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Mis Notas de Clase Jos F. Barros Troncoso

Clculo diferencial

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Con especial cario a mimadre Delva por su crianza, por la

semilla que sembraste en m, a Lilia

mi esposa, por su apoyo, estimulo,

comprensin y sacrificio, a mis hijos

porque son mi fuente de

inspiracin, a todas aquellas

personas que han credo en mi

trabajo y que me han dado la

oportunidad de seguir creciendo

cada da y a mis estudiantes a

quienes va dirigido este trabajo.

GraciasJos Francisco Barros Troncoso

Febrero 12 de 2013


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Clculo diferencial

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CONTENIDOIntroduccin 5FUNCIN

Pareja Ordenada 6Producto Cartesiano 6

Intervalo 7Relacin 11Funcin 12

Representacin de una Funcin 12Funcin InversaFunciones Pares e ImparesRaces e InterceptosFuncin Creciente y Decreciente

Funcin AcotadaConcavidad y ConvexidadDominios y Rangos

18202223

242525

Notacin Funcional 26Algebra de Funciones 30Grfica de Funciones 34

Grfica de funciones con tecnologa 35Funcin Lineal 41

Ecuacin de la recta 41Modelacin de la funcin lineal 49

Funcin Cuadrtica 52

Modelacin de la funcin cuadrtica 58Funciones con tecnologa 53

Funcin Polinmica de Grado Superior a dos 60Funcin Exponencial 62Funcin Logartmica 65

Tipos de logaritmos 60Modelacin de las Funciones Exponenciales 64Funciones con tecnologa 68

Funcin Cociente 74Funcin por Parte o por Trozos 77

Funcin Valor Absoluto 84INCREMENTO Y TASAS 86LIMITE 92

Limites Laterales 92Propiedades de los lmites 93Limites Indeterminados 93Continuidad en un punto 94


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Clculo diferencial

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Limites de las funciones definidas por partes 95Limites Infinitos 99Limites con Tecnologa 103

LA DERIVADA 104

Tasa de cambio promedio 104Tasa de cambio instantnea 105Pendiente de la recta 105

Derivada 105Frmulas de la Derivada 107Regla de la Cadena 112Regla de la Potencia 112Derivadas de Orden Superior 116Mximos y Mnimos Relativos 117

Prueba de la primera derivada 117Prueba de la segunda derivada 118

Derivada de las Funciones Logartmicas 128Derivada de las Funciones Exponenciales 130Derivada Implcita 134

Elasticidad en la Demanda 137Derivadas Parciales 141

Funciones de dos o ms Variables 141Diferenciacin Parcial 144Costo Conjunto y Costo Marginal 125Productividad Marginal 150Funciones de Demanda 151

LA INTEGRAL 153Antiderivada 153Integral Indefinida 153Reglas de Integracin 154Regla de la Potencia para la Integracin 158Integrales que Involucran Funciones Exponenciales 164Integrales que Involucran Funciones Logartmicas 168Segundo Teorema Fundamental del Clculo 173

Aplicaciones del Clculo Integral en la Administracin y en la Economa 177Valor promedio 177Ingreso Total 179Valor Presente de un flujo continuo de ingreso 180Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso 180Supervit de Consumidor 184Supervit del Productor 186

Integracin por Partes 189BIBLIOGRAFA 194


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Clculo diferencial

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INTRODUCCIN

El presente trabajo es una compilacin de mis notas de clase, fruto de laexperiencia obtenida al servicio a la educacin en instituciones educativas de

Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena,Universidad Sergio Arboleda, Corporacin Unificada Nacional de EducacinSuperior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino).

La propuesta busca darle sentido a la matemtica en otros contextos, en particularen la economa, que el estudiante le d a la matemtica una mirada distinta a la quetradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramientafundamental para el desarrollo del pensamiento lgico del ser humano y de lasociedad.

El documento no pretende plagiar la informacin contenida en libros

especializados o contenidos obtenidos en pginas web (todos referenciados), sinodar al estudiante explicacin ms sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollode problemas de aplicacin orientados hacia su perfil profesional.

El objetivo es el de exponer los conocimientos bsicos del clculo diferencial enforma sencilla, lgica, crtica y analtica utilizando herramientas modernas quefaciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, adems el desolucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.


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Clculo diferencial

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FUNCIN

En la teora econmica la informacin de una sola variable no es suficiente para

determinar su comportamiento por tanto se hace necesario analizar el comportamientode dos o ms variables, para ello es esencial utilizar los elementos de las matemticaspara representar el comportamiento de los agentes econmicos

En la prctica se presenta situaciones en donde el valor de una cantidad depende de laotra. Ejemplo:

En consecuencia: La representacin geomtrica de R R es el plano cartesiano llamado tambin planonumrico.

Se establece una relacin biunvoca entre R R y el conjunto de los puntos del planogeomtrico, asocindose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).

Cantidad de Produccin - Costo AsociadoCantidad Comprada Precio

Mano de Obra - CapitalOferta - Demanda

Impuesto - Valor de la MercancaHoras trabajadas salarioDistancia Tiempo

Dedicacin RendimientoMantenimiento Tiempo de vida

b

a

P a,b

Producto CartesianoSean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primeracomponente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llamaproducto cartesianode A y B. Simblicamente:


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1

1

2

2

345

Ejemplo 1:Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B ser:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Grficamente

Ejemplo 2:

Sean Su representacin geomtrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectngulo PQRS y los puntos quepertenecen a los segmentos PQ y QR.

INTERVALOSSubconjunto de los nmeros reales y se clasifican en finitos e infinitos.

Finitos Abierto

Subconjunto de todos los nmeros x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,simblicamente(a , b) = {x/ a < x


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Clculo diferencial

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CerradoSubconjunto de todos los nmeros x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,simblicamente[a , b] = {x a x b}Grficamente

Semi-abierto o semi-cerrado(a , b] = {x a x b}[a , b) = {x a x b}

Intervalos Infinitos:(a x/ x > a}[a x

x a}

(- a x/ x < a}(- a] x x a}

Ejercicios1.Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes

igualdades:(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2.Sean y a. Calcular b. Representar grficamente

-a b

-a b

-a b

-a

-

a

-a

-a


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3.Sean: A, el conjunto de todos los nmeros reales que estn entre 1 y 3 incluyendo el 1y el 3; B el conjunto de los nmeros enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacerun diagrama cartesiano de A x B y B x A.

4.Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su grfica

a.(1,3) b. (0,3] c. [- d.(-e.[-0.5, 4.5) f.( ] [ ) ( )

5.Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[-calcularyrepresentar grficamentea. A n B

b.B - Ac. Ccd.Ac n Bce. (A - B)c C

6.Para cada afirmacin escriba dos intervalos que verifiquen:a. Su unin (-8,2]b.Su interseccin [-3, 1)c. Su diferencia (-

d.Su interseccin sea vaca y su unin todos los reales

7. Cules son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente grfica?

8.Cierta compaa de encomienda liquida los envos de acuerdo a0.80x Si 0 x 0

C(x)= 0.70x Si 0 x 000.65x Si x > 200


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Clculo diferencial

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RelacinRegla que determina la correlacin existente los elementos de una pareja ordenada, sepuede representar por medio de una tabla, una grfica, una ecuacin o unadesigualdad.

x

y

(100,3800)

(0,-200)

(2.53, 0)(197.46, 0)

Unidades Vendidas

Utilidad

, donde C(x)se da en dlares y xen kilogramos (Kg)a. Exprese cada condicin en forma de intervalo.b.Determine el costo de envi de 200 Kg, 45 Kg y 250Kg

9.Un estudio de tiempo mostr que, en promedio, la productividad de un trabajadordespus de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de 0 Donde P es el nmero de unidades producidas por hora.a. Qu significa la condicin 0 ?b. Calcule la productividad 9 horas despus de estar en el trabajo

10.La siguiente grfica relaciona la utilidad respecto a las unidades vendidas de ciertoproducto

Determine el o los intervalosa. De unidades vendidas no generan utilidades por qu?b. De unidades vendidas que generan utilidades por qu?c. De unidades vendidas en que se incrementan las unidades por qu?d. De unidades vendidas en que disminuyen las unidades por qu?

Ejercicios1. Escribir 5 parejas ordenadas cuyas componentes tengan cada relacin:


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a. Que la primera componente sea el doble de la segunda.b. Que la segunda componente sea el triplo ms uno de la primera.c. Que la primera componente sea un nmero par y la segunda un impar no

consecutivo.

d. Que la primera componente sea un nmero posterior no consecutivo de lasegunda.

2.Escriba una oracin que describa la relacin de cada conjunto de parejas ordenadas:

a. (1,3),(3,5),(5,7),(7,9)(9,11)b. (1,-1)(-2,2)(3,-3)(-4,4),(5,-5)c. (1,7),(2,5)(3,9),(4,13),(5,17)d. (2,5),(3,10),(4,17),(5,26),(6,37)

3.Exprese cada relacin de los encisos 1. y 2. por medio de una ecuacin.

