Ondas Guiadas

Electromagnetismo 2004 9-1

Juan C. Fernndez - Departamento de Fsica Facultad de Ingeniera Universidad de Buenos Aires www.fi.uba.ar

Introduccin

En el Captulo 1 observamos que en sistemas cuyas dimensiones son pequeas frente a la mni-ma lonmgitud de onda del espectro de Fourier de los campos se puede usar la aproximacin cua-si-esttica o cuasi-estacionaria en la descripcin del comportamiento electromagntico. Otras estructuras, como las lneas de transmisin, donde slo una nica dimensin lineal no satisface el criterio de cuasi-estaticidad se pueden describir con la tcnicas de los circuitos de constantes distribuidas, que implican la propagacin de ondas que transportan energa e informacin. Finalmente, existen estructuras donde slo es posible realizar una descripcin completa usando la descripcin de campos de las ecuaciones de Maxwell. Este es el caso de la propagacin de ondas en sistemas de guiado donde las dimensiones de los contornos en cualquier sentido sean comparables o mayores que la mnima longitud de onda involucrada, o cuando no hay contornos, como en la propagacin en medios infinitos o semi-infinitos.

Modos de Propagacin En el vaco y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas elec-tromagnticas transversales, es decir, ambos campos E y H son perpendiculares a la direccin de propagacin (y perpendiculares entre s). Esta situacin es una consecuencia matemtica de las ecuaciones de la divergencia nula )0( == HE para campos que dependen de una nica coordenada (ondas elementales). En la propagacin en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una nica coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen com-ponentes en la direccin de propagacin.

Convencionalmente se llama modo TEM (Transversal ElectroMagntico) a la situacin donde los campos son ambos transversales a la direccin de propagacin, modo TE (Transversal Elc-trico) cuando slo el campo elctrico es transversal y modo TM (Transversal Magntico) cuando slo el campo magntico es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagacin se puede resolver como la superposicin de un modo TE y un modo TM.

Ecuaciones generales de las ondas guiadas Consideraremos campos que se propagan a lo largo del eje z de un sistema de referencia. Tam-bin supondremos campos armnicos, de manera que las expresiones de los campos deben in-corporar el factor: )( zti ze . La "constante" de propagacin a lo largo de z, z, dar informacin sobre el tipo de propagacin (si hay o no atenuacin, las velocidades de fase y de grupo, etc.). Los campos pueden escribirse as:

)(0

)(0 ),(),( ),(),(

ztizti zz eyxteyxt == HrHErE

9 - Ondas electromagnticas guiadas

z z z

E E E

H

H

H

TEM TE TM



Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo (cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo elctrico presente - por lo que suponemos = 0). Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones de onda y stas, en la hiptesis de campos armnicos, a ecuaciones de Helmholtz:

==+=+ con 0 0 2222 HHEE donde, en general, y pueden ser complejos para medios con prdidas. Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos segn z, nos conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal y otra longitudinal a la propagacin:

EEEEEEEEE 22222222

222 )( tztztt

z ====

+= Por otra parte, de las ecuaciones de Maxwell del rotor:

( )

=

=

=

=

=

++=

=

zxy

yz

xzzx

xyzzyz

zyx

zyx Hiy

Ex

E

Hix

EEix

Ez

E

HiEiy

Ez

E

yE

HHHi

EEEzyx

i

zyx

zyx

HE

( )

=

=

=

=

=

++=

=

zxy

yz

xzzx

xyzzyz

zyx

zyx Eiy

Hx

H

Eix

HHix

Hz

H

EiHiy

Hz

H

yH

EEEi

HHHzyx

i

zyx

zyx

EH

Debe recordarse que las componentes de los campos son funciones solamente de las variables espaciales x e y, ya que z y t aparecen en el factor de propagacin. De las ecuaciones precedentes es posible despejar las componentes transversales del campo en funcin de las longitudinales:

+

=

+

=

=

+

=

yH

xEiH

xH

yEiE

xH

yEiH

yH

xEiE

zz

z

t

yzz

z

t

y

zz

z

t

xzz

z

t

x

22

22

y de estas expresiones surge un mtodo de clculo de los campos dentro de una gua de ondas :

Resolver la ecuacin de Helmholtz 02222 =+=+ ztztzz ffff para la compo-nente longitudinal, sabiendo que la dependencia respecto de z (coordenada de pro-pagacin) y del tiempo es )( zti ze .

