Un Ejemplo de Tareas Escolares

Las tareas escolares deben contribuir al objetivo de hacer de ustedes personas de bien, cultas y capaces de alcanzar el éxito en lo que se propongan. Nuestra meta es que el aprendizaje y la escuela sean, como afirma el Dr. Seymour Papert “difícilmente divertidos” 1 y que ustedes no solamente se esfuercen sino también se diviertan mientras desarrollan estas tareas.

La evaluación que recibirán se guiará por varios criterios que están detallados en la matriz de criterios de evaluación que recibirán junto con las primeras tareas y que serán utilizadas siempre que presenten un trabajo. Lo que pretendemos es que ustedes sean capaces de:

1. Pensar y razonar para analizar situaciones enfocándolas desde distintos puntos de vista

2. Imaginar opciones variadas de solución para un mismo problema ejercitando su creatividad

3. Comunicar con claridad sus pensamientos 4. Ejercitar su capacidad de juzgar críticamente situaciones para las que no tienen

precedente ni experiencia y, por lo tanto, no puede aplicar recetas al pie de la letra

En algunos casos excepcionales puede ser conveniente la opción de realizar ejercicios, que son distintos de tareas y no se evalúan según la matriz sino numéricamente en función del cumplimiento. La finalidad de los ejercicios es entrenarlos en ciertas capacidades que se adquieren con la práctica frecuente (el equivalente de hacer series de abdominales u otra clase de ejercicios como parte de un programa de acondicionamiento físico o repetir una y otra vez ciertos juegos como los “jaxes” y las canicas, si es que aun las practican, o los juegos de video en los que la destreza se adquiere con la repetición constante).

De acuerdo a lo anterior les estamos entregando una serie de tareas que consiste en problemas que analizarán de acuerdo al nivel de desarrollo requerido en el grado que están cursando. A diferencia de las tareas tradicionales, pueden consultar entre ustedes y compartir las ideas que tengan sobre las posibles soluciones. Los planteamientos de solución que hagan deben ser propios, cada uno y una deberá poder sustentarlos y explicarlos con claridad.

Recuerden que no se trata de aplicar necesariamente una regla conocida sino que su trabajo será evaluado por el análisis previo y la forma cómo llegaron a una solución y no solo por el resultado que obtengan. Revisen la matriz de criterios de evaluación y presenten una autoevaluación de su trabajo junto con su informe.

1 Seymour Papert es el creador de una teoría del aprendizaje conocida como Construccionismo que sostiene que las personas aprenden mejor cuando están comprometidas en la construcción de algo que les resulte importante. Según él “querer aprender” es el principal ingrediente para hacerlo.

Los profesores tienen, en este enfoque, dos "bandejas de recepción" etiquetadas "trabajo en proceso" y "trabajo terminado”. En la primera de ellas ustedes entregarán trabajos que aún no han concluido pero que requieren comentarios y/o sugerencias del profesor que pueden incluir, si el profesor lo considera conveniente, una nota tentativa. La segunda bandeja es para trabajos que ustedes consideran que están terminados y recibirán comentarios y nota definitiva de parte del profesor. En todos los trabajos, el profesor indicará una fecha límite, cumplida la cual todos los trabajos "en proceso" se convierten automáticamente en definitivos. El plazo de devolución de los trabajos en proceso será de 24 horas, a menos que se trate de trabajos excepcionalmente complejos como ensayos de más de diez páginas o experimentos que incluyan múltiples variables y valores.

Los profesores y profesoras están a vuestra disposición para ayudarlos en el análisis de las situaciones planteadas en las tareas y esperamos que consulten Internet, a vuestros padres, madres y/o amigos, cumpliendo siempre con indicar la fuente de la que han obtenido la información que utilicen.

Buena suerte y gran esfuerzo.

Oscar Becerra, M.Ed.