ProblemasObtenga 5 parejas ordenadas por cada situacin particular

1.Si se demanda una unidad el precio es de US$ 76, y por cada unidad adicional el preciodisminuye en US$ 4 dlares. Utilizando parejas ordenadas encuentre el precio si sedemandan 5 unidades.

2.Un carro nuevo tiene en valor de $52 millones de pesos, suponiendo que cada ao sedeprecia a una tasa del 12% de su costo original, determine el costo del vehculo a los

cinco aos de su compra. Suponga que la primera componente es el tiempo y lasegunda el precio.

3.El valor de un libro se duplica cada 5 aos, el libro fue evaluado hace 20 aos en$1200. La primera componente representa el nmero de aos y la segunda el precio.

4.De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidadesdemandadas.

5.No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200 dlares oms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo de 200, la cantidaddemandada se incrementa en 200 unidades. La primera componente representa elprecio y la segunda las unidades demandadas


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6.Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina es de$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. La primeracomponente representa la cantidad y la segunda el costo.

7.El nmero de familias vinculadas al a un proyecto apcola en la sierra nevada de SantaMarta inicio en el 2005 con 128 y por cada ao que pasa el nmero de familias seincrementa en 125. Si la primera componente representa el nmero de aos y lasegunda el nmero de familias vinculadas al proyecto.

8.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una funcin delprecio sta dado por I = 300p2p2. Si la primera componente representa el precio(p) y la segunda el ingreso (I).

9. El costo total de la produccin de x litros de un determinado producto viene dado por

00. Si la primera componente representa la cantidad de litros del

producto y la segunda el costo total de la produccin.

Si A y B son conjuntos una funcin fde A en B se denotaf: A B

x y=f(x)

Indica que a cada elemento xde A le corresponde uno y solamente uno de los elementosy=f(x) de B. El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y lavariable que la representa se conoce como variable independiente, el conjunto B seconoce como conjunto de llegada, co-dominio. Los valores y=f(x) que toman lasvariables se denominan recorrido o rango y la variable que la representa se le conocecomo variable dependiente.

Representacin de una Funcin

Una funcin se pueden representar de forma oracional, de tabla, como diagramas de ven,como graficas cartesianas y por formulas.

De forma oracionalIncluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos opensamientos;perohacemosnfasisparticularmenteenlasreglasoconsignas:serlamadredeserlacuartapartedeserelsiguientedesereldobledemsunidadesetc.

FuncinEs una relacin de parejas ordenadas el cual no hay dos parejas que tengan la mismaprimera componente.


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EjerciciosEscriba cinco parejas ordenadas por cada oracin e indique cul representa unafuncin?

1. Qu la segunda componente sea el doble de la primera?2. Qu la primera componente sea el doble ms uno de la segunda?3. Qu la segunda componente sea el inverso aditivo de la primera?4. Qu la primera componente sea la raz cuadrada de la segunda?5. Qu la segunda componente sea un nmero primo y la primera un par anterior

no consecutivo?

Problemas1. El costo de un artculo disminuye de acuerdo con el nmero de artculos

producidos. Si producir 100 artculos cuesta US$980 y por cada cien unidades que

se produzcan el costo disminuye un 20%, calcule el costo de producir 500unidades

2. El valor de un libro se duplica cada 5 aos, el libro fue evaluado hace 20 aos en$1200. La primera componente representa el nmero de aos y la segunda elprecio.

3. De cierto producto se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio, la demanda crece en 500unidades. La primera componente representa el precio y la segunda las unidadesdemandadas.

4. No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200dlares o ms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo pordebajo de 200, la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. La primeracomponente representa el precio y la segunda las unidades demandadas

5. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina esde $1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Laprimera componente representa la cantidad y la segunda el costo.

En forma de Tablas de valores en las que aparecen explcitamente los pares de valores[variable independiente variable dependiente] que expresan la correspondencia quedefine determinada funcin. Como ejemplos nos pueden servir las tablas que recogen elsalario mnimo mensual de los trabajadores de cierto pas en los ltimos 10 aos, preciode cierto modelo de vehculo segn su marca, valor de las acciones de ciertas empresas

Ejercicios


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1. Los datos de la tabla muestran el nmero de familias vinculadas a un proyectoapcola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde 1999

Ao 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

N defamilias

128 253 378 503 628 753 878 1003 1128

2. Variacin de las ventas con respecto al precio de cierto artculo

Costo 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650

Venta 400 376 352 328 304 280 256 232 208

3. Los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para aos seleccionados

Ao 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos(millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15

4. Fraccin de artefactos que funcionan despus de t aos de uso

Aos de uso 1 2 3 4 5 6 7 8 9Fraccin de

artefactos quefuncionan

0.88 0.78 0.69 0.61 0.54 0.48 0.43 0.38 0.33

5. Nmero de computadores que ensambla un trabajador respecto al nmero de dasque lleva trabajando en una empresas de informtica

Das 1 5 10 15 20 25 30 45 60Nmero deComputadores

1 3 4 4.5 4.8 5 5.14 5.4 5.5

En forma de Diagramas de Vennson diagramas se muestran los conjuntos de partida yde llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entrestos, representadas por flechas de unin. Esta representacin slo es til en el caso deque los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos.


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Ejercicios

1. 2.

f es una funcin ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de B

El dominio de f: {1, 2, 3, 4}El Co-dominio de f {1, 4, 9, 16}El Recorrido de f{1, 4, 9, 16}Si en una funcin el co-dominio es igual alrecorrido se dicesobreyectiva

f es una funcin ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de B

El dominio de f: {1, 2, 3, -2}El Co-dominio de f {1, 4, 9}El Recorrido de f{1, 4, 9}

f essobreyectiva

3. 4.

f es una funcin ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 2, 3}El Co-dominio de f {1, 4, 9,16}

El Recorrido de f{1, 4, 9}f no essobreyectiva

f no es una funcin porque hay unelemento A que no tiene imagen en B

A B

1

2

3

4

1

4

9

16

A B

14

9

16

12

3

A B

1

2

3

-2

1

4

9

A B

12

3

14

9

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5. 6.

f no es una funcin porque hay unelemento A que no tiene dos imgenes enB

f es una funcin ya que a cada elemento deA le corresponde uno y solamente uno delos elementos de BEl dominio de f: {1, 4, 16}El Co-dominio de f {1}

El Recorrido de f{1}Si y=f(x)=k para cualquier valor de xentonces se dice que la funcin esconstante

En forma de Grficas cartesianas: Son grficas que se construyen a partir de dos ejes dereferencia llamados ejes de coordenadas, uno horizontal (eje de abscisas) y otrovertical (eje de ordenadas). Habitualmente, en el primero se colocan los valores de lavariable independiente como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes deizquierda a derecha; y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente,tambin como si se tratara de una recta real, ordenados y crecientes de abajo hacia

arriba. Los valores de ambas variables deben ser, pues, numricos.

Una funcin se caracteriza geomtricamente por el hecho de que toda recta vertical quecorta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. Si una recta toca ms de un puntode la grafica, esta no representa a una funcin.

Es funcin No es funcin Es funcin

x

y

x

y

x

y

f

A B

14

16

12

-2

4

f

A B

1

2

3

4

1


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Es funcin No es funcin Es funcin

Inyectiva sobreyectiva Inyectiva

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

f(x)=x^2, x>=0

Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que intercepte una grfica deuna funcin lo hace en un solo punto decimos que la funcin es inyectiva o uno a uno ysi la corta en ms de un punto se llama sobreyectiva

Si una funcin, como la que se muestraen la grfica, una parbola donde seconsidera nicamente la parte positivadel dominio, es inyectiva y sobreyectivase dice biyectiva


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Clculo diferencial

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Otra forma de representar una funcin es a travs de Frmulas que son expresionesalgebraicas (pueden incluir nmeros y smbolos literales) que expresan la relacinexistente entre las variables independientes y la variable dependiente.Segn las frmulas las funciones se clasifican en polnomicas o algebraicas y

trascendentes, Las polnomicas son las que se pueden representar mediante expresionesalgebraicas y pueden ser lineales, cuadrticas, cubicas, polinomiales, racionales,irracionales y por trozos (por seccin o por partes). Las trascendentes, se llaman as paradistinguirlas de las algebraicas, y son las logartmicas, exponenciales y lastrigonomtricas

Polnomicas

Lineales

Cuadrticas

Polinomiales

Racionales Irracionales

PolnomicasPor trozos, (por seccin opor partes )

Las trascendentes

Logartmicas log

Exponenciales

00.

Trigonomtricas cos

Esquemticamente

f

f:A B

f-1

f-1:B A

Funcin Inversa Dada la funciny=f(x) su inversaf- (x) se obtiene expresando la funcinx= g(y).

A B

x y=f(x)

B A

y=f(x) x


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Para hallar la inversa de una funcin se despeja la variable independiente de la funcinoriginal, para la inversa esta pasa a ser la variable dependiente. No todas las funcionestienen inversa.

EjerciciosObtener la funcin inversa de cada funcin1. y=4x + 1

Despejando Graficas

2. y=x2+1Despejando Grficas

3. Despejando Grficas

4. Despejando Grficas

5.

