o DIVISION DE o DIVISION DE EXPRESIONESEXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

o TEOREMA DEL RESTOo TEOREMA DEL RESTO

o COCIENTES NOTABLESo COCIENTES NOTABLES

Lic. CARLOS BARDALES VIGURIA

DOCENTE DE LÓGICO - MATEMÁTICA

DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICASDIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Dividir dos términos entre sí, es hallar un término nuevo que Dividir dos términos entre sí, es hallar un término nuevo que multiplicado por el segundo produzca el primero.multiplicado por el segundo produzca el primero.

Ej.: 12x : 3 = 4x , porque 4x . 3 = 12xEj.: 12x : 3 = 4x , porque 4x . 3 = 12x

LEY DE SIGNOS.- IDEM a la multiplicación.LEY DE EXPONENTES.- Al dividir algebraicamente dos términos que tienen iguales letras,

se restanlos exponentes del divisor de los exponentes del dividendo,

dejando la mismacantidad literal. Ej.: a4b3x2 : a2b2x = a4-2b3-2x2-1

= a2bx 1º P.ym = P ym-n Q.yn Q

2º P m = (P)m = Pm

Q (Q) Qm

DIVISIÓN DE MONOMIOSDIVISIÓN DE MONOMIOS

Se toma en cuenta la Ley de Signos, se divide el coeficiente Se toma en cuenta la Ley de Signos, se divide el coeficiente del Ddel D(x)(x) entre el d entre el d(x)(x), luego se restan los exponentes del d, luego se restan los exponentes del d(x)(x) de de los exponentes del Dlos exponentes del D(x) (x) de las letras comunes.de las letras comunes.

Ej.: -24aEj.: -24a55bb33xx44 : 6a : 6a22bxbx22 = -4a = -4a5-25-2bb3-13-1xx4-24-2

= -4ª = -4ª33bb22xx22

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Se divide cada término del polinomio entre el monomio, teniendo en

cuenta la regla de signos y de exponentes.

Ej.: (12a3b2 – 18a4b3 + 24a5b4) : 6a2b = 2ab – 3a2b2 + 4a3b3

DIVISIÓN DE POLINOMIOS (DIVISIÓN ESTÁNDAR)DIVISIÓN DE POLINOMIOS (DIVISIÓN ESTÁNDAR)

1.- Se ordenan los términos del polinomio D1.- Se ordenan los términos del polinomio D(x)(x) y d y d(x)(x) según las según las potenciaspotencias crecientes o decrecientes. crecientes o decrecientes.

2.- Se divide el primer término del D2.- Se divide el primer término del D(x) (x) por el primero del d por el primero del d(x)(x), , resultandoresultando así el primero del q así el primero del q(x)(x)..

3.- Se multiplica el primer término del q3.- Se multiplica el primer término del q(x) (x) por el dpor el d(x)(x) y se resta y se resta del Ddel D(x)(x),, obteniendo un nuevo D obteniendo un nuevo D(x)(x)..

4.- Con el nuevo D4.- Con el nuevo D(x)(x) se repiten las operaciones (b) y (c) hasta se repiten las operaciones (b) y (c) hasta que se que se obtengan un resto igual a cero o de grado menor que el obtengan un resto igual a cero o de grado menor que el del ddel d(x)(x)..Ejemplo: Dividir x4 + x3 – 9x2 – 16x – 4 entre x2 + 4x +

4, y hallar el

cociente y el resto

SoluciónSolución: x: x4 4 + x + x33 – 9x – 9x22 – 16x – 4 x – 16x – 4 x22 + 4x + 4 + 4x + 4 - x- x44 - 4x - 4x33 - 4x - 4x22 x x22 – 3x - 1 – 3x - 1

- 3x - 3x33 - 13x - 13x22 - 16x - 16x + 3x+ 3x33 + 12x + 12x22+ 12x+ 12x - x - x22 - 4x - 4 - 4x - 4 xx22 + 4x + 4 + 4x + 4 o oNOTANOTA::Grado del qGrado del q(x)(x) = grado del D = grado del D(x)(x) – grado del d – grado del d(x)(x)

GradoGradomàxmàx del R del R(x)(x) = grado del d = grado del d(x)(x) – 1 – 1

METODO SINTÉTICO DE HORNER

Aplicable a polinomios de cualquier grado.

1. Los coeficientes del D(x) se escriben con igual signo.

2. Los coeficientes del d(x) se escriben en columna, el primero con igual

signo y los demás con los signos cambiados.

3. El primer término del D3. El primer término del D(x)(x) se divide entre el primer término se divide entre el primer término del ddel d(x) (x)

obteniendo el primer término del qobteniendo el primer término del q(x)(x).. Este resultado se multiplica por los demás coeficientes del Este resultado se multiplica por los demás coeficientes del dd(x)(x) y los y los resultados se colocan en la siguiente columna y hacia la resultados se colocan en la siguiente columna y hacia la derecha.derecha.

4. Se reduce la segunda columna y su resultado es dividido 4. Se reduce la segunda columna y su resultado es dividido entre el primerentre el primer término del d término del d(x)(x), obteniendo el segundo término del q, obteniendo el segundo término del q(x)(x), , continuando el continuando el procedimiento anterior hasta obtener un término debajo de procedimiento anterior hasta obtener un término debajo de la última la última columna. columna.

