OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD. · 2020. 3. 10. · UNIDAD N°5: GEOMETRÍA EN EL PLANO Nota...

UNIDAD N°5:

GEOMETRÍA EN EL PLANO

Nota importante: Este documento es una guía de estudio para indicar los contenidos de la unidad. Por lo tanto el alumno deberá completar dichos contenidos con las clases de los profesores y la bibliografía recomendada.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD.

Al finalizar la unidad se espera que el alumno logre:

a) Entender el concepto de cónica

b) Deducir la ecuacion de las cónicas partiendo de sus propiedades geométricas

c) Representar gráficamente las cónicas con centro en el origen y trasladadas

d) Comprender la importancia y utilidad de las cuádricas regladas en la aplicación en el diseño y construcción de obras arquitectonicas.

CONTENIDOS

5.1 Ecuación general de las cónicas. Elipse: Definición y Ecuaciones. Elementos. Construcciones. Circunferencia: Definición y Ecuaciones.

5.2 Parábola e hipérbola. Definiciones, demostración de las ecuaciones a partir de las propiedades geometricas y Ecuaciones. Elementos. Construcciones y ejercicios.

5.3 Intersecciones entre rectas y cónicas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Criterios de Evaluación

Cualitativos

Siempre Casi

Siempre A veces

Casi nunca

Nunca

Excelente Muy

Bueno Bueno Regular

Insufi-ciente

Asiste a clase.

Es puntual y respeta el horario de cursado

Participa en clases.

Cumple con las tareas establecidas para cada Unidad

Es buena su actitud y comportamiento con los docentes y/o compañeros.

Asistencia a las clases de consulta.

Presenta en tiempo y forma los TP y ejercitaciones propuestas.

UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 1

MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO

Criterios de Evaluación

Cuantitativos

Siempre Casi

Siempre A veces

Casi nunca

Nunca

10 9-8 7-6 5-4 3-0

Identifica y reconoce las ecuaciones de cada una de las cónicas

Reconoce las distintas ecuaciones de la elipse en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente.

Reconoce las distintas ecuaciones de las circunferencias en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente.

Reconoce las distintas ecuaciones de las parábolas en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente

Reconoce las distintas ecuaciones de las hipérbolas en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente

Despejan de manera correcta una ecuación.

Interpreta, resuelve y grafica correctamente ejercicios de intersecciones entre cónica y recta

Identifica, analiza y justifica crecimiento, decrecimiento, monotonía de una función.

Es prolija, clara y ordenada la resolución de los ejercicios.

Plantean, modelan y resuelven problemas aplicados en situaciones reales a la disciplina.

Define con propiedad y emplea un vocabulario apropiado en las definiciones teóricas.

Demuestra e interpreta el desarrollo de conceptos teóricos

Manejan adecuadamente la terminología técnica y científica, inherente al desarrollo de la asignatura



SECCIONES CÓNICAS

5.1 INTRODUCCIÓN. GENERACIÓN DE LAS MISMAS

Al seccionar con un plano la superficie de un cono circular recto infinito, se obtienen diferentes curvas, llamadas Cónicas, que tienen numerosas aplicaciones. Hemos trabajado con algunas de estas curvas cuando analizamos las funciones cuadráticas y racionales. Ahora estudiaremos sus características geométricas.

Llamaremos a la abertura del cono y al ángulo de inclinación del plano con el eje del cono.

El punto fijo se llama Foco (F) de la cónica.

La recta fija se llama Directriz (D) de la cónica.

La relación constante entre ambas se llama Excentricidad (e).

Ecuación general

Analíticamente: son ecuaciones de segundo grado en dos variables.

Clasificación de las Cónicas

Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías según formas y propiedades:

5 PARÁBOLA

Definición General: Es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto fijo y a una recta, es constante.

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒙𝒚 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Indica rotación

Indica traslación



ELIPSE

Si e < 1 ELIPSE

Definición: Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano de manera que la suma de distancias desde un punto P cualquiera de la curva hasta dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2), es siempre la misma y equivalente al diámetro mayor (DM).

𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂 suma constante; donde a c.

Los ejes se denominan eje o diámetro mayor (DM) y eje o diámetro menor (Dm) y pueden darse en los dos ejes; el intercambio de menor y mayor o de mayor a menor determinan la posición de la Elipse.

𝟐𝒂 = Diámetro o eje mayor (DM)

𝟐𝒃 = Diámetro o eje menor (Dm)

𝒄 = Distancia del centro (o) de la elipse a cada uno de los focos (F1 y F2)

Por definición:

Trabajando la relación: 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂

Se llega a la fórmula:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑎2 − 𝑐2= 1

Como 𝑎 > 𝑐 → 𝑎2 − 𝑐2 es Positivo (+)

Haciendo 222 bca obteniéndose la ecuación de la elipse 1

2

2

2

2

b

y

a

x

Elementos:

Por tener esta ecuación potencias pares de (x e y), la curva es simétrica con respectos a los ejes coordenados y con respecto al origen.

Vértices (V): Se llaman vértices de la Elipse a las intersecciones de las mismas con los

ejes. En el eje Mayor: 𝑽𝟏(𝒂; 𝟎) y 𝑽𝟐(−𝒂; 𝟎). En el eje Menor: 𝑽𝟑(𝒐; 𝒃)y 𝑽𝟒(𝒐; −𝒃).

y

D´ - a/e a/e D (directriz)

b

o x

- c c - b

D´ - a a D

2a

ELIPSE

P(x; y)

F1(c; o) F2(-c; o)

V1(a; 0) V2(-a; 0)

V3(0; b)

V4(0; -b)



Semiejes: 𝒂 = 𝑺𝒆𝒎𝒊𝒆𝒋𝒆 𝑴𝒂𝒚𝒐𝒓

𝒃 = 𝑺𝒆𝒎𝒊𝒆𝒋𝒆 𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓

Los ejes se denominan eje mayor y eje menor y pueden darse en los dos ejes, el intercambio de menor y mayor o de mayor a menor. Distintas posiciones:

(𝒙−𝒙𝟎)𝟐

𝒂𝟐 +(𝒚−𝒚𝟎)𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 ó (𝒙−𝒙𝟎)𝟐

𝒃𝟐 +(𝒚−𝒚𝟎)𝟐

𝒂𝟐 = 𝟏

Mayor menor menor mayor

Excentricidad: 𝑒 =𝑐

𝑎 𝑒 =

√𝑎2−𝑏2

𝑎

Directrices: 𝑥 −𝑎

𝑒= 0 D: 𝒙 =

𝒂

𝒆 (Ecuaciones de las rectas directrices)

𝑥 +−𝑎

𝑒= 0 D’: 𝒙 = +

−𝒂

𝒆

Lado Recto: 𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎

Focos: Se ubican siempre en el eje mayor, a una distancia (c) del centro (o) de la elipse y se expresa con un par ordenado (coordenadas del punto):

En la Elipse las directrices van por fuera de la misma

Distintas Posiciones de la elipse en el plano

Las distintas posiciones de la elipse en el plano vienen dadas por las fórmulas:

Ecuación Centro Vértices

Eje de desarrollo Focos Directriz

Mayor Menor

𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

(0; 0)

(𝑎; 0)

(−𝑎; 0)

(0; 𝑏)

(0; −𝑏)

X Y (𝑐; 0)

(−𝑐; 0)

𝑥 =𝑎

𝑒

𝑥 =−𝑎

𝑒

𝒙𝟐

𝒃𝟐+

𝒚𝟐

𝒂𝟐= 𝟏 (0; 0)

(𝑏; 0)

(−𝑏; 0)

(0; 𝑎)

(0; −𝑎)

Y X (0; 𝑐)

(0; −𝑐)

