Contents

1 Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Introduccin 3

1.2 Axiomas de Cuerpo 4

1.3 Axiomas de Orden 51.3.1 Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Tipos de Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Axioma del supremo 8

1.5 Inecuaciones 101.5.1 Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2 Inecuaciones Cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.3 Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4 Inecuaciones Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Valor Absoluto 131.6.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.2 Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3 Inecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IntroduccinAxiomas de CuerpoAxiomas de OrdenIntervalos en RTipos de Intervalos en R

Axioma del supremoInecuacionesInecuaciones LinealesInecuaciones CuadrticasInecuaciones RacionalesInecuaciones Irracionales

Valor AbsolutoPropiedadesEcuaciones con Valor AbsolutoInecuaciones con Valor Absoluto

1 Nmeros Reales

1.1 IntroduccinAlgunos de los conjuntos numricos ms conocidos son:

Nmeros NaturalesN= {1, 2, 3, . . .}

Nmeros EnterosZ= {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, . . .}

Nmeros RacionalesQ=

{pq/, p,q Z,q 6= 0

}

Obs El cuocientepq es definido si q 6= 0, si q= 0 no se encuentra definido.

Por ejemplo: 80 y00 son formas indefinidas.

Obs De las descripciones se observa que

N ZQ.

El conjunto de los nmeros Racionales no es suficiente para solucionar ciertos problemaselementales algebraicos y geomtricos. Por ejemplo, no hay un nmero racional pq que satisfaga(

pq

)2= 2

Es decir, no podemos utilizar nmeros racionales para describir la longitud de la diagonal deun cuadrado de lado uno que se obtiene utilizando el teorema de Pitgoras.

4 Nmeros Reales

Figura 1.1: d2 = (1)2+(1)2

d =

2 no es un nmero racional sino que pertenece al conjunto de los Nmeros Irracionales,que denotaremos por I conformado por aquellos nmeros que no podemos escribir comocuociente de dos enteros.El conjunto de los numeros reales se puede definir como la unin de dos conjuntos disjuntos:

Definicin 1.1.1R=Q I

En el conjunto de los nmeros reales tenemos dos operaciones fundamentales: Adicin o Suma Producto o Multiplicacin

y adems podemos comparar nmeros entre s.

Considerando estas operaciones y la comparacin entre nmeros, el conjunto de los nmerosreales satisfacen determinados axiomas a partir de los cuales se desprenden propiedades tilespara la resolucin de ecuaciones e inecuaciones, entre otros.

1.2 Axiomas de CuerpoEl conjunto de los nmeros reales, considerando la adicin y el producto, satisfacen los axiomasque enunciamos a continuacin, conformando una estructura algebraica (R,+, ) denominadacuerpo.

1. Axiomas de la Adicin a,b R, !c R : c= a+b. a,b R : a+b= b+a. a,b,c R : (a+b)+ c= a+(b+ c). 0 R : a+0 = 0+a= a. a R, (a) R : a+(a) = (a)+a= 0.

2. Axiomas del Producto a,b R, !c R : c= a b. a,b R : a b= b a. a,b,c R : (a b) c= a (b c). 1 R{0} : a R a 1 = 1 a= a. a 6= 0 R : a1 R : a a1 = a1 a= 1.

3. Axioma de Distributividad a,b,c R : a (b+ c) = a b+a c;(a+b) c= a c+b c

1.3 Axiomas de Orden 5

A partir de esta axiomtica es posible definir otras dos operaciones

Definicin 1.2.1 Dados a,b R, La diferencia entre a y b denotada por ab se define como

ab= a+(b).

La divisin entre a y b denotada por ab se define comoab= a b1.

Adicionalmente, de la axiomtica se deducen las siguientes propiedades1. Si a b= 0 a= 0 Y b= 0.2. Cancelacin Sean a,b,c R

Si a+ c= b+ c a= b. Si a c= b c, c 6= 0 a= b.

3. Absorcin a 0 = 0, a R.

4. Unicidad ! 0 R,a R : 0+a= a. ! 1 R,a R{0} : 1 a= a. a R, !(a) R, : a+(a) = 0. a R{0}, !a1 R{0} : a a1 = 1. a,b R : a (b) =(a b).

1.3 Axiomas de Orden

Existe un conjuntoR+R llamado el conjunto de los reales positivos que satisface las siguientespropiedades:

1. Si a,b R+, entonces a+b R+.2. Si a,b R+, entonces a b R+.3. Si a R, entonces se satisface una y slo una de las siguientes condiciones:

(a) a R+.(b) a= 0.(c) a R+.