6. 7. 8.

x

y

y=4x+1

x=(y-1)/4x

y

y=x^2+1

x=(y-1)^(1/2)

x

yy=(x+3)/(x-2)

x=(3+2y)/(y-1)

x

y

y=(x-1)^(1/2)

x=y^2+1


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La grfica de una funcin par es simtrica respecto al eje de la ordenada (y) y la impar essimtrica respecto al origen

EjerciciosEn cada una de las siguientes funciones determine cuales son pares impares o ningunade las anteriores

1. f(x)=x2 Veamos si es parhallemos f(-x)=f(x)

Hagamos x=1entoncesf(-1)=f(1)como f(x)=x2(-1)2=(1)21 = 1Por lo tanto f(x)=x2es par

Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)Hagamos x=1entoncesf(-1)=-f(1)como f(x)=x2(-1)2=-(1)21 = -1Por lo tanto f(x)=x2no es impar

Grfica

2. Veamos si es parhallemos f(-x)=f(x)Hagamos x=1entonces

f(-1)=f(1)como ( )=()- 1 = 1

Por lo tanto no es par Veamos si es impar hallemos f(-x)=-f(x)

Hagamos x=1entonces

f(-1)=-f(1)como

( )= -()-1 = -1Por lo tanto es impar

Grfica

x

yy = x^2

x

y

Funciones Pares e ImparesSe dice que una funcin f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tieneque f(-x)=f(x). Se dice que una funcin f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tieneque f(-x)=-f(x).


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3. 4. f(x)=x35. f(x)=2x6. f(x)=4x2-2xEjerciciosVerificar en las siguientes grficas de funciones cul es par y cual impar

1. 2.

3. 4.

x

y

= 3x-x^3

x

y

x

y

y = 4x^5+3x^3-2x

x

y


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Races e Interceptos

EjerciciosHalle las races y los interceptos de cada funcin (si existen)

1. f(x) = x2-2x-3Para hallar las races hacemos f(x)=0entonces x2-2x-3=0Factorizando (x-3)(x+1)=0, entoncesx1-3=0 por lo que x1 =3y x2+1=0por lo que x2=-1Por lo tanto la funcin tiene dos racesque son x1 =3y x2=-1.

Para los interceptos hacemos x=0,remplazando en la funcin obtenemosf(0)=-3Por lo tanto la funcin tiene unintercepto en y=-3

Grfica

x

y

y = x^3-4x

Raices

x

y

y = x^3-6x+3

Intercepto

x

y

Raices

Interceptos

Los interceptos son los puntos para loscuales x=0, es decir los puntos donde la

curva corta al eje de la ordenada (y)

Las races o ceros son los puntos para loscuales f(x)=y=0, grficamente son lospuntos donde la grafica corta al eje de laabscisa (x). No todas las funciones tienenraces, puesto que puede haber curvasque no corten al eje "x".


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2. f(x)=x(x3-1)Para hallar las races hacemos f(x)=0entonces x(x3-1)=0Tenemos x1=0, x3-1=0 despejandox3=1, x2=1

Por lo que las races son x1=0 y x2=1Para los interceptos hacemos x=0,remplazando en la funcin obtenemosf(0)=-1 por lo tanto la funcin tieneun intercepto en y=-1

Grfica

3. f(x)=2x - 4 4. f(x)=x3+x2-12x 5. 6. f(x)=Ln(x-1)

x

y

InterceptosRaiz

(--1) (1, (-1,1)

Funcin Creciente y DecrecienteUna funcin es creciente en un intervalo si para todo para de puntos x1y x2 del intervalo,tal quex1< x2se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una funcin es creciente en un punto si alincrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta elvalor de la ordenada (y).

Una funcin es decreciente en un intervalo si para todo para de puntos x1 y x2 delintervalo, tal quex1 > x2se cumple f(x1) < f(x2). Es deciruna funcin es decreciente enun punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha)disminuye el valor de la ordenada (y).


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Acotada Superiormente Acotada inferiormente

Acotada No acotada

x

y(x,y) = (0,1)

Cota Superior

x

yy = x(x^3)

Cota Inferior

x

yy = 2^(1-x^2)

Cota Superior

Cota Inferior

x

yy = x(x^2-1)

Funcin Acotada

Una funcin f(x) es acotada superiormente si existe un nmero b tal que para todox, f(x) b. Al nmero b se le llama cota superior. Una funcin f(x) es acotadainferiormente si existe un nmero b tal que para todo x,fx b. Al nmero b se lellama cota inferior. Una funcin se dice acotada si lo est acotada superiormente yinferiormente, si existen dos nmero b y b tal que para todo x , b fx b


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Una funcin es CNCAVA o presenta suconcavidad hacia abajo cuando dados dos

puntos cualesquiera el segmento que los unequeda por debajo de la curva.

Concavidad y Convexidad

Los puntos en los que la curvatura pasa de cncava a convexa o viceversa se llamanPUNTOS DE INFLEXIN.

Dominios y Rangos

Las funciones reales tienen como dominios y rangos los nmeros reales. Si no seespecifican el dominio y el rango de una funcin, se supone que el dominio consiste en

todos los nmeros reales (valores de x) que dan como resultado salidas reales (valoresde y), haciendo que el rango sea subconjunto de los nmeros reales.En las funciones de estudio, si el dominio no est especificado, incluir todos los nmerosreales excepto:

Valores que tienen como resultado un denominador igual a cero. Valores que dan como resultado una raz par de un nmero negativo. Valores que dan como resultado el logaritmo de un nmero menor o igual a cero.

EjerciciosEncuentre el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:

1. Como la funcin se hace indeterminada si eldenominador es igual a cero

0

x

y

Concava

x

y

Convexa

Una funcin es CONVEXA o presenta suconcavidad hacia arriba si dados dos

puntos de la curva el segmento que los unequeda por encima de la curva.


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Despejamos x Si remplazamos x en la funcin original

obtendremos 0

Quiere decir que el dominio de f(x)es: Dom [ ]=R-{ }2.

Como la funcin se hace indeterminada si elradicando es menor que cero

0Despejamos x

Quiere decir que el dominio de f(x)es: Dom [ ]=R- 3.

Como la funcin se hace indeterminada si eldenominador es igual a cero y si el radicandoes menor que cero

0Despejamos x

Quiere decir que el dominio de f(x)es: Dom [ ]=R-[]4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ejercicios1. Si f(x)= 3x + 1 entonces

Notacin FuncionalPara indicar queyes una funcin de x, la funcin se expresa con fy escribimos y=f(x).

Estoseleeyes funcin de x

oyes igual a fde x

.Paravaloresespecficossex, f(x)

representa los valores de la funcin (es decir la salida o valores dey).


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a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7

b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8

2. Si g(x) = 2x2 4x + 2 entoncesa. g(1) = 2(1)2 4(1) + 2 = 2(1) 4 + 2 = 2 4 + 2 = 0b. g(-2) =2(-2)2 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 4a + 2d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2

3. Determine f(x + h) si

a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + hb. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1

c. f(x) = x2 x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 (x + h) + 2d. f(x) =

entonces f(x + h) = Ntese que donde esta x se escribe x + h

4. Encuentre cuando h=0 si

a. f(x)= 2x

Remplazamos b. f(x) = x2

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Simplificado Factorizando


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Simplificando Como h= 0 remplazando

Ejercicios

1. Si R(x) = 8x - 10encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6)2. Si H(x) = 9x22xencuentre H(3), H(1/6)3. Si f(x) = 100xx3encuentre f(-1), f(-3/2)4. Si C(x) = x34/xencuentre C(-1/2), C(-2)

EjerciciosEncuentre

cuando h=0 si1. f(x) = x + 12. f(x) = 3x + 23. f(x) = 3x24. f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a + b)3

Problemas1.El costo total de fabricar un producto se determina por medio de

C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dlares, donde x representa el nmero de unidades producidas. Determine el costo deproducir 10 y 100 unidades. Qu encuentra?

Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en laecuacin de costos total C(x)

C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210

Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dlares.

Para 100 unidades x=100

C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200

Producir 100 unidades cuesta 32 200 dlares


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Se encuentra que es ms econmico producir 100 unidades que 10. Porque elproducir 10 unidades producir una unidad costara 421 dlares y si se producen 100unidades el valor de la unidad sera 322 dlares

2.Un estudio de eficiencia realizado por una compaa mostr que el nmero deWalkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciadosu jornada a las 8:00 a.m. esta dado por

N(t) = -t3 + 6t2 + 15t 0tCuntas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00?y entre las 9:00 y 10:00? Qu encuentra?

3.Suponga que la demanda de qunidades de un producto cuyo precio es p dlares porunidad se describe por medio de 00

a. Determine el precio si se demandan 4 y 8.b. Compare los resultados qu encuentra?

4.Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual decapacidad de produccin entre 1994 y 2000 est dado por

f(t) = 0.0094t30.4266t2+2.7489t + 5.54, donde f(t) es un porcentaje t y se mide en aos, donde t = 0 corresponde a 1994.Cul es el incremento en la capacidad de produccin en 1996, 2003 y 2004 Quencuentra?

5.Las ganancias anuales brutas de cierta compaa fueron

0miles

de dlares t aos despus de su formacin en enero de 1993. Cules fueron lasganancias brutas obtenidas en los aos 1997 y 2008?

