se utiliza para hacer envolturas en repostera) y The Geometers Sketchpad (versin en ingls del programa Sketchpad).

Este planteamiento es consistente con la investigacin hecha por los educadores matemticos holandeses Pierre van Hiele y Dina van Hiele-Geldof. A partir de observaciones en el aula, los van Hiele determinaron que los estudiantes pasan por una serie de niveles de pensamiento geomtrico: visualizacin, anlisis, deduccin informal, deduccin formal y rigor. En los textos estndares de geometra se espera que los estudiantes empleen la deduccin formal desde el principio. Se hace poco para permitir a los estudiantes que visualicen las situaciones o para animarlos a que hagan conjeturas. Uno de los principales objetivos del programa Supposers, del texto Discovering Geometry y, ahora, de The Geometers Sketchpad es llevar al estudiante a travs de los tres primeros niveles, fomentando un proceso de descubrimiento que refleje de manera ms estrecha la forma en que se inventa la matemtica: un matemtico, primero, visualiza y analiza un problema, y hace conjeturas antes de intentar hacer una demostracin.

Con The Geometers Sketchpad naci la actual generacin de software educativo que ha acelerado el cambio iniciado por el Geometric Supposers y que ha sido alentado por publicaciones como Discovering Geometry y los Estndares del NCTM. La excepcional Dynamic Geometry de Sketchpad permite a los estudiantes explorar relaciones de manera interactiva, de modo que sean capaces de ver los cambios efectuados en los diagramas matemticos a medida que los manipulan. Con este importante avance, junto con lo completo de sus capacidades de construccin, de transformacin, analticas y algebraicas, as como el ilimitado alcance que ofrecen sus herramientas personalizadas, Sketchpad ampla el alcance de lo que es posible hacer con el software matemtico a un grado nunca antes visto. Durante los diez aos de su existencia, los profesores han llevado a Sketchpad ms all de sus clases de geometra utilizndolo en sus cursos de lgebra, clculo, trigonometra y matemticas de nivel medio (grados 7-9); y el desarrollo actual del software lo ha ido refinando en este uso ms amplio. El paradigma de la Geometra Dinmica (Dynamic Geometry), uno de cuyos pioneros es Sketchpad, ha sido acogida tan ampliamente, por matemticos e investigadores educativos, por profesores en todos los niveles y por millones de estudiantes, que la edicin de 2000 de los Estndares del NCTM llama ahora a la Geometra Dinmica por su nombre. El desarrollo concurrente de versiones Macintosh, Windows, Java y porttiles de Sketchpad en una diversidad de idiomas asegura que la ms poderosa y actualizada herramienta de geometra siempre est disponible en una amplia variedad de ambientes escolares computarizados en todo el mundo.


De dnde surgi Sketchpad The Geometers Sketchpad (cuya versin en espaol es Sketchpad) fue desarrollado como parte del Proyecto de Geometra Visual (VGP, por sus siglas en ingls: Visual Geometry Project), un proyecto financiado por la estadounidense National Science Foundation (Fundacin Nacional de la Ciencia) y bajo la direccin del Dr. Eugene Klotz del Swarthmore College y de la Dra. Doris Schattschneider del Moravian College de Pennsylvania. Adems de Sketchpad, el VGP ha producido la Estrella Octngula y los Slidos Platnicos: videos, libros de actividades y materiales manipulables publicados tambin por Key Curriculum Press. El creador y programador de Sketchpad, Nicholas Jackiw, se integr al VGP durante el verano de 1987. Empez a trabajar seriamente en la programacin un ao despus. Sketchpad para Macintosh fue desarrollado en un ambiente acadmico abierto en el cual muchos profesores y otros usuarios experimentaron con las primeras versiones del programa y proporcionaron sugerencias para su diseo. Nicholas lleg a trabajar a Key Curriculum Press en 1990 para producir la versin beta del software que fue probada en las aulas. Pronto, un ncleo de 30 escuelas creci a ms de 50 sitios a medida que se corra la voz y ms personas oan hablar de Sketchpad o acudan a presentaciones en congresos. La apertura con la que se desarroll Sketchpad gener una increble marea de retroalimentacin y de entusiasmo por el programa. Para el momento de su puesta en el mercado, en la primavera de 1991, ya haba sido usado por cientos de profesores, estudiantes y otros amantes de la geometra, y ya era el software de matemticas escolares ms mencionado y esperado de los ltimos tiempos.

Durante el primer ao de Sketchpad, Key Curriculum empez a estudiar la forma en que el programa era utilizado de manera efectiva en las escuelas. Financiada en parte por una partida de la National Science Foundation destinada a pequeas empresas, esta investigacin est reflejada en las presentes sugerencias de enseanza, en materiales curriculares y en las nuevas versiones de Sketchpad. La versin 2 del programa, puesta en venta en abril de 1992, introdujo capacidades mejoradas de transformacin y de presentacin, y puso herramientas para la exploracin grfica de la recursin y la iteracin en manos de los usuarios de Sketchpad. En la versin 3 para Macintosh y Windows, publicada en abril de 1995, se extendieron las capacidades analticas y de graficacin. En 1999, en la encuesta hecha a profesores en todo el territorio estadounidense sobre enseanza, aprendizaje y computacin, conducida por la Universidad de California, en Irvine, se encontr que los profesores de matemticas del pas calificaban a Sketchpad, con un amplio margen, como el software ms valioso para los estudiantes. La versin 4 del software, introducida en el otoo de 2001, expande drsticamente la utilidad del programa en los grupos de lgebra, preclculo y clculo, al mismo tiempo que aumenta tanto su facilidad de uso en los grados ms bajos como sus herramientas de escritura curricular. La investigacin en el aula sigue siendo la forma bsica de un mayor desarrollo del programa y del material que le acompaa.

Uso de Sketchpad en el aula En un principio, The Geometers Sketchpad fue diseado principalmente para su uso en las clases de geometra de nivel medio superior (10-12 grados de la educacin bsica). Las pruebas han mostrado, sin embargo, que su facilidad de uso hace posible que estudiantes ms jvenes puedan utilizar el paquete con xito, y la potencia de sus caractersticas lo hacen atractivo a profesores de matemticas de nivel universitario y a profesores en cursos de preparacin y en servicio. Los profesores universitarios se sienten atrados, en particular, por las poderosas capacidades de transformacin de Sketchpad y por sus herramientas personalizadas que permiten a los estudiantes explorar las geometras no euclidianas. Incluso artistas y dibujantes tcnicos profesionales se han sentido cautivados


por el potencial y la elegancia de Sketchpad. Un testimonio de la versatilidad del paquete es que la misma herramienta pueda ser utilizada por nios de seis aos y profesores universitarios para explorar nuevos conceptos matemticos (asegrese de revisar la muestra de documentos que vienen instalados con Sketchpad para conocer las herramientas adicionales que le ayudarn a adaptar el software a sus necesidades en el aula. Encontrar herramientas para construir polgonos regulares, definir smbolos matemticos, explorar geometras no euclidianas, componer y combinar funciones y muchas cosas ms). En la presente seccin, nos concentraremos en las formas en que Sketchpad puede ser utilizado en una clase de geometra de nivel medio superior.

Como profesor de geometra de nivel medio superior, tal vez desee guiar a sus estudiantes hacia el descubrimiento de una propiedad especfica o hacia un pequeo grupo de propiedades, o quiz quiera plantear una pregunta o problema abiertos y pedir a sus estudiantes que descubran todo lo que puedan al respecto. Alternativamente, puede ser que desee preparar una exposicin interactiva que modele un concepto en particular. En cualquier caso, usted querr que sus estudiantes colaboren en las actividades y comuniquen sus hallazgos. Las caractersticas de anotacin de Sketchpad animan a los estudiantes a articular las ideas matemticas. Cualquiera que sea el enfoque que usted adopte al utilizar Sketchpad, ste puede servir como un detonador de la discusin y la comunicacin. Veremos ejemplos de tres planteamientos sobre el uso de Sketchpad en el aula: una investigacin guiada, una exploracin abierta y una exposicin. Estos tres ejemplos fueron tomados del texto Exploring Geometry with The Geometers Sketchpad, 1999 de Key Curriculum Press.


Una investigacin guiada: el teorema de Napolen El propsito de esta investigacin es guiar a los estudiantes a formar algunas conjeturas especficas. Se les dan instrucciones para construir una figura con ciertas relaciones definidas especficamente: en este caso, un tringulo con tringulos equilteros construidos en sus lados. Los estudiantes manipulan su construccin para ver qu relaciones encuentran que pueden ser generalizadas a todos los tringulos. Despus de esta experimentacin, se les pide a los estudiantes que escriban sus conjeturas.

Un aspecto importante de ste y, de hecho de cualquier investigacin con Sketchpad, es que al manipular una sola figura el estudiante puede, potencialmente, ver cada caso posible de esa figura. Aqu se tiene una prueba visual de que el tringulo de Napolen de un tringulo cualquiera es siempre equiltero, incluso mientras el tringulo original cambia de acutngulo a obtusngulo, de escaleno a issceles.

