AO DE LA INTEGRACIN NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDADUNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALIFACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIASESCUELA PROFESIONAL: ING. AGROINDUSTRIAL

TEMA:SISTEMA DE NUMEROS REALES

PRESENTADO POR: -CINDY VARGAS YUMBATO -PAULO CESAR DACRUZ BRAVO

ASIGNATURA : MATEMTICA BSICA

NIVEL ACADMICO: CICLO I

PUCALLPA PER 2012

EL SISTEMA DE LOS NMEROS REALES

El ente bsico de la parte de la matemtica conocida como ANLISIS, lo constituye el llamado sistema de los nmero reales. Nmeros tales como:1,3, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos mtodos principales para estudiar el sistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de l, por medio de una secuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los nmeros reales. En el segundo mtodo se hace una descripcin formal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primer parte, se har una presentacin intuitiva del conjunto de los nmeros reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico del mismo.

CONJUNTO DE LOS NMEROS REALESEl conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: a).-Conjunto de los nmeros naturales. El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N tambin por Z+, corrientemente se presenta asi: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} La notacin de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carcter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numricos, y lleva principalmente a la consideracin de los nmeros reales.b).- Conjunto de los nmeros enteros. El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los nmeros enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N , como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = -2. Puede notarse queN Z.

c).-Conjunto de los nmeros racionales. El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera: Q = / m, n son enteros y n La introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin: ax = b, con a, b R, a 0. sta slo tiene solucin en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el nmero racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que: Z Q. En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los nmeros racionales, a/b, c/d, se entender que a, b, c, d, ..., son nmeros enteros y que los denominadores son diferentes de cero. d).- Conjunto de los nmeros irracionales.

En muchos temas de la geometra se plantea en general, problemas para cuya solucin el conjunto Q de los nmeros racionales resulta insuficiente. As, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el nmero x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitgoras permite establecer que x, satisface la ecuacin: x2 = 2. Puede demostrarse fcilmente, que no existe XQ que verifique esta ltima ecuacin. En general, una ecuacin de la forma xn = a, con aQ y nN, carecer (excepto casos particulares) de solucin. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solucin. El conjunto de los nmeros irracionales, que se denota por Q*, est constituido por los nmeros reales que no admiten la representacin racional. Ejemplos de esta clase de nmeros son: el nmero e (base del logaritmo natural), ,, etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuacin x2 2 = 0, cuyas soluciones son: x =, que no son nmeros racionales. e)Conjunto R de los nmeros reales como: R =Q Q*.

En el conjunto R de los nmeros reales, estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas tambin axiomas de campo).

REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LOS NMEROS REALES

Una manera de representar geomtricamente los nmeros reales, consiste en tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha. Se considera que cada punto de la recta corresponde a un nmero real y viceversa, a cada nmero real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma, una correspondencia biunvoca entre los nmeros reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es" un nmero real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los nmeros reales, se seguir llamando: RECTA REAL, , tambin, RECTA NUMRICA. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamar segmento unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamar origen; como nmeros positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y negativos, los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos nmeros reales. As, para localizar los nmeros enteros, se lleva sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmento unitario como aparecen en la figura adjunta.

fig. 1.Existe una construccin geomtrica sencilla para localizar nmeros racionales en la recta real. Ilustremos el procedimiento por medio de un ejemplo. Para representar, digamos el nmero racional 12/5, se traza por el origen 0 de la recta real una segunda recta oblicua y a partir de 0 se marcan cinco (5) segmentos iguales sobre la oblicua con extremos en P1, P2, P3, P4 y P5. (Ver fig. 2). A continuacin, se traza la recta que une a P5 con el racional y luego cuatro rectas paralelas a la anterior y que pasen por los puntos P1, P2, P3, P4 y P5. Por geometra elemental se sabe que este sistema de rectas paralelas corta al segmento entre 0 y 3 en cinco partes iguales de manera que la longitud de cada parte es 3/5.

