ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5...

24
! " # $! % ! " # $! % &’ ())*

Transcript of ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5...

Page 1: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ��

� ���������������������������� �����������������

������������������ ������!��� �������� ���������������"

��������# ��$!��%��

������������������ ������!��� �������� ���������������"

��������# ��$!��%��

�������������������������� ��� ������������������������������������ � ����������������� ������� ������ �&���'())*

Page 2: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �(

� ���������������������������� �����������������

+ �� [[[[ ]]]](((( ))))2f( ) C bx a,∈∈∈∈ ��������������� ������,-./)

�� �����0-1 ��2�'&34 + ����-) /,-1 $ %.' ���������

���������5 ��������� ���"

0 0

2

0 0h

h h0 f(x*) f( ) f( ) .f '( ) .f "x x x x( )2

h.= = + = + + + θ= = + = + + + θ= = + = + + + θ= = + = + + + θ [[[[ ]]]]0,1θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈

+ ���� ���������������� �������%"2

0 0 00 f( ) .f '( ) .f "(x x x .h )2h

h= + + + θ= + + + θ= + + + θ= + + + θ

�������������������������0��������"-1 /-) 6%

[[[[ ]]]]0,1θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈

��������# ��$!��%�� ,�.��������# ��$!��%�� ,�.

Page 3: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �7

� ���������������������������� �����������������

���'���������'����������� �����"2

0 0 00 f( ) .f '( ) .f "(x x x .h )2h

h= + + + θ= + + + θ= + + + θ= + + + θ [[[[ ]]]]0,1θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈

� ������� ���������8 ������������ ���������� ��"

�9.�������θθθθ

(9.:��� ������������� �������������

��������# ��$!��%�� ,(.��������# ��$!��%�� ,(.

Page 4: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �;

� ���������������������������� �����������������

��<�" :��<�:�= �!:�<>� �>�?�

2

0 0 00 f( ) .f '( ) .f "(x x x .h )2h

h= + + + θ= + + + θ= + + + θ= + + + θ

0 0H0 f( ) . )x f '(x= += += += + (((( ))))H h:

0

0

f( )f '

H)

x(x

= −= −= −= − 01 0 0

0

f(xx

)f '

xx

Hx(

* x)

≈ = + = −≈ = + = −≈ = + = −≈ = + = −

��������# ��$!��%�� ,7.��������# ��$!��%�� ,7.

Page 5: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �@

� ���������������������������� �����������������

<�8 ����������

-) ���

�����/�'('44444i 1

i i 1i 1

f( )f '( )

xx x

x−−−−

−−−−−−−−

= −= −= −= −

A��& ���4

x0

f(x0)αααα

Htg(αααα) 0

Hf(x )====f’(x0) =

0

0

f( )xH

f '(x )====

x1x2

���������������� ����

��������# ��$!��%�� ,;.��������# ��$!��%�� ,;.

Page 6: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �B

� ���������������������������� �����������������

���4444

C<�8 � ����������������������D

C >��������������������������D

C <�� �� ���� �����8 ������������-��������� �������D

......

��������# ��$!��%�� ,@.��������# ��$!��%�� ,@.

Page 7: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �*

� ���������������������������� �����������������

:������ f(xx

)g( )

)x

xf '(= −= −= −= − ��������������&�"

i 1i i 1

i 1

f( )f '( )

xx x

x−−−−

−−−−−−−−

= −= −= −= − -� /�,-�$�.

EEE : ���� ���������� ���������������-��������� �������FFF

:����������������� ���� �������,-. �� ��������������������������&G�8 ����������02�'&34H ���,-. ������� �'���� ����������������� ��&G�8 ���2�'&3 ��I,-. ������� ����������"

|g’(x)| < 1x xf "( ) f( )

1f '(x)

⋅⋅⋅⋅ <<<< bx [a, ]∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈

��������# ��$!��%�� ,B.��������# ��$!��%�� ,B.