Se hacen sugerencias para llevar a cabo una investigacin abierta ms amplia para los estudiantes que terminan primero. Con la sugerencia Explora ms, los estudiantes pueden descubrir que los segmentos en cuestin son congruentes, concurrentes y se Intersecan formando ngulos de 60.

Despus de que los estudiantes hayan analizado sus hallazgos en parejas o en pequeos grupos, es importante analizarlos en un grupo ms grande. Pida a los estudiantes que compartan cualquier caso especial que hayan descubierto, y utilice sus preguntas para poner nfasis en las relaciones que pueden ser generalizadas a todos los tringulos: Fue el tringulo de Napolen siempre equiltero incluso cuando cambiaste tu tringulo original de acutngulo a obtusngulo? Los tres segmentos que construiste en la seccin Explora ms fueron siempre congruentes y concurrentes, independientemente de la forma del tringulo que tenas? En este resumen puede introducir vocabulario o nombres especiales para las propiedades que los estudiantes descubran (por ejemplo, el punto de concurrencia que descubren en Explora ms se conoce como el punto de Fermat) y acordar, como grupo, la redaccin de las conjeturas de los estudiantes como una manera de verificar su grado de comprensin.

Una manera de construir el centro es

construir dos medianas y su punto

de interseccin.

Selecciona la figura completa: luego

escoge Crear Nueva Herramienta del

men Herramientas Personalizadas de la

Caja de Herramientas (la

ltima herramienta).

Asegrate de unir cada tringulo

equiltero a un par de vrtices del

tringulo ABC. Si tu tringulo equiltero

se comporta de manera equivocada

(se traslapa con el interior del tringulo)

o no se une de manera apropiada, deshaz lo hecho e

intntalo de nuevo.

Teorema de Napolen Nombre(s): _____________ El emperador francs Napolen Bonaparte se consideraba a s mismo como un gemetra aficionado y le gustaba departir con los matemticos. El teorema que investigars en la presente actividad se le atribuye a l. Dibuja e investiga 1. Construye un tringulo equiltero. Puedes utilizar una herramienta

personalizada preconstruida o construir el tringulo desde el principio.

2. Construye el centro del tringulo. 3. Oculta cualquier cosa extra que hayas construido

para construir el tringulo y su centro, de modo que te quedes con una figura como la que se muestra a la derecha.

4. Haz una herramienta personalizada para esta construccin.

A continuacin, utilizars tu herramienta personalizada para construir tringulos equilteros en los lados de cualquier tringulo.

5. Abre un dibujo nuevo. 6. Construye ABC. 7. Usa la herramienta personalizada

para construir tringulos equilteros en cada lado del ABC.

8. Arrastra la figura para asegurarte que los tringulos equilteros estn unidos a cada lado.

9. Construye segmentos que conecten los centros de los tringulos equilteros.

10. Arrastra los vrtices del tringulo original y observa el tringulo formado por los centros de los tringulos equilteros. A este tringulo se le conoce como tringulo exterior de Napolen del ABC.

P1 Escribe qu crees que puede decir el teorema de Napolen. Explora ms Construye segmentos que conecten cada vrtice de tu tringulo original con el vrtice ms remoto del tringulo equiltero del lado opuesto. Qu puedes decir con respecto a estos tres segmentos?

A

B

C


Una exploracin abierta: construccin de rombos En una exploracin abierta no hay un conjunto especfico de propiedades que se espere que los estudiantes descubran como resultado de la leccin. Se plantea una pregunta o un problema con pocas sugerencias sobre cmo utilizar Sketchpad para explorar el problema. Diferentes estudiantes descubrirn o utilizarn diferentes relaciones en sus construcciones y escribirn sus hallazgos con sus propias palabras.

En este ejemplo, se les pide a los estudiantes que obtengan todas las posibles maneras en que puedan construir un rombo.

De nuevo, los diferentes mtodos de construccin deben analizarse en pequeos grupos y despus con toda la clase. Para cerrar la leccin sera bueno que haga una lista en el pizarrn de todas las propiedades que utilizaron sus estudiantes. El ofrecerles un problema de construccin abierta tambin le da a usted la oportunidad de poner nfasis en la importante diferencia entre un dibujo y una construccin. Por ejemplo, si los estudiantes realmente han utilizado las propiedades que definen un rombo en sus construcciones, debera ser posible manipular la figura y cambiarla a un rombo de cualquier tamao o forma, y debera ser imposible distorsionar la figura en algo que no sea un rombo.

C

A

B

D

Construccin de rombos Nombre(s): _____________ Cuntas formas distintas puedes obtener para construir un rombo? Intenta mtodos en los que utilices el men Construir, el men Transformar o una combinacin de ambos. Considera la forma en que pudieras utilizar diagonales. Escribe una breve descripcin de cada mtodo de construccin junto con las propiedades de los rombos que hacen que dicho mtodo funcione. Mtodo 1: Propiedades: Mtodo 2: Propiedades: Mtodo 3: Propiedades: Mtodo 4: Propiedades:


Una exposicin: demostracin visual del teorema de Pitgoras Un profesor (o un estudiante) puede utilizar Sketchpad para preparar un exposicin para que otros la usen. En ocasiones, una construccin compleja puede mostrar una propiedad de manera sencilla, pero no sera prctico hacer que todos los estudiantes hicieran la construccin. En tal caso, los profesores podran usar un dibujo de exposicin junto con una hoja de actividades.

Antes de usar esta exposicin, los estudiantes pueden descubrir el teorema de Pitgoras por s mismos en una investigacin guiada. Sin embargo, el propsito de la presente leccin, es hacer una exposicin de una demostracin visual del teorema. El dibujo utilizado en la leccin es un dibujo un tanto complejo hecho previamente. No se espera que los estudiantes hagan por s mismos la construccin para descubrir el teorema de Pitgoras, sino que con la exposicin, tienen la oportunidad de verlo de una manera nueva y ms interesante.

Esta exposicin podra hacerse ms efectiva si se lleva a cabo ante todo el grupo y con el uso de un proyector. Alternativamente, podra reproducir el archivo con la actividad para que los estudiantes la utilicen a su propio ritmo al final de un periodo en el laboratorio en el cual hayan estado haciendo otras investigaciones relacionadas con el teorema de Pitgoras.

Paso 3 Paso 4 Paso 5

Todos los dibujos referentes a este

cuaderno se encuentran en

Sketchpad\ muestras\

enseanza de matemticas

(Sketchpad es la carpeta que

contiene a la aplicacin).

Haz clic en el interior del polgono para seleccionarlo.

Despus selecciona rea,

en el men Medicin.

Para confirmar que esta forma es

congruente, puedes copiarla y pegarla.

Arrastra la copia hacia la forma original que se

encuentra en los catetos para ver

que coinciden perfectamente.

Para confirmar que esto funciona para cualquier tringulo

rectngulo, cambia la forma del

tringulo y realiza de nuevo el

experimento.

Demostracin visual del teorema de Pitgoras Nombre___________________ En la presente actividad, hars una demostracin visual del teorema de Pitgoras, basada en la prueba de Euclides. Al deslizar los cuadrados de los lados de un tringulo rectngulo, crears formas congruentes sin cambiar el rea de tus cuadrados originales. Abre el dibujo e investiga

1. Abre el dibujo Pitagoras Euclidiano.gsp. Vers un tringulo rectngulo con cuadrados en sus lados.

2. Mide el rea de los cuadrados 3. Arrastra el punto P hacia la recta

perpendicular a la hipotenusa. Observa que mientras que el cuadrado se convierte en un paralelogramo, su rea no cambia.

4. Arrastra el punto Q hacia la recta. Debe traslaparse con el punto P de modo que los dos paralelogramos formen una sola figura irregular

5. Arrastra el punto R de modo que el cuadrado grande se deforme para llenar el tringulo. El rea de esta forma tampoco cambia. Debe parecer congruente a la forma que hiciste con los dos paralelogramos ms pequeos

P1 De qu manera estas formas congruentes demuestran el teorema de

Pitgoras? (Sugerencia: Si las formas son congruentes, que sabes con respecto a sus reas?)


Uso de Sketchpad en diferentes escenarios escolares Las escuelas utilizan computadoras en diversos escenarios escolares. Sketchpad fue diseado pensando en ello, y sus caractersticas de visualizacin pueden optimizarse para estos diferentes escenarios. Las estrategias de enseanza tambin necesitan ser adaptadas a los recursos disponibles. A continuacin se presentan algunas sugerencias de uso de Sketchpad para la enseanza en el caso en que usted disponga en su aula de una computadora, una computadora y un dispositivo de proyeccin, algunas computadoras o un laboratorio de cmputo.