CRITERIOS 0

No cumplió

1

Deficiente

2

Regular

3

Bueno

4 Muy

Bueno

5

Excelente

1. El texto presentado es claro, enfocado e interesante.

Divaga y no propone, no se

entiende

Se entiende pero no está centrado en

el tema

Cumple de manera

mínima con lo esperado

Comunica con claridad sus

pensamientos y demuestra capacidad

crítica incipiente

Ofrece al menos una explicación

alternativas a las obvias

demostrando capacidad de

análisis

Ofrece variadas explicaciones

alternativas a las obvias

demostrando creatividad y capacidad de

análisis

2. Cumple con las reglas gramaticales y ortográficas.

Múltiples errores de

gramática y ortografía que

impiden la comprensión

Algunos errores que dificultan la

comprensión

Algunos errores que no

impiden ni dificultan la

comprensión

Mínimos errores. El texto

se entiende claramente

Redacción pulcra e impecable. Vocabulario

acorde con el nivel y grado

Redacción pulcra e impecable, uso

creativo del lenguaje.

Vocabulario que excede el nivel y

grado

2. La presentación es organizada y coherente. El alumno explica con propiedad el contenido y no incurre en errores

Desordenado e incoherente.

Incurre en contradicciones.

Plagio o presentación de ideas ajenas sin

acreditar la fuente

No se contradice

pero es desordenado

y poco coherente.

No presenta referencias

Ligeramente desordenado

pero coherente. Sin

referencias

Ordenado y coherente.

Ideas organizadas. Al

menos una referencia

externa

Secuencia clara de ideas

principales y secundarias.

Algunas ideas se sustentan en referencias

externas

Se entiende claramente la

subordinación de ideas principales y

secundarias. Referencias

externas que respaldan todas las afirmaciones

4. Presentación clara de las conclusiones

No hay conclusiones

Conclusiones no se

desprenden del desarrollo del contenido

Al menos una conclusión se desprende del

contenido

Algunas conclusiones se desprenden del

contenido

Todas las conclusiones se desprenden del contenido y lo

abarcan completamente

Las conclusiones demuestran un

análisis completo y creativo de las

ideas presentadas

5. Analiza la situación planteada desde varios puntos de vista y ofrece opciones variadas de solución para la situación

Un solo punto de vista que sigue al pie de la letra lo planteado, no

ofrece solución o esta no es viable

Intenta ponerse en la

situación planteada

desde un solo punto de

vista. Solución

única

Ofrece al menos una

alternativa de solución e

interpretación a la situación

propuesta

Ofrece más de dos opciones

de interpretación y

solución

Ofrece más de dos opciones de interpretación y

solución y las analiza en

profundidad

El análisis incluye interpretaciones creativas de la situación que

demuestran un esfuerzo por “salir del molde” en la

búsqueda de soluciones nuevas

El Caso de Don Felipe y la Regla de Tres Inversa

Por: Oscar Becerra Tresierra

Usted ha comentado con el Ing° Felipe de la Rueda, ex - Director de Obras Públicas del

antiguo Ministerio de Fomento y administrador de numerosas obras de ingeniería, ahora

retirado, los problemas que tiene para explicar a los niños la aplicabilidad de algunos

conceptos aritméticos como la Regla de Tres Inversa, a situaciones de la vida diaria.

Don Felipe, que es apasionado por temas educativos, se muestra vivamente interesado

en ayudarla e incluso le ofrece visitar su clase para conversar con los niños algún día.

Además se compromete a buscar en sus archivos, algunos datos de situaciones reales

que pudieran ilustrar el concepto mencionado. Días después Don Felipe le entrega un

cuadro que había preparado con información de muchos años y cientos de obras de

ingeniería civil y le explica lo siguiente.

“Entre 1955 y 1963, registramos estadísticas de muchísimas obras de ingeniería, desde

remodelaciones de colegios, hasta construcción de carreteras y puentes, o edificios para

albergar municipalidades, hospitales y hasta un cementerio. Con el fin de poder controlar

a los contratistas del estado se definió una unidad de trabajo promedio u “obra patrón” a

la cual estaban referidos todos los cálculos que se hacía para estimar el número de

obreros y el tiempo, que hacían falta para completar una obra. El cuadro adjunto muestra

en cuántos días se terminaba una “obra patrón” cuando se contaba con el número de

obreros que se indica en la columna 1.