5. Los coeficientes del R5. Los coeficientes del R(x)(x) se obtienen sumando las columnas se obtienen sumando las columnas que lesque les corresponden. corresponden.Ej.: Dividir: 4x5 + 4x3 + 2x – 1 + 2x4

2x2 + 1 + 3x

SoluciónSolución: Ordenando y completando: : Ordenando y completando: 4x4x55 + 2x + 2x44 + 4x3 + 0x + 4x3 + 0x22 + 2x – + 2x – 1 1 : 2x : 2x22 + 1 + 3x + 1 + 3x

2 4 2 4 0 2 -1 2 4 2 4 0 2 -1 -3 -6 -2 q -3 -6 -2 q (x) (x) = 2x= 2x33 – 2x – 2x22 + + 4x - 54x - 5 -1 -1 -4: 2 -4: 2 6 2 R6 2 R(x)(x) = 13x + 4 = 13x + 4 8:28:2 -12 -4 -12 -4 -10:2 -10:2 15 515 5 2 -2 4 -5 13 4 2 -2 4 -5 13 4

q q(x)(x) RR(x)(x)

Ejemplo.: Dividir: 2x5 + 7x4 - 50x3 - 173x2 - 22x + 60 entre x2 – 2x – 15, e

indicar su residuo.

 

Solución: 1 2 7 -50 -173 -22 60 Solución: 1 2 7 -50 -173 -22 60 2 2 4 30 4 30

15 22 165 15 22 165 4 30 4 30

-8 -60 -8 -60 2 11 2 -4 0 0 2 11 2 -4 0 0   q q(x)(x) = 2x = 2x33 + 11x + 11x22 + 2x - 4 + 2x - 4

R R(x)(x) = 0 = 0

REGLA DE RUFINI O DE COEFICIENTES SEPARADOS

Proporciona un método sencillo para dividir un polinomio P(x) por (x + a), donde “a” es un número dado.

REGLA1.- El grado del cociente es inferior en una unidad al del polinomio

D(x).

2.- El coeficiente del primer término del q(x) es igual al coeficiente del primer término del D(x).

3.-3.- Se escriben los coeficientes del D Se escriben los coeficientes del D(x)(x) con sus propios signos y el con sus propios signos y el términotérmino numérico del d numérico del d(x)(x) con el signo cambiado. con el signo cambiado.

4.- 4.- Los coeficientes de los términos siguientes se obtienen Los coeficientes de los términos siguientes se obtienen multiplicandomultiplicando el coeficiente anterior del q el coeficiente anterior del q(x)(x) por “a” y sumándole el coeficiente por “a” y sumándole el coeficiente deldel término del dividendo que ocupe el mismo lugar del buscado. término del dividendo que ocupe el mismo lugar del buscado.

5.- 5.- El resto es igual al producto del último término del qEl resto es igual al producto del último término del q(x)(x) por “a” y por “a” y aumentando el término independiente del D aumentando el término independiente del D(x)(x)..Ej.: Dividir: x3 – 6x2 + 3x + 12 : x – 3 Solución: 1 -6 3 12 3 3 -9 -18 1 -3 -6 -6 

q(x)

R(x)

q(x)= x2 – 3x – 6

R(x)= -6

Ej.: Dividir: Ej.: Dividir: xx44 – 2x – 2x22 – 3 + x – 3 + x -2 + x -2 + xSolución: Ordenamos y completamos el dividendo.Solución: Ordenamos y completamos el dividendo.   D D(x)(x) = x = x44 + 0x + 0x33 – 2x – 2x22 + x – 3 + x – 3 d d(x)(x) = x – 2 = x – 2    1 0 -2 1 -3 1 0 -2 1 -3 2 2 4 4 10 2 2 4 4 10 1 2 2 5 7 1 2 2 5 7   q q(x)(x) = x = x33 + 2x + 2x22 + 2x + 5 + 2x + 5 R R(x)(x) = 7 = 7

TEOREMA DEL RESTO

El resto o residuo R(x) de dividir el D(x) entre el d(x) de la forma (ax + b), es

el valor obtenido cuando se reemplaza en el D(x) el valor “x” que anula el

d(x).

EjEj.: Hallar el resto de dividir: 10.: Hallar el resto de dividir: 1022xx22 – 91x – 91x22 + 1 : x – 1 + 1 : x – 1

SoluciónSolución: En el divisor; d: En el divisor; d(x)(x) => x – 1 = 0 => x – 1 = 0 x = 1 x = 1

R R(x)(x) = 100 (1) = 100 (1)33 – 91(1) – 91(1)22 + 1 + 1

R R(x)(x) = 100 – 91 + 1 = 100 – 91 + 1

R R(x)(x) = 10 = 10

Prob. - Hallar el resto de dividir: 2 + (x + 3) (x + 2) (x + 7) (x – 2) x2 + 5x + 6 Prob. - Si la división (x3 + 1 – 2x)2 (x2 – x + 2) tiene como resto ax2

+ bx + c, x3 + x + 1 Hallar el valor de a + b + c.

FIN DE LA CLASE