Usar las condiciones de contorno sobre las paredes de la gua para hallar las cons-tantes de la solucin de la ecuacin de Helmholtz.

Calcular las otras componentes del campo.



Este esquema es vlido para estructuras cilndricas (no necesariamente de seccin circular), que son las de uso comn en las guas de ondas. Veremos al final del captulo los mtodos a aplicar en el caso de las guas dielctricas.

Gua de planos conductores paralelos El mtodo ms sencillo de guiar una onda electromagntica es mediante un par de planos con-ductores paralelos. Por simplicidad matemtica en esta etapa consideraremos que se trata de conductores perfectos ( ) y que el medio entre ellos sea sin prdidas ( = k).. Modo TEM Existe en esta configuracin la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo TEM las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las compo-nentes transversales no sean tambin nulas, de las ecuaciones halladas en la seccin precedente surge que 22 zt kkk = debe ser tambin nulo, o sea: zkk = . En tal caso queda: 2Et = 0 y 2Ht = 0 de manera que los campos transversales (los nicos en este modo) satisfacen la ecua-

cin de Laplace de la (cuasi-)esttica. Eligiendo un sistema coordenado co-mo el de la figura la ecua-cin vectorial para el cam-po elctrico se desdobla en dos ecuaciones escalares:

2Ex = 0 y 2Ey = 0. Las soluciones de estas ecuaciones de Laplace escalares deben satisfacer el teorema de Earnshaw, de manera que no deben presentar extremos entre los planos. En particular, Ey es tan-gente a los planos conductores y se debe anular sobre ellos (conservacin de la componente tan-gencial del campo). Por lo tanto debe ser nulo para todo y, pues de lo contrario presentara al menos un extremo dentro del recinto de integracin. Ex es normal a los planos, de modo que no se anula, y adems coincide con el campo E cuasiesttico entre dos conductores paralelos infini-tos es uniforme y perpendicular a los planos, de manera que podemos escribir:

)(0 ),(

kztieEtr = xE TEM El mismo razonamiento se aplica a la componente Hx, que es normal a los planos y debe anularse sobre ellos por la conservacin de la componente normal de B. La componente no nula del cam-po magntico se puede calcular a partir del campo elctrico por la ley de Faraday:

x

xz

yyz

xzE

Ek

HHix

EEik ===

Y finalmente: )(0

)(0

),( ),(

kzti

kzti

eE

t

eEt

==

yrHxrE TEM

que coincide con la ecuacin de una onda plana transversal en un medio ilimitado. El campo elctrico no es con-servativo, porque su rotor no es nulo. Por ejemplo, la cir-culacin a lo largo del circui-to c1 de la figura no es cero porque hay un flujo magnti-co concatenado dependiente

N x

y z

w d

I = jsw

E H

x

y z

w d

I = jsw

c1 c2

E H



del tiempo. Sin embargo, la circulacin sobre c2 es cero, as como sobre cualquier circuito sobre planos de z constante. Podemos definir entonces un voltaje1 entre los electrodos circulando a z constante, un voltaje entre electrodos dependiente de z (y del tiempo):

dtzEtzv xC

),(),( == dlE donde C es una curva de z constante que va de un plano al otro. Adems las condiciones de borde para el campo tangencial magntico sobre los planos conducto-res perfectos llevan a que exista una densidad de corriente superficial zj ss j= , de manera que habr una "corriente"2 a lo largo de los electrodos i(z, t) = js w = Hy w en la direccin z. Podemos entonces escribir los campos en funcin de v(z,t) e i(z,t):

