NÚMEROS COMPLEJOS

MATEMÁTICAS EN ACCIÓNUNIDAD I

FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESN.SN.10.1.1 / N.SO.10.2

J. Pomales / octubre 2010

Objetivos

• Conocer una breve historia sobre el conjunto de los números complejos.

• Definir el conjunto de los números complejos.

• Simplificar potencias de los números imaginarios puros.

• Simplificar radicando negativos.

• Sumar, restar y multiplicar números complejos.

Breve historia de los números complejos

El gran problema

Por años se trató de resolverlo pero el mismo no tenía solución numérica real hasta que se inventaron un nuevo conjunto de números.

Este conjunto se conoce con el nombre de números complejos y se establece finalmente

en las matemáticas en el siglo XIX.

Veamos un breve resumen de su trayectoria

1 ?

Breve historia de los números complejos

FechaAproximada PERSONA EVENTO

50

850

1545

1637

1748

1832

Herón de Alejandría

Mahavira de India

Cardano de Italia

Descartes de Francia

Euler de Suiza

Gauss de Alemania

Primero en encontrar la raíz cuadrada de un número negativo.

Decía que un negativo no tenía raíz cuadrada, ya que no era cuadrado.

Las soluciones de las ecuaciones cúbicas implican raíces cuadradas de números negativos.

Introdujo los términos real e imaginario.

Usó para i 1

Introdujo el término número complejo.

Un número complejo es un número de la forma

donde a y b son números reales e i se llama unidad imaginaria.

i es un símbolo usado en este nuevo sistema de números complejos

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO

bia Forma estándar

CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOSi23

NÚMEROSREALES

)0( b

74 ii42

04

3

NÚMEROSIMAGINARIOS PUROS

)0( a

ii2

7i

Unidad imaginaria

Número complejo

Número imaginario

Número imaginario puro

Número real

Cero

Conjugado de

Nombres de clases particulares de números complejos

bia

bia a y b son números reales

bia b ≠ 0

bibi 0 b ≠ 0

aia 0000 i

bia

i

• De ahora en adelante cuando trabajemos con números complejos

UNIDAD IMAGINARIA

1

1

1 2

aiaa

i

i

cuando a > 0

Simplificar radicandos negativos

¿Qué ocurría antes?

La unidad imaginaria i permite simplificar radicandos negativos

81 No tenía solución real

¿Qué ocurre ahora?

811

81181

i

i

9

9

Si deseas, puedes hacer una aproximación, pero recuerda cambiar el signo de igualdad.

ó

i

i

7.5

)7.5(

Otro ejemplo:

33

33

331

33133

i

i

Puedes dejarlo aquí

Práctica• Simplifica

83)4

17)3

25)2

16)1

144)8

90)7

25.0)6

100)5

Simplificar potencias de los números imaginarios puros

Potencias de iPara simplificar potencias de los números imaginarios debemos entender las siguientes relaciones:

1)1)(1(

1

1

1

224

23

2

iii

iiiii

i

i

Observa cómo simplificar potencias de los números imaginarios:

Proceso para simplificar potencias de i

1.Divide el exponente de i entre 4.

2.Escribe una nueva potencia de i pero utilizando como exponente al residuo del paso anterior.

3.Compara lo obtenido con uno de los siguientes y eso será su simplificación.

ii

i

1

0 1

ii

i

3

2 1

10 i

ii 1

12 i

ii 3

Simplifica potencias de i

111

254

29

16

)4

)3

)2

)1

i

i

i

i

Sumamente fácil: Divide entre 4, escribe el residuo como exponente en la i y compáralo con tabla anterior.

4

0

16-

16 47

1

28-

29 4

63

2

12

14

24

254 4

27

3

28

31

8

111 4

0 1

2 3

Práctica• Simplifica cada potencia de los números

imaginarios

51

13

540

62

8

)5

)4

)3

)2

)1

i

i

i

i

i

1126

337

100

285

227

)10

)9

)8

)7

)6

i

i

i

i

i

Suma, Resta y Multiplica con números complejos

Aclaración: La operación de división se discutirá en la próxima presentación.

Definiciones de las operaciones con números complejos

SUMA

idbca

dibica

dicbia

)()(

)()(

)()(

Puedes usar lo que sabes de la suma de términos semejantes y la multiplicación de binomios para

realizar operaciones con números complejos.

Ejemplo

i

i

ii

ii

54

)32()4(

)32()13(

)31()23(

Algunos de estos pasos pueden ser realizados en la mente.

Definiciones de las operaciones con números complejos

Hay ocasiones en que debes simplificar el radicando antes de sumar. Observa este caso:

)501()323(

294

2)54()4(

)2524()13(

)251()243(

)2251()2163(

)2251()2163(

)501()323(

i

i

ii

ii

ii

ii

ii

Definiciones de las operaciones con números complejos

RESTA

idbca

dibica

dicbia

dicbia

dicbia

)()(

)()(

)()(

)())((

)()(

Recuerda que para la operación de resta debes cambiarla a suma y luego buscar el opuesto a lo que

se encuentre próximo a la derecha.

Ejemplo

i

i

ii

ii

ii

ii

2

)32()2(

)32()13(

)31()23(

)31())(23(

)31()23(

Definiciones de las operaciones con números complejos

Hay ocasiones en que debes simplificar el radicando antes de restar. Observa este caso:

)815()492(

i

i

ii

ii

ii

ii

23

)97()3(

)97()52(

)95()72(

)815()492(

)815())(492(

Definiciones de las operaciones con números complejos

MULTIPLICACIÓN

ibcadbdac

bdbcadac

bdibcadac

bdibciadiac

dibicbidiaca

dicbia

)()(

)(

)1()(

)( )(

2

Para la multiplicación de números complejos debes aplicar (en algunos casos) la propiedad distributiva y

las leyes de los exponentes.

Ejemplo

i

i

i

iii

iiii

ii

6836

685620

)1(566820

56284020

87478545

)84)(75(

2

Definiciones de las operaciones con números complejos

3)21( i

)21)(43(

)21)(441(

)21)(1441(

)21)(4221(

)21)(22122111(

)21)(21)(21(

2

ii

ii

ii

iiii

iiiii

iii

i

i

i

iii

iiii

211

283

)1(823

8463

241423132

Práctica• Simplifica. De ser necesario redondea a la

centésima (dos lugares decimales)

)7)(5()7

)43()92()6

)5.117()43()5

)99()24()4

)2004()86()3

)3()92()2

)510()148()1

ii

ii

ii

ii

ii

2)52()14

)104)(104()13

)2.01)(82()12

)126)(45()11

)312(7)10

)81(9)9

)5.0)(3)(4()8

i

ii

ii

ii

ii

ii

iii

Referencias

• MATEMÁTICA INTEGRADA 2 y 3. Rubenstein, Craine, Butts. McDougal Littell

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CURSO:

FUNCIONES Y MODELOS

11mo Grado

Juan A. Pomales ReyesEsc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel

Distrito Escolar de Naguabo

http://juanpomales.blogspot.com/