𝑦 =𝑎

𝑒

𝑦 =−𝑎

𝑒

𝑭𝟏(𝒄; 𝟎) 𝑭𝟐(−𝒄; 𝟎)



(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐

𝒂𝟐+

(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 ±(𝑥0; 𝑦0)

(𝑥0 + 𝑎; 𝑦0)

(𝑥0 − 𝑎; 𝑦0)

(𝑥0; 𝑦0 + 𝑏)

(𝑥0; 𝑦0 − 𝑏)

±𝑥0 ±𝑦0 (𝑥0 + 𝑐; 𝑦0)

(𝑥0 − 𝑐; 𝑦0)

𝑦 = 𝑥0 +𝑎

𝑒

𝑦 = 𝑥0 −𝑎

𝑒

(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐

𝒃𝟐+

(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐

𝒂𝟐= 𝟏

±(𝑥0; 𝑦0)

(𝑥0 + 𝑏; 𝑦0)

(𝑥0 − 𝑏; 𝑦0)

(𝑥0; 𝑦0 + 𝑎)

(𝑥0; 𝑦0 − 𝑎)

±𝑦0 ±𝑥0

(𝑥0; 𝑦0 + 𝑐)

(𝑥0; 𝑦0 − 𝑐)

𝑥 = 𝑦0 +𝑎

𝑒

𝑥 = 𝑦0 −𝑎

𝑒

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE X

Ecuación 𝒙𝟐

𝒂𝟐+

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Gráfica



ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE Y

Ecuación 𝒙𝟐

𝒃𝟐+

𝒚𝟐

𝒂𝟐= 𝟏

Gráfica

ELIPSE CON CENTRO TRASLADADO Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE X

Ecuación (𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐

𝒂𝟐+

(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Gráfica



ELIPSE CON CENTRO TRASLADADO Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE Y

Ecuación (𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐

𝒃𝟐+

(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐

𝒂𝟐= 𝟏

Gráfica

Casos particulares de la Elipse

Elipse Puntual:

0b

yy

a

xx2

2

0

2

2

0

Su grafica se reduce a un punto P(x0,y0)

Elipse imaginaria:

1b

yy

a

xx2

20

2

2

0

Como su nombre lo indica no se puede

obtener una gráfica.

EJERCICIO:

1. Dada la ecuación de la elipse encontrar: semieje mayor y menor, los vértices, los focos, las

directrices, la excentricidad y longitud del lado recto. Graficar

a) 𝑥2

64+

𝑦2

36= 1

Semiejes:

Mayor→a = √64 → a = 8

Menor→b = √36 →b = 6

Excentricidad: e =

a

ba 22 =

8

28 e 0,66 1

Coordenadas de los focos:

c = √𝑎2 − 𝑏22= √82 − 622

28 5,29

Entonces: F1( 28 ; 0) y F2(- 28 ; 0)



Ecuación de las directrices:

D: x = 𝑎

𝑒

x = 8 = 64 x 12,09

28 / 8) 28

Lado Recto (longitud):

LR= 2b2 = 2. 62 = 9 a 8

2. Obtenga la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas y grafique:

a) Centro ( 0; 0) Vértices ( 5; 0) ( 0; -2) x2 + y2 = 1

a2 b2 a = 5 b = -2

Reemplazo los datos en la ecuación x2 + y2 = 1 52 (-2)2

x2 + y2 = 1 25 4



3. Hallar la ecuación de la elipse de centro C(-1; -1), uno de los vértices P(5; -1) y excentricidad

e = 2/3.

Como el centro es el punto (-1; -1) y el vértice (5; -1) se tiene: (Dé la gráfica, hacer antes eje coordenado y poner los puntos):

a = 6 e = c = c = 2 c = 4 a 6 3

Por otro lado: b2 = a2 - c2 = 36 - 16 = 20 Entonces la ecuación pedida es:

(x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 36 20

Trate de graficarla con todos sus elementos.

