Notas_mediciones e Indertidumbres

1

1 Errores de Medicioacuten 11 Introduccioacuten

En Fiacutesica las magnitudes se definen de manera operacional Ello implica fijar un procedimiento de medicioacuten para las mismas es decir establecer un conjunto de operaciones fiacutesicas que se deben realizar para asignar un nuacutemero a cada magnitud considerada Este proceso incluye tambieacuten la definicioacuten de los patrones de medida Los procedimientos de medicioacuten cambian y se perfeccionan con el progreso de la Fiacutesica

De una misma magnitud se pueden dar varias definiciones operacionales Por ejemplo un intervalo de tiempo puede medirse

por el aacutengulo que barre en dicho intervalo la Tierra en su rotacioacuten

por un nuacutemero determinado de oscilaciones de un peacutendulo o de un resorte con caracteriacutesticas bien definidas

por el correspondiente nuacutemero de vibraciones de un cristal de cuarzo de cierto espesor

por la cantidad de radio (Ra) desintegrada

por un reloj atoacutemico etceacutetera La Fiacutesica constituye una estructura coherente y en ello influye de manera

decisiva el hecho de que mediante distintas definiciones operacionales de una misma magnitud fiacutesica se obtienen resultados que son aproximadamente iguales 12 Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional de Unidades cuya abreviatura es SI en todos los idiomas es la culminacioacuten de maacutes de un siglo de esfuerzos internacionales encaminados a establecer un sistema universalmente aceptable de unidades de medida En Meacutexico se le conoce como Sistema General de Unidades de Medida y constituye la Norma Oficial Mexicana NOM-008-SCFI-2002 La Ley Federal sobre Metrologiacutea y Normalizacioacuten (LFMN) establece lo siguiente

Artiacuteculo 5deg En Meacutexico el Sistema General de Unidades de Medida es el

uacutenico legal y de uso obligatorio Se integra con el Sistema Internacional de Unidades (SI) y con las unidades fuera de este sistema que adopte la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

Por consiguiente el Sistema Internacional es el sistema de unidades oficial en Meacutexico El SI comprende dos tipos de unidades unidades de base o fundamentales y unidades derivadas Abarca asimismo una serie de prefijos que permiten formar muacuteltiplos y submuacuteltiplos en potencias de diez de las unidades que se utilizan El SI tambieacuten comprende el uso de reglas de escritura para escribir

2

correctamente los valores de las magnitudes con los siacutembolos de las unidades del SI con lo cual evita confusiones y permite una comunicacioacuten uniacutevoca Unidades de Base Se han elegido siete unidades para que sirvan de base al SI las cuales se indican en la Tabla 11

MAGNITUD

NOMBRE SIMBOLO

Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s intensidad de corriente eleacutectrica Ampere A temperatura termodinaacutemica Kelvin K intensidad luminosa Candela cd cantidad de sustancia Mol mol

Tabla 11 Unidades de base o fundamentales del SI

Las definiciones de las unidades de base o fundamentales del SI son El metro (m) se define como la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vaciacuteo en un lapso de 1 299 792 458 de segundo (17ordf Conferencia General de Pesas y Medidas de 1983)

El kilogramo (kg) se define como la masa igual a la del prototipo internacional del kilogramo (1ordf y 3ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1889 y 1901)

El segundo (s) se define como la duracioacuten de 9 192 631 770 periacuteodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado base del aacutetomo de cesio 133 (13ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1967)

El ampere (A) se define como la intensidad de una corriente constante que mantenida en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable colocados a un metro de distancia entre siacute en el vaciacuteo produciriacutea entre estos conductores una fuerza igual a 2 X 10-7 Newton por metro de longitud (9ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1948)

El kelvin (K) se define como la fraccioacuten 127316 de la temperatura termodinaacutemica del punto triple del agua (13ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1967)

El mol (mol) se define como la cantidad de materia que contiene tantas unidades elementales como aacutetomos existen en 0012 kilogramos de carbono 12 (12C) (14ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1971)

La candela (cd) se define como la intensidad luminosa en una direccioacuten dada de una fuente que emite una radiacioacuten monocromaacutetica de frecuencia 540 x 1012 Hz y

3

cuya intensidad energeacutetica en esa direccioacuten es de 1683 Watt por esterradiaacuten (16ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1979)

Por uacuteltimo cabe mencionar que el SI es una versioacuten ampliada del sistema MKSMKSAGiorgi que se ha venido utilizando desde 1901 y que la Conferencia General de Pesas y Medidas adoptoacute en 1954 antildeadieacutendole otras unidades y cambiando su nombre por el de Sistema Internacional de Unidades (SI) en 1960 13 Unidades que no pertenecen al SI

Existe algunas unidades que no son del SI pero que su uso es tan amplio que es impraacutectico abandonar su uso como son las unidades de tiempo (antildeo mes diacutea hora minuto) de masa (tonelada meacutetrica) las que se utilizan para medir aacutengulo plano (grado minuto segundo) y otras asiacute como las del Sistema Ingleacutes de Unidades o Sistema Imperial el cual es auacuten usado ampliamente en los Estados Unidos de Ameacuterica y cada vez en menor medida en algunos paiacuteses con tradicioacuten britaacutenica

Debido a la intensa relacioacuten comercial que tiene nuestro paiacutes con los EUA

existen auacuten en Meacutexico muchos productos fabricados con especificaciones en este sistema Ejemplos de ello son los productos de madera tornilleriacutea cables conductores y perfiles metaacutelicos Algunos instrumentos como los medidores de presioacuten para neumaacuteticos automotrices y otros tipos de manoacutemetros frecuentemente emplean escalas en el sistema ingleacutes

A diferencia del SI no existe una autoridad uacutenica en el mundo que tome

decisiones sobre los valores de las unidades en el sistema ingleacutes De hecho algunas unidades tienen valores diferentes en diversos paiacuteses Para el usuario mexicano por nuestra estrecha relacioacuten con los EUA tal vez la referencia maacutes conveniente es la aceptada en ese paiacutes Por ese motivo el CENAM recomienda referirse al portal de Internet del National Institute of Standards and Technology (NIST) laboratorio nacional de metrologiacutea de los EUA para obtener informacioacuten confiable sobre factores de conversioacuten 14 El Centro Nacional de Metrologiacutea

El Centro Nacional de Metrologiacutea (CENAM) es el laboratorio nacional de referencia en materia de mediciones Es responsable de establecer y mantener los patrones nacionales ofrecer servicios metroloacutegicos como calibracioacuten de instrumentos y patrones certificacioacuten y desarrollo de materiales de referencia cursos especializados en metrologiacutea asesoriacuteas y venta de publicaciones

Mantiene un estrecho contacto con otros laboratorios nacionales y con organismos internacionales relacionados con la metrologiacutea con el fin de asegurar el reconocimiento internacional de los patrones nacionales de Meacutexico y consecuentemente promover la aceptacioacuten de los productos y servicios de nuestro paiacutes

4

El CENAM fue creado con el fin de apoyar el sistema metroloacutegico nacional como un organismo descentralizado con personalidad juriacutedica y patrimonio propios de acuerdo al artiacuteculo 29 de la Ley Federal sobre Metrologiacutea y Normalizacioacuten publicada en el Diario Oficial de la Federacioacuten el 1 de julio de 1992 y sus reformas publicadas en el Diario Oficial de la Federacioacuten el 20 de mayo de 1997

En relacioacuten a las funciones del CENAM la Ley Federal sobre Metrologiacutea y

Normalizacioacuten establece lo siguiente Artiacuteculo 30 El Centro Nacional de Metrologiacutea tendraacute las siguientes funciones I Fungir como laboratorio primario del Sistema Nacional de Calibracioacuten II Conservar el patroacuten nacional correspondiente a cada magnitud salvo que su conservacioacuten sea maacutes conveniente en otra institucioacuten III Proporcionar servicios de calibracioacuten a los patrones de medicioacuten de los laboratorios centros de investigacioacuten o a la industria cuando asiacute se solicite asiacute como expedir los certificados correspondientes IV Promover y realizar actividades de investigacioacuten y desarrollo tecnoloacutegico en los diferentes campos de la Metrologiacutea asiacute como coadyuvar a la formacioacuten de recursos humanos para el mismo objetivo V Asesorar a los sectores industriales teacutecnicos y cientiacuteficos en relacioacuten con los problemas de medicioacuten y certificar materiales patroacuten de referencia VI Participar en el intercambio de desarrollo metroloacutegico con organismos nacionales e internacionales y en la intercomparacioacuten de los patrones de medida VII Dictaminar a solicitud de parte sobre la capacidad teacutecnica de calibracioacuten o medicioacuten de los laboratorios que integren el Sistema Nacional de Calibracioacuten VIII Organizar y participar en su caso en congresos seminarios conferencias cursos o en cualquier otro tipo de eventos relacionados con la Metrologiacutea IX Celebrar convenios con instituciones de investigacioacuten que tengan capacidad para desarrollar patrones primarios o instrumentos de alta precisioacuten asiacute como instituciones educativas que puedan ofrecer especializaciones en materia de Metrologiacutea X Celebrar convenios de colaboracioacuten e investigacioacuten metroloacutegica con instituciones organismos y empresas tanto nacionales como extranjeras y XI Las demaacutes que se requieran para su funcionamiento

5

El CENAM se encuentra ubicado en el km 45 de la Carretera a Los Cueacutes Municipio de El Marqueacutes a 11 km de la ciudad de Quereacutetaro Su paacutegina de Internet es wwwcenammx y a traveacutes de ella se pueden bajar en forma gratuita la Norma Oficial Mexicana NOM-008-SCFI-2002 que contiene y describe en forma completa y detallada al SI (Sistema General de Unidades de Medida en Meacutexico) y el texto iacutentegro de la Ley Federal sobre Metrologiacutea y Normalizacioacuten 15 Vocabulario Internacional de Metrologiacutea

El Vocabulario Internacional de Metrologiacutea (VIM) es publicado en Meacutexico como la norma mexicana NMX-Z-055-1997IMNC Algunas definiciones relacionadas a la medicioacuten de magnitudes son Medicioacuten conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de una magnitud Valor de una magnitud expresioacuten cuantitativa de una magnitud particular expresada generalmente en la forma de una unidad de medida multiplicada por un nuacutemero Ejemplo longitud 534 m masa 0152 kg cantidad de substancia 0012 mol oacute 12 mmol Unidad (de medida) magnitud particular definida y adoptada por convencioacuten con la cual se comparan las otras magnitudes de la misma naturaleza para expresar cuantitativamente su relacioacuten con esa magnitud Ejemplo metro segundo kilogramo Newton Pascal Joule Magnitud (medible) Atributo de un fenoacutemeno cuerpo o substancia que es susceptible de ser diferenciado cualitativamente y determinado cuantitativamente Ejemplo longitud tiempo masa temperatura densidad etc Mensurando Magnitud particular sujeta a medicioacuten Ejemplo Presioacuten de vapor de una muestra dada de agua a 20 ordmC Resultado de una medicioacuten Valor atribuido a un mensurando obtenido por medicioacuten Una informacioacuten completa del resultado de una medicioacuten incluye informacioacuten sobre la incertidumbre de la medicioacuten Exactitud de medicioacuten Proximidad de concordancia entre el resultado de una medicioacuten y un valor verdadero del mensurando