6.La funcin demanda para la lnea de laptops de una compaa electrnica es p=24006q, en donde p es el precio por unidad (en dlares) cuando los consumidoresdemandan q unidades (semanales)a. Obtenga p para q igual a 300, 400 y 500b. Qu significa cada expresin?c. Compare e intrprete los resultados

7.

Suponga que el costo (en dlares) de eliminar ppor ciento de la contaminacin de laspartculas de las chimeneas de una planta industrial se determina por medio de

p

ppC

100

7300)(

Encuentre los valores de eliminar el 45, 90, 99 y el 100 por ciento de la contaminaciny haga un anlisis de los resultados


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8.El costo (en dlares) de eliminar el x% de la polucin del agua en cierto riachuelo estdada por

C(x)=

(0 x 00)

a. Hallar el costo de eliminar la mitad de la polucinb.Evaluar el costo de eliminar el total de la polucin

9.Suponga que el costo C de obtener agua de un arroyo que contiene p porciento deniveles de contaminacin se determina mediante

000 0Determine el costo de obtener agua con el 90, 100 y 0 por ciento de niveles de

contaminacin

EjercicioDados f(x)y g(x)encuentre:

(f + g)(x),

(g - f)(x),

(g * g)(x),

(f g)(x),

(f g)(x)

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1

f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x( 3x + 1) =2x3x1 = -x1f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2+ 2x

f(x) f (x) = (f g)(x) =, si la expresin no es factorizable y/o

simplificable se deja indicada(fg)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2

Ntese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1

Algebra de FuncionesSi fygfunciones se define:

a. Funcin suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x)b. Funcin diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x)c. Funcin producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x)d. Funcin cociente: f(x)g(x) = (fg)(x)e. Funcin compuesta: f(x) o g(x) = (f o g)(x) = f [g(x)]


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2. f(x) = x2 y g(x) = x - 1f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2+ x - 1

f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2( x - 1) = x2- x + 1

f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x1) = x3x2f(x) f (x) = (f g)(x) = ,(fg)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2= x2 + 2x - 1

Ntese que donde esta x en f(x) se remplaza por x1

3. f(x) = x + 5 y g(x) = x24. f(x) = x2- 2 y g(x) = 2x + 45. f(x) = x35 y g(x)=2x316. f(x) = x2+ 5 y g(x) =

- 2

7. f(x) = y g(x) = Problemas1.Suponga que el ingreso R(en pesos) de una compaa por la venta de xunidades de

su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) deproducir esas xunidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la funcin ganancia de la

produccin y la venta de xunidades.

Por definicin G(x) = R(x)

C(x) remplazando

G(x) = 215x(65x + 15 000) = 215x65x15 000

La funcin ganancia sera

b.Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. Quencuentra?

Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) 15 000 = 135 000Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) 15 000 = 0Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10)

15 000 = - 13 500

Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidadesno deja utilidad pero tampoco prdida; 10 unidades deja una prdida de $13 500

2.El ingreso total r que se recibe por la venta de q unidades, esta dado por la funcin g,donde r= g(q) =40q. El nmero total de unidades de produccin por da q, es unafuncin del nmero de empleados m, donde

G(x) = 150x - 15000


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0 Determine (g o f) qu encuentra?

3.El gasto del consumidor (Gc) por artculo es el producto de su precio en el mercadop(en dlares) y el nmero de unidades demandadas. Suponga que para cierto artculo,las unidades demandadas estn dadas por la funcin U(x)= 10 00010pa. Encontrar una expresin que determine el gasto del consumidor

Por datoGc = p * U(x) = p * (10 00010p)

La expresin del gasto del consumidor sera

b.Determinar el gasto del consumidor por artculo cuando el precio de mercado esde 20 y 30 dlares.

Para p= 20; Gc = 10 000(20) 10(20)2 = 196 000Para p = 30; Gc = 10 000(30) 10(30)2 = 291 000A un precio de 20 dlares el gasto de consumidor es de 196 000 dlares y a 30dlares el gasto es de 291 000 dlares, por lo tanto a menor precio menor es elgasto del consumidor

4.Los costos totales por la produccin de cierto artculo en el instante t son f(t)dlares. El nmero de productos fabricados en el instante tes g(t)qu representaf(t)/g(t)?

5.El nmero de acciones que tiene una persona est dado por f(t). El precio de laaccin en el instante tesg(t)miles de pesos qu representa la expresin f(t)*g(t)

6.Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer restauranteen el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo restaurante en elinstante tesg(t)miles de pesos qu representa la funcin f(t) + g(t)

7.Los ingresos de una empresa estn dados por f(x)dlares, donde x son los gastos depublicidad por parte de la empresa en dlares. La cantidad invertida en publicidad

por la empresa en el instante t est dada porg(t)dlares Qu representa la funcinfg

8.El costo promedio por unidad de una compaa cuando se producen x unidades sedefine como:

Gc = 10 000p10p


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Suponga que el costo total de una compaa se obtiene

0000

a. Encuentre una expresin que determine los costos promediosb.Determine los costos promedios para una produccin de 10 y 100 unidades.

Qu encuentra

9.Suponga que la ganancia de la produccin y la venta de xunidades producidas en unda de un producto se determina por medio de P(x) = 180x - 0.01x2 -200. Adems elnmero de unidades producidas en el da tdel mes es x = 1000 +10t. Encuentre

a. La funcin compuesta (P o x)(t)b. El nmero de unidades producidas y la ganancia del da 15 del mes es

10.El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos modelo de lujo en una funcin delprecio sta dado por I = 300p 2p2 y la funcin demanda es p= 150 q/2.Encuentre

a. La funcin compuesta (I o p)(q).b. Determine el ingreso si se demandan 100 y 200 unidadesc. Compare los resultados que encuentra


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GRFICA DE FUNCIONES

Es posible ilustrar geomtricamente las relaciones y funciones al trazar sus grficas enun sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (plano cartesiano)

El plano Cartesiano es un rea que permite representar grficamente relaciones yfunciones en dos dimensiones. Est formado por dos rectas perpendicularesdenominadas ejes que se cortan en un punto llamado origen, los ejes dividen el plano encuatro partes llamadas cuadrantes. La recta horizontal se denomina abscisa(generalmente eje x) y la vertical la ordenada (generalmente eje y), del punto deinterseccin hacia la derecha la abscisa es positiva y hacia la izquierda es negativa, delpunto de interseccin hacia arriba la ordenada es positiva y hacia abajo es negativa.

Cada punto en el plano se forma con la interseccin de una coordenada de la abscisa conuna de la ordenada y se representa con una pareja ordenada (a,b), donde la primeracomponente representa la coordenada de la primera y la segunda la coordenada de lasegunda.

Ejercicio. Dibuje un plano cartesiano y ubique cada uno de los siguientes puntos: A(-3,5),B(-1,-4), C(5,-1), D(4,3),E(0,-2),F(4,0)

Si fes una funcin con dominio A y co-dominio B, entonces a cada x A le correspondeprecisamente un nmero real f(x) B. Esto se puede expresar tambin como parejasordenadas de nmero reales. Se escriba a xde A como primera componente y f(x)de Bcomo segunda componente es decir (x, f(x)) o (x, y).

La grfica de una funcin resulta cuando se trazan los puntos que representan elconjunto de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuacin de la funcindada


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La grfica de una funcin nos puede suministrar informacin de esta como por ejemplo:su tipo, para que intervalos es creciente, decreciente constante, los puntos mximos,mnimos, interceptan los ejes coordenados, indeterminados

Ejercicio Grafique cada funcin en el intervalo indicado1. f(x)=2x+1 en [0,3]2. f(x) = x2 + 1 en [-3,3]3. f(x)=x3 6x2 en [-4,4]4. f(x)=

en [-4,4]5. f(x)= en [-1,3]6. f(x)=ln(2x+1) en [1,4] Si x < 17.e. j(x)=

2x2 + 1Six

Grafica de una Funcin con Tecnologa

Con Excel 20071. Entre a Excel2. En la celda A1 , Digite la variable independiente (x)3. En las celdas B1 y C1 digite dos valores cualesquiera para el dominio. Entre ms

valores digite podr obtener un mejor grfico.4. En A2 digite la variable dependiente (y)5. Despeje la ecuacin en funcin dey y digtela B2 como frmula Excel, debe tener

en cuenta que donde va x en la ecuacin debe ir B1 .6. Cpiela para obtener el o los dems valores para el co-dominio.7. Seleccione el rango8. Del men Insertar seleccione el tipo de grfico Lnea y escoja la opcin lnea.9. Seleccione el grfico, pulse el botn derecho del mouse y seleccione Seleccionardatos.10.En la ventana Etiquetas del eje horizontal (Categoras) , pulse el botn Editar,

seleccione los datos de x , y pulse Aceptar.11.En la ventana Entradas de leyenda (Series) escojax y pulse el botn Quitar, pulseAceptar.12.Para ubicar el grfico en otra hoja pulse el botn Mover grfico (Ubicacin) y

escoja Hoja nueva.13.Para modificar cualquier rea (de grfico, de lnea de trazado o la de serie de

datos) seleccione el rea a dar formato, pulse el botn derecho del mouse y escojala opcin de formato.