Un aula con una computadora Quiz el mejor uso de una sola computadora sin un proyector es hacer que pequeos grupos de estudiantes se turnen para utilizarla. Cada grupo puede investigar o confirmar conjeturas hechas cuando trabajaban en sus escritorios o mesas utilizando herramientas de geometra regulares como el comps y la regla. En ese caso, cada grupo tendra la oportunidad, durante el tiempo de la clase, de usar la computadora durante un corto tiempo. Alternativamente, puede darle a cada grupo un da en el cual hagan una investigacin en la computadora, mientras los otros hacen la misma investigacin o una diferente en sus lugares. Una computadora sin un dispositivo de proyeccin ni un monitor con pantalla grande tiene un uso limitado como herramienta de exposicin. Aunque en Sketchpad se pueden determinar preferencias para cualquier tamao o tipo de aula, un grupo grande tendra dificultades para seguir una exposicin en una pantalla pequea.

Una computadora y un dispositivo de proyeccin Hay disponibles diferentes dispositivos que se pueden conectar en la computadora de modo que lo que muestra el programa se puede pasar a un proyector, a un monitor de pantalla grande, a un dispositivo de cristal lquido que se utiliza junto con un proyector de acetatos (o retroproyector), o un panel digital de formato grande. The Geometers Sketchpad fue diseado para funcionar bien con estos dispositivos de proyeccin, aumentando de manera considerable las opciones para su uso en el aula. Usted o un estudiante pueden fungir como una especie de maestro de ceremonias en una investigacin, preguntndole al grupo cosas como qu deberamos intentar a continuacin?, dnde deberamos construir un segmento?, qu objetos debera reflejar?, qu es lo que observan si muevo este punto? Con un dispositivo de proyeccin, usted y sus estudiantes pueden preparar exposiciones, o los alumnos pueden hacer presentaciones de hallazgos que hayan hecho con la computadora o con cualquier otro medio. Sketchpad se convierte en un pizarrn dinmico sobre el cual usted o sus alumnos pueden hacer dibujos ms precisos, figuras ms complejas que, lo mejor de todo, pueden distorsionarse y transformarse en una variedad infinita de formas sin tener que borrar y dibujar de nuevo. Muchos profesores con acceso a laboratorios de cmputo ms grandes encuentran que hacer una o dos exposiciones introductorias con Sketchpad, a todo el grupo, preparan a sus estudiantes para utilizar el programa con un mnimo de prdida de tiempo de laboratorio en entrenamiento. Para las exposiciones, recomendamos usar textos con tipografa grande en negrillas, y hacer las ilustraciones con lneas gruesas para que stos sean claramente visibles desde todos los rincones del aula.


Un aula con varias computadoras Si puede dividir a su grupo en pequeos equipos de tres o cuatro estudiantes, de modo que cada equipo tenga acceso a una computadora, puede planear lecciones completas alrededor de actividades de investigacin con la computadora. Asegrese de lo siguiente:

De que la clase completa sepa qu se espera que hagan.

De que los estudiantes tengan algn tipo de explicacin escrita de la investigacin o del problema en el que van a trabajar. A menudo es til que dicha explicacin est en una hoja de papel en la cual haya espacio para que los estudiantes registren algunos de sus hallazgos; pero para algunas exploraciones abiertas el problema o la pregunta simplemente se puede escribir en el pizarrn o en el dibujo mismo. Del mismo modo, el trabajo escrito de los estudiantes puede presentarse en forma de dibujo con leyendas y comentarios.

De que los estudiantes trabajen de modo que todos los integrantes del equipo tengan la oportunidad de usar realmente la computadora.

De que los integrantes del equipo que en ese momento no estn operando la computadora participen en la discusin grupal y proporcionen sugerencias al estudiante que est usando la computadora.

De desplazarse entre los equipos planteando preguntas, ayudndoles si es necesario y manteniendo a los alumnos en la tarea.

De que los hallazgos de los alumnos sean resumidos en una discusin del grupo completo como cierre de la leccin.

Un laboratorio de cmputo La experiencia de los profesores que han utilizado Sketchpad en el aula (as como la experiencia de los que usaron el Geometric Supposers) sugiere que, incluso habiendo suficientes computadoras para que los estudiantes trabajen de manera individual, quiz es mejor hacer que los alumnos trabajen en parejas. Aprenden mejor cuando tienen comunicacin acerca de lo que estn aprendiendo, y los estudiantes que trabajan juntos pueden estimular sus ideas de mejor manera y ayudarse entre s. Si ya tiene a sus alumnos trabajando en su propia computadora, anmelos a hablar sobre lo que estn haciendo y a comparar sus hallazgos con los del vecino ms cercano; deberan ver lo que los dems estn haciendo. Las sugerencias que dimos para los estudiantes que trabajan en equipo se aplican tambin a los que trabajan en parejas.

Uso de Sketchpad como herramienta de presentacin Encontrar que las caractersticas de Sketchpad, en especial sus capacidades de texto, su estructura de documento de varias pginas y sus botones de accin, lo hacen bastante adecuado para las presentaciones de profesores y estudiantes. Sketchpad proporciona un poderoso medio para la comunicacin matemtica.

Con la herramienta de Texto, alumnos y profesores pueden hacer anotaciones en sus dibujos con comentarios que describan las principales caractersticas de una construccin. Las anotaciones pueden resaltar las propiedades que muestra una construccin, o pueden proporcionar instrucciones para manipular una construccin, incluyendo qu es lo que se debe ver cuando una construccin cambia. De esta forma estudiantes y profesores pueden comunicar lo que han hecho en un dibujo.


Profesores y estudiantes pueden utilizar botones de accin para simplificar dibujos complejos. Se pueden usar los botones para mostrar y ocultar objetos geomtricos y textos, o para iniciar una animacin. Tambin los botones pueden secuenciarse de modo que se puedan correr procedimientos y explicaciones de una construccin con slo presionar un botn. En otras palabras, los botones de accin convierten los dibujos en presentaciones.

Los textos y los botones de accin hacen posible tener presentaciones sin un presentador: un dibujo con las observaciones suficientes puede hablar por s mismo cuando otro usuario lo abre y su autor no est presente para explicarlo. Una presentacin, en este contexto, no necesariamente se disea para una audiencia grande que observa una pantalla. La audiencia de un dibujo con observaciones puede ser un compaero estudiante o un profesor. Los profesores que piden a sus estudiantes que entreguen tareas en forma de dibujos pueden pedirles que creen presentaciones que contengan botones de accin y que expliquen su trabajo con comentarios.

Las caractersticas de Sketchpad de integracin en red le permiten disponer de los recursos completos de Internet. Los botones de accin le permiten enlazarse con los recursos de la red para recomendar exploraciones adicionales, investigar aplicaciones reales o determinar el contexto histrico de una exploracin matemtica en particular. Adems, si usted est interesado en la publicacin de pginas web por su propia cuenta, Sketchpad le permite exportar sus actividades a la red, en donde las puede integrar al conjunto completo de componentes multimedia y a los recursos de hipervnculo disponibles a los autores de pginas de red, y compartirlas en la red con usuarios en todo el mundo. Las personas que visiten su pgina web sern capaces de interactuar con las ilustraciones de Geometra Dinmica tengan o no Sketchpad!

Al recorrer los documentos de muestra que vienen con Sketchpad usted puede obtener ideas sobre las diferentes maneras en que se pueden usar los comentarios de dibujos para comunicarse matemticamente.

Uso de Sketchpad como herramienta de produccin El Manual de referencia describe cmo utilizar el men Editar para cortar y pegar objetos de Sketchpad en otras aplicaciones como programas grficos o procesadores de palabras. Estas caractersticas hacen de Sketchpad una herramienta de productividad extremadamente til para cualquiera, incluyendo a profesores y estudiantes, que desee crear y guardar figuras geomtricas con facilidad. Los profesores, por ejemplo, pueden crear figuras con Sketchpad y pegarlas en un examen o en una hoja de trabajo creada en un procesador de palabras. Todas las grficas de las actividades de muestra y la mayora de las grficas de la documentacin fueron creadas con Sketchpad e insertadas en el programa Microsoft Word.

Un dibujo comentado


10 cm

yx 5 in.y

x

Solve for x and y:

Excircles of a Triangle

Sketchpad almacena objetos en el portapapeles como objetos de Sketchpad, que se comportan como tales cuando se les inserta de nuevo en un dibujo, y como imgenes grficas, que son reconocidas por casi cualquier programa que maneje grficos. Las imgenes grficas de Sketchpad actuarn exactamente como imgenes producidas en la mayora de los dems programas grficos y darn excelentes resultados cuando las imprima. Si usted est escribiendo un libro o un artculo que ser impreso de manera profesional las imgenes grficas de Sketchpad, incluso, pueden ser impresas en una mquina de composicin tipogrfica con resultados de muy alta calidad. Las rectas y los rayos quedan truncados cuando se insertan en otros programas, del mismo modo que cuando se imprimen con Sketchpad.

y

8 cmx

Usted puede guardar los dibujos de Sketchpad como banco de figuras que puede utilizar en exmenes y hojas de trabajo. Es fcil cambiar las figuras si necesita variaciones de ellas. Puede editar rtulos e insertar mediciones de ngulos y longitudes. Incluso las figuras que son ms fciles de dibujar a mano tienen la ventaja, cuando se les dibuja con Sketchpad, de que se les puede guardar, modificar fcilmente y usarlas una y otra vez.