dwC

tvC

zi

tv

dzi

wtE

z

HwdL

tiL

zv

ti

wzv

dt

H

zE

xy

yx

==

=

=

=

=

=

=

con 11

con 11

donde L y C son la inductancia y capacidad por unidad de longitud (en la direccin z) del sis-tema, que pueden calcularse mediante sus definiciones (cuasi-)estticas. Estas son las ecuaciones del telegrafista y constituyen un modelo de parmetros distribuidos asociado al modelo de campos previamente analizado. Ambos modelos describen en forma equivalente el comportamiento electromagntico de la gua de planos paralelos en el modo TEM.

La velocidad de propagacin de las ondas de tensin y corriente es: /1/1 == LCv que coincide con la velocidad de los campos en el medio de propagacin, y la impedancia caracters-tica de la lnea es: === //0 CLZ que es la impedancia intrnseca del medio de propagacin. Podemos as relacionar la descripcin a partir de los campos y la descripcin de constantes dis-tribuidas a partir de tensiones y corrientes mediante las ecuaciones:

=S

dStzi nH ),( (integral sobre una curva C de z = cte. entre ambos conductores)

=21

),(C

tzv dlE (flujo a travs de una superficie S de z = cte. cuyo contorno encierra a

slo uno de los dos conductores)

Con esta representacin las ecuaciones de Maxwell llevan naturalmente a las ecuaciones del te-legrafista para el modelo circuital de constantes distribuidas.

Una gua de seccin cilndrica (no necesariamente circular) de interior dielc-trico no puede sustentar un modo TEM. En tal caso los campos deben satisfa-cer la ecuacin de Laplace vectorial, y cada componente en un sistema carte-siano la correspondiente ecuacin escalar. Por el teorema de Earnshaw las so-luciones de la ecuacin de Laplace escalar no pueden tener extremos dentro del recinto de integracin. cada componente debe anularse para adecuarse a las

1 Slo es correcto hablar de diferencia de potencial en el caso de la circulacin de campos conservativos, por lo que

se prefiere usar el trmino tcnico voltaje o tensin para referirse a esta circulacin. 2 Se trata de una corriente superficial.

z

Esto ocurre cuando es posible circular los campos en forma conservativa por caminos de z = cte., donde z es la direccin de propagacin.



condiciones de contorno sobre las paredes.

Puede existir propagacin TEM en un recinto donde haya conductores internos que permitan lneas transversales de campo elctrico entre dos conductores, como en la configuracin coaxil de la figura. Las lneas de campo elctrico variable en el tiempo llevan a lneas de campo magntico tambin transversa-les.

Otros sistemas donde se puede tener propagacin TEM son las lneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta3.

Veremos que en la propagacin para un modo no TEM existe una frecuencia mnima por debajo de la cual no hay propagacin. Esto limita la utilidad de la gua. En lo que sigue analizaremos los modos no TEM que se pueden propagar en una gua de planos paralelos. Aunque esta gua no es til desde el punto de vista prctico, ilustra con la matemtica mnima todas las caractersticas esenciales de la propagacin guiada.

3 A diferencia de las coaxiles, en estas lneas el modo TEM es una aproximacin, en algunos casos muy buena,

porque siempre existe una componente longitudinal de los campos.

z

E H

En resumen, en la propagacin TEM se puede describir la situacin de dos formas equivalentes:

El modelo de campos, de estructura equivalente a las ondas elementales en recintos ilimitados (campos transversales, impedancia de onda igual a la impedancia intrn-seca del medio de propagacin, sin frecuencia de corte).

El modelo de constantes distribuidas, a partir de ondas de corriente y de tensin dependientes de la coordenada de propagacin y del tiempo.