Recuerdo lo gracioso que nos resultó cuando un connotado político que iba a visitar

Sicuani (su pueblo natal) para Fiestas Patrias, nos pidió que concluyéramos la obra que

estábamos realizando (un hospital) antes de su llegada, para inaugurarla. Para entonces

teníamos 60 obreros trabajando y faltaban 30 días para terminar la obra. Cuando el señor

en cuestión apareció por mi oficina era 15 de julio y nos pidió que no escatimáramos

esfuerzos y trasladáramos la gente que hiciera falta, del Cuzco y hasta de Juliaca y

Arequipa pero que el hospital se tenía que inaugurar el 28 o a más tardar, el 29 de julio.

En otra ocasión, debido a una prolongada huelga del sector construcción civil, sólo uno

de cada 4 obreros trabajaba en un colegio al que se habían asignado 8 trabajadores

(porque era mediados de enero, la obra estaba casi terminada, y se había estimado que

ese grupo tendría listo el colegio en no más de 20 días). El Ministro de Educación nos

pidió que estimáramos cuánto tiempo tardarían los obreros disponibles en terminar el

colegio porque quería tenerlo listo para el 1 de marzo en que se reincorporaban los

maestros. ¡Menudo problema en que nos vimos metidos entonces!”.

Discuta la posibilidad de encontrar una solución al problema planteado haciendo uso

de las herramientas matemáticas adquiridas por un estudiante: a) promedio de

secundaria y, b) de segundo ciclo de educación superior.

Discuta los factores que podrían afectar la validez de sus conclusiones.

Analice de qué maneras la computadora e Internet pueden ayudar en el análisis y

proponga formas de utilizar el caso en diversas áreas curriculares, más allá de la

obvia que sería aritmética.

Número de obreros Días necesarios para concluir la obra

8

12

16

18

20

24

30

32

36

40

44

48

52

56

60

64

1000

680

480

400

360

300

240

225

200

180

165

156

148

142

139

138

El Caso de las Hormigas Teñidas

Por: Oscar Becerra Tresierra

Un equipo de biólogos integrado por los doctores Frank Beetle, Diego Mosca y Emilia Ureta,

está estudiando una especie de hormigas que tiene una marcada delimitación geográfica, es

decir que muy rara vez se alejan más de 50 metros de su hormiguero. Esta peculiaridad les

ha permitido (a los biólogos) estudiarlas (a las hormigas) con mucho detalle y relativa

comodidad; sin embargo, ha resultado difícil estimar el número total de hormigas que viven

en un hormiguero, un dato muy importante para un estudio de desarrollo sostenible en el que

la Dra. Ureta está empeñada. Frank ha sugerido un procedimiento que parece ser muy

promisorio:

Capturar una muestra de 5000 (en la práctica resultaron 5840) hormigas vivas y, utilizando

un aerosol de pintura fosforescente, teñirlas de manera que se diferencien del resto de la

población. Hecho esto, las hormigas son devueltas al hormiguero. Pasados dos días se

vuelve a capturar una muestra de 5000 hormigas (esta vez el número exacto fue 5920) y

se encuentra que solamente 4 están teñidas por la pintura fosforescente. El Dr. Beetle

sugiere que es posible estimar el número total de hormigas mediante una sencilla Regla

de Tres, de la siguiente manera: 4 hormigas son a una muestra de 5920 como 5840 serán

a la población total del hormiguero. El método les pareció a Emilia y Diego bastante

ingenioso y convincente, sin embargo se plantearon las siguientes preguntas:

¿Qué sucedería si las hormigas fueran alérgicas a la pintura y muchas de las 5840

originales hubieran muerto luego de la aplicación?

¿Cómo determinar si las demás hormigas distinguen a las “teñidas” y ello provoca una

reacción de rechazo?

Si se lograra determinar que las hormigas no son alérgicas ni distinguibles por el resto de

la población. ¿Cómo estar seguros que es posible aplicar la Regla de Tres en este caso?

Usted, ha sido llamada/o para asesorar al equipo de Biólogos y sugerir qué hacer. A fin de

entender mejor el problema se toma 2 muestras diarias del mismo número de hormigas y

se registran cuántas están teñidas (ver tabla al final).