CIRCUFERENCIA

Definición: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano de manera que sus distancias a un punto fijo llamado centro (C) es constante y se denomina radio (r).

Analíticamente es una ecuación de segundo grado en dos variables:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Más conocida como:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ecuación General de la Circunferencia

Ó en caso de estar trasladada (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑟2 y puede ser considerada como un caso particular de la Elipse, cuando a = b.

La circunferencia queda totalmente determinada si se conocen su centro (C) y su radio (r).



Ecuación x2 + y2 = r2 (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2

Gráfica

Hallar la ecuación de la circunferencia con los siguientes datos y graficar.

a) Centro: (-2; 3) Radio = 4

Datos: Centro (-2; 3)

Radio = 4

(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2

Reemplazo (x + 2)2 + (y – 3)2 = 42

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 16

5.2 PARÁBOLA

Si e = 1 PARÁBOLA

Definición: Una Parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija D, llamada directriz, y de un punto F, llamado foco.

Una parábola tiene un eje de simetría que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz. El punto medio entre F y D sobre el eje se llama vértice (v) de la parábola.

La distancia entre el vértice (v) y el foco (F), y entre el vértice (v) y la directriz (D) es siempre igual y la llamaremos a.

La recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco F y corta a la curva en los puntos R y R’ se llama lado recto y equivale a 4a.

𝑷𝑭̅̅ ̅̅ = 𝑷𝑴̅̅ ̅̅ ̅



DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Por definición 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑀̅̅̅̅̅

Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, la

distancia 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ del punto al foco viene dada por el Teorema de Pitágoras

𝑃𝐹̅̅ ̅̅ 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦2

Despejando 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ se tiene→ 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 22yax

Por otro lado del gráfico se ve que 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑥 + 𝑎

Aplicando la definición geométrica de parábola se obtiene:

𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑀̅̅̅̅̅

axyax 22

→ Tengo que despejar la variable y2

Elementos: Vértice (V): punto que la curva corta al eje de

simetría. Eje de la parábola: Es la recta perpendicular a

la Directriz que contiene al foco. L.R (Lado Recto): 𝑅𝑅¨ = 4𝑎 (el coeficiente del

término de primer grado en la ecuación) Coordenadas del foco F son (𝑎; 0)

Directriz (D) 𝑥 = −𝑎 𝑃(𝑥; 𝑦) punto genérico de la parábola de

modo que:𝑃𝐹̅̅ ̅̅

𝑃𝑀̅̅ ̅̅ ̅= 𝑒 = 1

(x - a)

y 𝑷𝑭̅̅ ̅̅

P

F



222axyax → Desarrollo ambos binomios al cuadrado

22222 22 aaxxyaaxx → Despejo “y2”

22222 22 aaxxaaxxy → Simplifico

Distintas Posiciones de la parábola en el plano

Las distintas posiciones de la parábola en el plano vienen dadas por las fórmulas:

1) 𝑦2 = 4𝑎𝑥

2) 𝑥2 = 4𝑎𝑦

3) (𝑦 − 𝑦0)2 = ±4𝑎(𝑥 − 𝑥0)

4) (𝑥 − 𝑥0)2 = ±4𝑎(𝑦 − 𝑦0)

Distintas Posiciones de la parábola en el plano

Ecuación Vértice Eje de

desarrollo Foco Directriz

La Gráfica se

extiende hacia:

𝑥2 = +4𝑎𝑦 (0; 0) x = 0 (o; +a) y = - a Arriba sí: a 0

𝑥2 = −4𝑎𝑦 (0; 0) x = 0 (o; -a) y = + a Abajo sí: a 0

𝑦2 = +4𝑎𝑥 (0; 0) y = 0 (a; o) x =- a Derecha sí: a 0

𝑦2 = −4𝑎𝑥 (0; 0) y = 0 (-a; o) x =+a Izquierda sí: a 0

(𝑥 − 𝑥0)2 = +4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (x0; y0) x = x0 (x0; y0 + a) y = (y0-a) Arriba sí: a 0