Con el Maletn del Estudiante de Microsoft Encarta1.Entre al el Maletn del Estudiante de Microsoft Encarta


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Para escribir una etiqueta del men Btns selecciona la opcin texto en lagrfica pulsa el botn derecho del mouse, digita el texto o etiqueta y pulsaok, para cambiarla de posicin la arrastra con un clic sostenido.

Modificar Coordenadas men ver opcin ver, active la opcin esquinas yAjuste

Ocultar coordenadas en la ventana de ver cuadrcula desactivar lasopciones escala

Para marcar una interseccin entre dos curvas de la carpeta Dos seleccioneInterseccin seleccione las curvas a las cuales desea marcar lasintersecciones y pulse marcar punto, si existe otras intersecciones pulsesiguiente interseccin y vuelva a pulsar marcar punto para finalizar pulsecerrar

Para dibujar la inversa de una funcin, inicialmente se dibuja la funcin, delmen Una selecciona reflejar activa las opciones x=y y mostrar recta, parafinalizar pulsa reflejar

Para sombrear un rea especfica del men Ecua seleccione la opcinSombreado activa la opcin encima, debajo o entre, si va a sombrear entredos funciones, digite el rango o intervalo a sombrear, seleccione el color ypulse sombrear


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TALLER DE GRFICOSResponda cada pregunta respecto a la grfica en cada situacin particular

1.El propietario de una construccin de 36 millones de pesos, la deprecia. El valor y(dado en millones de pesos) de la construccin despus de x meses de uso esy= 360.15x.

a. Cul es el valor de de lapropiedad a los 60 meses deuso?

b. Cul es el valor de de lapropiedad los 10 aos de uso?

c. Cuntos aos pasan para que lapropiedad se deprecie porcompleto? Explique

2.La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender xunidades de ciertoproducto est dada por

P(x)=60x x2a.

Cul es la mximaproductividad que se puedeobtener?

b. Para qu intervalo la funcincreciente y para cul esdecreciente? qu decisintomara al respecto?

c. Cul es la mxima cantidadde unidades que puede

producir? Justifique surespuesta

x

y Valor(Millones de Pesos)

Meses

x

y

y = 60x-x^2

Utilidad

Unidades Producidas


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3. Suponga que el ingreso por la venta de cierto producto est dado porR(x) = 70x + 0.5x2 0.001x3

a. Cul es el ingreso si

se venden 100unidades?

b. Para qu intervalola funcin crecientey para cul esdecreciente? De unaexplicacin

c. Cul es el mximoingreso que se puede

obtener?

d. Cul es la mximacantidad que sepuede vender?Explique

4. Un estudiante adquiere gran nmero de conocimientos durante el repaso para unexamen. En un tiempo de t semanas despus del examen el porcentaje de esosconocimientos que el estudiante es capaz de recordar est dado por

Pt00e0.te0.t a. A la semana qu

porcentaje deconocimientorecuerda?

b. En cuntos mesesrecuerda el 40% del

conocimiento?

c. Escriba 2comentarios de lasituacin presentada

x

y

(x,y) = (614,0)

Ingreso

Cantidad Vendida

x

y

Conocimientos Recoordados

Semanas


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5. Suponga que la oferta de xunidades de un producto a un precio pde dlares estadado por

P = 10 + 50 ln(3x + 1)a. cul es el precio si

se ofertan 10unidades?

b. Cuntas unidadesse deben ofertar aun precio de $260dlares?

c. Escriba 2comentarios de lasituacin

presentada

6. Las ventas y ( en miles de dlares) se relacionan con los gastos de publicidad x (en miles de dlares) segn

yx 00xx0 a. cul es el volumende ventas si seinvierten 10 mildlares enpublicidad?

b.Cunto se debeinvertir enpublicidad paraobtener 150 mildlares en venta?

c. Escriba 2comentarios de lasituacinpresentada

x

y

Unidades

Precio

x

y

Volumen de Ventas

Gastos de Publicidad (Miles de Dlares)


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FUNCIN LINEAL

La grfica de una funcin lineal es una lnea recta

Ecuacin de la RectaToda funcin de la formay= mx +b, es una funcin lineal donde

, b es la ordenada en el origen (coordenada donde la recta corta al eje y)y, m se denomina lapendientey es el ngulo de inclinacin de la recta respecto al eje laabscisa (x). La pendiente muestra el nmero de unidades que varia y por cada unidadque vara x, es decir si m=10, indica que por cada unidad que varia x y varia 10unidades

En economa se considera la funcin costo como una funcin del tipo lineal, es decir,su representacin grfica ser una lnea recta y se representa matemticamentecomo:

Costo Total = Costos Variables (N de Productos) +Costos Fijos

Es decir: Los Costos Variables (son aquellos que dependern directamente del nivel

de produccin: la mano de obra y la materia prima entre otros) representan lapendiente y los Costos Fijos (gastos por luz, agua, telfono y alquiler de local) laordenada en el origen.Lapendiente de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1)y (x2, y2)est dada por:

m = y2y1x2x1

Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La recta esta inclinada hacia la derecha. m < 0:La recta esta inclinada hacia la izquierda

m = 0:La recta es paralela al eje de la abscisa. Si mes indeterminada la recta es paralela al eje de la ordenada.

Dos rectas sonparalelassi sus pendientes son iguales y dos rectas sonperpendicularessi el producto de sus pendientes es igual a -1.

La ecuacin de la recta que tiene como pendiente m y pasa por el punto (x1,y1)es:

Una funcin lineal es aquella que cambia a una tasa constante con respecto a suvariable independiente


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yy1 = m(x2x1)

La ecuacin de la general de la rectaest dada por:ax + by + c = 0

Ejercicios1. Encuentre la pendiente (m) el intercepto (b)y las grafique cada una de las siguientes

funciones:a. y = 2x + 1b. y = -2x 1c. 3x + 4y = 12d. 2x 3y = 12

2. Encuentre la ecuacin de la funcin que pasa por los puntos:

a.(2,1) y (3,-4)b.(3,2) y (-4,2)c.(3,4) y (3,-1)

3. Escriba la ecuacin y trace la grfica de cada funcin que:a. Tiene como pendiente -2 en intercepto 3b.Pasa por el punto (2,0) y tiene pendiente -2c. Pasa por el punto (-1,3) y tiene pendiente -2.d.Pasa por los puntos (3,2) y (-1,-6)

4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ningunade las anteriores:

a. 3x + 2y = 6; 2x 3y = 6b. 5x 2y = 8; 10x 4y = 8

5. Escriba la ecuacin de la recta que:a. Pasa por (-1,2) y es paralela a 3x + 2y = 1.b. Pasa por (1,3) y es perpendicular a 3x + y = -1.

Problemas1. La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal, si se sabe que a un

precio de $ 5000 la unidad se demandan 4000 unidades y por cada $1000 que serebaje en el precio, la demanda crece en 500 unidades

a. Halle la pendiente qu significa?


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Como el precio depende de la demanda, las parejas ordenadas tendran laforma (precio, demanda),

, es decir, x representa el precio y las unidades demandadas, por datospodemos considerar una primera pareja (5000, 4000) donde x1=5000 y

y1=4000 y una segunda pareja (4000, 4500) donde x2=4000 y y2=4500

Como sabemos que la pendiente es: 00000000000 00000 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuyela mitad.

b. Halle la ecuacin de la demandaComo se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuacin

, remplazando 000 000 000 00 00000 00c. Grafique la funcin

Ubicamos los puntos (5000, 4000) y (4000, 4500) y trazamos la recta que

corte los dos ejes coordenados

d. Cul es el valor de la ordenada en el origen y qu significa?

x

y

Precio

Unidades Dem andadas


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Por ecuacin y grfica la ordenada en el origen (b) es de 6500, es decir a $0 sedemandan 6500 unidades

e. Qu precio mximo estara dispuesto a pagar?

Por grfica $13000, para precio superior a este las unidades demandas serannegativasAnalticamente tendramos que hacer y=0 y remplazar en la ecuacin, as:0 00, despejando 0000 000000

f.Para un precio de $ 4500, cul sera la demanda?Aqu x=4500 remplazando en la ecuacin 00 000000

, a $4500 se demandaran 4250 unidades

g. Para una demanda de 5240 unidades, cul debe ser el precio unitario?Aqu y=5240 remplazando 0 00, despejando

000 0 0 00, es decir, que para demandar 5240 el precio unitario tiene que ser de $2520

2.Un taxista tiene un cobro fijo de $ 1 500 y cobra, adems, $ 800 por cada Km.recorrido. Suponiendo que la funcin es lineal, determine:

a. La ecuacinCosto Total = Costos Variables (N de Productos) +Costos Fijos

Relacionamos el Costo Total como y los kilmetros recorridos (N de productos)como x, por datos

Costos Fijos (Cobro fijo)=1 500


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Costos Variables (Cobro por Km recorrido)=800Remplazando y = 800x + 1500

b. Cul ser el valor de un servicio si se desplaza 5 kilmetros?x = 5 entonces, y = 800(5) + 1500y=4000+1500y=5500Un servicio que realice un desplazamiento de 5 Km costar $5 500

c. Con $7 900 que distancia se puede desplazar?y = 7 900 entonces, 7900 = 800x + 1500

7900 - 1500= 800x6400= 800x00

00 =xX=8

Con $7900 se puede desplazar 8 Km.