Sketchpad y su libro de texto Las diferentes formas en que se puede usar Sketchpad lo convierte en la herramienta ideal para explorar la matemtica escolar, independientemente del libro de texto que utilice. Use Sketchpad para mostrar los conceptos que se presentan en el texto. O haga que sus estudiantes utilicen el programa para explorar los problemas que se dan como ejercicios. Si en su libro de texto hay teoremas y su demostracin (o se les pide a los estudiantes que hagan las demostraciones), dles a sus alumnos la oportunidad de explorar los conceptos con Sketchpad antes de que usted les pida que hagan una demostracin. El crear las construcciones con Sketchpad e interactuar con los diagramas de una manera dinmica har que sus estudiantes profundicen su entendimiento de los conceptos y, en contextos formales, har que las demostraciones sean ms relevantes.

Sketchpad resulta bastante adecuado para utilizarse con libros de texto que plantean un enfoque de enseanza y aprendizaje de la geometra basado en el descubrimiento. En la obra de Michael Serra, Discovering Geometry (Descubriendo la Geometra), por ejemplo, los estudiantes, conformados en pequeos equipos, hacen investigaciones y descubren los

Resuelve para x y y:

Excrculos de un tringulo


conceptos de geometra por s mismos, antes de intentar hacer una demostracin. Muchas de estas investigaciones necesitan construcciones que se pueden hacer con Sketchpad. Muchas otras investigaciones que implican transformaciones, mediciones, clculos o grficas tambin se pueden hacer de manera efectiva y eficiente con Sketchpad. De hecho, la mayora de las investigaciones planteadas en Discovering Geometry o en cualquier otro libro, con un enfoque parecido, se pueden llevar a cabo con Sketchpad. El libro para estudiantes Discovering Geometry incluye diez proyectos con Sketchpad y numerosas sugerencias de investigacin y de cmo ver las actividades de manera distinta usando Sketchpad. Ms de 60 lecciones de las ms adecuadas para hacer exploraciones con Sketchpad fueron adaptadas como hojas de trabajo para el libro auxiliar Discovering Geometry with The Geometers Sketchpad (descubriendo la geometra con Sketchpad). Estas lecciones con el programa tienen los mismos ttulos y conducen a los estudiantes a hacer las mismas conjeturas que las lecciones correspondientes del Discovering Geometry.

Tambin se encuentran disponibles para algunos textos de nivel secundario materiales auxiliares (no disponibles en espaol) para Sketchpad de otras editoriales, aunque para un curso de geometra nadie proporciona un paquete de tecnologa tan completo como el texto de Key Curriculum Press, Discovering Geometry, combinado con Sketchpad. Si usted utiliza un texto diferente a Discovering Geometry, pregunte a su proveedor si hay disponibles materiales auxiliares que utilicen Sketchpad.

Exploring Geometry with The Geometers Sketchpad (exploracin de la geometra con Sketchpad), publicado por Key Curriculum Press, contiene ms de 100 actividades reproducibles que se pueden utilizar con cualquier texto. Las actividades vienen acompaadas por un CD-ROM con actividades para computadoras Macintosh y Windows. Tambin publicados por Key Curriculum Press hay disponibles muchos otros volmenes que tratan temas especficos. En el presente cuaderno se incluyen muestras de actividades tomadas de tales libros. En la contraportada de este cuaderno se encuentra una lista y una descripcin de los textos mencionados.

El texto Exploring Geometry podra proporcionarle al profesor una serie de actividades para todo un ao, que cubren casi todo el contenido de un curso de geometra tpico de nivel medio superior (10-12 grados), haciendo uso de Sketchpad. Y otros libros de actividades podran ocupar tambin una gran parte del tiempo en otros cursos de matemticas. Sin embargo, no nos inclinamos a que abandone otros mtodos de enseanza a favor del uso de la computadora. Creemos que los estudiantes aprenden mejor con una variedad de experiencias de aprendizaje. Los alumnos necesitan experiencias con materiales manipulables, con la construccin de modelos, graficacin de funciones, construcciones con regla y comps, dibujos, trabajo en papel y lpiz y, lo que es ms importante, discusiones grupales. Los estudiantes necesitan aplicar las matemticas en situaciones reales y ver dnde se les utiliza en el arte y la arquitectura, y dnde se les puede hallar en la naturaleza. A pesar de que Sketchpad puede servir como medio para obtener muchas de tales experiencias, su potencial ser alcanzado slo cuando los estudiantes puedan aplicar lo que aprenden con l a diferentes situaciones. Debido a lo atractivo que puede ser el uso de Sketchpad, es importante hacer que los estudiantes no se lleven la impresin errnea de que las matemticas slo existen en sus libros de texto y en la pantalla de su computadora.


Muestra de actividades

Introduccin La presente muestra de hojas de actividades para el aula le darn idea de algunas de las experiencias de aprendizaje con las cuales es posible utilizar The Geometers Sketchpad. En las Sugerencias para profesores se vieron tres tipos de lecciones tomadas de Exploring Geometry with The Geometers Sketchpad (Explorando la Geometra con Sketchpad): una investigacin, una exploracin y una exposicin. Aqu usted encontrar ms actividades del texto Exploring Geometry junto con muestras de otras publicaciones de Key Curriculum Press. Esta coleccin no es un programa completo ni un conjunto de actividades que abarquen los temas que se cubren durante un ao escolar.

Los temas de las actividades van desde crear arte geomtrico hasta el clculo. El grado de dificultad vara desde actividades apropiadas para un nivel secundario (grados 7-9) hasta la presentacin de retos para estudiantes universitarios de matemticas. Hay 25 actividades aqu y, obviamente, no es posible utilizarlas todas con el mismo grupo. Aunque esperamos que los profesores encuentren tiles para su desempeo algunas de las actividades que les presentamos, la presente coleccin est diseada para mostrarle una gama de posibilidades.

El texto Exploring Geometry contiene ms de 100 actividades. Tal volumen representa casi un programa completo de geometra, sin embargo, le advertimos de los riesgos de sobre utilizar el texto. (Vase, Sugerencias para profesores, pgina 10)

La lista siguiente muestra el ttulo de las actividades que presentamos en este cuaderno y el ttulo del texto de donde fueron tomadas. De Geometry Activities for Middle School Students with The Geometers Sketchpad

ngulos Construccin de un calidoscopio con Sketchpad

De Exploring Geometry with The Geometers SketchpadPropiedades de reflexin Teselado usando slo traslaciones El segmento de Euler Teorema de Napolen Construccin de rombos Cuadrilteros de puntos medios Un rectngulo de mxima rea Demostracin visual del teorema de Pitgoras El rectngulo aureo Trazador de una onda seno

De Exploring Algebra with The Geometers Sketchpad Suma de enteros Alineacin de puntos en el plano

Parbolas en forma de vrtice Reflexin en geometra y en lgebra Paseando a Rex: introduccin a los vectores

De Pythagoras Plugged In Prueba de Leonardo da Vinci

De Exploring Conic Sections with The Geometers Sketchpad

Construccin del crculo doblado Construccin del crculo expandible

De Rethinking Proof with The Geometers Sketchpad

Distancias en un tringulo equiltero rea de Varignon

De Exploring Calculus with The Geometers Sketchpad

Visualizacin del cambio: velocidad Salindose por la tangente Acumulacin de reas

Intente realizar algunas o todas las actividades usted mismo y con sus estudiantes para explorar el potencial de Sketchpad y se d una idea de cmo lo puede usar en el aula (puede reproducir las hojas de trabajo para utilizarlas en su clase). Luego nase a nosotros en la creacin del ms extenso material de apoyo para profesores jams creado que acompaar al nuevo software escolar: materiales que reflejan lo que profesores y estudiantes pueden lograr con las ms actuales herramientas de enseanza y aprendizaje.

Si usted est interesado en contribuir con hojas de trabajo, dibujos de muestra o herramientas personalizadas para su posible inclusin en futuros materiales de apoyo para profesores y discos de muestra, contacte al Departamento Editorial de Key Curriculum Press.

14 La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 2003 Key Curriculum Press Tomado de Geometry Activities for Middle School Students with The Geometers Sketchpad

ngulos Nombre(s)__________________________

01. Abre un nuevo dibujo. 02. Construye un tringulo. 03. Extiende uno de sus lados: construye un rayo usando dos de

los vrtices.

04. Mide cada uno de los ngulos interiores. 0 05. Ve al men Medir y elige Calcular. Utiliza la calculadora de

Sketchpad para determinar la suma de los tres ngulos interiores.

P1 Arrastra cualquier vrtice del tringulo y observa las

medidas de los ngulos interiores y su suma. Escribe todas las conjeturas a las que hayas llegado con tu exploracin.