(𝑥 − 𝑥0)2 = −4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (x0; y0) x = x0 (x0; y0 - a) y = (y0 +a) Abajo sí: a 0

(𝑦 − 𝑦0)2 = +4𝑎(𝑥 − 𝑥0) (x0; y0) y = y0 (x0 + a; y0) x = (x0 -a) Derecha sí: a 0

(𝑦 − 𝑦0)2 = −4𝑎(𝑥 − 𝑥0) (x0; y0) y = y0 (x0 - a; y0) x = (x0 +a) Izquierda sí: a 0

Ecuación de la Parábola: 𝑦2 = 4𝑎𝑥



Ecuación 𝑥2 = 4𝑎𝑦 𝑦2 = 4𝑎𝑥

Gráfica

Ecuación 𝑥2 = −4𝑎𝑦 𝑦2 = −4𝑎𝑥

Gráfica

Ecuación (𝑥 − 𝑥0)2 = +4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (𝑦 − 𝑦0)2 = +4𝑎(𝑥 − 𝑥0)

Gráfica

Ecuación (𝑥 − 𝑥0)2 = −4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (𝑦 − 𝑦0)2 = −4𝑎(𝑥 − 𝑥0)

Gráfica



EJERCICIO:

1.Hallar la ecuación de la parábola y graficar.

a) Vértice (3; 2) y foco (5; 2)

(y – y0)2 = 4 a (x – x0)

(y – 2)2 = 4 . 2 (x- 3) (y – 2)2 = 8 (x – 3)

El lado recto es: L.R = 4 a 8= 4 a

𝟖

𝟒= 𝒂

a = 2

2.Encuentre el vértice, foco, lado recto y directriz; trace la gráfica de la Parábola cuya ecuación se indica: a) x2 = 8 y

VÉRTICE FOCOS DIRECTRIZ EXCENTRICIDAD LADO

RECTO

V (0; 0) F1 (0; 2) y= -2 e=1 LR= 8

Todas las parábolas son reales. No existen parábolas ni imaginarias ni puntuales.



2. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, con eje de simetría en el eje y; y

además que pase por P (6; - 3).

La ecuación a aplicar es: x2 = - 4ay (eje de simetría en eje y). El signo negativo (-) es por las

características del punto por donde quieren que pase una de las ramas.

Como el punto P (6; - 3) pertenece a la curva, el valor de a debe ser tal que las coordenadas del punto satisfagan la ecuación.

Sustituyendo entonces: (6; - 3) en x2 = - 4ay queda:

62 = - 4 a (- 3) a = 3 La ecuación pedida es:

x2 = - 4. 3. y x2 = -12y

5.2 HIPÉRBOLA

Si e 1 HIPERBOLA

Definición: Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano de manera que la diferencia de las distancias desde un punto P cualquiera de la curva hasta dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es siempre igual y equivalente a la distancia entre los vértices reales (V1 y V2) que es 2 a.

𝑷𝑭𝟏 − 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂 diferencia constante; donde a < c.

Trabajando esta relación se llega a la fórmula: 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑐2−𝑎2 = 1 Como c 1 c2 - a2 es

Positivo

Haciendo 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2 se obtiene: Ecuación General de la Hipérbola

La ecuación tiene potencias pares de x e y, por lo tanto, la curva es simétrica respecto a los ejes x e y; y al origen.

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

y

DIRECTRIZ: y = 3

6

0 x

F(0; -3) P(6; -3)

LR = 4 . 3 = 12



Elementos de la hipérbola:

Ejes: la hipérbola tiene el eje real o transversal que es aa’ = 2a sobre el que se encuentran los focos y los vértices de la hipérbola, y perpendicular a él, y pasando por el centro de la hipérbola tenemos el eje imaginario que es bb’ = 2b.

Vale aclarar que el término positivo de la ecuación siempre indica el eje real o transversal.

