Reseña histórica de los números reales

Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal. En

matemáticas los números reales influyen tanto números racionales como a los

números irracionales, aquellos que no se pueden expresar e manera fraccionaria

tiene infinitas cifras decimales.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzo mucho aunque carecía de una

base rigurosa, ya que en el momento no se consideraba necesario el formalismo

de la actualidad, usando como expresiones como pequeño, límite, etc. Si una

definición precisa, esto llevo unas series de problemas lógica que hicieron

evidente la necesidad crear una base rigurosa de la nueva matemática.

Los números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con decimal,

incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita .El conjunto de

los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos;

todas las fracciones; y todos los númerosirracionales, aquellos cuyos desarrollos

nunca se repiten.

CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES SE

CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES

Un numero racional es un número real que se puede expresar como el cociente

a/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números reales que

no son racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón del perímetro de

una circunferencia a su diámetro es irracional. Este número reales denota por P y

se escribe P = 3.1416 para indicar que P esa aproximadamente igual a 3.1416.

Otro ejemplo de un numero irracional es Ö 2.Los números reales se pueden

representar por expresiones decimales infinitas. Por ejemplo, realizando la división

puede verse que la representación decimal del número racional 177/55 es

3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 estrepiten indefinidamente. Los números

reales pueden representarse siempre por expresiones decimales periódicos, es

decir, en las que hay una combinación de dígitos que se repiten indefinidamente.

Los números irracionales pueden representarse por expresiones decimales

infinitos no periódicos.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.

2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+ (b+c) Sean a,b,c pertenecientes a los reales.

3) Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+(-a)=0

4) Existencia de elemento neutro: a+0 =a

5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a

6) Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)

7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1

8) Existencia de elemento neutro (del producto) : a.1 = a

9) Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)

10) Tricotomía: a>b , a<b o a=b

11) Monotonía de la suma

12 Monotonía del producto.

13) Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c

14) Propiedad Uniforme.

Propiedades y operaciones con los números reales

Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir

números Reales.

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero

en direcciones opuestas se denominan:

Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.

3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3

El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).

Inverso aditivo

Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.

Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este

número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la

propiedad del doblenegativo.

Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a, -(-a) = a

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9

Valor absoluto

El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el

valor absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente.

La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no

negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el

inverso aditivo (opuesto9 del número.

El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por

ejemplo.

Operaciones con los números Reales

1. Sumar números reales

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos

negativos)

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos

números negativos será un número negativo.

Ejemplo.

-5 + (-9)

Solución:

Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque

un signo negativo antes del valor.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro

negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el

signo del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa

o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor

valor absoluto.

Ejemplo.

3 + (-8)

Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor

absoluto más pequeño del valor absoluto mayor.

Primero tomamos cada valor absoluto.

Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto

mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.

3 + (-8) = -5

Restar números reales

Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por

medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

Multiplicar números reales

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos

negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,

multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplo

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando

exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando

exista un número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Para cualquier numero a,

A * 0 = 0 *a = 0

Dividir números reales

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,

divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,

divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común

reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el

hecho siguiente.

Propiedades de los números reales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.

- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .....

- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......

En fin, los números enteros se representan gráficamente en una recta:

Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.

Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.

Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.

Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.

Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.

Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:

El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.

Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.

Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto.

VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo.

Se escribe y se define del siguiente modo:

Observa la recta numérica:

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3, aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:

|+3| = | -3 | = 3

Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.

El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Propiedades de clausura

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para

cualesquiera tenemos que

Para cualesquiera

Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

Para cualesquiera

Propiedad distributiva

Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

Orden en el conjunto de los números reales

a) Representación de los números reales

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.

Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la

izquierda del cero. Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

Ejemplo:

Represente en la recta numérica los números

Solución:

Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica de la siguiente manera.

b) La relación "menor que" en el conjunto de los números reales.

En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que", de la siguiente manera.

Ejemplo

De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es menor que cero.

c) La relación "mayor que" en el conjunto de los números reales.

Ejemplo

De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero.

La regla de tres simple

La relación entre ellas puede ser: directamente proporcional, si cuando una de ellas aumenta la otra también (a más tiempo trabajado, más dinero ganado); o inversamente proporcional, si cuando una aumenta la otra disminuye (más tiempo trabajado, menos tiempo de ocio).

Una de las formas de plantear la regla de tres es mediante el método tradicional. Si de a tenemos b, entonces de c tendremos d:

Si la relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional, para resolver la regla de tres multiplicamos "en cruz", es decir:

a · d = c · b

Si la relación es inversamente proporcional, multiplicamos "por filas", es decir:

a · b = c · d

Por ejemplo, si Jon compró 15 cromos por 60 céntimos, ¿cuánto le costarán a Miren 25 cromos?