3.Un pequeo fabricante de electrodomsticos encuentra que le cuesta 9 000 dlaresproducir 1000 hornos para tostar y 12 000 dlares producir 1 500 hornos porsemana. Suponiendo que la funcin es lineal determine:

a. La expresin que representa el costo en funcin del nmero de hornosLas variables que participan en el problema son el costo, que representaremoscon la letra c y el nmero de hornos, que representaremos con la letra x . Si elcosto est en funcin del nmero de hornos, las parejas ordenadas son de laforma (x, c)Por dato tenemos dos parejas ordenadas (1 000, 9 000) y (1 500, 12 000) .Hacemos x1=1000, c1= 9 000, x2=1 500 y c2=12 000, hallamos la pendiente:

00000000000

00000

Entonces Remplazando en la ecuacin obtenemos:000000000000 Por lo tanto la expresin que representa la funcin es


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Costo(c)

Nmero de Hornos x

b. Grafique la funcin

c. Cul es la pendiente de la funcin? qu significa? La pendiente es m=6 ysignifica que por cada horno que se incremente en la produccin los costos seincrementan en 6 dlares.

d. Cul es la ordenada en el origen? qu significa? La ordenada en el origen esb=3000, significan los costos fijos

Cunto cuesta producir 500 hornos? La funcin es

, donde x=500, remplazando Por lo tanto producir 500 hornos costara 6000 dlares

e. Cuntos hornos se pueden producir con 15 000 dlares? En la ecuacin, c=15 000, remplazando

Con 15 000 dlares se pueden producir 2000 hornos

4.El costo de un artculo disminuye de acuerdo con el nmero de artculos producidos.La relacin entre el costo del artculo y la produccin genera una funcin lineal. Encierta empresa si se producen 350 artculos la produccin de cada artculo cuesta$993 y si se producen 500 el costo es de $990.c. Halle la funcin costo


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12.El gobierno determina que el costo de un pasaje en bus depende directamente dedistancia recorrida. Un recorrido de 2 millas cuesta $8 000 mientras que uno de 6$12000. Suponiendo que la funcin es lineal, determinea. La ecuacin

b. El precio de un viaje de 8 millasc. Qu distancia se recorre con $25 000?

13.A un precio de $10 dlares por unidad una compaa proveer 1 200 unidades de suproducto y a $15 dlares, 4 200. Suponiendo que la ecuacin es lineal, determinea. La ecuacin de la ofertab. En $20 dlares cuntas unidades proveer?c. Si se desea proveer 5 000 unidades a cmo debe vender?

14. Una mquina se adquiere por $12 000 000 y se pronostica un depreciacin linealtotal en 15 aos hallar

a. La ecuacinb.El valor de la mquina en 7 aos

15.No existe demanda para cierto artculo cuando el precio unitario es de 200 dlares oms pero por cada 10 dlares que disminuye su precio por debajo por debajo de 200,la cantidad demandada se incrementa en 200 unidades. Determina la ecuacin de lademanda, trace su grfica, determine la demanda cuando el precio es de 150 dlares ya qu precio se demandarn 2000 unidades

16. Una impresora costo $100 000 y se deprecia en forma lineal durante 5 aos, con unvalor de $30 000. cul es la expresin de la funcin de costo de la impresora? Cul

es el valor de la impresora en su segundo ao? cunto tiempo debe pasar para quela impresora se deprecia por completo?

17. Un fabricante de cortinas encuentra que el valor de produccin de una cortina es de$1850 y por cada cortina que se produce el costo se incrementa en $44.5. Halle elcosto de produccin de 10 y 100 cortinas, compare los resultados qu encuentra?

18. Si no hay demanda para cierto artculo el precio unitario es 17 dlares y por cadaunidad que se incrementa la demanda el precio disminuye 0.5 dlares.a. Escriba 5 parejas ordenadas que cumplan con la situacin particularb. Suponiendo que la funcin es lineal Halle la ecuacin de la funcin

c. cul es el precio si se demandan 10 unidades?d. Cul es la mxima cantidad de unidades que se puede demandar?e. Grafique la funcinf. Suponiendo que la ecuacin oferta del mismo producto es p=5+0.3x, grafquela

en el mismo plano a la anterior


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TALLER1. Encuentre la pendiente (m), el intercepto (b) y las grficas de las siguientes

funciones:

a. y =-3x + 2b.y = 4x 1c. 10x + 5y =152. Encuentre la ecuacin de la funcin que pasa por los puntos:

a. (5,-9) y (6,8)b. (8,8) y (4,-4)

3.Escriba la ecuacin y trace la grfica de cada funcin que:a. Tiene como pendiente -3 e intercepto -1b. Tiene como pendiente 4 y pasa por el punto (-3,2)

c. Pasa por los puntos (-1,5) y (3,7)d.Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuacin y = -x + 7.

4. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ningunade las anteriores:

a. 6x 4y = 12; 3x 2y = 6b. 16x + 4y = 4; y=

x + 75. El costo diario promedio, C, para un cuarto en un hospital de una ciudad se elevo de

$59.82 dlares por ao en 1990 a $1128.50 en 1996. Suponiendo que la funcin eslineala. Determine la ecuacin del costo (c) respecto al nmero de aos (t) desde 1990.b. Calcule el costo promedio, aproximado, para el 2010

4. El precio promedio p de los televisores de plasma se puede expresar como unafuncin lineal del nmero de aparatos vendidos N (en miles). Adems, conforme Naumentaba en mil, pcaa US$10.40 y cuando se vendan 6485 aparatos (en miles), elprecio promedio por aparato era de US$504.39. Escriba la ecuacin de la rectadeterminada por esta informacin.


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FUNCIN CUADRTICALa ecuacin general de una funcin cuadrtica tiene la forma

y = f(x) = ax2

+ bx + c,

, donde a, b y cR y a 0. La grfica de la funcin cuadrtica tiene una forma distintivallamada parbola.Si a> 0, la parbola abre hacia arriba y si a< 0, abre hacia abajo.

La lnea vertical que pasa por el vrtice de una parbola recibe el nombre de eje desimetra porque una mitad de la grfica es un reflejo de la otra mitad a travs de estaotra lnea. La ecuacin del eje de simetra es

a

bx

2

El valor ptimo (ya sea mximo o mnimo) de la funcin se alcanza en

a

bx

2y es:

a

bf

2.

x

yy = -x^2+2x+1

a < 0

x=-b/2a

f(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))

Mximo Relativo

Eje de Simetra

Valor ptimo

x

yy = x^2+2x-1

a > 0

x=-b/2a

Eje de Simetra

Valor ptimo

f(-b/2a)V(-b/2a, f(-b/2a))

Mnimo Relativo


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20 = a(3)2 + b(3) + c20 = 9a + 3b + c (Ec3)

Para (-2,5); x = -2; y = 5, remplazando (Ec1)5 = a(-2)2 + b(-2) + c

5 = 4a - 2b + c (Ec4)

Multiplicamos la (Ec2) por -1; -8 = -a b c (Ec5)Sumamos la (Ec3)y la (Ec5); 20 = 9a + 3b + c

-8 = - a bc12 = 8a + 2b

Factorizando: 6 = 4a + b (Ec6)

Sumamos la (Ec4)y la (Ec5); 5 = 4a - 2b + c-8 = - a bc

-3 = 3a - 3bFactorizando: -1 = ab (Ec7)

Sumando la (Ec6) y (Ec7): 6 = 4a + b-1 = ab

5 = 5a despejando

Remplazando en la (Ec6): 6 = 4(1) + b despejando y resolviendo

Remplazando en (Ec2): 8 = 1 + 2 + c despejando y resolviendo

Remplazando en (Ec1) la ecuacin sera:

EjerciciosDetermine las ecuaciones cuadrticas que pasan por los puntos indicados:

(1,0) (-2,6) y (2,6) (1,-1) (-3,33) (2,-8) (0,-4) (3,5) y (-2,0)

ProblemasResuelva cada uno de los siguientes problemas:

1.Una tienda vender y unidades de un producto en particular cuando se gastan xdlares en publicidad del producto, y

y = 50xx2

a = 1

b = 2

c = 5

y = x2+ 2x + 5


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a. Calcule el valor ptimo Qu significa?