Excentricidad (e): En la hipérbola es mayor que 1, y que demostrado en:

𝑒 =𝑐

𝑎 𝑒 =

√𝑎2+𝑏2

𝑎

Vértice (V): Se llama vértice de la hipérbola a la intersección de la misma con el eje real.

Ejemplo: 𝑽𝟏(𝒂; 𝟎) y 𝑽𝟐(−𝒂; 𝟎).

Focos: 𝐹1(𝑐; 0) y 𝐹2(−𝑐; 0)

Directrices (D): Vienen dadas por: 𝑥 −𝑎

𝑒= 0 D: 𝒙 =

𝒂

𝒆

𝑥 +−𝑎

𝑒= 0 D’: 𝒙 = ±

−𝒂

𝒆 (Ecuaciones de las

rectas directrices)

Lado Recto (L.R.): 𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎

Asíntotas: 𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥

Distintas Posiciones de la hipérbola en el plano

En la Hipérbola las directrices van por dentro de la misma.



Ecuación Centro Vértices

Eje de desarrollo

Focos Directriz Asíntotas

Real Imag

𝒙𝟐

𝒂𝟐−

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 (𝟎; 𝟎)

(𝒂; 𝟎)

(−𝒂; 𝟎)

x y (𝒄; 𝟎)

(−𝒄; 𝟎)

𝒙 =𝒂

𝒆

𝒙 =−𝒂

𝒆

𝒚 =𝒃

𝒂𝒙

𝒚 = −𝒃

𝒂𝒙

−𝒙𝟐

𝒃𝟐+

𝒚𝟐

𝒂= 𝟏 (𝟎; 𝟎)

(𝟎; 𝒂)

(𝟎; −𝒂) y x

(𝟎; 𝒄)

(𝟎; −𝒄)

𝒚 =𝒂

𝒆

𝒚 =−𝒂

𝒆

𝒚 =𝒂

𝒃𝒙

𝒚 = −𝒂

𝒃𝒙

(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐

𝒂𝟐−

(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏 ±(𝒙𝟎; 𝒚𝟎)

(𝒙𝟎 + 𝒂; 𝟎)

(𝒙𝟎 − 𝒂; 𝟎)

±𝒙𝟎 ±𝒚𝟎 (𝒙𝟎 + 𝒄; 𝒚𝟎)

(𝒙𝟎 − 𝒄; 𝒚𝟎)

𝒙 = 𝒚𝟎 +𝒂

𝒆

𝒙 = 𝒚𝟎 −𝒂

𝒆

(𝒚 − 𝒚𝟎) =𝒃

𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎)

(𝒚 − 𝒚𝟎) = −𝒃

𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎)

−(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐

𝒃𝟐+

(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐

𝒂𝟐= 𝟏 ±(𝒙𝟎; 𝒚𝟎)

(𝟎; 𝒚𝟎 + 𝒂)

(𝟎; 𝒚𝟎 − 𝒂) ±𝒚𝟎 ±𝒙𝟎

(𝒙𝟎; 𝒚𝟎 + 𝒄)

(𝒙𝟎; 𝒚𝟎 − 𝒄)

𝒚 = 𝒙𝟎 +𝒂

𝒆

𝒚 = 𝒙𝟎 −𝒂

𝒆

(𝒚 − 𝒚𝟎) =𝒂

𝒃(𝒙 − 𝒙𝟎)

(𝒚 − 𝒚𝟎) = −𝒂

𝒃(𝒙 − 𝒙𝟎)

HIPÉRBOLA CON EJE REAL “X” Y CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS.

HIPÉRBOLA CON EJE REAL “X” Y CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS.

Ecuación 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1 −

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎= 1

Gráfica



HIPÉRBOLA CON EJE REAL “X” Y CENTRO TRASLADADO.

HIPÉRBOLA CON EJE REAL “Y” Y CENTRO TRASLADADO.