6

Exactitud de un instrumento de medicioacuten aptitud de un instrumento de medicioacuten para dar respuestas proacuteximas al valor verdadero Repetibilidad (de los resultados) Proximidad de concordancia entre los resultados de mediciones sucesivas del mismo mensurando con las mediciones realizadas con la aplicacioacuten de la totalidad de las siguientes condiciones

- mismo procedimiento de medicioacuten - mismo observador - mismo instrumento - mismo lugar - mismas condiciones de uso - repeticioacuten en un periodo corto de tiempo

Reproducibilidad (de los resultados) Proximidad de concordancia entre los resultados de mediciones del mismo mensurando con las mediciones realizadas haciendo variar las condiciones de medicioacuten tales como

- principio de medicioacuten - meacutetodo de medicioacuten - observador - instrumento - patroacuten de referencia - lugar - condiciones de uso - tiempo

Algunos conceptos relacionados directamente con la estimacioacuten de la incertidumbre son Magnitud de influencia magnitud que no es el mensurando pero que afecta al resultado de la medicioacuten Ejemplos

bull La temperatura de un microacutemetro cuando se mide una longitud bull La frecuencia en la medicioacuten de la amplitud de una tensioacuten eleacutectrica alterna

Condiciones de referencia Condiciones de uso prescritas para las pruebas de funcionamiento de un instrumento de medicioacuten o para la intercomparacioacuten de resultados de mediciones Algunas caracteriacutesticas de los instrumentos de medicioacuten que inciden en la estimacioacuten de la incertidumbre son Resolucioacuten Miacutenima diferencia de indicacioacuten de un dispositivo indicador que puede ser percibida de manera significativa Valor de una divisioacuten de la escala Diferencia entre los valores correspondientes a dos marcas sucesivas de la escala

7

Histeacuteresis Propiedad de un instrumento donde la respuesta a una sentildeal de entrada depende de la secuencia de las sentildeales de entrada (o los valores de las magnitudes de influencia) precedentes Error (de medicioacuten) Resultado de una medicioacuten menos un valor verdadero del mensurando 2 Incertidumbre y Errores

El resultado de una medicioacuten (valor de una magnitud) es un nuacutemero real Se le interpreta como el ldquonuacutemero de veces que la unidad de medida estaacute contenida en la magnitud en cuestioacutenrdquo Existe una variabilidad inherente al resultado de la medicioacuten por lo cual nunca se conoce el valor verdadero de la magnitud sujeta a medicioacuten Por consiguiente cuando se mide una magnitud soacutelo se puede determinar el valor maacutes cercano al valor verdadero (valor maacutes probable) y se debe estimar la incertidumbre (variabilidad) asociada al valor obtenido

Para asegurar la confiabilidad de las mediciones es necesario realizar una

serie de comparaciones con patrones cada vez de mayor exactitud (o menor incertidumbre) hasta llegar al patroacuten primario Directamente relacionados a esta caracteriacutestica se deben considerar el principio de medicioacuten (base cientiacutefica de una medicioacuten) y el meacutetodo de medicioacuten (secuencia loacutegica de las operaciones descritas de manera geneacuterica utilizadas en la ejecucioacuten de las mediciones)

Por consiguiente el resultado de una medicioacuten contiene al menos dos cantidades el valor maacutes probable considerado como el maacutes cercano al verdadero y la estimacioacuten de la incertidumbre sobre dicho valor La mejora de la calidad de las mediciones implica el mejoramiento de las mismas lo cual significa realizar mediciones maacutes exactas es decir mediciones con incertidumbre cada vez maacutes baja

Podemos decir entonces que la incertidumbre es aquella caracteriacutestica que impide conocer con certeza el valor verdadero de una magnitud Mientras maacutes larga sea la cadena de comparaciones hasta llegar al patroacuten primario el valor de la incertidumbre seraacute maacutes grande

Por otra parte el nivel de incertidumbre adecuado depende de las

necesidades del cliente Por ejemplo la incertidumbre que se requiere para que las sillas de un comedor se vean ldquoideacutenticasrdquo es menor que el nivel de incertidumbre requerido para que los pistones del motor de un automoacutevil hagan que eacuteste funcione con mayor eficiencia y sin vibraciones

La incertidumbre al igual que el valor verdadero soacutelo se estima ya que no se puede cuantificar con exactitud Su valor depende fundamentalmente de los instrumentos utilizados de la experiencia de quien esteacute midiendo y de la variacioacuten de los paraacutemetros que influyen en la magnitud que se mide durante el proceso de

8

obtencioacuten de su valor Todos estos factores representan junto con las magnitudes de influencia las fuentes de la incertidumbre

Veamos primero algunos conceptos baacutesicos sobre errores antes de adentrarnos en el caacutelculo formal de la incertidumbre El valor Xrsquo de la medicioacuten de una magnitud X soacutelo tiene sentido cuando se puede valorar el error que la afecta con respecto a otro valor X que se toma como referencia Ese error se llama absoluto si se expresa por

XXX (21)

de donde XXX (22)

En un conjunto de mediciones el signo de X puede ser tanto positivo como negativo y por ello es costumbre tomar

XX (23)

y escribir

X = Xrsquo X (24) Ejemplos

Constante de los gases R = (831696 000034) JmolmiddotK

masa del electroacuten en reposo me = (91083 00003) x 10-31kg

constante de Boltzmann k = (138044 000007) x 10-23 JK

A veces no se indica el valor de X en cuyo caso se entiende que es igual a la mitad de la unidad correspondiente a la uacuteltima cifra significativa Por ejemplo si se escribe

aceleracioacuten normal de la gravedad g = 980 ms2

se entiende que g = (980 0005) ms2 El significado de X (valor verdadero valor promedio etc) determina la

denominacioacuten que se da a X (error absoluto del valor verdadero del valor medio etc)

Si X es el valor maacutes probable entonces X es su incertidumbre (error del promedio Ep) y para determinarla es necesario aplicar la teoriacutea estadiacutestica de errores casuales Dicha teoriacutea establece el meacutetodo para obtener la estimacioacuten de la incertidumbre para magnitudes que se miden tanto en forma directa como indirecta

9

El error absoluto de la medicioacuten Xrsquo no es suficiente para caracterizar la exactitud de la misma Por eso se define el error relativo

X

X

XX

X

X

Xer

(25)

que es el error por cada unidad de escala en la que se mide la magnitud a determinar El error porcentual es

100 ree (26)

e indica el error que se comete por cada 100 unidades de la escala usada

Se llama repetibilidad al valor inverso del error relativo es decir

X

X

X

XK

(27)

La repetibilidad de un instrumento o de un meacutetodo de medida es su mayor o

menor capacidad para repetir los valores de las mediciones de una magnitud realizadas en las mismas condiciones No obstante antes de la repetibilidad se debe considerar primero la exactitud de un instrumento de medicioacuten la cual se define como la aptitud del instrumento de medicioacuten para dar respuestas proacuteximas al valor verdadero Es conveniente sentildealar que la exactitud es un concepto cualitativo Ejemplos 1) Se mide la altura desde donde se deja caer una esfera con una regla graduada

en cm y se obtiene Xrsquo = 840 cm con un error de apreciacioacuten X = 05 cm Asiacute

cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K

2) Se mide el diaacutemetro de un alambre con un calibre dotado de un vernier con relacioacuten 910 Se obtiene d = 31 mm y el error de apreciacioacuten es de una divisioacuten

del vernier o sea X = 01 mm Entonces

mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K

Obseacutervese que auacuten cuando el error de apreciacioacuten es 50 veces mayor en el

ejemplo 1 la repetibilidad de la medicioacuten es mucho mayor y en consecuencia son menores los errores relativos y porcentual Tambieacuten se desprende que un instrumento no tiene una repetibilidad intriacutenseca sino que la misma estaacute en relacioacuten con la magnitud que se va a medir 21 Clasificacioacuten de los Errores

A menudo se acostumbra hacer una clasificacioacuten extensa y pormenorizada de los errores de medicioacuten En rigor eacutestos pueden clasificarse en tres tipos sistemaacuteticos de apreciacioacuten y casuales a los cuales tambieacuten se les conoce como accidentales o al azar Errores Sistemaacuteticos Son aquellos de valor y signo constante o que corresponden a una ley conocida y producen desviaciones constantes Por tanto se pueden corregir por comparacioacuten con instrumentos patrones o por meacutetodos especiales como la doble pesada la lectura en dos escalas distintas de un voltiacutemetro etc Entre los casos maacutes comunes de errores sistemaacuteticos se pueden citar escalas mal calibradas relojes que atrasan o adelantan balanzas de brazos desiguales etc Errores de Apreciacioacuten Las determinaciones experimentales con algunos instrumentos se reducen a la lectura sobre una escala graduada Al efectuar la lectura el observador debe apreciar una fraccioacuten de la menor divisioacuten de la escala En esta valoracioacuten va impliacutecito un error que se denomina de apreciacioacuten y que depende del tipo de dispositivo de lectura de la separacioacuten entre divisiones sucesivas y de la habilidad del observador Asiacute es muy difiacutecil apreciar fracciones de una escala milimeacutetrica a simple vista mientras que si se mide una longitud con una escala graduada en cm un observador sin experiencia podraacute distinguir fracciones de 05 a 03 cm en tanto que uno capacitado puede garantizar la fraccioacuten 02 cm Los errores de apreciacioacuten seraacuten pues de 05 03 oacute 02 cm

El signo del error de apreciacioacuten puede ser tanto positivo como negativo su valoracioacuten es aproximada y puede considerarse constante para un mismo observador que opere en iguales condiciones

En el caso de una escala provista de vernier con relacioacuten 910 puede ocurrir

que la coincidencia de una divisioacuten del nonius con una de la escala sufra una indeterminacioacuten de una divisioacuten del vernier En tal caso el error de apreciacioacuten es

11

de 01 mm Si se trata de un nonius de relacioacuten 4950 la indeterminacioacuten puede resultar de dos o tres divisiones del nonius y los errores 004 oacute 006 de mm respectivamente

Un caso particular es la medida de intervalos con cronoacutemetros de disparador mecaacutenico La aguja se mueve a saltos de 15 o 110 s seguacuten el tipo de reloj Como el tiempo de reaccioacuten de un observador estaacute entre 15 y 110 s debe tenerse en cuenta y sumarse al error de apreciacioacuten Por ejemplo si el periacuteodo de oscilacioacuten de un peacutendulo es del orden de un segundo un error de 15 s es muy grande e invalidaraacute la medida Sin embargo en el caso de medicioacuten de periacuteodos este error se puede atenuar de manera considerable midiendo lapsos correspondientes a un nuacutemero suficientemente grande de periacuteodos En efecto sea t el lapso correspondiente a n periacuteodos de duracioacuten T

t = n T

si el error de apreciacioacuten es t = 15 s se tiene

sn

TsTt 5

1 51 (28)

El error t disminuye en forma inversamente proporcional al nuacutemero de periacuteodos que se midieron reciacuteprocamente si se fija el error se puede calcular el nuacutemero de periacuteodos que es necesario tener en cuenta para no cometer errores superiores al establecido