Page 8: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �J

� ���������������������������� �����������������

H ������ ������&�������������

���������� ������&��������� ������������������'����������������-�� ���������������������4

5 �����

+ � [[[[ ]]]](((( ))))2f( ) C bx a,∈∈∈∈ '����������� �����-� ��2�'&3

ii 1 i

i i 0

f( )f '( )

xx x

x

∞∞∞∞

====++++

� �� �� �� �= −= −= −= −� �� �� �� �

� �� �� �� ������������������� ��8 �������

[[[[ ]]]]0x a,b∈∈∈∈ �������%������G������ ��������

�� ����� �,-./)��2�'&34

���������� �����0��2�'&3 '<�5 H �><+ ��� ������

��������# ��$!��%�� ,*.��������# ��$!��%�� ,*.

Page 9: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ��

� ���������������������������� �����������������

+ ��,-. /- K ,�,-.L�I,-..'�� ������������'����������# ��$!��%�� �������%���������0� ���������������������������-� ����� ����-1 ���,-./)��������M-� K -�$�M

�������������������������

+ ��,-. �H �� ����������������������# ��K!��%�� � ���� ������,��%��%�%������� �.4�������������������������� �������G���4

��������# ��$!��%�� ,J.��������# ��$!��%�� ,J.

Page 10: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �))

� ���������������������������� �����������������

M�,-�.M����������& ����������

¿ |f(xi)| < εεεε ?

������������������� ����������N �&���8 ���&����M�,-�.M Oεεεε ��M-� K -�$�M Oδδδδ

������������ ������������

εεεεN �&���8 ���&������

�������������������������

f(x) = x.e-x

��������# ��$!��%�� ,�.��������# ��$!��%�� ,�.

Page 11: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)�

� ���������������������������� �����������������

:����������� ����0�����&����"� ������������������-������������� ������ �������,-.����G����� ��%������ ���������I,-.����G������ ���%������

<������������� �����'�������������'����� ��� ������������

��������# ��$!��%�� ,�).��������# ��$!��%�� ,�).

Page 12: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)(

� ���������������������������� �����������������

������� ������,-.

��<�5 !�+ ,,���� O��-����.P,,��- Qεεεε.H ,��� Qδδδδ..N �><!"

�9. 0 ���� - $ �,-.L�I,-.

A��R� >:<>H ���>�H ��:4

����-' ��-���� 'εεεε �δδδδ

� ���� ���� ) � ��- ���� (4�

(9. ��- ���� M- K 0 M

;9. - ���� 0

@9. ���� ���� ���� 6�

������������� ������I,-.

� ��� ���� (4�

79. ��� ���� M�,-.M

��������# ��$!��%��"���������������# ��$!��%��"�������

Page 13: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)7

� ���������������������������� �����������������

:�� ���������� ���� �������%���������������������������� �������S�� ��������������T"

(((( ))))(((( ))))n. 1iA

iQ 1 −−−−= − += − += − += − +����"

U ���� > ���������������,��� ��.� ���� > ��,��� ��.� �������������������

����� �������'���������'� ����������������� �G����������������,�����'�V�'444.

>���G���������������8 ���&������ ���� �������%���������� U /�@)))) � ��'��������������0���������������������� � /@;)) � ��� �����()�V�

(n = 40)

��������# ��$!��%��"<W�����9 ,�.��������# ��$!��%��"<W�����9 ,�.

Page 14: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �);

� ���������������������������� �����������������

(((( ))))(((( ))))n. 1iA

iQ 1 −−−−= − += − += − += − + (((( ))))40ii

. 115000 (10

)054 0 −−−−= − += − += − += − +

(((( ))))40.1 15000 (15400

0i

0i)−−−−− − + =− − + =− − + =− − + =

f(i)

(((( ))))

(((( ))))

k 1k 1

k k 1

k 1 k 1k 1

40

4

1

41

k

0

. 1 (1 )

1

15000 iii i

i ii i

. . 1

0

(1 ) 40.(1

5400

5400 )