Definicin 1.3.1 Sean a,b R, entonces:

Diremos que a es mayor que b si ab R+ y lo denotaremos a> b. Diremos que a es mayor o igual que b si ab R+ Y a= b y lo denotaremos a b. Diremos que a es menor que b si ba R+ y se denotaremos a< b. Diremos que a es menor o igual que b si ba R+ Y a= b y se denotaremos a b.

Propiedades

1. a< b z R a+ z< b+ z.2. a< b z> 0 a z< b z.3. a< b z< 0 a z> b z.4. ab> 0 (a> 0b> 0) (a< 0b< 0).5. ab< 0 (a> 0b< 0) (a< 0b> 0).6. a< b b< c a< c.

6 Nmeros Reales

Definicin 1.3.2 Diremos que m R es una cota inferior del conjunto A si

a A, m a.

Analogamente diremos que M R es una cota superior de A si

a A, aM.

Obs Si b R es una cota superior de un conjunto, entonces b+ x, con x R+ son todas

cotas superiores del conjunto. Si b R es una cota inferior de un conjunto, entonces b+ x, con x R son todas

cotas inferiores del conjunto.

Definicin 1.3.3 Diremos que un conjunto A es acotado superiormente (inferiormente) enR, cuando admite al menos una cota superior (inferior).

Definicin 1.3.4 Diremos que un conjunto A es acotado en R, si l es acotado inferior ysuperiormente.

1.3.1 Intervalos en RDefinicin 1.3.5 Dados a,b R, tales que a< b, se define un intervalo de extremos a y bcomo el conjunto de todos los nmeros reales comprendidos entre a y b.

Figura 1.2: El segmento ab se llama intervalo

1.3.2 Tipos de Intervalos en Ra. Intervalo Abierto Es el conjunto de todos los nmeros reales entre a y b, sin incluir los

extremos.]a,b[= (a,b) = {x R : a< x< b}

b. Intervalo Cerrado Es el conjunto de todos los nmeros reales entre a y b, incluyendo losextremos.

[a,b] = {x R : a x b}

1.3 Axiomas de Orden 7

c. Intervalos Semiabiertos Es el conjunto de todos los nmeros reales entre a y b, incluyendouno de los extremos.

[a,b[= [a,b) = {x R : a x< b}

Figura 1.3: Semiabierto por la derecha

]a,b] = (a,b] = {x R : a< x b}

Figura 1.4: Semiabierto por la izquierda

d. Intervalos No Acotados Es el conjunto de todos los nmeros reales menores mayores aun cierto nmero real.

],a[= (,b) = {x R : x< a}

Figura 1.5: No acotado hacia la izquierda y Abierto por la derecha.

],a] = (,a] = {x R : x a}

8 Nmeros Reales

Figura 1.6: No acotado hacia la izquierda y Cerrado por la derecha

]a,[= (a,) = {x R : a< x}

Figura 1.7: Abierto por la Izquierda y No acotado hacia la derecha

[a,[= [a,) = {x R : a x}

Figura 1.8: Cerrado por la Izquierda y No acotado hacia la derecha

Obs El conjunto de los numeros reales, se puede escribir como un intervalo no acotado:

R=],+[= (,+). Todo subconjunto de R se puede escribir como unin o interseccin de intervalos. El smbolo representa un concepto, no un nmero.

1.4 Axioma del supremoDefinicin 1.4.1 Sea A R y b R, si b es cota superior (inferior) de A y adems b Adecimos que b es el Mximo (Mnimo) de A, y lo denotamos por max(A) (min(A))

ObsSi un conjunto tiene mximo ste es nico. Anlogamente, si un conjunto tiene mnimoste es nico

Ejemplo 1.1 Sea A= {x R : x 5}, entonces: A no es acotado superiormente El 5 es una cota inferior de A, por lo tanto A es acotado inferiormente. El intervalo ],5] es el conjunto de todas las cotas inferiores de A.

1.4 Axioma del supremo 9

Ejemplo 1.2 Sea B=]2,8], entonces: 8 es una cota superior de B, por lo tanto B es acotado superiormente. 2 es una cota inferior de B, por lo tanto B es acotado inferiormente. 8 es el mximo de B. El conjunto B no tiene mnimo.