Si por 15 cromos pagamos 60 céntimos por 25 cromos pagaremos x céntimos. La relación de proporción que se plantea será entonces:

Para resolver multiplicamos "en cruz" y tenemos que 15 · x = 25·60. Por lo que x = 25 · 60 / 15 = 100 céntimos = 1 euro. Es decir, 25 cromos cuestan 1 euro.

Otros métodos de cálculo

La regla de tres mediante proporciones

Otra forma de resolver una regla de tres es mediante las proporciones. Una proporción es la igualdad entre dos cocientes: (a / b = c / d).

Aplicando las proporciones al cálculo del cuarto término, o incógnita, de una regla de tres tendríamos: (a / b = c / x).

Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y c), a · x = b · c, de donde obtendríamos el valor de la incógnita o cuarto término.

El ejemplo de los cromos que aparece en la pantalla anterior (la regla de tres simple) también podemos resolverlo mediante las proporciones: (15 cromos / 25 cromos) = (60 céntimos / x céntimos)

Luego 15 · x = 60 · 25, de donde x = 60 · 25 / 15 = 100 céntimos = 1 euro.

La regla de tres reduciendo a la unidad

Con este método lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c ó d) sea 1 para simplificar los cálculos.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si por 15 cromos Jon pagó 60 céntimos, por un cromo pagó: 60 / 15 = 4 céntimos. Como queríamos saber cuánto le habría costado comprar 25 cromos, tendremos que multiplicar 25 · 4 = 100 céntimos, o, lo que es lo mismo, 1 euro. En este ejemplo, hemos calculado el precio de un cromo para poder calcular el precio de cualquier número de cromos tan sólo multiplicando el precio unitario por el número de cromos comprado.

La regla de tres compuesta

Cuando aparecen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un problema que se puede resolver mediante una regla de tres compuesta.

Como casi todo en la regla de tres, la solución es en la práctica muy sencilla: descomponer en reglas de tres simples, teniendo en cuenta que pueden ser directa o inversamente proporcionales.

Veamos un ejemplo:

Koldo compra al carpintero de su barrio 3 mesas por 285 euros. Si sabemos que en hacer una mesa el carpintero tarda 3 horas, ¿cuántas horas habrá trabajado el carpintero si Koldo se gasta 950 euros en mesas?

Para resolverlo, calculamos cuántos euros cuesta cada mesa (285 / 3 = 95 euros). Luego, hallamos cuántas mesas nos dará el carpintero por 950 euros (950 / 95 = 10 mesas). Y por último calcularemos cuántas horas tarda el carpintero en fabricar las mesas por las que Koldo ha pagado los 950 euros (10 mesas · 3 horas que tarda en cada una = 30 horas). Por tanto, para recibir los 950 euros de Koldo, el carpintero ha tenido que trabajar durante 30 horas.

Al utilizar el método tradicional, es más rápido plantear todas las reglas de tres simples a la vez.

La regla de tres compuesta directa

La forma tradicional en la regla de tres compuesta se puede simplificar si utilizamos el método directo en lugar de descomponer en pequeñas reglas de tres simples, ya que el planteamiento es inmediato. Debemos recordar que hay que multiplicar "en cruz" si la relación entre las magnitudes es directamente proporcional o "en fila" si la relación es inversamente proporcional.

Un ejemplo podrá ser el siguiente: para construir 0,5 km de autopista, 45 operarios han empleado 10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 60 operarios trabajando 9 horas al día en construir 2,7 km más de autopista?

La solución es:

km construidos trabajadores días horas

1º caso 0,5 45 10 8

2º caso 2,7 60 x 9

Las relaciones que existen entre las magnitudes del problema son las siguientes: a más trabajadores menos días (inversa), a más horas menos días (inversa) y a más kilómetros más días (directa). Y por tanto:

Porque

2,7 · 45 · 10 · 8 = 0,5 · 60 · x · 9

x = (2,7 · 45 · 8 · 10) / (0,5 · 60 · 9) = 9.720 / 270 = 36 días.

La regla de tres en la resolución de problemas

Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en las que aplicamos reglas de tres sin ser conscientes de que lo estamos haciendo..

Los casos o situaciones en los cuales aplicamos reglas de tres o porcentajes son muy diversos.

Descuentos en los precios de artículos o incrementos.

Cálculo del IVA de los productos.

Cálculo de interés simple y compuesto.

Cálculo del índice de precios al consumo.