Matemáticas - 11º

Números reales

José David Ojeda M.

Matemáticas - 11º

1. Desigualdades

1. Desigualdades

Entre dos números reales a y b, se cumple

solo una de las siguientes proposiciones:

Entonces R es un conjunto ordenadoMatemáticas - 11º

a b

a b

a b

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1. Desigualdades

• Una desigualdad es una expresión de la formadonde a y b son números reales.

• Ejemplos:

, , , a b a b a b a b

2 12 5 2 3 6 6

3 2

2. Intervalos

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2. Intervalos

• Un intervalo es un subconjunto (no vacio) de los números reales.Es el espacio que se da de un punto a otro (en la recta numérica) en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios.Se representan usando los puntos externos del intervalo.

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2. Intervalos

• Clasificación de intervalos:

(a, b)

( , ) /a b x R a x b

a b

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2. Intervalos

[a, b) (a, b]

[ , ) /a b x R a x b

a b

( , ] /a b x R a x b

a b

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2. Intervalos

[a, b]

[ , ] /a b x R a x b

a b

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2. Intervalos

Infinitos

a

( , ) /a x R x a [ , ) /a x R x a

a

a

( , ) /a x R x a ( , ] /a x R x a

a

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2. Intervalos

• Operaciones entre Intervalos:Dados dos intervalos A y B es posible realizar las operaciones:

• Ejemplo:Dados los intervalos A = (-4, 2], B = [2, ∞), C = (-1, 3) Hallar:

, , AyA B A B A B

a) b) c) d ) A B B C B B C

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2. Intervalos

• Solución:a)

b)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A

B

2A B

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A B

B CB

( 1, )B CC

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2. Intervalos

• c)

• d)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

B

B

( , 2)B

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

B

C [3, )B C

B C

3. Inecuaciones

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3. Inecuaciones

• Propiedades de las desigualdades:Sean a, b y c números reales

1)

2)

3) 0

4) y 0

Si y , entondes

Si , Entonces ,

Si y , Entonces y

Si , Entonces y

a b b c a c

a b a c b c a c b c

a ba b c ac bc

c ca b

a b c ac bcc c

3. Inecuaciones

Una Inecuación es una desigualdad en la cual intervienen una o mas variables.

• Resolver una Inecuación es hallar los valores de la variables que hacen verdadera la desigualdad. A estos valores se les llama conjunto solución.

• Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación

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3 4 2x x

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3. Inecuaciones

• Solución: Utilizando las propiedades de las desigualdades.

3 4 2

3 4 2

2 6

3

x x

x x

x

x

El conjunto solucion / es 3S x R x

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3. Inecuaciones

• Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de cada inecuación

• Solución:a) Método Analítico:

22

2

2 7 4 2 5 3 0 a 0

2 b

3) )

x xx x

x x

2

Se consider

2 5

an

3 0

2 1 3 0 dos casos

x x

x x

3. Inecuaciones• Caso 1: • Caso 2:

Uniendo las soluciones de ambos casos el conjunto solución es

2 1 0 3 0

2 1 3

1 3

21

, 3 , 32

1 , 3

2

x x

x x

x x

2 1 0 0

2 1 3

1 3

21

, 3, 2

x

x x

x x

1, 3

2 Matemáticas - 11º

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3. Inecuaciones

• a) Método Gráfico:Se hallan las raíces de los factores de la expresión factorizada y se ubica en la recta real:Antes de cada una de las raíces las expresiones son negativas. Después son positivas..

Nota: Las raíz de un polinomio es el valor o los valores de x para el cual el polinomio se hace cero P(x) = 0

y2 1 3x x

3. Inecuaciones

• Se multiplican los signos en ambas rectas, teniendo en cuenta las raíces

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2 1x

3x

2 1 3x x

- - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + +

• Se requiere que (2x + 1)(x – 3) < 0, lo cual sucede en:

1, 3

2

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3. Inecuaciones

• b) Método Analítico: Factorizando:

Por tratarse de una fracciónEntonces

Para que la fracción sea mayor o igual a cero se presentan dos casos

2

2

2 7 40

2 3

x x

x x

2 1 40

3 1

x x

x x

3 1 0x x

3 y 1x x

3. Inecuaciones

Matemáticas - 11º

2 1 4 30 0 1 xx xx

2 1 0 4 0 2 1 0 4 0

1 1 x 4 x 4

2 21

x 4 2

1 , 4 ,

2

x x x x

x x

x

3 0 1 0 3 0 1 0

3 x 1 3 1

3 1

, 3 1,

x x x x

x x x

x x

Caso 1:

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3. Inecuaciones 2 1 4 3 1 0 0 x xx x

2 1 0 4 0 2 1 0 4 0

1 1 4 4

2 21

4, 2

x x x x

x x x x

Caso 2:

3 0 1 0 3 0 1 0

3 1 3 1

3, 1

x x x x

x x x x

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3. Inecuaciones• Resolvemos la intersección para cada

uno de los casos:

Conjunto solución

,

1, 4 3

21, ,

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

, 4 1,

3. Inecuaciones

Conjunto solución:

Matemáticas - 11º

1

4, 2

3, 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

13,

2

El conjunto solución final es la unión de las soluciones para cada caso

11, 3, ,

2 4

3. Inecuaciones• b) Método gráfico

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

2 1 4

3 1

x x

x x

2 1x

3x

1x

4x -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +- - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + +

+ + + + - - - + + + + + + + + + + +- - + + +

3. Inecuaciones• Ejercicios: Usando los métodos

analítico y grafico, hallar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes desigualdades:

2

2

2 2

7 8 2 7 x 12 0

6 2 4 1

1) 4)

5)

3)

3 13 10 0

x 6 5 0 4x 13

2)

3

6) 0

x x x

x x x x

x

Solo Analítico

4. Valor absoluto

El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Por ejemplo 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

• De manera genérica

0, donde, 1) x a a x a x a

2) x a x a x a

4. Valor absoluto

• Otras propiedades del valor absoluto

2

3

0

) 4)

5)

6) 7)

a a ab a b

aab

b b

a b a b a a

4. Valor absoluto

• Ejemplo: Hallar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:

• Como se aplica la primera propiedad:

• Por tanto el conjunto solución es

3 8 14x

14 0

3 8 14 o 3 8 14x x 22

2 o 3

x x 22

2, 3

4.1 Inecuaciones con valor absoluto

• Para resolver inecuaciones con valor absoluto, se tienen en cuenta las siguientes propiedades:

2 2

con 01.

2. o

3 .

x a a x a a

x a x a x a

x a x a

4.1 Inecuaciones con valor absoluto

• Ejercicios: Hallar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes inecuaciones con valor absoluto

• Aplicando la primera propiedad:

) 2 9a x

9 7 9x 9 7 9 7x

2 16x

4.1 Inecuaciones con valor absoluto

• Entonces el conjunto solución esta dado por el intervalo:

• Aplicando la segunda propiedad:

• Por tanto el conjunto solución es:

2, 16

b) 2 5x

2 5 2 5ox x 3 x 7x

, 7 3,