Dos días más tarde el Dr. Mosca reporta un interesante hallazgo: Las hormigas de esta

especie parecen ser algo sensibles a la pintura utilizada. Diego ha estado experimentado

con pequeñas muestras de hormigas (alrededor de 100 individuos) y ha encontrado que

en las 24 horas siguientes a la aplicación de la pintura, un promedio del 20% de las

hormigas pintadas muere, del restante 80%, un promedio de 10% muere en las siguientes

24 horas, pero las sobrevivientes asimilan los químicos utilizados y continúan con su vida

normal.

Día Muestra Tamaño de muestra Número de hormigas “teñidas”

1 1 5,970 3

2 5,740 4

2 3 6,050 4

4 5,750 5

3 5 5,920 2

6 5,980 4

4 7 5,880 3

8 5,990 3

5 9 5,870 4

10 6,030 4

6 11 5,950 3

12 5,940 3

7 13 5,970 4

14 5,780 4

Explique si es posible estimar la población de hormigas en el hormiguero y de ser así

indique la población aproximada del hormiguero en estudio.

Discuta los factores que podrían afectar la validez de sus conclusiones.

Analice de qué maneras la computadora e Internet pueden ayudar en el análisis y proponga

formas de utilizar el caso en diversas áreas curriculares, más allá de la obvia que sería

aritmética.

La Herencia del Pastor

Oscar Becerra, M.Ed.

Hermógenes Condori era un pastor de alpacas que vivía cerca del parque nacional de Pampa Galeras a más de cuatro mil metros de altura. Vivía con su mujer Domitila y sus tres hijos: Fabián de 19 años, Heriberto de 17 y Marcelina de 13, en una pequeña casa de adobe. Los dos mayores habían terminado la secundaria en la escuela del pueblo más cercano y Marcelina acababa de empezar el primero de secundaria. A pesar de la lejanía, pues habían de caminar dos horas y media para llegar a la escuela todos los días, la familia Condori estaba convencida que la educación era importante, especialmente ahora que la lana de alpaca se había puesto de moda y sus ingresos podían mejorar. Incluso habían escuchado que algunos restaurantes en Lima ofrecían platos a base de alpaca y que podrían ofrecer lana, piel y carne si el número de sus animales seguía creciendo. Su rebaño consistía en 35 alpacas que constituían todo el patrimonio familiar.

Debido a una enfermedad de Domitila, Hermógenes les planteó a sus hijos la necesidad de vender el rebaño y mudarse a Ica donde tenían unos parientes que les habían ofrecido ayudarlos a instalarse e iniciar una nueva vida. Para sorpresa de ambos padres, los hijos les comunicaron que preferían quedarse en la casa y continuar con la vida de pastores que la familia había conservado durante siglos. Ellos estaban convencidos que nada se compararía con la libertad que disfrutaban en contacto con la naturaleza y prometieron que se ocuparían de asegurar que Marcelina terminaría sus estudios. El temor de Fabián era que Marcelina terminara de sirvienta en una casa de la costa y él y su hermano de guardianes o peones.

Hermógenes y Domitila partieron, no sin antes abrazar a sus hijos y encomendarles que cuiden a Marcelina y se aseguren que no abandone el colegio por cuidar al rebaño. Por si decidían distribuir el rebaño y para evitar peleas entre hermanos, Hermógenes y Domitila les entregaron una carta cerrada en la que les daban las instrucciones para repartir las 35 alpacas.

Luego de unos meses, Raúl Armenteros, un turista que hacía senderismo por la zona y había comprado una alpaca para exponer en los jardines de su restaurant en Lima, llegó hasta la casa de los hermanos Condori, quienes casualmente habían decidido que era una buena idea separar el rebaño según los deseos de sus padres y se encontraban discutiendo pues, aparentemente, la carta que les habían dejado era imposible de ejecutar. Luego de saludarse mutuamente los hermanos le explicaron a Raúl el problema en el que estaban:

Fabián: Mira Raúl, mis padres dejaron esta carta en la que nos dan las instrucciones para repartir el rebaño, léela Marcelina.