−−−−−−−−

−−−−

− −− −− −− −− −− −− −− −

−−−−

− −− −− −− −

− − +− − +− − +− − +====

� �� �� �� � ����

−−−−− − +− − +− − +− − +

����++++

k 1k k 1

k 1

f( )f '( )

ii i

i−−−−

−−−−−−−−

= −= −= −= −(((( ))))40 411

f '( ) . . 1 (1 ) 40.(i i ii i

15 00

)4 − −− −− −− −= − + − += − + − += − + − += − + − +� �� �� �� �

� �� �� �� �

��������# ��$!��%��"<W�����9 ,(.��������# ��$!��%��"<W�����9 ,(.

Page 15: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)@

� ���������������������������� �����������������

i0 = 0.03 i1 = 0.0175 i2 = 0.0190

i3 = 0.0191 i4 = 0.0191

��&����������� ��������� ������������4��X ���������4

�H 5 �"

i0 = 3 i1 = -244.000 i2 = - 1654265.777 ....

�H >H �Y <!Z <4 ,<4�4"[ ���������.

��������# ��$!��%��"<W�����9 ,7.��������# ��$!��%��"<W�����9 ,7.

Page 16: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)B

� ���������������������������� �����������������

<���������������������'λλλλ'�� ��� &��������������������������� ���' ���� ����� ���� ������\'����8 ����� �� ��� ����� �����������������G�����!������ ,!�.������������� �������>��&�]"

1/ 21/ 2

2. KRe

512.ln

3.7 D1−−−−λλλλ

λλλλ � � � �= − += − += − += − +� �� �� �� �⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅� �� �� �� �

������������������������������������������ ���������� &�����8 ������ ��� ����� /)47�'�� ��� ������\ /)4)))(@�'�������8 ����%�������� ��� ��� ���� ��G�����!������ !� /(4�)@

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,�.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,�.

Page 17: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)*

� ���������������������������� �����������������

1/ 21/ 2

2 KRe

.512.ln

.71 D3−−−−

λλλλ � � � �λ = − +λ = − +λ = − +λ = − +� �� �� �� �⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅� �� �� �� �

1/ 21/ 25

0.002.512.ln

3.025

2 10 7 .31 0−−−− � � � �λ = − + =λ = − + =λ = − + =λ = − + =� �� �� �� �⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅� �� �� �� �λλλλ⋅⋅⋅⋅

,+ ���� ����������������� �����.

54

1/ 2

1.255 102.ln 2.24618 10

−−−−−−−− � � � �⋅⋅⋅⋅= − + ⋅= − + ⋅= − + ⋅= − + ⋅����

���� λλλλ ��������

,:������- /λλλλ$�L(.

(((( ))))5 4x 2.ln 1.255 10 2.24618 10x− −− −− −− −= − ⋅ ⋅ + ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,(.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,(.

Page 18: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)J

� ���������������������������� �����������������

,:������� /�4(@@4�)$@ �& /(4(;B�J4�)$;.

(((( ))))2.ln x bx a= − ⋅ += − ⋅ += − ⋅ += − ⋅ + (((( )))) 2x xe a. b −−−−= += += += +

(((( ))))2x xe a. b 1⋅ + =⋅ + =⋅ + =⋅ + = (((( ))))2x xe a. b 1 0⋅ + − =⋅ + − =⋅ + − =⋅ + − =

f(x)

(((( )))) (((( ))))2x xf '( ) e a. b 2.a.e a bx x x.⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅= + + += + + += + + += + + +

(((( )))) (((( ))))xf '( ) e a. b . a. b 2 ax x x .= + + += + + += + + += + + +⋅⋅⋅⋅

(((( ))))5 4x 2.ln 1.255 10 2.24618 10x− −− −− −− −= − ⋅ ⋅ + ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,7.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,7.