06. Haz clic en algn lugar del rayo fuera del tringulo, para

construir un punto sobre el rayo. Mide el ngulo exterior. 07. Usa la calculadora de Sketchpad para determinar la suma de

los dos ngulos interiores no adyacentes al ngulo exterior. P2 Arrastra cualquier vrtice del tringulo y compara la medida

del ngulo exterior con la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes. Escribe todas las conjeturas a las que hayas llegado con tu exploracin.

2003 Key Curriculum Press La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 15 Tomado de Geometry Activities for Middle School Students with The Geometers Sketchpad

Construccin de un calidoscopio con Sketchpad Nombre(s)__________________________ Sigue las siguientes instrucciones para construir un calidoscopio con Sketchpad. Los pasos numerados te dirn, en general, lo que necesitas hacer, y los pasos marcados con letras te dan instrucciones ms detalladas. Asegrate de que hiciste cada paso correctamente antes de pasar al siguiente. 01. Abre un nuevo dibujo y construye un polgono de muchos lados.

a. Ve al men de Archivo y escoge Nuevo dibujo.

b. Usa la herramienta de Segmento para construir un polgono con muchos lados (hazlo largo y un tanto delgado).

02. Dentro de tu polgono, construye varios interiores de polgono.

Sombralos con diferentes colores.

a. Haz clic en la herramienta de Flecha de seleccin. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar los objetos.

b. Selecciona tres o cuatro puntos en sentido horario (el sentido de las manecillas del reloj) o contrahorario (el sentido contrario al de las manecillas del reloj).

c. Ve al men de Construccin y selecciona Interior de tringulo o Interior del cuadriltero.

d. Con el interior del polgono an seleccionado, ve al men Presentar y elige un color para el interior de tu polgono.

e. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar los objetos. Repite los pasos b, c y d hasta que hayas construido varios interiores de polgono con diferentes colores o sombras.

03. Marca el vrtice inferior de tu polgono como centro. Oculta los puntos y gira el

polgono un ngulo de 60.

a. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar los objetos.

b. Selecciona el vrtice inferior. Ve al men Transformar y elige Marcar centro.

c. Haz clic en la herramienta Punto. Ve al men Editar y escoge Seleccionar todos los puntos. Ve al men Presentar y escoge Ocultar puntos.

Paso b Paso c Paso e


Caja de dilogo Rotar

Marco de seleccin Despus de una rotacin de 60

Tomado de Geometry Activities for Middle School Students with The Geometers Sketchpad

Construccin de un calidoscopio con Sketchpad (continuacin) d. Haz clic en la herramienta de Flecha de

seleccin. Utiliza un marco de seleccin para seleccionar tu polgono. Ve al men Transformar y selecciona Rotar.

e. Escribe 60 en el recuadro de ngulo y luego haz clic en Rotar (toma un factor diferente de 360, si lo deseas).

0 4. Contina girando las imgenes nuevas hasta

que hayas completado tu calidoscopio.

a. Con la nueva imagen girada an seleccionada, ve al men Transformar y gira esta imagen en un ngulo de 60. Recuerda hacer clic en Rotar.

b. Cuando aparezca la nueva imagen girada, y con sta an seleccionada, ve al men Transformar y gira esta imagen en un ngulo de 60. Recuerda hacer clic en Rotar.

c. Repite este proceso hasta que hayas construido tu calidoscopio completo.

d. Ve al men Presentar y escoge Mostrar todo lo oculto. Debes ver reaparecer los puntos del brazo original.

05. Construye crculos con su centro en el

centro del calidoscopio.

Punto de control

Punto de control

Punto de control

2003 Key Curriculum Press La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 17 Tomado de Geometry Activities for Middle School Students with The Geometers Sketchpad

Construccin de un calidoscopio con Sketchpad (continuacin) a. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar todos los objetos.

b. Haz clic en la herramienta de Crculo. Presiona en el centro del calidoscopio y arrastra un crculo con radio un poco mayor que el borde exterior del calidoscopio.

c. Utilizando la herramienta de Crculo, construye otro crculo con su centro en el centro del calidoscopio, pero en esta ocasin haz que el crculo tenga un radio de ms o menos la mitad del radio del calidoscopio. Construye a continuacin otro crculo con un radio de aproximadamente un tercio del radio del calidoscopio.

Observacin: Asegrate de liberar el ratn en un espacio en blanco entre dos brazos del calidoscopio. No es conveniente que los puntos de control de los crculos estn construidos sobre alguna parte del calidoscopio.

06. Haz que algunos puntos del calidoscopio se integren a los tres crculos.

a. Haz clic en la herramienta de Flecha de seleccin. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar los objetos.

b. Selecciona un punto del polgono original cercano al crculo exterior y este crculo (no hagas clic en uno de los puntos de control del crculo). Ve al men Editar y elige Unir el punto con el crculo.

c. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar todos los objetos. Repite el paso (b) para el crculo de en medio y un punto cerca de ste. Haz lo mismo una vez ms pero ahora para el crculo ms pequeo y un punto cerca de ste.

Puntos unidos

18 La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 2003 Key Curriculum Press Tomado de Geometry Activities for Middle School Students with The Geometers Sketchpad

Construccin de un calidoscopio con Sketchpad (continuacin) 07. Anima los puntos del calidoscopio en los

tres crculos.

a. Haz clic en cualquier espacio en blanco para deseleccionar todos los objetos.

b. Selecciona los tres puntos que uniste a los crculos en el paso anterior.

c. Ve al men Editar, selecciona Botones de Accin y elige Animacin. Haz clic en OK en la caja de dilogo de Animar.

d. Cuando aparezca el botn de Animar los puntos, haz clic en ste para iniciar la animacin. Observa cmo tu calidoscopio da vueltas!

e. Para ocultar todos los puntos, haz clic en la herramienta de Punto. Ve al men Editar y elige Seleccionar todos los puntos. Ve al men Presentar y escoge Ocultar los puntos. Haz clic en la herramienta de Crculo, selecciona todos los crculos y ocltalos.

Animar Puntos


C'

A

B

C

Tomado de Exploring Geometry with The Geometers Sketchpad

Propiedades de reflexin Nombre(s)__________________________ Cuando te miras en un espejo, a qu distancia dentro del espejo parece que est tu imagen? Por qu tu reflejo se ve exactamente como t, pero invertido? Las reflexiones en geometra poseen algunas de las mismas propiedades de las reflexiones que observas en un espejo. En la presente actividad, investigars las propiedades de las reflexiones que hacen que un reflejo sea la imagen especular del original. Dibuja e investiga: escritura de espejo

01. Construye una recta vertical AB.

02. Construye el punto C a

la derecha de la recta. 03. Seala AB como espejo. 04. Refleja el punto C para

construir el punto C. 05. Activa Rastro de los puntos para los puntos C y C. 06. Arrastra el punto C de modo que su rastro vaya escribiendo

tu nombre. P1 Qu es lo que el punto C va trazando? 07. Para que haya un verdadero reto, arrastra el punto C de

modo que traces tu nombre. Dibuja e investiga: reflexin de figuras geomtricas 08. Desactiva Rastro de los puntos para los puntos C y C. 09. En el men Presentar, elige Borrar rastros. 10. Construye CDE.

Con la herramienta de Flecha doble clic

en la recta

Selecciona los dos puntos; luego en el

men Presentar escoge Rastro de los puntos.

Una marca de verificacin indica que

el comando est activado. Elige Borrar

rastros para borrar tus rastros.

Selecciona los puntos C y C. En el men

Presentar vers Rastro de los puntos

verificado con una palomita. Haz clic en

ste para desactivarlo


E' D'

C'

A

B C

D

E

E D

C

B

A C'

D'

E'


Propiedades de reflexin (continuacin)

11. Refleja CDE (lados y vrtices) con respecto a AB .

12. Arrastra diferentes partes de

cualquier tringulo y observa cmo los tringulos estn relacionados entre s. Arrastra tambin la recta de reflexin.

13. Mide las longitudes de los

lados de los tringulos CDE y CDE.

14. Mide un ngulo en CDE y el ngulo correspondiente en CDE.

P2 Qu efecto tiene la reflexin sobre las medidas de

longitudes y ngulos? P3 Una figura y su imagen reflejada siempre son congruentes?

Plantea tu respuesta como conjetura. P4 Procediendo en orden alfabtico en CDE, los vrtices estn

orientados en sentido horario o contrahorario? En qu direccin (horaria o contrahoraria) estn orientados los vrtices C, D y E del tringulo reflejado?

15. Construye segmentos que

conecten a cada punto con su imagen: C con C, D con D y E con E. Haz que los segmentos queden punteados.

16. Arrastra diferentes partes del

dibujo y observa las relaciones entre los segmentos punteados y la recta de reflexin.

Selecciona la figura completa; luego, en el

men Transformar, elige Reflejar.

Selecciona tres puntos que formen el ngulo,

con el vrtice en segundo lugar. Luego,

en el men Medir, elige ngulo.

La respuesta a P4 muestra que una

reflexin invierte la orientacin de una

figura.