Ecuación (𝑥 − 𝑥0)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑦0)2

𝑏2= 1 −

(𝑥 − 𝑥0)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑦0)2

𝑎2= 1

Gráfica

a = distancia medida en el eje real desde el origen (o) a los vértices (A y A’).

b = distancia medida en el eje imaginario desde el origen (o) a los vértices imaginarios (B y B’).

c = distancia medida en el eje real desde el origen (o) a los focos (F1 y F2).

D y D’ = directrices de la hipérbola.

EJERCICIO:

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las directrices y de las

asíntotas, la longitud del lado recto, la excentricidad y la representación gráfica de la Hipérbola:

x2 - y2 = 1

16 9

Distancia a los vértices reales e imaginarios: a = 4 (vértices reales)

b = 3 (vértices imaginarios)

Distancia a los focos: 22 bac c = 916 c = 5

Puntos reales de corte con los ejes (vértices) son:

V1 = (4; 0) V2 = (- 4; 0)

Puntos de los focos son: F1 = (5; 0) F2 = (- 5; 0)

Todas las hipérbolas son reales. No existen hipérbolas imaginarias o puntuales.



La excentricidad (e) será : e = c a

e = 5 e = 1, 25 1 4

Las Directrices (D y D’) serán: x = a e

x = 4 d:x = 3,2 1,25

El lado recto (LR) será: LR = 2b2 a

LR = 18 LR = 9 LR = 4,5 4 2

Las asíntotas de la hipérbola serán: y = bx a

y = 3x . 4

5.2 INTERSECCIÓN ENTRE CÓNICA Y RECTA

Encontrar la intersección de una cónica cualquiera con una recta, equivale a determinar aquellos puntos en común entre ambas líneas. Es decir, en los que para un mismo valor de x, ambas funciones tienen igual imagen y. Entonces podemos plantear el sistema de dos ecuaciones (lineal y cuadrática) y resolverlo utilizando cualquier método conocido para sistemas lineales. Las soluciones obtenidas pueden ser : dos soluciones ( la recta corta en dos puntos a la cónica), única solución ( la recta es tangente a la cónica) o ninguna solución (la recta no corta a la cónica).

Ejemplo Intersección entre parábola y recta.

Encuentre en forma analítica los puntos de intersección entre la recta y=x+2 y la parábola y= x2. Grafique ambas líneas y verifique si los puntos donde ambas líneas se cortan coincide con su solución analítica.

2

2

xy

xy

Para resolverlo conviene usar el método de igualación: 2x2x , quedando planteada una

ecuación cuadrática, 02xx 2 Hallando las raíces de esta ecuación:

2

31

2

811x 21

; 1x;2x 21



Ahora necesitamos hallar las componentes y de cada punto intersección. Para ello,

reemplazamos el valor de 21 xyx en cualquiera de las dos funciones del sistema, obteniéndose

1ye4y 21 por lo tanto los puntos de intersección entre las dos líneas serán:

P1 (2,4) y P2 (-1,1)

Gráfica:

Ejemplo: Intersección entre circunferencia y recta.

Circunferencia→x2+y2=169

Recta→ y = -x + 7

Aplico el método de sustitución reemplazando “y” en la ecuación de la circunferencia.

x2+y2=169

x2+(-x + 7)2=169 → desarrollo el cuadrado de un binomio

x2+ x2 -14x + 49 =169 → resuelvo

2x2-14x + 49 - 169 = 0

2x2-14x - 120 = 0 → Encuentro las raíces de la ecuación de segundo grado, aplicando la fórmula de baskara.

x1 = 5

x2 = 12

Encuentro los valores de “y” reemplazando cada una de las raíces en la ecuación → y = -x + 7

y1 = -5 + 7

y1= 2

y2 = -12 + 7



y2 = 5

Obtengo los puntos de intersección

P1 (-5; 12)

P2 (12; -5)

Realizo la gráfica correspondiente.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD. · 2020. 3. 10. · UNIDAD N°5: GEOMETRÍA EN EL PLANO Nota...

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