Ejemplo si al medir T = 2 s con un cronoacutemetro para el que resulta t = 15 s se quiere que sea e = 10 se obtiene

esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T

22 Desviaciones Intriacutensecas en los Instrumentos de Medicioacuten

Todo instrumento de medicioacuten introduce un rango de incertidumbre que es independiente del observador y que en general estaacute especificado por el fabricante Cuando se carece de esa informacioacuten y de otro aparato que permita hacer un contraste es necesario establecer alguacuten criterio para determinar los errores Si se trata de un aparato analoacutegico se puede suponer que cualquier medicioacuten introduce una incertidumbre igual o mayor que la mitad de la divisioacuten mas pequentildea de la escala

Si el instrumento es digital su puede variar la sensibilidad del medidor hasta

obtener un rango en el cual el nuacutemero en pantalla sea estable y tomar una incertidumbre igual o mayor que una unidad del uacuteltimo diacutegito en pantalla

12

3 Mediciones Directas e Indirectas Mediciones Directas

Se denomina medicioacuten directa a la operacioacuten de lectura en un instrumento utilizado para medir una cierta magnitud

Ejemplos determinacioacuten de una distancia con una cinta meacutetrica de una

masa con una balanza de brazos iguales de una fuerza con una dinamoacutemetro etceacutetera Mediciones Indirectas

Una medicioacuten indirecta es la que se obtiene aplicando una foacutermula o una ley fiacutesica a las magnitudes que se miden directamente Ejemplos caacutelculo de la superficie de una habitacioacuten rectangular por el producto de las longitudes largo y ancho que se miden directamente obtencioacuten de la aceleracioacuten de la gravedad con un peacutendulo ideal mediante la ley

lT

g2

24

donde se relaciona la magnitud g a medir con el periacuteodo T y la longitud l del peacutendulo medibles en forma directa con cronoacutemetro y regla 4 Cifras Significativas

La exactitud de una medicioacuten que depende del instrumento usado y de la habilidad del observador se indica por el nuacutemero de cifras significativas el que estaacute limitado por la incertidumbre Por ejemplo no se debe escribir

X = (3554 03) m ya que no se puede dar una medida con centeacutesimos si la incertidumbre estaacute limitando la exactitud a las deacutecimas Si al medir una longitud con una regla graduada en mm se obtiene un valor de 835 cm los diacutegitos son todos significativos aunque el uacuteltimo esteacute afectado de error por tratarse de la apreciacioacuten de una fraccioacuten de la menor divisioacuten de la escala El nuacutemero de cifras significativas no variacutea si se cambia de unidades y se escribe 00835 m o 83 500 μm Los ceros a la izquierda en el primer caso y a la derecha en el segundo sirven para situar la coma decimal y no se cuentan como cifras significativas El verdadero nuacutemero de cifras significativas puede indicarse

13

siempre utilizando potencias de 10 para poner la coma decimal a la derecha del primer diacutegito 835 x 10-2 m oacute 835 x 104 μm Los caacutelculos aritmeacuteticos realizados con las magnitudes medidas deben tener en cuenta sus incertidumbres y es necesario establecer un criterio para acotar la cantidad de cifras significativas en los valores numeacutericos que se obtienen por caacutelculo Se supone que al operar las cifras afectadas de error que a continuacioacuten se colocan entre pareacutentesis ldquogeneranrdquo cifras con error Los ejemplos siguientes ilustran al respecto Suma

1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg

Los resultados se deben escribir (179 X) (3115 X) y (3171 X)

donde X es la suma de los errores de los sumandos y determina la exactitud con que puede escribirse la suma Resta Se sigue el mismo criterio que en la suma de modo que el resultado se escribe con un error que es la suma de los errores del minuendo y sustraendo

Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14

Como se deduce de los ejemplos el error porcentual del resultado es igual a la suma de los errores porcentuales de los factores Cociente Se sigue el mismo criterio que en el producto por lo que el error porcentual de la divisioacuten es igual a la suma de los errores porcentuales del dividendo y del divisor Potenciacioacuten Como caso particular del producto se multiplica el error porcentual de la base tantas veces como lo indica el exponente

31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my

Radicacioacuten El resultado tiene un error porcentual que es igual al error porcentual del radicando dividido entre el iacutendice de la raiacutez

3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales

Los errores casuales dependen de fluctuaciones inevitables e imprevisibles de los paraacutemetros fiacutesicos que influyen en la magnitud que se mide y pueden deberse al observador al instrumento de medida a la magnitud a medir a la variacioacuten del medio ambiente etc Provienen de muacuteltiples factores inapreciables cuya magnitud y signo no se pueden predecir Estas alteraciones son las que provocan que muacuteltiples medidas que se llevan a cabo en ldquoideacutenticas condicionesrdquo no arrojen el mismo valor Provienen de fuentes de error independientes que producen pequentildeas desviaciones individuales erraacuteticas positivas y negativas imposibles de detectar

Cada uno de los errores accidentales es la suma algebraica de un gran nuacutemero de pequentildeos errores cuyas causas son numerosas y pueden actuar con uno u otro signo es decir que dichas variaciones se deben al azar Las fluctuaciones de estos paraacutemetros influiraacuten en general de manera distinta en los resultados de cada medida

15

A veces en las mediciones sucesivas aparentemente se repite el mismo valor Esto se debe a que las imprecisiones e incertidumbres de las distintas medidas son maacutes pequentildeas que la menor apreciacioacuten del instrumento empleado

Deben eliminarse de los errores azarosos aquellos debidos a distraccioacuten del

observador (confundir en una escala un nuacutemero con otro registrar mal el valor de una pesa etc)

Cuando en un conjunto de mediciones algunas de ellas son notoriamente

distintas de las demaacutes es muy probable que se deban a distraccioacuten y por lo tanto hay que desecharlas

La clasificacioacuten de errores propuesta no es riacutegida y puede ser modificada

Ademaacutes un perfeccionamiento en los procesos de medicioacuten puede poner de manifiesto nuevos errores sistemaacuteticos que con anterioridad se les incluiacutea en los accidentales

6 Teoriacutea Estadiacutestica de Errores Casuales

La teoriacutea estadiacutestica de errores establece fundamentalmente el tratamiento matemaacutetico que debe darse a un conjunto de resultados para obtener la mejor aproximacioacuten de la medida buscada y su liacutemite probable de error o incertidumbre

Dado el caraacutecter aleatorio de las perturbaciones no puede obtenerse una estimacioacuten aceptable de una magnitud medida con una sola medicioacuten auacuten acotando los liacutemites probables de error Por eso es necesario hacer muacuteltiples mediciones en condiciones similares y deducir de ellas el valor maacutes probable y su incertidumbre Por su parte el valor maacutes probable no tendraacute sentido si no se puede saber su incertidumbre Esto implica que siempre se debe especificar el

valor maacutes probable X y un entorno de amplitud 2middotX dentro del cual se espera que se encuentre cualquier nueva medicioacuten hecha en ideacutenticas condiciones

Para cada magnitud medida se tendraacute pues un intervalo de confianza donde se encuentra el ldquovalor verdaderordquo X de la magnitud medida es decir

XXXXX (61)

Geomeacutetricamente

Figura 61 Intervalo de confianza donde se encuentra el valor verdadero

Es obvio que la disminucioacuten de este intervalo indica una mayor exactitud en la determinacioacuten de la magnitud medida

16

Se describiraacute a continuacioacuten el meacutetodo para determinar el valor maacutes probable y su incertidumbre para el caso de magnitudes que se miden en forma directa e igualmente se describiraacute la forma de evaluar la calidad de un proceso de medicioacuten

Sea un conjunto de N eventos en particular mediciones Se denomina

frecuencia absoluta f de un evento o medida particular x1 al nuacutemero N1 de veces que el mismo aparece

11)( Nxf (62)

y frecuencia relativa p del mismo al cociente

NNxp )( 11 (63)

donde N es el nuacutemero total de eventos

Para que la aplicacioacuten de la teoriacutea estadiacutestica a un conjunto de mediciones sea vaacutelida es necesario que dicho conjunto cumpla las dos condiciones de los procesos o sucesiones azarosas a saber a La frecuencia relativa de un evento o medida x1 tiende a un valor liacutemite W1 que

se llama probabilidad cuando N crece indefinidamente Es decir

N

1p(x liacutem )1W (64)

b El liacutemite W1 antes mencionado es independiente del modo que se tomen los

elementos x1 del total de N eventos Es decir si para dos modos distintos de obtener las mediciones o datos se obtuviera p(x1) = N1N y prsquo(x1) = Nrsquo1Nrsquo se debe cumplir que

N N

)(xp liacutem )p(x liacutem 11 (65)

De manera experimental se comprueba que si en un conjunto de mediciones

de una magnitud fiacutesica soacutelo se cometen errores casuales dicho conjunto cumple siempre las condiciones a) y b) por lo que se puede aplicar la teoriacutea estadiacutestica en el tratamiento de los errores casuales

La definicioacuten de la probabilidad como el liacutemite de la frecuencia relativa requeririacutea un nuacutemero infinito de mediciones pero es un hecho experimental que el cociente N1N tiende a estabilizarse con bastante rapidez siendo mayor el nuacutemero de cifras que se estabilizan cuanto mayor es N Por eso se considera la frecuencia relativa p como valor aproximado de la probabilidad

17

Se han empleado expresiones como helliprdquosi N es suficientemente granderdquohellip y otras similares No existe un criterio riguroso de validez general que indique cual es el nuacutemero de mediciones correcto sino que eacuteste dependeraacute en cada caso de las condiciones del proceso de medicioacuten del instrumental disponible y de la exactitud que se desea obtener 61 Variables Continuas y Discretas

Una magnitud fiacutesica es continua para un determinado proceso de medicioacuten cuando la resolucioacuten de los instrumentos involucrados estaacute muy lejos de la apreciacioacuten de las discontinuidades vinculadas a la naturaleza microscoacutepica y cuaacutentica de dicha magnitud

La determinacioacuten de cualquier magnitud fiacutesica continua soacutelo puede hacerse

con determinado grado de exactitud que depende de los instrumentos utilizados de la experiencia de quien esteacute midiendo y de la variacioacuten de los paraacutemetros que influyen en dicha magnitud durante el proceso de su obtencioacuten

En la obtencioacuten de magnitudes fiacutesicas continuas lo maacutes que se puede lograr

es la mejor estimacioacuten o el valor maacutes probable de las mismas teniendo en cuenta el conjunto de los resultados obtenidos y tratar de determinar los liacutemites probables de error

Cuando se trabaja en fiacutesica experimental por lo general se aiacutesla un sistema y se trata de determinar como variacutean sus propiedades en condiciones que se fijan de manera adecuada Estas propiedades se especifican midiendo paraacutemetros tales como temperatura velocidad masa energiacutea carga eleacutectrica tiempo magnetizacioacuten densidad etc En los sistemas macroscoacutepicos que se estudian comuacutenmente en fiacutesica general estos paraacutemetros variacutean en forma continua Se sabe en cambio que ciertas propiedades microscoacutepicas de los sistemas como la carga eleacutectrica la energiacutea entre otras variacutean de manera discreta

Las magnitudes continuas no tienen rango preestablecido de variacioacuten y su uacutenica limitacioacuten es el nuacutemero de cifras con que se puede obtener cada medicioacuten y que estaacute predeterminado por la resolucioacuten del instrumento de medida 62 Distribucioacuten de Frecuencias