Page 19: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� �)�

� ���������������������������� �����������������

ii 1 i

i

f( )f '

xx x

)x(++++ = −= −= −= −

(((( ))))ixi

2xe a. b 1⋅ + −⋅ + −⋅ + −⋅ + −

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

i

i

xi

i 1 i xi

2

i

e a. b 1e

xx x

xa. b . a. b 2.ax++++

⋅ + −⋅ + −⋅ + −⋅ + −= −= −= −= −

+ + ++ + ++ + ++ + +⋅⋅⋅⋅

( a = 1.255 .10-5 y b = 2.24618 .10-4)

(((( )))) (((( ))))ixi ie a. b .x xa. b 2.a+ + ++ + ++ + ++ + +⋅⋅⋅⋅ (((( ))))

(((( )))) (((( ))))ix

ii 1 i

i i

2a. b ea. b . a. b 2.x a

xx x

x

−−−−

++++

+ −+ −+ −+ −= −= −= −= −

+ + ++ + ++ + ++ + +

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

i25 4

5 4

xi

i 1 i 4i i

5

1.255 10 . 2.24618 10 e

1.255 10 . 2.24618 10 . 1.25

xx x

x 5 10 . 2.4x 9718 10

−−−−− −− −− −− −

− − − −− − − −− − − −− − − −++++

⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ −= −= −= −= −

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

g(xi)

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,;.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,;.

Page 20: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ��)

� ���������������������������� �����������������

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

25 4

5 4 5

x

4

1.255 10 . 2.24618 10 e

1.255 10 . 2.24618 10 . 1.255 10 . 2.4

xx x

x 9718 10(

xg )

− − −− − −− − −− − −

− − − −− − − −− − − −− − − −

⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ −= −= −= −= −

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

g(0) = 1.7828121.107 > 0

g(1) = 5.914310615.106 > 1( | g’(x) | >>> 1 )

g(10) = 354. 6536402 > 10( | g’(x) | >> 1 )

g(20) = 19. 05878 < 20,+ ��������&�������0���������� �������.

g(20.5) = 19. 55462453 < 20.5g( ) g(20.5 20

1)

0.5−−−− <<<<

��������0����������� -) /()

��������������������S�������T��������# ��$!��%��"<W����(9 ,@.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,@.

Page 21: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ���

� ���������������������������� �����������������

x0 = 20

x1 = 19.05878285

x2 = 18.13341977

x3 = 17.24775965

x4 = 16.45875644

x5 = 15.87532000

| x0 – x1 | = 0.9412...

| x1 – x2 | = 0.9253...f(x1) = 39.17...

f(x2) = 14.34...| x2 – x3 | = 0.8856...

f(x3) = 5.020...| x3 – x4 | = 0.7890...

f(x4) = 1.6136...

| x4 – x5 | = 0.5834...f(x5) = 0.4092...

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,B.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,B.

Page 22: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ��(

� ���������������������������� �����������������

x5 = 15.87532000

x6 = 15.60114244

x7 = 15.55279476

x8 = 15.55151517

x9 = 15.55151430

f(x5) = 0.4092...| x5 – x6 | = 0.2741...

f(x6) = 0.0540...| x6 – x7 | = 0.0483...

f(x7) = 0.0013...| x7 – x8 | = 0.0012...

f(x8) = 9.1.10-7

| x8 – x9 | = 8.7.10-7

f(x9) = 4.0.10-9

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,*.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,*.

Page 23: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ��7

� ���������������������������� �����������������

9 15.5515x* x 1430≈ =≈ =≈ =≈ =

1/ 2x −−−−==== λλλλ 2

1x

���� λλλλ ====

2 215.551514*

1 10.004134801184

( ) ( )30x*= ≈ == ≈ == ≈ == ≈ =λλλλ

>������������������� /)4));�7;444

��������# ��$!��%��"<W����(9 ,J.��������# ��$!��%��"<W����(9 ,J.

Page 24: ocw.upm.esocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/... · ˇ ˆ ˙ ˝ ˛ x 5 = 15.87532000 x 6 = 15.60114244 x 7 = 15.55279476 x 8 = 15.55151517 x 9 = -15.55151430

������������������ ����������������������� ���� ��;

� ���������������������������� �����������������