Fig.2 En consecuencia, cada punto de corte en la recta real corresponde en forma sucesiva a los racionales: 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y 15/5 entre los cuales se encuentra el racional que se quera representar en la recta.

Para los enteros positivos que no son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su raiz cuadrada es un nmero irracional, cuya localizacin en la recta numrica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitgoras (Ver fig. 3).

fig. 3. Otros nmeros irracionales como 3.1415927... ye 2.7182818... sern localizados en su forma decimal aproximada. Intervalos Dentro de los subconjuntos infinitos del conjunto de los reales, se destacan 9 de ellos, llamados intervalos y que se definen de la siguiente forma: Definiciones Sean a, b R , con a < b. El conjunto de puntos { xR / a < x < b} se llama: INTERVALO ABIERTO de extremos a y b. Se denota por (a, b). As que:(a, b) = { x R / a < x < b} y geomtricamente se representa en la recta real en la forma:

fig. 4El conjunto de puntos { xR/ a x b} se llama: INTERVALO CERRADO de extremos a y b. Se denota por [a, b]. As que: [a, b] = { x R / a x b} y geomtricamente se representa en la recta real en la forma:

Fig.5Ntese que a (a, b), b (a, b), a [a, b], b [a, b].De manera similar, se pueden definir y representar geomtricamente los dems tipos de intervalos y que aparecen a continuacin de una manera simple. (a, b] = { x R / a < x b}; fig.6[a, b) = { x R / a x < b}; fig.7

Sea a R . Un intervalo de cualquiera de las siguientes formas se llama: SEMIRECTA. (-, a) = { x R / -< x < a};fig.8(- , a] = { x R / -< x a};fig.9(a, +) = { x R / a < x < + };fig.10[a, + ) = { x R / a x < + }; fig.11

Finalmente, el conjunto R de los nmeros reales, se define como el intervalo: (- , + ). Es decir: (- ,+ ) = { xR / -< x < + }.

VALOR ABSOLUTO

Definicin Sea x R . El valor absoluto de x, denotado por: se define: As,;; El valor absoluto de un nmero real x es siempre positivo o cero y se interpreta geomtricamente, como la distancia del punto x al origen (fig. 12). Igualmente, se interpreta como la distancia del punto x al punto y en la recta real (fig. 13).

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO V.A.1. Para todo x R , y V.A.2. V.A.3., para todo x, y R . V.A.4. V.A.5. V.A.6. V.A.6. >V.A.7. siempre que V.A.8. siempre que V.A.9. siempre que a> 0 V.A.10. V.A.11., para todo x R . V.A.12. (desigualdad triangular). Para todo x, y R , En que caso se verifica la igualdad? (compruebe). V.A.13. V.A.14. A manera de ejemplo, y con el objeto de que el estudiante, se acostumbre a efectuar demostraciones de resultados sencillos, se demostrarn las propiedades: V.A.7. y V.A.14. (Ejercicios resueltos 2 y 3)

SOLUCIN DE DESIGUALDADES En una desigualdad que envuelve una incgnita, dgase la letra x, un valor particular de x satisface la desigualdad, si al reemplazar x por su valor particular (en todas sus ocurrencias) la convierte en una proposicin verdadera. Asi por ejemplo, x = 1 es un valor particular de x que satisface la desigualdad: 3x-1 < x+5 ya que 3(1)-1 < 1+5. Mientras que x = 4 no es solucin particular. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuacin, cuya solucin, en general es un nmero o quiz un conjunto finito de nmeros, el conjunto solucin, de una desigualdad consta por lo comn de un intervalo, unin infinita de intervalos y en algunos casos el conjunto vaco. Asi, el conjunto solucin de la desigualdad: x2 x < 6 es el intervalo (-2, 3); el conjunto solucin de la desigualdad x2 x 6 es (- , -2] [3, + ) y el conjunto solucin de la desigualdad x2 + 5 < 4 es el conjunto vaco (porqu?). El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad inicial en una desigualdad EQUIVALENTE (tiene las mismas soluciones). Las herramientas principales para hacerlo es el uso adecuado de las propiedades de orden y sus consecuencias. Ello implica que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solucin. En particular: Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, pero entonces se debe invertir el sentido del signo de la desigualdad.NMEROS REALESLos nmeros reales son los nmeros que se puede escribir con anotacin decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansin decimal infinita. El conjunto de los nmeros reales contiene todos los nmeros enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los nmeros irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de nmeros irracionales son 2 = 1.4142135623730951. . . = 3.141592653589793. . . e = 2.718281828459045. . . Es muy til representar a los nmeros reales como puntos en la recta real, como mostrado aqu.