Cuando se dispone de un conjunto de datos obtenidos como producto de la repeticioacuten de mediciones o ensayos de cualquier tipo que se hicieron en condiciones similares se debe seguir alguacuten meacutetodo que permita obtener informacioacuten de dicho conjunto Al encontrar un conjunto asiacute lo primero que llama la atencioacuten es el hecho de que unos datos se repiten maacutes que otros es decir que aparecen con distintas frecuencias Obviamente los que maacutes se repiten deberaacuten tener una incidencia mayor sobre la magnitud a determinar Por ejemplo cuando se arrojan dos dados la frecuencia mayor corresponde al nuacutemero con mayor probabilidad de aparecer Es por ello que una primera interpretacioacuten del conjunto

18

de datos puede hacerse a traveacutes del estudio de la frecuencia con que aparece cada uno

Cuando los datos corresponden a una variable discreta bastaraacute determinar la

frecuencia de los valores posibles de la misma En cambio las mediciones sucesivas de una magnitud fiacutesica continua dan un conjunto de aproximaciones siendo en general distintos los resultados de las distintas mediciones Mediciones maacutes exactas mejoran la aproximacioacuten de la medida que se busca pero no variacutea el hecho de que se pueden seguir obteniendo tantos datos distintos como mediciones se realicen De aquiacute surge la conveniencia de agrupar los datos en intervalos y estudiar la frecuencia de eacutestos en lugar de la frecuencia de cada dato

Sea x1 x2 x3helliphelliphellip xN un conjunto de datos obtenidos de una serie de

mediciones de una magnitud fiacutesica El primer paso consiste en determinar los extremos menor xm y mayor xM Se llama rango a su diferencia

R = xM ndash xm (61)

Para estudiar como variacutea la frecuencia de las mediciones se divide R en un cierto nuacutemero de intervalos Determinacioacuten de los intervalos

La siguiente es una indicacioacuten de uno de los meacutetodos de caacutelculo para determinar los intervalos Es importante tener en cuenta que si bien existen otros cualquiera de ellos cuando se aplica en forma correcta debe conducir a las

mismas conclusiones Tambieacuten es obvio que si X es la menor apreciacioacuten de cada medicioacuten X esa seraacute la menor amplitud con que se pueden escoger los intervalos En general suelen tomarse entre cinco y veinte intervalos dependiendo de la cantidad de datos y de su dispersioacuten Puede elegirse por ejemplo el nuacutemero

entero A que mejor aproxime a N siendo N el nuacutemero de datos Este nuacutemero es

tentativo y puede variar en una o dos unidades despueacutes de calcular la amplitud

Se pueden escoger amplitudes iguales o distintas para los intervalos seguacuten el estudio concreto que se realice En el caso maacutes comuacuten la amplitud d es la misma para todos y se calcula haciendo

NAA

Rd (62)

donde se aproxima d de manera que tanto d como d2 tengan la misma repetibilidad que los datos

Para fijar ideas se desarrollan los caacutelculos en base a la siguiente tabla de datos

19

Nordm X[cm] Nordm X[cm] Nordm X[cm] Nordm X[cm] Nordm X[cm] Nordm X[cm] Nordm X[cm] Nordm X[cm]

1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145

Tabla 61 Tabla de datos

De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59

para que d tenga la repetibilidad de los datos se puede tomar d = 9 cm o d = 10 cm Sin embargo d2 tambieacuten debe ser entero por lo que el uacutenico valor que cumple ambas condiciones es

d = 10 cm Para que no haya ambiguumledad en la distribucioacuten posterior de las mediciones los extremos consecutivos de los intervalos se distancian una unidad del uacuteltimo orden decimal con que se obtuvieron los datos Por ejemplo al calcular los intervalos de amplitud d = 10 cm con los datos de la tabla uno de ellos podriacutea ser (143 153) cm Si el siguiente se toma (153 163) cm el dato 153 cm que es el Nordm 34 de la tabla puede incluirse en cualquiera de ellos Separando los intervalos como se indicoacute el segundo queda (154 164) cm y todos los datos tienen una ubicacioacuten bien definida

Un caacutelculo simple permitiraacute elegir el liacutemite inferior del primer intervalo de manera que el rango R quede incluido y centrado en la unioacuten de todos los intervalos Se toma Xm como origen y se calculan los intervalos Con los datos de la tabla son

(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20

Si el extremo superior coincidiera con XM estos seriacutean los intervalos definitivos En este ejemplo en cambio 184 ndash XM = (184 ndash 176) cm = 8 cm

Desplazando los intervalos 4 cm hacia la izquierda quedan centrados en el rango por lo que los intervalos definitivos son (115 - 125) cm (126 - 136) cm

(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm

Intervalos tentativos

Figura 61 Rango e intervalos de clase

Limites reales Son los puntos medios de los liacutemites contiguos de dos intervalos sucesivos y tienen una cifra maacutes que los datos Los liacutemites reales primero y uacuteltimo estaacuten igualmente distanciados de los intervalos primero y uacuteltimo

Figura 62 Liacutemites reales

Marcas de Clase Son los puntos medios de los intervalos y en los caacutelculos con datos agrupados se asigna a dichos nuacutemeros la frecuencia Es decir si en un intervalo se tiene f datos se entiende que es la marca de clase la que se repite f veces La distancia c entre marcas de clase consecutivas es igual a la amplitud de los intervalos calculada a partir de los liacutemites reales

Rango

Intervalos definitivos

21

Tabla de Distribucioacuten de Frecuencias

Con los datos obtenidos se confecciona una tabla que incluye normalmente columnas de conteo frecuencia absoluta frecuencia relativa y frecuencia acumulada

Se llama frecuencia absoluta o soacutelo frecuencia de un intervalo al nuacutemero de mediciones que caen en eacutel y se designa por f En el caso de variables discretas es el nuacutemero de veces que un dato se repite Dividiendo las frecuencias absolutas por el nuacutemero total de datos N se obtienen las frecuencias relativas es decir fN = p Por uacuteltimo la frecuencia acumulada para un intervalo o dato es la frecuencia que le corresponde maacutes la de todos los intervalos o datos anteriores La suma de las frecuencias relativas de todos los intervalos o datos es 1 oacute 100 que es a su vez el valor de la frecuencia acumulada del intervalo o dato mayor Se dice que los datos estaacuten agrupados cuando se organizan en una tabla de frecuencias Para los datos de la Tabla 61 se obtiene

Intervalos [cm]

Marcas de clase [cm]

Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100

Tabla 62 Tabla de Distribucioacuten de Frecuencias

7 Histograma y Poliacutegono de Frecuencias

Sobre un eje horizontal se dibujan rectaacutengulos adyacentes con sus bases centradas en sus marcas de clase Las bases y alturas de dichos rectaacutengulos se toman proporcionales a la amplitud y a la frecuencia de cada intervalo respectivamente

Los histogramas pueden construirse referidos a las frecuencias absolutas o

relativas Ambos tienen la misma forma y soacutelo difieren en un factor de escala sobre las ordenadas por lo que se acostumbra indicar las dos escalas sobre dicho eje

Cuando se trabaja con valores discretos a los que se adjudican las

frecuencias se obtienen los llamados diagramas de barras

22

El poliacutegono de frecuencias se traza uniendo los puntos medios de los ldquotechosrdquo de los rectaacutengulos y dos puntos sobre el eje horizontal de manera que la superficie encerrada por el mismo sea igual a la del histograma Para el ejemplo de las Tablas 61 y 62 se tiene

Figura 71 Histograma y poliacutegono de frecuencias

Si el nuacutemero de mediciones tiende a infinito y se aumenta la exactitud (es

decir X 0) los intervalos pueden tomarse de amplitud maacutes y maacutes pequentildea y entonces el poliacutegono de frecuencias se transforma en una curva continua llamada ley de distribucioacuten de la magnitud X medida

En estadiacutestica se estudian distintos modelos de probabilidad y sus curvas

correspondientes Para inferir cual es el esquema probabiliacutestico que mejor ajusta a una determinada distribucioacuten experimental se compara eacutesta con las distribuciones teoacutericas y se selecciona la que mejor acuerda con los datos experimentales

Las distribuciones teoacutericas maacutes conocidas son la de Bernoulli o binomial la

de Poisson y la normal o de Gauss 71 Paraacutemetros de Centralizacioacuten

Dada una distribucioacuten aleatoria de datos pueden obtenerse algunos paraacutemetros indicativos de la tendencia del proceso de medicioacuten en la zona de mayor frecuencia ubicada siempre en la regioacuten central del rango Los maacutes importantes son

2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23

a) Promedio Media o Media Aritmeacutetica El promedio X de una serie de N datos X1 X2 X3 helliphelliphellip XN se define como

i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)

Para datos agrupados donde X1 X2 X3 helliphelliphellip Xs aparecen con las

frecuencias f1 f2 f3 helliphelliphellip fs y frecuencias relativas p1 p2 p3 helliphelliphellip ps se tiene

ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)

Cuando los datos estaacuten agrupados en intervalos de frecuencias eacutestas se

atribuyen a las marcas de clase que son en este caso los Xi de las expresiones (71) y (72) b) Mediana Si se tiene un conjunto de datos y se les ordena en forma creciente

la mediana X es el valor medio o el promedio de los valores medios

2

1

NXX si N es impar

1222

1

NN XXX si N es par (73)

Para datos agrupados es

cf

fLX

m

N 2

1

(74)

donde L1 es el liacutemite real inferior de la clase que contiene la mediana N es el

nuacutemero de datos frsquorsquo es la suma de las frecuencias de todos los intervalos menores que el de la mediana fm la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana y c la distancia entre marcas de clase vecinas

c) Moda La moda X es el valor que maacutes se repite en una serie de mediciones y se obtiene en forma inmediata de la tabla de frecuencias Para datos agrupados se define por

dL

LX

21

1ˆ (75)

donde L1 es el liacutemite inferior del intervalo que contiene a la moda 1 y 2 las diferencias de frecuencias entre el intervalo que contiene a la moda y los intervalos anterior y posterior y d es la amplitud del intervalo donde estaacute la moda

Comparando los triaacutengulos semejantes unidos por el veacutertice (en liacuteneas de puntos)

24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)

Figura 72 Obtencioacuten de la moda

lo que justifica esta construccioacuten geomeacutetrica para obtener X 72 Paraacutemetros de Dispersioacuten

Despueacutes de calcular los promedios es importante saber si los valores de la variable estaacuten muy dispersos o no en torno a los mismos Para describir numeacutericamente la mayor o menor concentracioacuten alrededor de los promedios se recurre a los paraacutemetros de dispersioacuten Estos paraacutemetros que se calculan a partir de los datos experimentales son muy importantes en los procesos de medicioacuten de una misma magnitud

Los paraacutemetros de dispersioacuten maacutes usados son

a) Desviacioacuten Media La desviacioacuten media de una serie de datos X1 es la suma de

los valores absolutos de las desviaciones G1 respecto al promedio dividido entre el nuacutemero de datos o lo que es equivalente el promedio de los valores absolutos de esas desviaciones Es decir

ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25

Cuando los datos X1 X2 X3hellipXs se agrupan con frecuencias f1 f2 f3 hellip fs la desviacioacuten media puede escribirse asiacute

ii

ii

GpN

XXfMD

(79)

donde pi son las frecuencias relativas y Xi las marcas de clase

Se puede demostrar que la suma aX i es miacutenima cuando aX es decir

que la desviacioacuten media respecto a la mediana es miacutenima

b) Desviacioacuten Tiacutepica o Estaacutendar Se define como

N

G

N

XX ii

22

(710)