Inicialmente debemos hallar el eje de simetra x-b

a

Comparando con y= ax2 + bc + c; a=-1, b=50 y c=0

Remplazando:x

b

a

0

0

Remplazando en la funcin original:

y = 50(25)(25)2=1250625= 625

Como a


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Modelacin de Funcin Cuadrtica1.La siguiente tabla da los ingresos totales de una empresa de comunicaciones para

aos seleccionados

a. Encuentre la ecuacinb.Use la funcin para encontrar el ao en que el ingreso fue mnimo y encuentre el

ingreso mnimo.c. Compruebe los datos contra los datos de la tablad.Trace la grfica

2.Los datos de la tabla dan los ingresos de las ventas as como los costos de un empresapara varios aos

a. Encuentre las ecuaciones: De ingreso por venta con respecto al nmero de aos De costos y gastos con respecto al nmero de aos

b. Use la funcin para: Determinar el ao en que ocurre el ingreso mximo y la ganancia mxima que

se pronosticac. Trace la grfica de la funcin Costos y Gastosd.A lo largo de los aos 2000 al 2010 La funcin proyecta ganancias crecientes o

decrecientes?

Funciones con TecnologaUtilice la hoja de clculo Excel para representar, tabular y graficar cada una de lassiguientes funciones:

f(x)=x2+2x+1 f(x) = 2x2+1 f(x) = 3x2+ 2x

Ao 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingresos(millones)

63.13 69.9 60.53 61.1 62.19 63.08 64.9 67.15

Ao 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

Ingreso

x venta

2.6 2.7 2.9 3.3 3.9 4.5 4.8 5.1 4.9 4.7

Costos y

gastos

2.41 2.44 2.63 2.94 3.53 3.81 4.25 4.87 4.9 4.9


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FUNCIN POLINMICA DE GRADO SUPERIOR A DOS

Los nmeros an, an-1, ..., a1, a0 se llaman los coeficientes de la funcin.En la Economa...Un investigador suele expresar: el consumo en funcin del ingreso, tambin la oferta enfuncin del precio, o el costo total de una empresa en funcin de los cambios deproduccin, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cmo se comporta unavariable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables.Problemas1.Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio ( en

dlares por unidad) est dado por 0 00 , donde q 0a. Halle la funcin costo totalb.Calcule el costo total de producir 4, 5, 7 y 9 unidadesc. Interprete los resultados

2.Un empresa fabrica mesas para computador y determina que el costo total (en miles

de pesos), cuando se producen que cientos de unidades est dada por

C(q)= 2q- 9q +12 q + 20a. Calcule el costo de producir 100 (q=1), 300 (q=3) y 500 (q=5) unidades qu

encuentra?

b. Grafique la funcin en el intervalo [0,5]

3. Un estudio de tiempo mostr que, en promedio, la productividad de un trabajadordespus de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de

0 Donde P es el nmero de unidades producidas por hora. Calcule la productividaddespus de 1, 3, 5, 7 y 9 horas trabajo. Compare los resultados qu encuentra. Grafiquela funcin

La funcin P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 donde an es diferente de cero, seconoce como una funcin polinmica de n-simo grado.


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Problemas1. Inters compuesto capitalizado Si se invierten P dlares a una tasa de inters anual r

(expresada en decimal) y el inters se capitaliza k veces por ao, el saldo B(t)

despus de t aos ser Supngase que se invierten us$5 000 a una tasa de inters anual del 10%. Calcular elsaldo despus de 10 aos si el inters se capitaliza: Anualmente, Semestralmente ydiariamente (365 das) Qu encuentra?

2. Inters capitalizado continuamente Si se invierten P dlares a una tasa de intersanual r (expresada en decimal) y el inters se capitaliza continuamente, el saldo B(t)despus de t aos ser

Supngase que se invierten us$5 000 a una tasa de inters anual del 10%. Calcular elsaldo despus de 10 aos si el inters se capitaliza continuamente

3. Supngase que se invierten 5 millones de pesos a una tasa de inters anual del 7%.Calcular el saldo (en millones) despus de 10 aos si el inters se capitaliza:Anualmente, Semestralmente, diariamente y continuamente (365 das) Quencuentra?

4. Si se prestan P dlares durante N meses, con capitalizacin mensual a una tasa deinters anual r (expresada en decimal), el prstamo puede pagarse con cuotamensual de

, donde i es el pago del inters por periodo.Determinar la cuota mensual para comprar un automvil nuevo que cuesta 35millones de pesos, si la cuota inicial es de 10 millones y el resto se financia a unperiodo de 5 aos a una tasa anual de 6% capitalizada mensualmente (ntese quei=

. )5. Para comprar una casa se hace un prstamo de 150 millones de pesos al 9% de

inters anual, capitalizado mensualmente durante 30 aos cunto debe pagarsemensualmente para amortizar la deuda?

6. Si se invierten $10.000 con una tasa de inters del 6% compuesto mensualmente,entonces el valor futuro de la inversin despus de x aos esta dado por0000.00. Encuentre el valor futuro de la inversin despus de 5 aos yde 30 aos.


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7. El porcentaje de personas que repondieron a un comercial televisivo para un nuevoproducto despus de t das despus del lanzamiento, se encuentra con la expresin000.a. Calcular el porcentaje de personas que respondieron al comercial 15 das despus

del lanzamiento del comercial.b.Cuntos das deben pasar para que responda el 50% de las personas

8. Un estudio estadistico acerca del funcionamiento de un artefacto, muestra que lafraccin de estos que funcionan despus de taos de uso es aproximadamente .a. Qu porcentaje de artefactos se espera funcionen despus de 4 ao?b. Cuntos aos pasaran aproximadamente para funcionen la mitad de los

artefactos?

9. Una compaa ha visto que la demanda mensual de su nueva lnea de computadoras

domesticas tmeses despus de introducirlas en el mercado est dada porD(t)= 2 0001 500e-0.05t (t > 0)

Grafique la funcin y respondaa. cul es la demanada despus de un mes y un ao?b. cunto tiempo debe pasar para que se demanden 1 000 unidades.

9. El poder adquisitivo Pde un ingreso fijo de $30 000 anuales (como pensin) despusde taos, con una inflacin de 4% puede modelarse por medio de la frmula0000.Encuentre el poder adquisitivo despus de 5 aos y 20 aos

10. El nmero de fondos mutuos N, excluyendo los fondos del mercado monetario, paralos aos seleccionados de 1978 a 2000, se pueden modelar por medio de.Donde t es el nmero de aos que han pasado desde 1975.a. Use el modelo para calcular el nmero de fondos mutuos en 1990b.Use el modelo para calcular el ao en que el nmero de fondos mutuos

llegar a 20 000.


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FUNCIN LOGARTMICA

Se llama logaritmo en basea del nmerox al exponenteb al que hay que elevar la basepara obtener dicho nmero.

log

Donde aR, a 0 y a ase denomina base del sistema de logaritmos.que se lee : "el logaritmo en base adel nmero xes b" , o tambin : "el nmero bse llamalogaritmo del nmero xrespecto de la base a" .

Un logaritmo no es otra cosa que un exponente.

Propiedades

log 0 log log log.log log log log log log l o g log log ln Tipos de LogaritmosLogaritmos Comunes: Tambin llamados decimales o vulgares son los que tienen porbase el nmero 10. Se escriben log10x = log xLogaritmos Naturales: Tambin llamados Neperianos o hiperblicos tienen por base elnmero e. Se escriben logex = ln x

Los logaritmos fueron introducidos en las matemticas con el propsito de facilitar,simplificar o incluso, hacer posible complicados clculos numricos. Utilizandologaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potenciasen productos y races en cocientes.


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5. El ingreso total en dlares por la venta de xunidades de un producto est dado por

R(x) =

Encuentre el ingreso cuando se venden 100 y 200 unidades e interprete el resultado

6. Suponga que la oferta de xunidades de un producto a un precio pde dlares estadado por P = 10 + 50 ln(3x + 1).

a. Encuentre el precio de oferta cuando el nmero de unidades es 33.b. Cuntas unidades se ofrecen a un precio de 300 dlares

7. La funcin demanda de un producto est dada por p = dondepes el precio

unitario en dlares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio conrespecto al nmero de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades quencuentra?

8. Con la finalidad de determinar la retencin de los conceptos aprendidos se practicun examen a un grupo de estudiantes y, a partir de esa fecha se les examino cada mesutilizando una prueba equivalente. Los resultados mostraron que el promedio depuntuacin D satisface la formula D= 80 12Ln(x+1), donde x es el tiempo enmeses. Calcule la puntuacin inicial, a los seis meses y al ao. Cunto tiempo debepasar para que el promedio de puntuacin sea de 50 puntos?

9. La temperatura de una taza de caf tminutos despus de servirla se puede modelarpor T=70+100e-0.0446t, donde T se mide en grados F. Cul ser la temperatura almomento de servirlo?Cunto tiempo debe pasar para que el caf pueda ser tomadoT=120 F?

10. Una fbrica de bombillo ha encontrado que la fraccin de bombillos que se funden ent horas esta dado por f(t)=1- e-0.003t. Qu fraccin de bombillos las primeras 48horas? En cuntas horas se fundiran el 50% de los bombillos?

11. La eficiencia de un obrero comn de un fbrica est determinada mediante lafuncin f(t)=10060e-0.2t, donde el obrero puede completar f(t)unidades por dadespus de haber trabajado t meses. Determinar la eficiencia de un trabajadornuevo. en cunto tiempo un trabajador alcanza una eficiencia de 90 unidades da?