Marcelina: Queridos hijos, espero que si se animan a repartir las alpacas de nuestro rebaño, no sea motivo para que se separen. Seguramente el rebaño podrá seguir creciendo y así

servirles de sustento a los tres por mucho tiempo como ha sido tradición en nuestra familia. A Fabián, que seguramente pronto se casará y hará su propia familia, nos parece conveniente dejarle la mitad del rebaño. Heriberto debiera quedarse con un tercio, pues con dedicación y esfuerzo lo hará crecer y seguramente tendrá pronto uno igual o mayor que el de Fabián. Marcelina está aún pequeña y no creo que pueda preocuparse mucho por sus animales, pues terminar la escuela debe ser su principal tarea así que a ella le dejamos un noveno del rebaño. Con cariño, sus padres.

Heriberto: Te das cuenta, tenemos 35 alpacas, o sea que no es posible repartirlas según las instrucciones pues no queremos matar ninguna y no hay otra manera de partir una alpaca en partes para hacer la división.

Raúl: Creo que yo los puedo ayudar. Las matemáticas siempre han sido mi hobby y nunca pensé que pudieran servir para otra cosa que para distraerme pero ahora veo lo útiles que pueden ser. Antes permítanme que incluya en el reparto esta alpaca que he comprado para que me sirva de adorno en el restaurant que tengo en Lima, si no les molesta.

Los tres hermanos agradecieron el presente y procedieron a escuchar el reparto que hizo Raúl:

Raúl: Bueno, ahora tenemos 36 alpacas, es decir que Fabián recibirá 18 que es más de las 17 y media que iba a recibir según las instrucciones de vuestros padres. De igual manera, Heriberto recibirá un poco más de lo que esperaba, pues le corresponde la tercera parte de 36 que es 12. Marcelina por su parte, recibirá 4 alpacas, que es la novena parte de 36 o sea, un poco más de lo que le correspondía según la carta que acaba de leer. Como pueden ver, cada uno ha recibido más de lo que le correspondía y aún quedan dos alpacas que, para coincidencia son justamente el macho que yo había traído y una hembra que podría ser mi justa recompensa por haberlos ayudado en este difícil trance ¿no les parece?

Fabián: Estoy realmente sorprendido. Muchas gracias por tu ayuda Raúl y ojalá que tú también puedas empezar tu rebañito con esta pareja que te llevas. No te olvides de hacerlas trasquilar frecuentemente porque en Lima el clima es distinto y las alpacas no están acostumbradas al calor.

Preguntas

1. ¿Cómo se explica que cada hermano haya recibido más de lo que le correspondía y, aun así sobren dos animales?

2. Presente su explicación de forma gráfica, representando las fracciones como porciones de un círculo

El problema de los vendedores de melones Oscar Becerra, M.Ed.

Jacinto y Remigio son dos campesinos que cultivan melones y los venden en el mercado para mantener a sus familias. Un fin de semana que se encontraron, camino del mercado conversaban sobre sus melones y el precio al que planeaban venderlos: Jacinto: Están hermosos tus melones Remigio, parece que has tenido una buena cosecha. Remigio: Gracias a Dios Jacinto, estoy llevando 210 melones para vender en el mercado. Jacinto: Pensé que llevabas más, yo llevo el doble pero tu carretilla parece tan llena como la

mía, ¿será que mi canasta es un poco más honda? Remigio: Debe ser, o tal vez sea por la forma o el tamaño de los melones, me parece que los

míos son un poco más grandes, o quizás también por la forma, veo que los tuyos son más ovalados y los míos más bien redonditos. Y ¿a qué precio piensas venderlos?

Jacinto: He pensado ofrecerlos a 3 por cinco soles, así me evito el problema de estar dando vuelto y creo que puedo salir de ellos más rápidamente, la semana pasada que los vendía a S/.1.70 cada uno, se me hizo un enredo porque no tenía cambio y demoré bastante. Creo que la pérdida aparente no es importante porque a las finales, igual terminé dejándolos a S/.1.50 para acelerar la venta antes que cierre el mercado y para que el sol no me los eche a perder.

Remigio: ¡Qué buena idea! Yo había pensado vender los míos a S/.2.50 cada uno pero creo que es mejor venderlos por pares a dos por cinco soles y van a salir más rápido.

Jacinto: Oye…, y si nos juntamos y los vendemos a cinco por diez soles, así no competimos por precio y podemos hacer turnos para almorzar y apoyarnos a eso de las diez de la mañana que es la hora punta porque las señoras prefieren venir al mercado después de dejar a sus hijos al colegio y tomar desayuno.