Si los datos Xi se agrupan con las frecuencias f i se tiene

2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)

de donde XXG ii siendo Xi la correspondiente marca de clase Otro meacutetodo

de caacutelculo para σ si se desarrolla el cuadrado en la primera raiacutez se tiene

2222 XXXXXX iii (712)

sumando seguacuten i de 1 a N queda

222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26

siendo 2X el promedio de los cuadrados es decir 22

2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el

cuadrado del promedio o sea

2

21

N

XXX N La desviacioacuten tiacutepica es un

paraacutemetro que se relaciona en forma directa con la exactitud del proceso de

medicioacuten En efecto se puede demostrar que en el intervalo (X σ) se encuentra

maacutes del 68 de las observaciones y en (X 2σ) maacutes del 95 Por lo tanto cuanto menor sea σ maacutes concentrados estaacuten los datos y la medicioacuten es maacutes exacta Repetibilidad de Paraacutemetros Cuando N ge 30 se conviene en escribir los paraacutemetros de centralizacioacuten y dispersioacuten con una cifra significativa maacutes que los datos

Calculando el valor maacutes probable y la desviacioacuten estaacutendar para los datos de la Tabla 61 se tiene

65146X cm

y para la desviacioacuten tiacutepica

σ = 1381 cm 73 La Calidad de un Proceso de Medicioacuten y la Obtencioacuten de σ

Supongamos tener un conjunto X1 X2 X3 helliphellipXN de datos obtenidos por mediciones de una misma magnitud fiacutesica iquestCuaacutel es el valor que mejor representa la magnitud medida No podemos fijarlo de manera inmediata a partir de la simple observacioacuten de la tabla de valores Xi pero evidentemente tendraacute que relacionarse con ella Supongamos que un valor A fuera el que mejor representa la magnitud buscada Lo llamaremos ldquovalor maacutes probablerdquo con lo que sentamos dos premisas 1) No podemos medir cantidades fiacutesicas continuas exactamente 2) Debemos emplear criterios estadiacutesticos para elegir el valor maacutes probable

iquestQueacute condiciones deberiacutea cumplir A para ser un valor confiable En principio

A debe pertenecer al rango (Xm XM) iquestCoacutemo seleccionarlo Si llamamos Gi = A-Xi un criterio podriacutea ser que la suma de estas desviaciones respecto del valor maacutes probable fuera lo maacutes pequentildea posible Si los uacutenicos errores cometidos son casuales la evidencia experimental muestra que existe la misma probabilidad de

cometer errores de igual valor absoluto y distinto signo Por lo tanto Gi 0 conforme el nuacutemero de datos se hace suficientemente grande y esto ocurre aunque los Gi individualmente sean grandes por lo que esta suma no nos da un criterio para el anaacutelisis del proceso de medicioacuten

Podemos entonces tomar Gi2 = G2

1 + G22 +helliphellip+G2

N En este caso los sumandos son todos positivos lo que evita su compensacioacuten en la suma Sin

27

embargo chocamos con el inconveniente de que Gi2 es un nuacutemero que depende

de N y creceraacute con eacutel Esto puede evitarse tomando Gi2N con lo que nos

independizamos del nuacutemero de mediciones Hemos encontrado ahora siacute un nuacutemero que nos da un idea de coacutemo es el proceso de medicioacuten Subsiste auacuten un pequentildeo escollo las unidades del valor obtenido son distintas de aquellas en que

se tomaron los datos por lo que hacemos NGi 2

Pero este nuacutemero no es otra cosa que la desviacioacuten tiacutepica σ

De acuerdo con las condiciones fiacutesicas que hemos ido fijando para su

obtencioacuten podemos decir que un proceso de medicioacuten seraacute de mejor calidad cuanto menor sea σ

Pero σ estaacute auacuten en funcioacuten de ese valor A que no conocemos Sin embargo la condicioacuten de que σ sea un miacutenimo nos permitiraacute calcularlo En efecto la condicioacuten de miacutenimo puede escribirse asiacute

00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)

desarrollando el cuadro

2222 AAXXAX iii (717)

Sumando de 1 a N

2222 ANXAXAX iii (718)

y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)

Derivando respecto de A queda

0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28

Es decir que lo que llamamos valor maacutes probable y al que pusimos la condicioacuten de hacer miacutenimo el valor de la desviacioacuten tiacutepica o estaacutendar σ no es otra cosa que el promedio de los datos experimentales Xi 74 Error del Promedio

Como ya se sentildealoacute una magnitud fiacutesica solo tiene sentido cuando se puede valorar el error de que estaacute afectada Por eso al culminar un proceso de medicioacuten de una magnitud fiacutesica continua se debe escribir

EXX o lo que es equivalente EXXEX

donde X es el valor verdadero X es el valor maacutes probable y E el error que se

comete en la determinacioacuten de X Es decir lo maacutes a que se puede aspirar es a determinar un intervalo en el que se puede asegurar se encuentra el valor verdadero Es obvio que mientras menor sea E menor seraacute dicho intervalo y maacutes exacto el proceso de medicioacuten

Si se pudiera calcular exactamente el error E con su signo se podriacutea conocer

el valor verdadero dado por EXX Pero esto no es posible y soacutelo se puede calcular E en sentido estadiacutestico estableciendo un intervalo bien definido dentro del cual se encuentra X

Para calcular E se define previamente

ii XXP error absoluto de la observacioacuten Xi (723)

ii XXM error aparente de la observacioacuten Xi (724)

2S varianza (725)

Se observa que

EPMEXXMP iiii donde (726)

entonces la varianza se puede expresar asiacute

22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29

es decir que el error absoluto del promedio es el promedio de los errores absolutos reemplazando queda

222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde

NNNNji PPPPPPPPPPPPPPPP 12321213121

(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)

E queda expresado entonces en funcioacuten de los valores experimentales que

se conocen y de los errores absolutos Pi que se desconocen por ser desviaciones respecto del valor verdadero que se ignora Pero para el caso de errores casuales que es el que se estudia cualquier error Pj tiene la misma probabilidad de aparecer que el error -Pj Es decir que en teacuterminos estadiacutesticos para cada valor Pi Pj se tendraacute -Pi Pj que anularaacute la sumatoria de la uacuteltima expresioacuten Entonces se puede calcular el error del promedio por la expresioacuten

1

NE

(735)

y como N gtgt 1 puede aproximarse por

NE

(736)

30

por lo que el intervalo buscado es

NXX

(737)

al cual se le conoce como el valor esperado o la esperanza matemaacutetica 8 Distribucioacuten Normal o de Gauss

Los resultados de una serie de mediciones X1 X2hellipXN se distribuyen

alrededor del promedio X El histograma muestra que siempre es mayor la

frecuencia de los valores maacutes proacuteximos a X Cuando se hace una nueva medicioacuten no se sabe de antemano el resultado pero siacute la probabilidad de que su valor esteacute en un intervalo determinado

Cuando crece el nuacutemero N de mediciones el poliacutegono de frecuencias se

aproxima a una curva continua bien definida y uacutenica cuya forma es siempre la misma para todos los casos de errores casuales Se comprueba

experimentalmente que el nuacutemero N de mediciones que caen en el intervalo (X

X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)

donde σ es la desviacioacuten tiacutepica y X el promedio de la serie de mediciones La

aproximacioacuten se transforma en igualdad cuando N y X 0

La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)

se llama densidad de observaciones y da el nuacutemero de valores que se encuentran

en un intervalo X alrededor del valor X que aparece en el exponente La representacioacuten graacutefica de la densidad de observaciones se llama curva de distribucioacuten de Gauss y adopta la forma de una ldquocampanardquo

31

Figura 81 Distribucioacuten de Gauss

De la expresioacuten (82) se deduce

1) El nuacutemero N de observaciones en un intervalo X decae exponencialmente

con la distancia XX con lo que la probabilidad es menor para las

observaciones con error mayor La curva tiene un maacuteximo en XX y tiende a

cero cuando X se aleja de X

2) N no variacutea si se cambia X por ndashX es decir existe la misma probabilidad de cometer errores con uno u otro signo y por tanto la curva es simeacutetrica

respecto de X

3) Para una distancia XX N disminuye maacutes raacutepido cuanto menor sea Por

lo tanto la probabilidad de cometer un error disminuye con o dicho de otro

modo el proceso de medicioacuten mejora conforme se hace maacutes pequentildeo 4) Se demuestra que X - σ y X + σ son puntos de inflexioacuten de la curva y que si N

la probabilidad de que una medicioacuten caiga en el intervalo X es del

68 Asimismo la probabilidad de que una observacioacuten esteacute comprendida en el intervalo (X1 X2) se obtiene de la expresioacuten (81) dividiendo entre N e integrando

dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32

Figura 82 Campana gaussiana para diferentes valores de

No todos los procesos de medicioacuten conducen a una distribucioacuten de Gauss Los errores sistemaacuteticos variaciones no controlables del medio ambiente y del instrumental modificaciones imprevistas en las condiciones de medicioacuten etc pueden producir modificaciones tales como asimetriacuteas discontinuidades interrupciones en algunas zonas del rango etc La forma cualitativa maacutes simple para verificar si una distribucioacuten de datos es gaussiana consiste en comparar el

histograma con la curva teoacuterica de distribucioacuten Para ello se representa N en la misma graacutefica donde se trazoacute el poliacutegono de frecuencias Si la distribucioacuten es gaussiana ambas curvas deben ajustar maacutes o menos bien 9 Propagacioacuten de la Incertidumbre

La propagacioacuten de la incertidumbre es la parte de la teoriacutea estadiacutestica de errores casuales que se utiliza para determinar la incertidumbre de magnitudes que se miden de manera indirecta obtenida a partir de la incertidumbre de las magnitudes que se miden en forma directa (magnitudes de influencia) con las cuales estaacute relacionada a traveacutes de una ley fiacutesica expresada en una ecuacioacuten o relacioacuten funcional

Sea una magnitud L que se desea medir una funcioacuten conocida de otra

magnitud X que medimos directamente

L = f(x) (91) se plantea el problema de determinar en cuanto afecta a L la incertidumbre que se obtiene al medir X en forma directa De la medicioacuten de X se obtiene

Xrsquo = X X (92)

33

siendo X la incertidumbre de X Al calcular L con el valor Xrsquo se obtiene un cierto Lrsquo es decir

Lrsquo = f (X X) (93)

Como la incertidumbre X es pequentildea se puede desarrollar f(x) en una serie

de potencias de la misma X despreciando los teacuterminos donde aparece con exponente mayor que la unidad Entonces

Lrsquo = f(X) f rsquo(x) por lo tanto

Lrsquo ndash f(X) = Lrsquo ndash L = L = f rsquo(X)middotX (95)

La incertidumbre de L no depende solamente del valor de X sino tambieacuten de

frsquo(X) Cuanto mayor es este coeficiente tanto maacutes influye X en la incertidumbre de L Como en general se desconoce X se aproxima frsquo(X) por frsquo(Xrsquo) de modo que

L = f rsquo(Xrsquo)middotX (96)

Al coeficiente frsquo(Xrsquo) se le denomina coeficiente de sensibilizacioacuten o de

propagacioacuten del error X Si L es funcioacuten de maacutes de una magnitud medible en forma directa por

ejemplo

L = f(XYZ) (97)

al medir X Y Z se obtiene Xrsquo = X X Yrsquo = Y Y Zrsquo = Z Z las que permiten

calcular Lrsquo = L L

En efecto si se desprecian teacuterminos de orden superior al primero Lrsquo es

Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)