12. El decaimiento de las ventas para un producto se obtiene por medio de

0000., donde S es la venta semanal (en dlares) y x es el nmero de semanas que hantranscurrido desde que termin la campaa publicitaria. Determinar1. Las ventas dos meses despus de culminar la campaa publicitaria.b. El nmero de semanas que deben pasar despus de culminar la campaa

publicitara para que las ventas caigan por debajo de los US$15 000.


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13. Las Naciones Unidas han pronosticado la poblacin mundial de 1995 a 2150. Usandoestas proyecciones se puede modelar la poblacin mundial (en millones) con laecuacin

.Donde x es el nmero aos transcurridos desde 1990.a. Suponga que en 1990 la poblacin mundial fue de 4 155 millones de habitantes.Use este modelo para encontrar cuntos aos pasaran antes de que se duplique lapoblacin de 1990.

b. Segn el modelo cul ser la poblacin en el 2008?

14. El valor V de un objeto a los t aos de su adquisicin se puede modelar con laexpresin

000.

0t0

Determine el valor del objeto 5 aos despus de adquirido. Cunto tiempo debepasar para que un objeto disminuya su valor en $10000

15. Se estima que el porcentaje de que falle una cierta marca de circuitos decomputadora despus de t aos de uso sea

P(t)=100(1e-0.1t)Grafique la funcin y responda lo siguientea. Aproximadamente que porcentaje de circuitos que fallaran en 3 aosb.cunto tiempo debe pasar para que fallen el 60% de los circuitos.c. 0000000

Modelacin de las Funciones Exponenciales10.Apenas finaliza la publicidad inicial de la publicacin de un libro de clculo, las

ventas de la edicin en pasta dura y a dos tintas tienden a decrecerexponencialmente. En el momento en que termino la publicidad de cierto libro sevendan 30000 ejemplares al mes. Un mes ms tarde, las ventas del libro habanbajado a 14000 ejemplares por mes. Determine

a. La expresin que representa la funcin

La funcin es de la forma , donde xes el nmero de ejemplares, t eltiempo en meses y k la constante de proporcionalidad.Inicialmente hallamos la constate de proporcionalidad k,

por datos x0=30000, x=14000 y t=1remplazando

0000000


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Por lo tanto en 5 das esta ensamblando 3 computadores2.El nmero de libras de durazno p de buena calidad producidos por un rbol promedio

depende del nmero de libras de insecticida x con el cual el rbol fue rociado, deacuerdo a la siguiente frmula 0000 Determine el nmero de libras de de durazno p de buena calidad si el rbol se roseacon 1, 3 y 5 libras de insecticida. Utilice un software graficador de funciones para

graficar la funcin.

3.Como resultado de los avances tecnolgicos en la produccin de calculadoras cada vezms poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en da.Sisuponemosquedentrodexmeseselpreciodeciertomodeloser 0 dlaresDetermine el precio de mercado de las calculadoras 6 meses y un ao despus dehaber salido al mercado. Compare los resultados qu encuentra?. Utilice un softwaregraficador de funciones para graficar la funcin.

4.Suponga que el precio p (en dlares) de un producto se determina, mediante lafuncin 00000 , donde xson las unidades demandadas.a. Determine el precio cuando se demanda 300, 400 y 500 unidadesb. Compare los resultados que encuentrac. Utilice un software graficador de funciones para graficar la funcin.

5.Durante los primeros cuatro meses en su empleo; las ventas mensuales S (en miles dedlares) de un vendedor nuevo dependen del nmero de horas x de capacitacin de lasiguiente manera:

0 Calcule la venta de un trabajador que ha recibido 8, 16 y 24 horas de capacitacin.Compare los resultados qu encuentra? Utilice un software graficador de funcionespara graficar la funcin.


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(x + 2)3 + 1 Si x -1, rango 11.j(x) =

3 + x Si x > -1, rango 2

x

y

y=x+3

y=(x+2)^3+1

FUNCIN POR PARTES O POR TROZOS

EjerciciosDadas las funciones

Determine:a. j(-1)

Inicialmente debemos ubicar elrango donde est el valor de la

variable independiente x, parael caso particular el valor estubicado en el primer rango,j(-1)= (-1 + 2)3 + 1 = (1)3 + 1

= 1 + 1 = 2

b. j(0)El valor x=0 est ubicado en el

segundo rangoj(0)=3 + 0= 3

c. j(-2)El valor x=-2 est ubicado en elprimer rango

j(-2)= (-2 + 2)3 + 1 = (0)3 + 1= 0 + 1 = 1

Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la

variableindependientevariablexestohacequeenmuchoscasossenecesitehacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se lesdefine como funciones por partes o a trozos.


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x

y

PRECI

O(MillonesdePesos)

UNIDADES OFERTADAS

3.2+X/20003+X/5000 2.8+X/7000

5.La cantidad de desechos slidos descargados por la planta de tratamiento de aguas

negras esta dada por la funcin

0si0t -0t0sit f(t)= 100 si t -5t2t0sit

1.25t2 26.25t + 162.5 sit0Donde f(t) se mide en toneladas/da y t se mide en aos donde t=0 corresponde a1989. Qu cantidad de desechos slidos fueron descargados por da en 1991, 1995 yen el 2000?Para hallar la cantidad de desechos slidos que se descargan en un ao especfico secuenta el nmero de aos que han pasado desde 1989 hasta dicho ao.

Para 1991 hallamos el nmero de aos que han pasado desde 1989,1991-1989=2

, es decir t=2, estara ubicada en el segundo rango, remplazandof(2)=-30(2)+160=-60+160=100

, indica que en 1991 se descargaron 100 toneladas/da de desechos slidos


, es decir t=6, estara ubicada en el cuarto rango, remplazando-5t2 +25t + 80

f(6)=-5(6)2 +25(6) +80=-5(36)+150+80=-180+230=50

, indica que en 1995 se descargaron 1400 toneladas/da de desechos slidos


, es decir t=11, est fuera de rango, es decir no aplica para este problema


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Clculo diferencial

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1.965t5.65 cuando 5 t 20P(t)=

0.095t22.925t + 54.15 cuando 20< t 40Donde t es el nmero de aos que han pasado desde 1960. Determine el presupuestopara los programas de educacin en 1980 y el 2007.

9.Los cargos mensuales (en dlares) de x kilowatts hora(Kwh) de electricidad usadapor un cliente comercial se determina por medio de la siguiente funcin:

7.52 + 0.1079x si 0x519.22 + 0.1079x si 5


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Clculo diferencial

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FUNCIN VALOR ABSOLUTO

En esta condicin, de ser siempre positiva o nula, su grfica va a estar siempre porencima del eje de la abscisa o, a lo sumo, tocndolo.

Por definicin, el valor absoluto de un nmero positivo es igual al mismo nmero para x0Pero el valor absoluto de un nmero negativo es positivo

para x< 0Se puede escribir una funcin usando una funcin por pate o por trozosx si x0 -x si x


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Clculo diferencial

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valor mnimo valor es -1. La amplitudde la funcin y=cos(x) es 1.

Tangente: Abreviada tan o tgLnea o superficie] que se toca en unpunto sin cortarseLa funcin tangente es una funcin

peridica, y su perodo es .La funcin y=tan x es una funcin

impar, ya que tan(-x)=-tan(x).La grfica de y=tan(x) intercepta al

eje X en los puntos cuyas abscisasson: x =n , para todo nmeroentero n.

f(x)=tan(x)

Cotangente: Abreviada cot o ctgEs la razn inversa de la tangenteDominio: IR{n, nZ}Recorrido: IRImpar: cotxcot(x)

f(x)=cot(x)

Secante: Del latn secare (cortar), recta que

corta a una circunferencia en 2puntos. Conforme estos puntos seacercan y su distancia se reduce acero, la recta adquiere el nombre derecta tangente.

Dos rectas son secantes cuando secortan en un punto

La funcin secante. Abreviada sec

Es la razn inversa de la funcincosenoDominio: IR{(2n+1)(/2), nZ}Recorrido: ] Perodo:2radPar: sec(-x) = sec(x).

f(x)=sec


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Clculo diferencial

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Resolviendo la ecuacin x = x2 x1, para x2, x2 = x1 + x remplazando x2 en ladefinicin de y, obtenemos

y=f(x1+x)f(x1)

EjerciciosDetermine los incrementos de cada funcin1. f(x)=2x + 7; Si x=3y x0.

Remplazando eny=f(x1+x)f(x1)

y=f(3 + 0.2)f(3)=f(3.2)-f(3)=[2(3.2)+7)]-[2(3)+7]y=(6.4+7)-(6+7)=13.4-13

y=0.4Es decir que un incremento de xen 0.2 genera un incremento enyde 0.4

2. ; .Remplazando en f(x1+x)f(x1) f(2 + 0.5)f(2)=f(2.5)-f(2)

. . .. .

Es decir que cuando el incremento de de xes de 0.5

se incrementa en 1.4

La tasa de cambio promedio de una funcin f sobreunintervalodexaxxsedefinecomo la razn yx.Portantolatasadecambio promedio dey respecto a xes

y

x

P(x1,y1)

y=f(x)y

x

0

y1

y2

x1 x2

Q(x2,y2)

y< 0y2

y1

x2x1y=f(x)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

x > 0x

y


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