Definicin 1.4.2 . Sea S R, S 6= /0, S acotado superiormente, diremos que L R es el Supremo del

conjunto S si: L es una cota superior de S. L x para cualquier cota superior x de S.

y se denota como: sup(S) = L

Sea SR, S 6= /0, S acotado inferiormente, diremos que LR es el Infimo del conjuntoS si:

L es una cota inferior de S. L x para cualquier cota inferior x de S.

y se denota como: inf(S) = L

ObsSi un conjunto tiene supremo ste es nico. Anlogamente, si un conjunto tiene nfimoste es nico

Ejemplo 1.3 Sea B=]2,8], entonces:Tenemos que sup(B) = 8 y inf(B) =2. Ejemplo 1.4 Sea F = [5,+[, entonces:

El conjunto F , no tiene supremo y el inf(F) = 5.

Axioma del SupremoTodo subconjunto A deR no vaco y acotado superiormente tiene supremo, el cual es un elementode R.

Obs Del axioma del supremo se puede deducir que todo subconjunto A de R no vaco y

acotado inferiormente tiene nfimo Si un conjunto tiene mximo, ste es tambin su supremo.

Si un conjunto tiene mnimo, ste es tambin su nfimo. Para que un conjunto tenga mximo es necesario y suficiente que el conjunto tenga

supremo y el supremo pertenezca al conjunto.

10 Nmeros Reales

1.5 InecuacionesDefinicin 1.5.1 Inecuacin. Es la desigualdad entre dos expresiones algebraicas en laque hay una o ms cantidades desconocidas que reciben el nombre de incgnitas.

Definicin 1.5.2 Conjunto Restriccin. Es el conjunto de nmeros reales donde lasexpresiones algebraicas que conforman la inecuacin estn bien definidas, a este conjunto lodenotaremos con CR.

Ejemplo 1.5 Determine el conjunto restriccin de la siguiente inecuacin:x+2x1 0

La expresionx+2x1 esta bien definida cuando

x+2 0 x1 6= 0x 2 x 6= 1 CR = [2,+[{1}.

Definicin 1.5.3 Conjunto Solucin. Es el conjunto de todos los nmeros reales quesatisfacen la inecuacin, el cual lo denotamos por S.

ObsSCR

Ejemplo 1.6 Determine el conjunto solucin de la inecuacin:x+2x1 0

El conjunto donde esta bien definida la inecuacion es

CR = [2,+[{1}.Adems sabemos que

x+2 0 entonces la solucin depende del denominador

x1 < 0 x< 1 Sp :],1]

Entonces la solucin de la inecuacin es

S=CRSp = [2,1[.

1.5.1 Inecuaciones LinealesDefinicin 1.5.4 Cualquier inecuacin que pueda escribirse de la forma

ax+b< 0, a 6= 0

donde a,b R, recibe el nombre de inecuacin lineal. Donde el smbolo < puede serreemplazado por >, o .

1.5 Inecuaciones 11

Ejemplo 1.7 2 x +4 < 16. es una inecuacinPara determinar el conjunto solucin utilizamos las propiedades vistas anteriormente

2x+4 < 162x < 12x < 6

luego el conjunto solucin de la inecuacin es:

S= ],6[

.

1.5.2 Inecuaciones CuadrticasDefinicin 1.5.5 Cualquier inecuacin que pueda escribirse de la forma

ax2+bx+ c< 0, a 6= 0

donde a,b,c R, recibe el nombre de inecuacin cuadrtica. Donde el smbolo < puede serreemplazado por >, o .

Ejemplo 1.82x23x+1 < 0, x23x+3 0

Recordemos que: Si el producto o cuociente de dos nmeros reales es positivo, entonces los dos nmeros

tienen el mismo signo. Si el producto o cuociente de dos nmeros reales es negativo, entonces los dos nmeros

tienen signo opuestos.

Ejemplo 1.9 Resolver la inecuacin

(x+3)(x1)> 0.

Debemos determinar cuando los dos factores tienen el mismo signo, ya que de esta manera elresultado ser positivo.

{(x+3)> 0 (x1)> 0} {(x+3)< 0 (x1)< 0}{x>3 x> 1} {x 1 x

12 Nmeros Reales

Otra forma de encintrar el conjunto solucin es:

Primero debemos determinar cuando los factores de la ecuacin son cero, los cuales dividenla recta real en intervalos

Luego construimos un diagrama de signo

],3[ 3 ]3,1[ 1 ]1,[(x+3) 0 + + +(x1) 0 +

(x+3)(x1) + 0 0 +El cual nos entrega el conjunto solucin de la inecuacin

S= ],3[ ]1,+[

Teorema 1.5.1 Dada la ecuacin ax2+bx+ c= 0, a 6= 0, entonces:

M= b24ac< 0 ax2+bx+ c< 0 Y ax2+bx+ c> 0 x R. Ejemplo 1.10 Resolver la inecuacin

x2+ x+3 > 0.