La mayor o menor contribucioacuten de las incertidumbres de X Y Z depende del

mayor o menor valor de los coeficientes Z

f

Y

f

X

f

por lo que se

34

denominan coeficientes de sensibilizacioacuten o propagacioacuten de los errores X Y

Z El signo de estas incertidumbres como el de los coeficientes de sensibilizacioacuten

puede ser tanto positivo como negativo La incertidumbre estaacutendar combinada Lc equiv Ec asociada al valor Lrsquo de la magnitud L es

222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)

y corresponde al intervalo cubierto por una desviacioacuten estaacutendar a cada lado del valor del mensurando Al igual que para el caso de mediciones directas este valor representa el 68 del aacuterea bajo la funcioacuten de distribucioacuten (campana gaussiana) para la magnitud L El valor de Ec dado por la ec (910) es vaacutelido soacutelo cuando las magnitudes X Y Z no estaacuten correlacionadas

Frecuentemente se quiere expresar la incertidumbre como un intervalo que contenga una fraccioacuten considerable de los valores razonables del mensurando Esta fraccioacuten se llama nivel de confianza p y tiacutepicamente se busca de 95 o 99 La incertidumbre expandida E expresa tal intervalo E = kmiddotEc (911) donde k se conoce como el factor de cobertura Si el mensurando sigue una

distribucioacuten normal se asegura p 95 eligiendo k = 2 y p 997 con k = 3

El error relativo de L estaacute en funcioacuten de los errores relativos de X Y y Z

222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X

los factores de sensibilizacioacuten o propagacioacuten de los

errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X

Cuando algunos coeficientes de sensibilizacioacuten son bastante menores que

otros la incertidumbre de L proviene casi exclusivamente de los teacuterminos mayores Esto es importante porque indica cuales son las mediciones que deben hacerse con mayor cuidado eligiendo en forma conveniente el meacutetodo y el instrumental de medida Por otra parte es inoperante esforzarse en medir con exactitud alta las magnitudes cuyas incertidumbres no contribuyen en gran medida a la incertidumbre de L

El procedimiento formal que se deberiacutea seguir para determinar el valor de una magnitud en forma indirecta a partir de la medicioacuten directa de otras

35

magnitudes con las cuales estaacute relacionada consistiriacutea en realizar un determinado nuacutemero de mediciones de cada una de las magnitudes que se miden en forma directa para obtener su valor maacutes probable con su incertidumbre respectiva

Sin embargo si las condiciones bajo las cuales se realizan las mediciones

directas son controladas no es necesario proceder de la manera descrita Realizar las mediciones bajo condiciones controladas significa que se puede asegurar la repetibilidad (o la reproducibilidad) de los valores de las magnitudes que se miden en forma directa lo cual significa que las mediciones que se realizan son confiables o de la calidad adecuada (a las necesidades del usuario)

Entre los factores que aseguran la confiabilidad de las mediciones podemos

citar entre otros los siguientes

los instrumentos de medida que se utilizan estaacuten calibrados y su calibracioacuten es trazable a patrones primarios

los procedimientos de medicioacuten empleados estaacuten normalizados es decir son meacutetodos probados documentados en normas y aceptados por los laboratorios autorizados para realizar la calibracioacuten de los instrumentos que son fabricados y comercializados por la industria

las personas que realizan la medicioacuten tienen experiencia por lo que saben usar los instrumentos de medicioacuten y aplican los procedimientos de medicioacuten en forma adecuada

las condiciones bajo las cuales se realizan las mediciones estaacuten controladas y se mantienen estables y

en siacutentesis en las mediciones realizadas en forma directa solamente se cometen errores casuales

Por consiguiente en algunos casos la incertidumbre de las magnitudes que

se miden en forma directa no se calcularaacute sino que en algunas de ellas se proporcionaraacute dicho valor ya sea por el fabricante o por el laboratorio que realizoacute la calibracioacuten del instrumento de medida que se utiliza especificando dicho valor en el informe de calibracioacuten del instrumento En dicho informe se especifica tambieacuten la incertidumbre del patroacuten y el procedimiento de medicioacuten empleados

Si no se cuenta con dicha informacioacuten entonces de acuerdo a las

caracteriacutesticas del instrumento y al procedimiento de medicioacuten se podraacute hacer una estimacioacuten de la incertidumbre de la magnitud a medir Finalmente bastaraacute con realizar soacutelo unas cuantas mediciones (un nuacutemero muy pequentildeo en general bastaraacute con cinco) para hacer una estimacioacuten raacutepida y sencilla de dicha incertidumbre

De acuerdo a lo anterior existen dos tipos de incertidumbre

1 Incertidumbre tipo A Son aquellas determinadas en forma estadiacutestica por el

usuario y

36

2 Incertidumbre tipo B Son las que no se determinan estadiacutesticamente por consiguiente son comunicadas al usuario

Ejemplo Se quiere determinar la aceleracioacuten de la gravedad g midiendo la altura y el tiempo en la caiacuteda libre de una pequentildea esfera de acero

Se determinoacute una altura h =10 m con h = 005 m y un tiempo t = 143 s con

t = 001 s mediante un sistema de fotoceldas y reloj digital Se tiene que

h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2

con los valores medidos 2

222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2

Por otra parte vimos que el error relativo es

22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger

y los factores de sensibilizacioacuten de los errores relativos h

h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h

esto indica que se debe poner el mayor cuidado en la determinacioacuten del tiempo ya que su incertidumbre se propaga con un factor doble que la incertidumbre de la altura

El error porcentual en la medicioacuten del tiempo es

37

70431

100010)(

xte

el mismo error en la determinacioacuten de la altura dariacutea

mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(

Se desprende entonces que no tendriacutea sentido preocuparse por disminuir el

error en la determinacioacuten de la altura por debajo de este valor porque eso no disminuiriacutea el error en la determinacioacuten de g a menos que se mejore la exactitud en la medida del tiempo Esta conclusioacuten tambieacuten da una idea del tipo de instrumento adecuado para medir h

Finalmente los errores relativo y porcentual en la medicioacuten de g son

01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge

10 Ajuste de Datos Experimentales 101 Distribuciones Relacionadas

En el laboratorio de Fiacutesica es habitual efectuar mediciones de magnitudes que se suponen relacionadas y tratar de establecer alguna funcioacuten simple que las vincule Ejemplos Se mide a) Las fuerzas que actuacutean sobre un cuerpo y sus aceleraciones b) Las velocidades iniciales de un cuerpo en tiro vertical y las alturas que alcanza c) Los voluacutemenes de distintas piezas de hierro y sus pesos etc

A veces se conoce de antemano dicha relacioacuten en otras los resultados experimentales son los primeros pasos en el establecimiento de una nueva ley fiacutesica o la corroboracioacuten de un modelo teoacuterico que la predice

En general en estos experimentos se suele variar a voluntad una de las magnitudes y se determinan los correspondientes valores de la otra obtenieacutendose dos distribuciones una para cada magnitud medida las que se organizan en una tabla

38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101

En cada observacioacuten se obtienen dos nuacutemeros Xi Yi que considerados como

par ordenado determinan un punto plano En la representacioacuten graacutefica de los datos deben tenerse en cuenta las incertidumbres en las mediciones de cada

cantidad por lo que se obtienen dos intervalos (Xi X) (Yi Y) es decir un rectaacutengulo de confianza alrededor de cada punto Este rectaacutengulo se reduce a una barra cuando una de las incertidumbres es mucho mayor que la otra

Sea la siguiente graacutefica de los datos de la tabla anterior

Figura 101

Una vez representados los puntos experimentales se traza la curva que mejor

los aproxima Como se busca una relacioacuten simple entre ambas variables la curva deber ser continua y al trazarla se supone que los puntos entre los datos experimentales son los que se obtendriacutean si se hicieran mediciones para los correspondientes valores intermedios 102 Ajuste por Miacutenimos Cuadrados

El ajuste por miacutenimos cuadrados es el meacutetodo maacutes preciso para determinar la funcioacuten que mejor representa la vinculacioacuten entre dos conjuntos de datos relacionados La representacioacuten graacutefica de los valores experimentales juega aquiacute un papel principal dado que de la forma de la curva resultante se debe inferir el tipo de funcioacuten que vincula a las variables

39

Sea f(X) la funcioacuten incoacutegnita y i = Yi ndash f(Xi) sus desviaciones respecto de los datos Es evidente que el acuerdo entre f(X) y los datos seraacute tanto mejor cuanto

menor sean los i Como estas desviaciones son casuales el signo de los i puede

ser tanto positivo como negativo y por ello i 0 cuando N crece La condicioacuten de mejor ajuste se fina entonces pidiendo que sea miacutenima la suma de los cuadrados de las desviaciones (de aquiacute el nombre de meacutetodo de miacutenimos cuadrados) es decir

02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)

Donde los ai son los paraacutemetros que definen la funcioacuten buscada

Figura 102

Esto equivale a ubicar f(X) en el centro de la franja de confianza determinada

por los valores experimentales a) Caso de la recta Si la curva de mejor ajuste es una recta se tiene

f(X) = a X + b (102)

debe quedar claro que aquiacute las incoacutegnitas son a y b

Para la suma de las desviaciones al cuadrado se tiene

22

1 baXY ii (103)

y para la condicioacuten de miacutenimo

40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)

que es el sistema de ecuaciones buscado para obtener a y b b) Caso de la paraacutebola Aquiacute es

cbXaXxf 2)( (106)

222 CbXaXY iiii (107)

condicioacuten de miacutenimo

0 0 0222

cba

iii (108)

derivando (107) se obtiene

cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)

Los sistemas de ecuaciones simultaacuteneas (105) y (109) que permiten

resolver el problema reciben el nombre de sistemas de ecuaciones normales Cuando las funciones de ajuste son de tipo polinomial existe una forma praacutectica de escribirlas que se describe en los pasos siguientes a) Se escribe la funcioacuten sugerida por la graacutefica de los datos

Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41

b) Se suman ambos miembros de 1 a N

cNXbXaYbNXaY iiiii 2

c) Los sistemas de ecuaciones normales se obtienen multiplicando miembro a

miembro las expresiones anteriores por 1 y Xi para la recta por 1 Xi y Xi2 para

la paraacutebola

Suele ocurrir que las funciones ajustadas no son vaacutelidas cuando se las extrapolan fuera del intervalo en que se realizaron las mediciones Esto restringe la relacioacuten obtenida a un cierto rango llamado intervalo de validez de la funcioacuten 103 Reduccioacuten a una Funcioacuten Lineal

Algunas de las funciones obtenidas por ajuste de datos pueden reducirse a la de una recta Esto se hace para aprovechar la simplicidad que brinda el caacutelculo y la interpretacioacuten fiacutesica de los paraacutemetros de las funciones lineales A continuacioacuten se mencionan algunos ejemplos Funcioacuten original Transformacioacuten Funcioacuten Lineal Incertidumbre

F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +

A∙logX Y rsquo = C rsquo + A X rsquo

X

XAX

Y

YY

f(X) = C10AX = Y logY = logC + A X Y rsquo = C rsquo + A X

Y

YY

Ejemplo de Ajuste En un experimento sobre el riel de aire el deslizador marcoacute el papel una vez por segundo mediante un chispeador mientras se desplazaba Los alumnos midieron la distancia entre chispazos con una regla milimetrada y

estimaron X = 1 mm Seguacuten las especificaciones del chispeador tomaron T = 01 s

