Núcleo de una transformación lineal

1. NÚCLEO Sea L:->W una transformación lineal, entonces el núcleo de L, notado por N(L), es el

subconjunto de V, que contiene todos los elementos v Є V, tales que sus imágenes son iguales a

cero. Así: N(L)={v є V/L(v)= 0 є W}

2. TEOREMA Sea L:V->W una transformación lineal, entonces se cumple que: El núcleo de L es

un subespacio vectorial de V.

W una transformación lineal, entonces la imagen de L , notada por Im (L), es el subconjunto de W

, que contiene todos los elementos w ϵ W, que son imágenes de vectores v ϵ V debidas a la

transformación L. Así: Im(L)= {w ϵ W /Ǝ v ϵ V, L(v)= w} A la imagen de L se le llama también rango

o recorrido de L .3. Imagen Sea L: V

Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los

vectores en V que se mapean a cero en W.

Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen un vector en el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida

como

X −2 x + 3 z

T Y = −23 x − 15 y − 18 z

Z −5 x − 3 y − 3 z

dentro de las opciones:

1. v1 = (0, 0, 0)′

2. v2 = (12, −28, 8)′

3. v3 = (1, −2, 1)′

Solución

Antes de pasar a la verificación, es conveniente observar que es posible encontrar una

matriz A tal que T(x) = A·x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una

cierta matriz A al vector x.

Empecemos con la dimensión de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el

número de columnas de A es 3.

Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3 , entonces el número de renglones de A

es 3.

El vector v1 está en el núcleo de T debido a que

− 2 0 3

A = −23 −15 −18

− 5 −3 −3

El vector v1 está en el núcleo de T debido a que

-2 0 3 0 0

T(v1) = Av1 = -23 -15 -18 . 0 = 0 = 0

-5 -3 -3 0 0

-2 0 3 12 0

T(v2) = Av2 = -23 -15 -18 . -28 = 0 = 0

-5 -3 -3 8 0

El vector v3 no está en el núcleo de T debido a que

-2 0 3 1 1

T(v3) = Av3 = -23 -15 -18 . -2 = -11 ≠ 0

-5 -3 -3 1 -2