Estilo de lnea est en el men Presentar.

Le conviene construir puntos de interseccin y medir distancias para

buscar las relaciones entre la recta especular

y los segmentos punteados.

2003 Key Curriculum Press La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 21 Tomado de Exploring Geometry with The Geometers Sketchpad

Propiedades de Reflexin (continuacin)

P5 De qu manera se relaciona la recta de reflexin con el segmento que une a un punto con su imagen reflejada?

Explora ms 01. Supn que Sketchpad no tiene un men Transformar. De

qu manera construiras la imagen especular de un punto dado con respecto a una recta dada? Intntalo. Empieza con un punto y una recta. Haz una construccin para la reflexin del punto con respecto a la recta utilizando slo las herramientas y el men Construir. Describe tu mtodo.

02. Utiliza una reflexin para construir un tringulo issceles.

Explica qu hiciste.


Pasos 1 a 3

C'

A B

C


Teselado usando slo traslaciones Nombre(s):____________________

En esta actividad, aprenders cmo construir una loseta de forma irregular basndote en un paralelogramo. Ms adelante utilizars traslaciones para formar con esta loseta un mosaico (teselado) en la pantalla. Dibuja 01. Construye el segmento AB en la

esquina inferior izquierda de tu dibujo, despus construye el punto C justo encima de AB .

02. Marca el vector desde el punto A

hasta el punto B y traslada el punto C por este vector.

03. Construye los lados restantes de tu paralelogramo.

C

A B

C' C

A B

C' C

A B

C'

C

A B

C'

Paso 4 Paso 5 Paso 6 Paso 7

04. Construye dos o tres segmentos conectados desde el punto A

hasta el punto C. Llamamos a stos lado irregular AC. 05. Selecciona todos los segmentos y puntos del lado irregular

AC y trasldalos por el vector marcado (el vector AB debe estar todava marcado).

06. Haz un lado irregular de A a B. 07. Marca el vector desde el punto A hasta el punto C y traslada

todas las partes del lado irregular AB por el vector marcado.

Selecciona, en orden, los puntos A y B;

despus, en el men Transformar elige

Marcar vector. Selecciona el punto C;

luego, en el men Transformar, elige

Trasladar.


C

A B

C'

Pasos 11 a 12


Teselado usando slo traslaciones (continuacin)

08. Construye el interior del polgono de la figura irregular. sta es la loseta que vas a trasladar.

09. Traslada el interior del polgono

por el vector marcado (probablemente todava tengas marcado el vector AC).

10. Repite este proceso hasta que

tengas una columna de losetas cubriendo la parte izquierda de tu dibujo. Alterna el sombreado o el color de cada loseta para crear un patrn.

11. Marca el vector AB.

Despus selecciona todos los interiores de polgono de tu columna de losetas y trasldalos por el vector marcado.

12. Contina

trasladando las columnas de losetas hasta que llenes la pantalla. Cambia los sombreados y los colores de las losetas alternadas, de modo que puedas ver tu teselado.

13. Arrastra los vrtices de tu loseta original hasta que obtengas

una forma que te guste o que reconozcas como interesante.

C

A B

C'

Pasos 8 a 10

Selecciona los vrtices en orden consecutivo;

luego, en el men Construir elige Interior

de polgono

24 La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 2003 Key Curriculum Press Tomado de Exploring Geometry with The Geometers Sketchpad

Teselado usando slo traslaciones (continuacin)

Explora ms 1. Anima tu teselado. Para hacerlo, selecciona el polgono

original (o cualquier combinacin de sus vrtices) y elige Animar del men Presentar. Puedes hacer tambin que los puntos se muevan a lo largo de trayectorias que hayas construido. Para hacerlo, construye las trayectorias (segmentos, crculos, interiores de polgonos, o cualquier otra cosa sobre la cual puedas construir un punto) y despus une los vrtices a las trayectorias (para unir un punto a una trayectoria, seleccinalos a ambos y escoge Unir punto a trayectoria del men Editar). Selecciona los puntos que desees animar y, en el men Editar, elige Botones de accin Animacin. Presiona el botn de Animacin. Ajusta las trayectorias de manera que la animacin funcione de la manera que desees, luego oculta las trayectorias.

02. Utiliza Sketchpad para hacer un teselado de traslacin que empiece con un hexgono regular como figura bsica en lugar de un paralelogramo. (Sugerencia: El proceso es muy parecido; slo implica una tercera pareja de lados.)


El segmento de Euler Nombre(s):____________________ En la presente investigacin, buscars una relacin entre cuatro puntos de concurrencia: el incentro, el circuncentro, el ortocentro y el centroide. Utilizars herramientas personalizadas para construir los centros del tringulo, ya sea las que hayas hecho en investigaciones anteriores o las que ya vienen incluidas en el Sketchpad.

Dibuja e investiga 01. Abre un dibujo tuyo que

contenga herramientas para construir los centros de un tringulo: incentro, circuncentro, ortocentro y centroide. O abre el archivo Centros de tringulo.gsp.

02. Construye un tringulo. 03. Usa la herramienta Incentro en los vrtices del tringulo

para construir su incentro. 04. Si es necesario, coloca una etiqueta en el incentro para

identificarlo, puede ser I por incentro. 05. Por el momento, slo necesitas el tringulo y su incentro,

de modo que oculta cualquier otra cosa extra que tu herramienta personalizada haya construido (como bisectrices o el crculo inscrito).

06. Utiliza la herramienta

Circuncentro en el mismo tringulo. Oculta todo lo extra de modo que slo tengas el tringulo, su incentro y su circuncentro. Si es necesario, ponle una etiqueta al circuncentro para identificarlo.

07. Usa la herramienta Ortocentro en el mismo tringulo,

Oculta todo lo extra y ponle una etiqueta al ortocentro.

08. Usa la herramienta Centroide en el mismo tringulo, oculta todo lo extra y ponle una etiqueta al centroide. Debes tener ahora un tringulo y los cuatro centros.

El archivo Centros de tringulo.gsp se

encuentra en Sketchpad Muestras

Herramientas Personalizadas

(Sketchpad es la carpeta donde se

encuentra la aplicacin misma.

O

I

Ce Ci


El segmento de Euler (continuacin)

P1 Arrastra tu tringulo y observa cmo se comportan los puntos. Tres de ellos son siempre colineales. Cules?

09. Construye un segmento que contenga a los tres puntos

colineales. A ste se le conoce como Segmento de Euler. P2 Arrastra de nuevo el tringulo y busca relaciones

interesantes que se den en el segmento de Euler. Asegrate de verificar los tringulos especiales como los issceles y los rectngulos. Describe cualquier tringulo para el cual los centros estn relacionados de manera interesante o localizados en lugares interesantes.

P3 Cules de los tres puntos son siempre puntos extremo del segmento de Euler y cul siempre est en medio?

10. Mide la distancia a lo largo de las dos partes del segmento de

Euler. P4 Arrastra el tringulo y busca una relacin entre la longitud

de estos dos segmentos. Cmo se relacionan las longitudes de las dos partes del segmento de Euler? Prueba tu conjetura utilizando la Calculadora.

Explora ms 1. Construye un crculo centrado en el punto medio del

segmento de Euler y que pase por el punto medio de uno de los lados del tringulo. A este crculo se le conoce como crculo de los nueve puntos. El punto medio por donde pasa es uno de los nueve puntos. Cules son los otros ocho? (Sugerencia: Seis de ellos tienen que ver con las alturas y el ortocentro.)

2. Ya que hayas construido el crculo de los nueve puntos, segn se describi en el apartado anterior, arrastra el tringulo e investiga los tringulos especiales. Describe cualquier tringulo en el cual algunos de los nueve puntos coincidan.

02.

Para medir la distancia entre dos puntos,

selecciona los dos puntos. Luego, en el men Medir, escoge Distancia (medir la

distancia entre puntos es una manera fcil de

medir la longitud o parte de un segmento).


03. Teorema de Napolen Nombre(s) :____________________ El emperador francs Napolen Bonaparte se consideraba a s mismo como un gemetra aficionado y le gustaba departir con los matemticos. El teorema que investigars en la presente actividad se le atribuye a l. Dibuja e investiga 01. Construye un tringulo equiltero. Puedes utilizar una

herramienta personalizada preconstruida o construir el tringulo desde el principio.

02. Construye el centro del

tringulo. 03. Oculta cualquier cosa extra que

hayas construido para construir el tringulo y su centro, de modo que te quedes con una figura como la que se muestra a la derecha.

04. Haz una herramienta personalizada para esta construccin. A continuacin, utilizars tu herramienta personalizada para construir tringulos equilteros en los lados de cualquier tringulo. 05. Abre un dibujo nuevo. 06. Construye ABC. 07. Usa la herramienta personalizada para construir tringulos

equilteros en cada lado del ABC. 08. Arrastra la figura para

asegurarte de que los tringulos equilteros estn unidos a cada lado.

09. Construye segmentos que

conecten los centros de los tringulos equilteros.