Figura 103

42

A partir de esta tabla obtuvieron la siguiente graacutefica en papel milimetrado

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104

La graacutefica de los datos sugiere claramente una funcioacuten lineal

L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti

reemplazando valores

938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm

Por ultimo la recta ajustada es

L = (173)∙t ndash 11

43

La interpretacioacuten de los paraacutemetros es aquiacute muy sencilla Como en toda graacutefica espacio-tiempo que resulte lineal la pendiente a da la rapidez del moacutevil

a = v = 173 mms

En el experimento las condiciones iniciales fueron t = 0 L = 0 por lo que b es

el error absoluto en la determinacioacuten del origen de las distancias

b = L0 = -11 mm 11 Graacuteficas

Cuando las distribuciones correspondientes a dos cantidades fiacutesicas estaacuten relacionadas por alguna expresioacuten matemaacutetica simple se dice que existe una regularidad entre ellas y que la misma se expresa mediante la funcioacuten de ajuste

Las graacuteficas juegan un papel importante en el trabajo experimental En

muchas ocasiones una graacutefica muestra los resultados en forma maacutes clara que la correspondiente relacioacuten matemaacutetica 111 Relaciones Lineales El desplazamiento de un deslizador en el riel de aire horizontal ejemplifica el caso maacutes simple de una relacioacuten lineal Interpretar la graacutefica de la relacioacuten entre dos magnitudes fiacutesicas significa realizar un anaacutelisis de la misma que permite obtener informacioacuten adicional En el presente caso se pueden inferir las siguientes conclusiones

Figura 111

44

a) Si se tienen las rectas correspondientes a dos moacuteviles A y B el primero tiene

mayor velocidad como se deduce del hecho que para el mismo lapso t es XA

gt XB b) Las unidades sobre los ejes se toman siempre de modo arbitrario por lo que el

aacutengulo depende de esa eleccioacuten Entonces la rapidez del moacutevil B puede

obtenerse midiendo sobre la graacutefica los segmentos correspondientes t y XB teniendo en cuenta las unidades elegidas

t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm

maul es la unidad elegida para las longitudes

cm

sbut es la unidad elegida para los tiempos

Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)

c) Como ademaacutes vB = tg y para una recta = cte vB es constante y el movimiento es uniforme

d)

Figura 112 Graacutefica de un moacutevil que se desplaza con velocidad constante en sentido negativo del eje X

En esta graacutefica el moacutevil C parte de un punto P a una distancia OP del origen

se acerca a eacutel en el intervalo (0t1) y se aleja para t gt t1 Como

002

Bvtga

Esto indica que el moacutevil se desplaza en sentido

contrario al que se tomoacute como positivo para medir las distancias

45

Figura 113 Graacuteficas que muestran movimientos que no son posibles en la realidad

No existen movimientos reales como los de las figuras 113 a y b En a el

moacutevil no puede pasar instantaacuteneamente de la posicioacuten X1 a la X2 pues eso requeririacutea una velocidad infinita En b soacutelo una aceleracioacuten infinita (lo que implica una fuerza infinita) proporcionariacutea un cambio instantaacuteneo de v1 a v2 112 Obtencioacuten de una graacutefica a partir de otra

En ciertas ocasiones la ley que vincula dos magnitudes fiacutesicas permite construir la graacutefica de una de ellas a partir de la graacutefica experimental de la otra Por ejemplo en una de las praacutecticas se determina la ley de fuerzas para un resorte F = kX obtenieacutendose la graacutefica de la Fig 114a

De ella puede obtenerse la graacutefica (b) de la energiacutea potencial U(X) Como se

debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX

dU y como k gt 0 seraacute FA lt 0

En el punto B 0dX

dU y como k gt 0 seraacute FB gt 0

En el punto 0 0dX

dU y Fo = 0 lo que indica que en la graacutefica de F(X) se tomoacute

el origen en el extremo libre del resorte cuando sobre eacutel no actuaban fuerzas

46

Figura 114

Si se traslada el origen al punto 0rsquo que es el extremo fijo del resorte en el

experimento la ley se expresa FX = -k∙(X-X0) pero las graacuteficas no alteran su forma dado que el comportamiento fiacutesico del resorte es independiente del origen que se elija para hacer las mediciones La graacutefica de U(X) tiene ahora su miacutenimo en X0 como debe ocurrir ya que F(Xo) = 0

Del mismo modo se puede verificar la vinculacioacuten entre las graacuteficas espacio-tiempo X = X(t) velocidad-tiempo v = v(t) y aceleracioacuten-tiempo a = a(t) en los dos ejemplos que se ilustran a continuacioacuten 1) Tiro vertical de una esferita de acero

47

Figura 115 Graacuteficas de posicioacuten velocidad y aceleracioacuten en funcioacuten del tiempo para una partiacutecula que es lanzada verticalmente hacia arriba

El lanzamiento se produce en t = 0 desde una altura inicial Xi con velocidad

inicial vi En el instante t1 alcanza la altura maacutexima y alliacute su velocidad es nula

01 tv En el instante t2 la esferita pasa nuevamente por el punto Xi pero ahora

en sentido contrario Dada la simetriacutea de la paraacutebola respecto al eje t = t1 es t2 = 2 t1 lo que indica que los tiempos de subida contados a partir de t=0 son iguales a los de bajada tomados a partir de t = t1

Tambieacuten se tiene para los moacutedulos de la velocidad

v(0) = vi = v(t2)

y como los sentidos de movimiento son opuestos en esos instantes es

v(0) = - v(t2)

Esto vale para cualquier par de tiempos equidistantes de t1 Por ejemplo si

t1 - tA = tB ndash t1 debe ser X(tA) = X(tB)

v(tA) = - v(tB)

48

Es importante evitar el error de pensar que la esfera se mueve sobre la paraacutebola X(t) Su trayectoria es una recta vertical

Por uacuteltimo dado que la graacutefica v = v(t) es una recta de pendiente negativa la aceleracioacuten seraacute constante y negativa

Los signos son una consecuencia de la eleccioacuten del sentido positivo para el eje X de los desplazamientos Se puede comprobar que si se toma el sentido opuesto para los ejes de las ordenadas las graacuteficas X(t) y v(t) no variacutean y la aceleracioacuten soacutelo sufre un desplazamiento ya que en este caso ggt0 2) Movimiento de un deslizador sobre el riel de aire inclinado

El deslizador choca elaacutesticamente en el extremo del riel En el instante del choque tCH existen discontinuidades que no se analizan Las graacuteficas solo indican las componentes en la direccioacuten del riel en tiempos previos y posteriores al choque Como consecuencia del rozamiento las distancias maacuteximas al origen

antes y despueacutes del choque difieren en d Algo similar ocurre con las

velocidades y se pone de manifiesto en la diferencia de los aacutengulos 1 - 2 =

Figura 116

49

Es decir las velocidades de bajada y subida son distintas ya que si f es la

fuerza de friccioacuten cineacutetica a = -g sen + fm para el movimiento de bajada y a =

-g sen - fm para el movimiento de subida Si el choque es elaacutestico v1 = v2 pero si se toma en cuenta una pequentildea

peacuterdida de energiacutea en la colisioacuten las graacuteficas se modifican como lo muestran las liacuteneas de puntos 113 Relaciones Potenciales

Son del tipo

Y = C XA (112)

por lo que tomando logaritmos

logY = A logX + logC (113)

Esta ecuacioacuten nos dice que si graficamos los logaritmos de la variable Y contra los logaritmos de la variable X se obtiene una recta de pendiente A y ordenada al origen logC

Papel log-log El trazado de la graacutefica se simplifica usando papel logariacutetmico en el que las divisiones en cada eje son proporcionales a los logaritmos de los nuacutemeros naturales De este modo el punto (23) en este papel corresponde al punto (log 2 log 3) en papel cartesiano Los intervalos comprendidos 1 y 10 10 y 100 100 y 1000 etc sobre cada eje se llaman ciclos y el origen de coordenadas corresponde al punto (11) Al graficar sobre este papel los valores (XY) se obtiene directamente la graacutefica de la relacioacuten (113) Ejemplo Se tiene la siguiente tabla de datos y su graacutefica (Figura 117)

X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50

Figura 117 Graacutefica en papel logariacutetmico (log-log)

Del hecho que la graacutefica sea una recta se desprende que los logaritmos de

las variables verifican una relacioacuten del tipo (113) Midiendo la pendiente y la ordenada al origen en la graacutefica se obtiene A = 15 C = 32 cuyos valores pueden cotejarse ajustando por el meacutetodo de miacutenimos cuadrados la relacioacuten

Yrsquo = AXrsquo + Crsquo

donde Yrsquo = logY Xrsquo = logX Crsquo = logC

Entonces la ecuacioacuten que vincula a las variables de acuerdo con (112) es

Y = 32∙X15

51

114 Relaciones Exponenciales

Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)

Ya que por cambio de base siempre puede obtenerse una relacioacuten similar con B = 10 soacutelo es necesario considerar logaritmos decimales Aplicando logaritmos en (114) se obtiene

logY = AX + logC (115) Papel semi-log Para graficar estas funciones se usa papel semilogariacutetmico el cual tiene un eje dividido seguacuten la sucesioacuten de los nuacutemeros naturales y el otro en partes proporcionales a los logaritmos de dicha sucesioacuten El origen es el (01) y un punto cualquiera (XY) sobre este papel equivale al punto (X logY) en papel cartesiano Ejemplo Se tiene la siguiente tabla de valores

X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112

La graacutefica de estos datos en papel semilog se muestra en la siguiente hoja

La recta que aparece en la graacutefica indica que las variables verifican la

relacioacuten (115) Un ajuste por miacutenimos cuadrados de la funcioacuten

Yrsquo = AX + Crsquo

52

Figura 117 Graacutefica en papel semilogariacutetmico (semi-log)

53

donde Yrsquo = logY Crsquo = logC permite obtener los valores A y C que pueden compararse con la pendiente y la ordenada al origen de la graacutefica Esos valores son

A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea

1 D C Baird Experimentacioacuten Una introduccioacuten a la teoriacutea de mediciones y al disentildeo de experimentos 2ordf edicioacuten Prentice-Hall Hispanoamericana (1991)

2 Norma Oficial Mexicana NOM-008-SCFI-2002 Sistema General de Unidades de Medida

3 Ley Federal sobre Metrologiacutea y Normalizacioacuten Publicada en el Diario Oficial de la Federacioacuten el 1ordm de Julio de 1992 Uacuteltima reforma publicada DOF 28-07-2006

4 Wolfgang A Schmid y Rubeacuten J Lazos Martiacutenez Guiacutea para Estimar la Incertidumbre de la Medicioacuten Rev 1 Centro Nacional de Metrologiacutea (2004)

5 G L Squires Fiacutesica Praacutectica McGraw-Hill (1972)

6 Jack P Holman Meacutetodos Experimentales para Ingenieros 4ordf edicioacuten (Segunda edicioacuten en espantildeol) McGraw-Hill (1986)

7 E Kreyszig Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Limusa (1973)

2

correctamente los valores de las magnitudes con los siacutembolos de las unidades del SI con lo cual evita confusiones y permite una comunicacioacuten uniacutevoca Unidades de Base Se han elegido siete unidades para que sirvan de base al SI las cuales se indican en la Tabla 11