Remigio: Excelente idea, hagámoslo así. Los dos amigos pusieron en práctica la idea de Jacinto y les fue tan bien que a las dos de la tarde habían vendido todos los melones, de manera que se fueron a almorzar y hacer cuentas para repartir las ganancias de la venta del día. Jacinto separó S/.700.00 del dinero que habían obtenido, que era lo que había calculado obtener por la venta de todos sus melones y Remigio que planeó vender los suyos a S/.2.50 cada uno tomó S/.525.00. Cuál no sería la sorpresa de ambos cuando encontraron que luego del reparto sobraba dinero. Esta historia nos deja algunas interrogantes, algunas sencillas y otras un poco más complicadas:

1. ¿Cuántos melones llevó Jacinto? 2. ¿Por qué habla Jacinto de una pérdida aparente y a cuánto asciende? 3. ¿Por qué será que Remigio cree que es mejor vender dos por cinco soles en lugar de cada

uno a S/2.50? 4. ¿Será verdad que sobró dinero? ¿Cuánto? y ¿Por qué?

5.

El Caso del Turista Perdido

Oscar Becerra Tresierra, M.Ed.

Nigel Jorgenssen era un turista escandinavo que había decidido hacer el viaje hacia Machu

Picchu por el camino Inca. Su plan era recorrer la ruta en 14 días pero tuvo la mala suerte

de extraviarse al sexto día. Sus penurias no terminaron allí pues, al tratar de buscar el

camino de regreso a la ruta, resbaló cuando avanzaba por un sendero al borde de un

barranco. Para evitar caer, lo que le habría significado una muerte segura, pues el precipicio

tenía no menos de 140 metros, tuvo que arrojar su mochila con las provisiones que había

llevado para los días restantes.

Golpeado y cansado, se sentó al borde del sendero a pensar que podría hacer, cuando

acertó a pasar por allí Artemio Huarca, un campesino que conocía la zona y, al poco rato, se

les unió Jorge Mendiola, un estudiante de geología que estaba recorriendo el lugar para

realizar observaciones como parte de un trabajo de investigación y se había salido del

camino. Luego de enterarse de la triste situación en la que había quedado el pobre Nigel,

ambos deciden ayudarlo y seguir el recorrido que él tenía planeado, compartiendo las

provisiones que cada uno llevaba. Artemio traía unas tortillas que su mujer, Justina, le

preparaba siempre que hacía caminatas de varios días. Cada tortilla equivalía a una ración

de comida con la que Artemio podía pasar el día y le quedaban cinco en su morral. Jorge,

por su parte tenía tres de las barras concentradas especiales para turismo de aventura que

había comprado en una tienda especializada antes de salir de Arequipa hacia el Cuzco y

que contenían una combinación reforzada de nutrientes que le permitían alimentarse solo

una vez al día. Durante los siguientes días, los viajeros se tomaban un descanso al medio

día, durante el cual partían una de las tortillas de Justina o una de las barras nutritivas de

Jorge.

Fue así como nuestros tres circunstanciales compañeros pasaron los siguientes ocho días

juntos y llegaron finalmente a Machu Picchu, débiles y cansados, pero felices, Nigel, de

haber sobrevivido; y, tanto Artemio como Jorge, de haber podido ayudar a un hombre en

desgracia. Al llegar al hotel, Nigel invitó a cenar a sus salvadores. Mientras esperaban ser

atendidos, se encontraron con Thor Bundsen, un próspero empresario noruego, amigo de

Nigel, que estaba alojado en el hotel, a quien este ultimo, luego de narrarle su odisea, le

pidió ayuda para recompensar a sus salvadores. Thor, un hombre tan adinerado como

generoso, le entrego inmediatamente 800 euros para recompensar a Jorge y Artemio.

Nigel le entrego quinientos euros a Artemio y trescientos a Jorge para recompensarlos por

las provisiones que habían compartido con él. Para su sorpresa, Jorge comentó que, en

realidad le correspondían 700 euros y solamente 100 a Artemio, pero que lo justo en su

opinión, era que cada uno se llevara cuatrocientos. ¿Podrías explicar por qué?