A

B

C

Una manera de construir el centro es

construir dos medianas y su punto de

interseccin

Selecciona la figura completa: luego escoge

Crear nueva herramienta del men

Herramientas Personalizadas de la

Caja de Herramientas (la ltima herramienta).

Asegrate de unir cada tringulo equiltero a un par de vrtices del

tringulo ABC. Si tu tringulo equiltero se

comporta de manera equivocada (se traslapa

con el interior del tringulo) o no se une de manera apropiada,

deshaz lo hecho e intntalo de nuevo.



Teorema de Napolen (continuacin)

10. Arrastra los vrtices del tringulo original y observa el tringulo formado por los centros de los tringulos equilteros. A este tringulo se le conoce como tringulo exterior de Napolen del ABC.

P1 Escribe qu crees que puede decir el teorema de Napolen. Explora ms 01. Construye segmentos que conecten cada vrtice de tu

tringulo original con el vrtice ms remoto del tringulo equiltero del lado opuesto. Qu puedes decir con respecto a estos tres segmentos?


Construccin de rombos Nombre(s):________________ De cuntas formas distintas puedes construir un rombo? Intenta mtodos en los que utilices el men de Construccin, el men de Transformacin o una combinacin de ambos. Considera la forma en que pudieras utilizar diagonales. Escribe una breve descripcin de cada mtodo de construccin junto con las propiedades de los rombos que hacen que dicho mtodo funcione.

Mtodo 1: Propiedades: Mtodo 2: Propiedades: Mtodo 3: Propiedades: Mtodo 4: Propiedades:

A

B D

C


H

E

F

G

A

B

C

D

H E

F

G

A

B

C

D

Cuadrilteros de puntos medios Nombre(s):_____________________ En la presente investigacin descubrirs algo sorprendente con respecto al cuadriltero formado al conectar los puntos medios de otro cuadriltero.

Dibuja e investiga 01. Construye el cuadriltero ABCD.

02. Construye los puntos medios de los lados.

03. Conecta los puntos medios para construir otro cuadriltero, EFGH.

04. Arrastra los vrtices de tu cuadriltero original y observa el cuadriltero formado con los puntos medios.

05. Mide la longitud de los cuatro lados de este cuadriltero de puntos medios.

P1 Mide las pendientes de los cuatro lados del cuadriltero de puntos medios. Qu tipo de cuadriltero parece ser el cuadriltero de puntos medios? De qu manera las mediciones apoyan tu conjetura?

06. Construye una diagonal.

07. Mide la longitud y la pendiente de la diagonal.

08. Arrastra los vrtices del cuadriltero original y observa cmo la longitud y la pendiente de la diagonal estn relacionadas con la longitud y la pendiente de los lados del cuadriltero de puntos medios.

P2 La diagonal divide al cuadriltero original en dos tringulos. Cada tringulo tiene como segmento medio (el que une los puntos medios del tringulo) uno de los lados del cuadriltero de puntos medios. Utiliza este hecho y lo que sabes sobre la pendiente y la longitud de la diagonal para escribir un prrafo donde expliques por qu la conjetura que hiciste en P1 es cierta. Usa una hoja de papel adicional si es necesario.

Si seleccionas los cuatro lados, puedes

construir los cuatro puntos medios al

mismo tiempo.


E D

ABC


Un rectngulo de mxima rea Nombre(s)________________________ Supn que tienes cierta cantidad de cerca y deseas usarla para cercar un corral rectangular lo ms grande posible. Qu forma rectangular escogeras? En otras palabras, qu tipo de rectngulo tiene el rea mayor para un permetro dado? En la presente investigacin descubrirs la respuesta. O si ya crees saberlo, esta investigacin te ayudar a confirmar tu creencia y te dar un mayor conocimiento sobre ella. Dibuja e investiga 01. Construye el

segmento AB . 02. Construye AC

sobre AB . 03. Construye rectas

perpendiculares a AB que pasen por los puntos A y C.

04. Construye el crculo CB. 05. Construye el punto D en la interseccin del crculo con la

recta perpendicular. 06. Construye una recta que pase por el punto D, paralela a AB . 07. Construye el punto E, el cuarto vrtice del rectngulo ACDE. 08. Construye el interior del polgono ACDE. 09. Mide el rea y el permetro de este polgono. 10. Arrastra el punto C y observa cmo esto afecta al rea y al

permetro del rectngulo. 11. Mide AC y AE.

Selecciona AB , el punto A y el punto C.

Luego en el men Construir, elige Recta

perpendicular.

Asegrate de liberar el ratn, o hacer clic por

segunda vez, con la flecha sobre el punto B.

Selecciona los vrtices del rectngulo en orden

consecutivo. Luego, en el men Construir,

elige Interior de cuadriltero.

Selecciona los puntos A y C. Luego, en el

men Medir, elige Distancia. Repite el

proceso para medir AE.


Un rectngulo de mxima rea (continuacin)

P1 Sin medir, establece cmo AB est relacionada con el permetro del rectngulo. Explica por qu este rectngulo tiene un permetro fijo.

P2 A medida que arrastras el punto C, observa qu forma rectangular da el rea mayor. Qu forma crees que sea?

En los Pasos 12 a 14, explorars esta relacin de manera grfica. 12. Grafica las mediciones de la longitud de AC y el rea de

ACDE como (x, y). Debers obtener ejes coordenados y un punto graficado H, como se muestra a continuacin.

13. Arrastra el punto C para ver el punto graficado moverse de

modo que corresponda a diferentes longitudes de lado y reas.

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-15 -10 -5 5

m AE = 1.77 cmm AC = 6.09 cm

Permetro DCAE = 15.72 cmrea DCAE = 10.76 cm2

H

E D

AB

F

C

G

14. Para ver una grfica de todas las posibles reas de este

rectngulo, construye el lugar geomtrico del punto H definido por el punto C. Ahora debe ser fcil colocar el punto C de modo que el punto H tenga un valor mximo para el rea del rectngulo.

Selecciona en orden m AC y rea ACDE. Luego elige Graficar

como (x, y) del men Graficar. Si no puedes ver el punto graficado,

arrastra el punto unidad que est en (1, 0) para

cambiar la escala de los ejes.

Selecciona los puntos H y C, luego en el

men Construir escoge Lugar geomtrico.


Un rectngulo de mxima rea (continuacin)

P3 Explica cules son las coordenadas del punto ms alto de la grfica y cmo se relacionan con la longitud de los lados y el rea del rectngulo.

15. Arrastra el punto C de modo que el punto H se mueva entre

los dos puntos inferiores de la grfica.

P4 Explica cules son las coordenadas de los dos puntos

inferiores de la grfica y cmo se relacionan con la longitud de los lados y el rea del rectngulo.

Explora ms 01. Investiga la relacin rea/permetro en otros polgonos. Haz

una conjetura con respecto a qu tipos de polgonos producen el rea mayor para un permetro dado.

02. Cul es la ecuacin de la grfica que construiste? Sea AC la variable x y AB igual a (1/2)P, en la cual P es el permetro (una constante). Escribe una ecuacin para el rea A en trminos del x y P. Qu valor de x (en trminos de P) proporciona un valor mximo para A?

Es conveniente que selecciones el punto H

y midas sus coordenadas.


Paso 4 Paso 3 Paso 5


Demostracin visual del teorema de Pitgoras Nombre(s)____________________ En la presente actividad, hars una demostracin visual del teorema de Pitgoras, basada en la prueba de Euclides. Al deslizar los cuadrados de los lados de un tringulo rectngulo, crears formas congruentes sin cambiar el rea de tus cuadrados originales. Abre el dibujo e investiga 01. Abre el dibujo Pitgoras Euclidiano.gsp.

Vers un tringulo rectngulo con cuadrados en sus lados.

02. Mide el rea de los cuadrados. 03. Arrastra el punto P hacia la

recta perpendicular a la hipotenusa. Observa que mientras que el cuadrado se convierte en un paralelogramo, su rea no cambia.

04. Arrastra el punto Q hacia la recta. Debe traslaparse con el

punto P de modo que los dos paralelogramos formen una sola figura irregular.

05. Arrastra el punto R de modo que el cuadrado grande se

deforme para llenar el tringulo. El rea de esta forma tampoco cambia. Debe parecer congruente con la forma que hiciste con los dos paralelogramos ms pequeos.

Todos los dibujos de este cuaderno se

encuentran en Sketchpad | Muestras

| Enseanza de Matemticas

(Sketchpad es la carpeta que contiene a

la aplicacin).

Haz clic en el interior del polgono para

seleccionarlo. Despus en el men Medicin

selecciona rea.

Para confirmar que esta forma es

congruente, puedes copiarla y pegarla.

Arrastra la copia hacia la forma original que se

encuentra en los catetos para ver que

coinciden perfectamente.


Demostracin visual del teorema de Pitgoras

P1 De qu manera estas formas congruentes demuestran el teorema de Pitgoras? (Sugerencia: Si las formas son congruentes, que sabes con respecto a sus reas?).