MAGNITUD

NOMBRE SIMBOLO

Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s intensidad de corriente eleacutectrica Ampere A temperatura termodinaacutemica Kelvin K intensidad luminosa Candela cd cantidad de sustancia Mol mol

Tabla 11 Unidades de base o fundamentales del SI

Las definiciones de las unidades de base o fundamentales del SI son El metro (m) se define como la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vaciacuteo en un lapso de 1 299 792 458 de segundo (17ordf Conferencia General de Pesas y Medidas de 1983)

El kilogramo (kg) se define como la masa igual a la del prototipo internacional del kilogramo (1ordf y 3ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1889 y 1901)

El segundo (s) se define como la duracioacuten de 9 192 631 770 periacuteodos de la radiacioacuten correspondiente a la transicioacuten entre los dos niveles hiperfinos del estado base del aacutetomo de cesio 133 (13ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1967)

El ampere (A) se define como la intensidad de una corriente constante que mantenida en dos conductores paralelos rectiliacuteneos de longitud infinita de seccioacuten circular despreciable colocados a un metro de distancia entre siacute en el vaciacuteo produciriacutea entre estos conductores una fuerza igual a 2 X 10-7 Newton por metro de longitud (9ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1948)

El kelvin (K) se define como la fraccioacuten 127316 de la temperatura termodinaacutemica del punto triple del agua (13ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1967)

El mol (mol) se define como la cantidad de materia que contiene tantas unidades elementales como aacutetomos existen en 0012 kilogramos de carbono 12 (12C) (14ordf Conferencia General de Pesas y Medidas 1971)

La candela (cd) se define como la intensidad luminosa en una direccioacuten dada de una fuente que emite una radiacioacuten monocromaacutetica de frecuencia 540 x 1012 Hz y

3










4




5



6








7










8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








3










4




5



6








7










8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








4




5



6








7










8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








5



6








7










8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








6








7










8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








7










8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








8



XXX (21)

de donde XXX (22)


XX (23)

y escribir










9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








9


X

X

XX

X

X

Xer

(25)


100 ree (26)



X

X

X

XK

(27)




cmX )50 084(

31006005952380084

50 re

600 100 ree

7166K



mmd )10 13(

10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








10

030 13

10 re

03 100 ree

3333 K







11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








11



t = n T


sn

TsTt 5

1 51 (28)



esoscilacion 100125

100100

n

xnxT

T





12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








12






lT

g2

24




13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








13


1 3 2 (5)m 21 3 (4)s 13 7 6 (9) kg

0 4 (7) m + 9 8 (1)s + 8 5 (8)kg 1 7 (9) (5)m 31 1 (5)s 9 3 (7)kg 31 7 (1) (9) kg



Producto 3 2 (8) m X= 05 m e(x) = 152

x 5 4 (2) m Y= 05 m e(Y) = 092 (6) (5) (6) 1 3 (1) (2) (42) 1 6 4 (0) ______

1 7 7 (7) (7) (6)m2 e(S) = S

S x 100 = e(x) + e(Y) = 244

244100

8177442m

xS

2)447177( mS

5 3 (2) N F= 001 N e (F) = 02

x 0 8 (1) m L= 001 m e (L) = 12 (5) (3) (2) (43)

4 2 (5) (6)______ e()=14=

x 100

= 4 3 (0) (9) (2) N m

m N 060100

30441 x

= (430 006) Nm

14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








14


31100531

020)020531( emx

4444 485)531( mmxy 4)485( myy

44

30280314100 mmyY

Ye

4)3055( my


3313)2051(

2 ems

mXxX

0802

3313100

224712247151

mx )080221(

5 Errores Casuales



15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








15













XXXXX (61)




16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








16




11)( Nxf (62)


NNxp )( 11 (63)




N




N N





17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








17










18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








18













NAA

Rd (62)



19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








19


1 138 6 157 11 164 16 150 21 132 26 144 31 125 36 149

2 146 7 144 12 158 17 140 22 147 27 136 32 148 37 152

3 168 8 165 13 126 18 138 23 176 28 163 33 119 38 154

4 146 9 135 14 173 19 142 24 147 29 135 34 153 39 140

5 161 10 128 15 145 20 135 25 142 30 150 35 156 40 145


De ella se obtiene

Xm = 119 cm

XM = 176 cm

R = 176 cm ndash 119 cm = 57 cm

cm A

R

6 A 632 40 N

59




(119 - 129) cm (130 - 140) cm (141 - 151) cm (152 - 162) cm (163 - 173) cm (174 - 184) cm

20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








20



(137 - 147) cm (148 - 158) cm (159 - 169) cm (170 - 180) cm






Rango


21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








21




Intervalos [cm]


Conteo f p fa

115 - 125 120 II 2 005 005

126 - 136 131 II 7 0175 0225

137 - 147 142 IIII 14 035 0575

148 - 158 153 10 025 0825

159 - 169 164 5 0125 095

170 - 180 175 II 2 005 100








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








22










2

7

14

10

5

2

0

3

6

9

12

15

1 2 3 4 5 6 7 8

Mensurando

Fre

cu

en

cia

109 120 131 142 153 164 175 186

X

Mensurando X (cm)

X ndash σ X + σ

X X + E X ndash E

23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








23


i

N

iN X

NXXXX

NX

1321

1

1

(71)



ii

S

iii

S

iXpXf

NX

11

1

(72)




2

1

NXX si N es impar

1222

1



cf

fLX

m

N 2

1

(74)




dL

LX

21

1ˆ (75)



24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








24

XdL

LX

ˆ

ˆ

1

1

2

1

(76)

de donde

dLX

21

1

1ˆ (77)







ii

i

GXXN

XXMD

(78)

25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








25


ii

ii

GpN

XXfMD

(79)





N

G

N

XX ii

22

(710)


2

2

ii

ii GpN

Gf

(711)





222

2 XNXXXXX iii (713)

y dividiendo por N

22222

2

21

XXXXXNN

XXi

i

(714)

de donde

22 XX (715)

26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








26


2

2

1 1

NXXXN

y (X)2 el


2

21

N






65146X cm










27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








27









00

22

N

Ax

AN

Ax

AA

ii (716)



Sumando de 1 a N


y dividiendo por N

22

2

21

AN

XAX

NN

AX i

i

i (719)

22 2 AXAX (720)


0222 22

2

AXAXAX

AN

AX

A

i (721)

por lo tanto

XA (722)

28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








28











2S varianza (725)

Se observa que



22222 12

1(

11EP

NEP

NNM

NS iii E)-Pi (727)

pero

EXXXN

XXXN

PN

iii 111

- (728)

29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








29


222 12

1EP

NEEP

NS ii E 2 ( 729)

Elevando iPN

1 al cuadrado queda

2

2

2

2

11EPP

NP

Njii (730)

donde


(731)

con lo que

jii PPN

NEPN

11 22 (732)

entonces se tiene

222 1 ji PP

NENES (733)

y

ji PPNNN

E

)1(

1

1

22

(734)



1

NE

(735)


NE

(736)

30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








30


NXX

(737)








X+X) es

2

2

2

2

XX

eXN

N

(81)



La expresioacuten

2

2

2

2 0

XX

eN

X

NliacutemX

(82)



31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








31








respecto de X






dxeN

N X

X

XX

2

1

2

2

2

2

1

(83)

32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








32








Xrsquo = X X (92)

33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








33












ejemplo

L = f(XYZ) (97)




Z

fZ

Y

fY

X

fXZYXf

ZZYYXXfZYXfL

)(

)()(

(98)

de donde

ZZ

fY

Y

fX

X

fLZYXfL

)( (99)



f

Y

f

X

f

por lo que se

34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








34




222

Z

Z

fY

Y

fX

X

fEc (910)





222

Z

Z

Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

XL

Y

Y

X

X

L (911)

siendo Z

f

L

Z

Y

f

L

Y

X

f

L

X


errores relativos Z

Z

Y

Y

X

X




35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








35

















usuario y

36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








36





h = 05 gt2

2

2 t

hg

por lo tanto

32

42

t

h

t

g

th

g

y

222

22

140005 smtt

gh

h

gg

= 015 ms

2


222789

)431(

1022sm

S

mx

t

hg

entonces

g = (978 019) ms2 =gt 959 ms2 lt g lt 997 ms2


22

t

t

t

g

g

t

h

h

h

g

g

h

g

ger


h

t

t

002001

t

g

g

t

h

g

g

h



37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








37

70431

100010)(

xte


mhxm

hx

h

hhe 05050100

10100)(




01500140005022

g

g

51100)(

xg

gge





38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








38

X X X2 Xi XN

X Y1 Y2 Yi YN

Tabla 101





Figura 101




39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








39




02

i

2

i

a miacutenimo

i (101)


Figura 102



f(X) = a X + b (102)



22

1 baXY ii (103)


40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








40

0022

ba

ii (104)

Derivando (103)

NbXaY

XbXaYX

baXY

baXYX

ii

iiii

ii

iii

2

02

02

(105)


cbXaXxf 2)( (106)



0 0 0222

cba

iii (108)


cNXbXaY

XcXbXaYX

XcXbXaYX

CbXaXY

cbXaXYX

cbXaXYx

iii

iiiii

iiiii

iii

iiii

iii

02

02

02

2

23

2342

2

2

2

1

2

(109)



Recta Paraacutebola

Y = a X + b Y=a X2 + b X + c

41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








41





la paraacutebola



F(X) = CX 2

Z = X 2 G(Z) = C Z XXZ 2

2)(

X

CXf

2

1

XZ h(Z) = C Z

3X

XZ

f(X) = CX A = Y

logY = logC +


X

XAX

Y

YY


Y

YY



Figura 103

42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








42


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 2 4 6 8 10 12

t [s]

L [

cm

]

Figura 104


L = a t + b

Las ecuaciones son

Li = ati + bN

Li ti = at2i + bti


938 = 55 a + 10b 6538 = 385a + 55b

de donde

a = 1726 mms = 173 mms

b = -113 mm = -11 mm


L = (173)∙t ndash 11

43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








43


a = v = 173 mms







Figura 111

44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








44






t

lBB

u

u

t

Xv

donde

cm


cm


Por lo tanto s

m

b

a

t

X

cms

cmm

b

a

cm

cm

t

Xv BB

B

(111)


d)




002

Bvtga



45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








45






debe cumplir X

UFX

es evidente que 2

)(2

1XkU X

En el punto A 0dX


En el punto B 0dX


En el punto 0 0dX



46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








46

Figura 114




47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








47







v(0) = vi = v(t2)


v(0) = - v(t2)



v(tA) = - v(tB)

48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








48







Figura 116

49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








49





Son del tipo

Y = C XA (112)





X Y

10

15

20

25

30

35

40

45

50

320

588

905

1265

1663

2095

2560

3055

3578

Tabla 111

50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








50







Y = 32∙X15

51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








51


Son las de la forma

Y = C∙BAX (114)



X Y

0

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

200

267

356

474

632

843

1125

1500

2000

2667

3557

Tabla 112





52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








52


53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








53


A = 2 C= 025

Por lo tanto

Y = 2 10025X

54

Bibliografiacutea








54

Bibliografiacutea








Notas_mediciones e Indertidumbres

Documents

Transcript of Notas_mediciones e Indertidumbres