Observe que los nmeros ms mayores aparecen a la derecha: Si a 7), excluido el 7, hasta el infinito (+ )Este dibujo grafica el intervalo entre los nmeros (x) mayores o iguales a 7 (x 7), incluyendo el 7, hasta el infinito (+ ).Como vemos, la simbologa que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < (menor que) o > (mayor que); y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo (mayor o igual que) o el signo (menor o igual que).De acuerdo con la simbologa y las caractersticas, existen los siguientes tipos de intervalos: Intervalo abierto, que se graficaSe escribe a < x < b (a es menor que equis y equis es menor que b) y tambin (equis pertenece a los reales, tal que a es menor que equis y equis es menor que b)Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores (nmeros reales) entre a y b que hay en la recta numrica, pero que no incluyen ni a ni b.Intervalo cerrado, que se graficaSe escribe a x b (a menor o igual que equis, y equis menor a igual que b) y tambin (equis pertenece a los reales, tal que a es menor o igual que equis y equis es menor o igual que b).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y b que hay en la recta numrica, y que incluyen el valor de a y el de b.Intervalo abierto a la izquierda, que se graficaSe escribe a < x b (a menor que equis, y equis menor o igual que b) y tambin(equis pertenece a los reales, tal que a es menor que equis y equis es menor o igual que b).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y b que hay en la recta numrica, y que no incluyen el valor de a pero s incluyen el valor de b.Intervalo abierto a la derecha, que se grafica Se escribe a x < b (a menor o igual que equis y equis menor que b) y tambin(equis pertenece a los reales, tal que a es menor o igual que equis y equis es menor que b).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y b que hay en la recta numrica, y que incluyen el valor de a pero no incluyen el valor de b.Intervalo infinito por la izquierda y abierto, que se graficaSe escribe x < a (equis es menor que a) y tambin (equis pertenece a los reales, tal que equis es menor que a).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y el infinito a la izquierda que hay en la recta numrica, y que no incluyen el valor de a.Intervalo infinito por la izquierda y cerrado, que se graficaSe escribe x a (equis es menor o igual que a) y tambin(equis pertenece a los reales, tal que equis es menor o igual que a).Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y el infinito a la izquierda que hay en la recta numrica, y que incluyen el valor de a.Intervalo infinito por la derecha y abierto, que se graficaSe escribe x > a (equis es mayor que a) y tambin(equis pertenece a los reales, tal que a es menor que equis)Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y el infinito a la derecha que hay en la recta numrica, y que no incluyen el valor de a.Intervalo infinito por la derecha y cerrado, que se graficaSe escribe x a (equis es mayor o igual que a) y tambin (equis pertenece a los reales, tal que equis es mayor o igual que a)Esto significa que la solucin para la inecuacin se encuentra en todos los valores entre a y el infinito a la derecha que hay en la recta numrica, y que incluyen el valor de a.Como vemos, los intervalos se pueden representar con corchetes, pero tambin se puede hacer en forma de conjunto:Ejemplo: b). (equis pertenece a los reales, tal que a es menor o igual que equis y equis es menor que.Notacin de intervalo La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos. IntervaloDescripcinDibujoEjemploCerrado[a, b]Conjunto de nmeros x tales que a x b(incluye puntos extremos)[0, 10]Abierto(a, b)Conjunto de nmeros x tales que a< x