Para confirmar que esto funciona para cualquier tringulo

rectngulo, cambia la forma del tringulo y

realiza de nuevo el experimento.


a

ba + b

b = ba


El rectngulo ureo Nombre(s)_________________________ La razn urea o dorada aparece a menudo en la naturaleza: en las proporciones de un caracol nautilus, por ejemplo, y en algunas proporciones de nuestro cuerpo y nuestro rostro. Un rectngulo cuyos lados tienen la razn urea se conoce como rectngulo ureo. En un rectngulo ureo, la razn de la suma de los lados al lado ms largo es igual a la razn del lado ms largo al ms corto. Los rectngulos ureos, de alguna manera, son placenteros a la vista, quiz porque se aproximan a la forma de nuestro campo de visin. Por tal razn, a menudo se les utiliza en arquitectura, especialmente en la arquitectura clsica de la antigua Grecia. En esta actividad, construirs un rectngulo ureo y encontrars una aproximacin a la razn urea. Despus vers cmo encontrar rectngulos ureos ms pequeos dentro de un rectngulo ureo mayor. Finalmente, construirs una espiral urea. Dibuja e investiga 01. Usa una herramienta personalizada para construir un

cuadrado ABCD. Despus construye el interior del cuadrado.

02. Orienta el cuadrado de modo que los puntos de control estn

en el lado izquierdo, uno sobre el otro (puntos A y B de la figura).

03. Construye el punto medio E de AD . 04. Construye el crculo EC.

E

C

A D

B

Pasos 1 a 4 Pasos 5 a 8

G

F

C

A D

B

Pasos 9 a 11

Puedes usar la herramienta

4/Cuadrado (por lado) del dibujo

Polgonos.gsp que viene con el programa.


G

FD

C

A

B


El rectngulo ureo (continuacin)

05. Extiende los lados AD y BC con rayos, como se muestra. 06. Construye el punto F en la interseccin de AD con el crculo. 07. Construye una recta perpendicular a AD que pase por F. 08. Construye el punto G de interseccin de esta recta

perpendicular con BC . El rectngulo AFGB es un rectngulo ureo.

09. Oculta las rectas, los radios, el crculo y el punto E. 10. Oculta AD , DC y BC . 11. Construye BG , GF y FA 12. Mide AB y AF. 13. Mide la razn de AF a AB. 14. Calcula (AB + AF)/AF. 15. Arrastra el punto A o el punto B para confirmar que tu

rectngulo siempre es ureo. P1 Con frecuencia se usa la letra griega fi () para representar la

razn urea. Escribe una aproximacin para . Contina con tu dibujo para investigar con ms detalle el rectngulo y construir una espiral urea. 16. Construye el crculo CB. 17. Construye un arco sobre el crculo

desde el punto B hasta el punto D, luego oculta el crculo.

18. Haz una herramienta

personalizada para esta construccin.

Mantn presionado el botn del ratn en la

herramienta de Segmento de modo

que se muestre la paleta de Objetos

Rectilneos. Arrastra la flecha hacia la derecha

para elegir la herramienta de Rayo.

Selecciona los objetos; luego, en el men

Presentar, elige Ocultar objetos.

Selecciona, en orden, AF y AB; luego, en el

men Medir, elige Razn.

Elige Calcular en el men Medir para abrir

la Calculadora. Haz clic una vez en una

medicin para introducirla en un

clculo.

Selecciona, en orden, el crculo y los puntos B

y D. Luego elige Arco en crculo del men

Construir.

Selecciona la figura completa; luego elige

Crear nueva herramienta del men

de Herramientas personalizadas de la

Caja de herramientas (el ltimo botn).


A

B


El rectngulo ureo (continuacin)

19. Haz el rectngulo tan grande como puedas, luego usa la herramienta personalizada en los puntos F y D. Debes tener que el rectngulo construido con la herramienta personalizada encaja perfectamente en la regin DFGC.

P2 Haz una conjetura con respecto a la regin DFGC. 20. Contina utilizando la herramienta

personalizada dentro de tu rectngulo ureo para crear una espiral urea. Oculta los puntos innecesarios.

Explora ms 01. Considera el lado menor del rectngulo ureo como la

unidad y la longitud del lado mayor como . Escribe una proporcin, multiplica de manera cruzada y utiliza la frmula cuadrtica para calcular un valor exacto para .

02. Calcula 2 y 1/. Cmo se relacionan estas cantidades con ? Usa el lgebra para demostrar por qu estas relaciones se cumplen.

Si tu rectngulo no se construye

correctamente cuando uses la herramienta

personalizada, retrocede y aplcala de

nuevo en el orden opuesto.


Trazador de una onda seno Nombre(s):___________________ En la presente exploracin construirs una mquina de animacin que traza una curva especial conocida como onda seno. Las variaciones de la curva seno son las grficas de las funciones conocidas como funciones peridicas, que se repiten a s mismas. El movimiento de un pndulo y las mareas son ejemplos de funciones peridicas.

Dibuja e investiga 01. Construye un segmento horizontal AB.

02. Construye un crculo con centro en A y punto extremo del radio en C.

03. Construye el punto D sobre AB . 04. Construye una recta perpendicular a AB que pase por D. 05. Construye el punto E sobre el crculo. 06. Construye una recta paralela a AB que pase por el punto E. 07. Construye el punto F, de interseccin de la recta vertical que

pasa por D y la recta horizontal que pasa por E. P1 Arrastra el punto D y describe qu sucede con el punto F. P2 Arrastra el punto E alrededor del crculo y describe qu hace

el punto F.

Selecciona el punto D y AB ; luego, en el men Construir, elige Recta

perpendicular.

No te preocupes, no es una pregunta

capciosa!


Trazador de una onda seno (continuacin)

P3 Dentro de poco, crears una animacin que combina estos dos movimientos. Pero primero intenta adivinar cul ser la trayectoria del punto F cuando el punto D se mueve hacia la derecha a lo largo del segmento al mismo tiempo que el punto E se mueve alrededor del crculo. Dibuja en el siguiente espacio la trayectoria que crees que describe.

08. Haz un botn de accin que anime el punto D hacia adelante

sobre AB y el punto E sobre el crculo. 09. Mueve el punto D de modo que quede justo a la derecha del

crculo. 10. Selecciona el punto F; luego, en el men Presentar, elige

Rastro del punto. 11. Presiona el botn de Animacin. P4 En el espacio siguiente, dibuja la trayectoria trazada por el

punto F. La trayectoria real se parece a la que imaginaste en P3? En qu es diferente?

12. Selecciona el crculo; luego, en el men Graficar, elige

Definir crculo unitario. Debes obtener una grfica con el origen en el punto A. El punto B debe estar sobre el eje x. La coordenada y del punto F sobre AB es el valor del seno de EAD.

Selecciona los puntos D y E y elige

EditarBotones de AccinAnimacin.

Elige hacia delante en la opcin de Direccin del men pop-up para

el punto D.


Trazador de una onda seno (continuacin)

P5 Si el crculo tiene un radio de una unidad de la grfica, cul es su circunferencia en unidades de la grfica? (Haz el clculo por ti mismo; no utilices Sketchpad para medir la circunferencia porque la medicin se har en pulgadas o centmetros, no en unidades de la grfica).

13. Mide las coordenadas del punto B. 14. Ajusta el segmento y el crculo hasta que puedas hacer que la

curva regrese siguiendo el rastro ya trazado en lugar de trazar el rastro de una nueva curva en cada vuelta (mantn el punto B en el eje x).

P6 Cul es la relacin entre la coordenada x del punto B y la

circunferencia del crculo (en unidades de la grfica)? Explica por qu crees que esto es as.

42 La enseanza de las matemticas con The Geometers Sketchpad 2003 Key Curriculum Press Tomado de Exploring Algebra with The Geometers Sketchpad

Suma de enteros Nombre(s):__________________________ Se dice que una figura vale ms que miles de palabras. En las siguientes dos actividades explorars la suma y la resta de enteros utilizando un modelo visual hecho con Sketchpad. Teniendo en mente este modelo puede ayudarte a visualizar qu hacen estas operaciones y cmo funcionan. Dibuja e investiga 01. Abre el dibujo Suma enteros.gsp. 02. Estudia el

problema modelado en el dibujo: 8 + 5 = 13. arrastra los dos crculos de arrastre para modelar otros problemas de suma. Observa cmo las dos flechas superiores se relacionan con las dos flechas inferiores.

P1 Modela el problema 6 + 3.

De acuerdo con tu dibujo, cul es la suma de 6 y 3?

03. Modela tres problemas ms en los que sumes dos nmeros

negativos. Escribe enseguida tus igualdades (2 + 2 = 4, por ejemplo).

P2 En qu se parece la suma de dos nmeros negativos a la

suma de dos nmeros positivos? En qu se diferencian?

Definiciones: Los enteros son nmeros positivos y negativos,

incluyendo al cero. En una recta numrica, las

marcas de la escala usu

Notas-Enseñanza

Documents

Transcript of Notas-Enseñanza