La ecuacin de segundo grado no es factorizable, ya que:

M=11 < 0Adems tenemos que para x= 0 la ecuacin x2+ x+3 = 3 por lo tanto x2+ x+3 > 0 x R

S= R

1.5.3 Inecuaciones RacionalesDefinicin 1.5.6 Una inecuacin racional es una inecuacin que esta constituida por elcuociente de dos polinomios, tales como:

x22x+3

0, x2+3x1

(x+1)(x+2)< 2.

Ejemplo 1.11 Resuelvax+1x+3

1.Primero debemos determinar el conjunto restriccin, en este caso SR = R{3}

x+1x+3

+1 0x+1x+3

+x+3x+3

02x+4x+3

0

1.6 Valor Absoluto 13

Luego buscamos los donde se anula cada factor del cuociente, donde estos valores dividen larecta real en intervalos

Ahora construimos un diagrama de signo

],3[ 3 ]3,2[ 2 ]2,[2x+4 0 +x+3 0 + + +

(2x+4)/(x+3) + @ 0 +

El cual nos entrega el conjuntoSp = ]3,2]

S=CRSp =]3,2]

1.5.4 Inecuaciones IrracionalesDefinicin 1.5.7 Son aquellas inecuaciones que su incgnita se encuentra bajo un radical,como por ejemplo

x2+ x+1 > x2 Ejemplo 1.12 Encuentre el conjunto solucin de

2x3 >2 x

Debemos determinar el conjunto restriccin

2x3 0 2 x 0x 3

2 x 2

de donde obtenemos CR =[3

2 ,2].

Ahora conociendo CR tenemos

2x3 > 2 x2x3 > 2 x

x >53

Por lo tanto el conjunto solucin es

S=]

53,+

[[

32,2]=

]53,2]

1.6 Valor Absoluto

14 Nmeros Reales

Definicin 1.6.1 Valor Absoluto. Dado a R, el valor absoluto de a, que denotaremospor |a |, es

|a|=

a, si a 0

a, si a< 0

1.6.1 PropiedadesSean x,y R, entonces se tiene:

1. | x |= a x= aox=a,siempre que a 0.2. | x |= | x |.3. | x y|= | x || y |.4. | x + y | | x |+ | y |.5. | x |=

x2.

Corolario 1.6.1 Sea x R, entonces1. Para b> 0, | x |< bb< x< b.2. Para b R,| x |> b x> b x 7.Por el corolario tenemos

x5 < 7 x5 > 7 x < 2 x > 12 x ],2[ x ]12,+[

Por lo tantoS=],2[ ]12,+[ = R [2,12]

Ejemplo 1.15 Determinar el conjunto solucin de |x5|< |2x8|Tenemos que |2x8|< x5 < |2x8| entonces

|2x8| < x5 x5 < |2x8| |2x8| > 5 x x5 < |2x8| {2x8 > 5 x 2x8 > x5} {2x8 > x5 2x8 < 5 x} {x> 133 x< 3} {x> 3 x< 133 } x ],3[ ]133 ,+[ x R

1.6 Valor Absoluto 15

Luego el conjunto solucin es

S= ],3[ ]133 ,+[

Ejemplo 1.16 Determinar el conjunto solucin de |2x3| |x+8| 3.Primero determinar donde se anula cada valor absoluto y construimos un diagrama de signos

],8[ 8 ]8, 32 [ 32 ]32 ,+[x+8 0 + + +2x3 0 +

Ahora analizaremos por caso cada intervalo. Si x ],8[ tenemos

(2x3) (x+8) 3 8 x

S1 =],8[ ],8] =],8[ Si x ]8, 32 [ tenemos

(2x3) (x+8) 3 83 x

S2 =]8, 32 [ ],83 ] =]8,83 ] Si x ]32 ,+[ tenemos

(2x3) (x+8) 3 x 14

S3 =]32 ,+[ [14,+[= [14,+[ Si x=8 tenemos que 15 3 por lo tanto S4 =8.

Entonces el conjunto solucin de la inecuacin es

S= S1S2S3S4 = ],83 ] [14,+[