Las dos descripciones estn ligadas entre s a partir de las relaciones:

=21

),(C

tzv dlE =S

dStzi nH ),(

donde la integral de circulacin del campo elctrico se realiza a lo largo de una curva C de = cte. entre ambos conductores, y el flujo del campo magntico se calcula a travs de una superficie S de = cte. cuyo contorno encierra a slo uno de los dos conductores, siendo la direccin de propagacin. La velocidad de propagacin de las ondas coincide en ambos modelos y la impedancia de onda del modelo de campos coincide con la impedancia caracterstica del modelo de constantes distribuidas. Esta analoga permite el uso de herramientas como la carta de Smith para el diseo de sistemas de guiado de ondas en alta frecuencia. En particular es el modelo estn-dar en el diseo de redes de microondas.



Modo TM Vamos a analizar el modo TM no con la formulacin general establecida en la seccin preceden-te (que usamos en el modo TE, ms abajo), sino con una aproximacin intuitiva, a partir de la incidencia oblicua de una onda plana. Esto nos permitir analizar el significado de la propaga-cin guiada: la presencia simultnea de una onda viajera en la direccin de propagacin y ondas estacionarias en direcciones transversales. Consideremos una onda plana linealmente polarizada que incide oblicuamente en el espacio en-

tre dos planos conductores per-fectos paralelos, separados en d con los campos dispuestos como se indica en la figura. Al incidir sobre uno de los planos se pro-duce la reflexin total de la on-da, y la onda reflejada sale con el mismo ngulo de incidencia por las leyes de Snell. Lo mismo

ocurre cuando esta onda reflejada se vuelve a reflejar en el otro plano. Se ve que el progreso de la onda a lo largo de la gua se produce por sucesivas reflexiones El campo elctrico de la onda incidente original puede escribirse:

)1(10 ),(rkerE = tii eEt con zxe sencos1 = zxk 1 zx kk +=

Una vez producida la reflexin, se suma la onda reflejada: )(

0 ),(rkerE = rtirrr eEt con zxe sencos +=r zxk zxr kk +=

El campo total dentro de la gua es la suma de estos dos campos: [ ]rriritirtirrtii eEeEeeEeEt eeeerE rkrkrkrk ),( 0110)(0)1(10 +=+= ( ) [ ] ( ) [ ] ++= ++ zxzx sencossencos 00 zzkxxkirzzkxxkiti eEeEe

( ) [ ] [ ][ ]zxzx sencossencos 00 ++= xikrxikzkti xxz eEeEe ( )

+

+= zx sencos 0000 xxikxxikrxxikxxikrzzkti eEeEeEeEe Se ve de estas ecuaciones que el campo elctrico (el campo magntico tiene el mismo compor-tamiento) se comporta como una onda viajera a lo largo del eje z y tiene un comportamiento ms complejo a lo largo del eje x. Para aclarar este comportamiento, debemos analizar el cumpli-miento de las condiciones de contorno del campo sobre los planos conductores. Como se trata de conductores perfectos, el campo tangencial elctrico Ez se debe anular sobre ellos:

0=zE para dx ,0= ( ) dxeEeE xikxik xxr ,0 0sen00 == para de donde: ( ) 0000 0sen 0 EEEEx rr ===

dnkdkeedx xxdxikdxik / 0)sen( 0sen === =

Esto significa que la longitud de onda del campo incidente no puede ser cualquiera, sino que est ligada a la separacin d entre los planos y al ngulo de incidencia . Campos de otras longitudes de onda no cumplen las condiciones de contorno y no pueden exis-tir dentro de la gua. El campo elctrico para una de las longitudes de onda permitidas se puede escribir finalmente:

x

z

E E

E

H

H H

d



( )

+

= zxrE sensencoscos2),( 0 xdnixdneEtzzktin

Se ve que el campo tiene una componente longitudinal, es decir, sobre la direccin de propaga-cin z. Como se observa en la figura inicial, el campo magntico slo tiene componente segn y, por lo que resulta transversal a la direccin de propagacin. Se trata entonces de una onda trans-versal magntica (TM). Por otra parte, podemos eliminar de las expresiones de los campos el ngulo observando que: :

sen/ cos kdnkkk xz === , y entonces:

+

= zxrE sencos2),( )(0 xdnkk

ixd

nkkeEt xzzktin z

El campo magntico asociado a este campo elctrico puede calcularse de la ley de Faraday:

0

1 0

=

+=

=

=

=

=+

=z

zxzy

x

zxy

yz

xz

xyzz

Hx

EEiki

H

H

Hiy

Ex

E

Hix

EEik

HiEiky

E

i

HE

de donde: yrH cos2),( )(0 zktin zexdn

Et

=

La relacin entre las componentes del campo elctrico y el magntico transversales a la propa-gacin ha sido definida en el anlisis de la incidencia oblicua y tiene el mismo rol que la impe-dancia de onda en medios ilimitados o lneas. Esta relacin tiene dimensiones de impedancia y se conoce como impedancia de onda o impedancia de campo. Para un modo TMn:

2

2

2

222

11 ===== nnnn

n

cxxz

y

x

kk

kkk

kk

HEZTM

Se puede ver que esta relacin no depende de la posicin dentro de la gua, pero s del orden n del modo de propagacin. En general, el campo dentro de la gua puede expresarse como una superposicin de estos modos normales TMn (que, desde el punto de vista matemtico, forman un conjunto completo):

( )

=

=

=

+

=

1

)(0

10

cos),(

sencos),(

n

zkti

n

xzzktin

zn

z

exd

nE

t

xd

nkk

ixd

nkk

eEt

yrH

zxrE

TM

Hemos supuesto que entre los dos planos conductores hay un dielctrico sin prdidas. La veloci-dad de las ondas electromagnticas en ese medio (considerado como ilimitado) es /1=c . En la gua, la relacin entre k y define las caractersticas de la propagacin. Como el vector de onda tiene componentes solamente sobre x y sobre z: 22 zx kkk += y siendo dnkx /= y

ck /= se tiene: ( ) ( )22 // dnckz =

Pero zk es el nmero de onda que aparece en el factor de propagacin: )( zzktie de la onda dentro de la gua. Para que exista propagacin, kz debe ser real, ya que de otro modo el factor de propagacin se convierte en un factor de atenuacin que da una onda evanescente. Esta onda no



transmite potencia. Para que kz sea real es necesario que:

dcnf

dcn

dn

c 2 >>>

Por lo tanto, para el modo normal TMn la frecuencia mnima que lleva a que haya propagacin ondulatoria dentro de la gua es dncfn 2/ = . Esta frecuencia mnima (para este modo) se de-nomina frecuencia de corte de la gua para el modo TMn.

De la ecuacin para zk : ( ) ( ) ( ) ( ) cccdnck nnz /// // 222222 === donde n = 2fn es la frecuencia angular de corte para el modo TMn. Se ve adems que la im-pedancia de campo

nTMZ es real (la onda propaga potencia media o potencia activa) para f > fc e

imaginaria pura (la onda no propaga energa) para f < fc. Otra caracterstica que se puede analizar es el valor de longitud de onda (medida para la propa-gacin ilimitada) en el medio que llena la gua para las frecuencias de corte:

2/ /2/ nnn ndndfc === o sea que la frecuencia de corte del modo TMn se da cuando la separacin entre planos es igual a n veces la semilongitud de onda en el espacio ilimitado. La velocidad de fase de las ondas permitidas en la gua se puede calcular de la ecuacin de los planos de fase constante:

( )222 /1 .

nnzfz

cck

vctezkt ==== Se ve que la velocidad de fase slo es real para > n, y en tal caso es superior a c. Desde el punto de vista de la propagacin de la energa se debe considerar la velocidad de grupo:

cc

dd

c

ddkdk

dv n

nzz

g n, y es menor que la velocidad de la luz en el medio. Ms an, podemos ver que:

( ) ( )2

2

2

/1/1 cccvv

n

ngf ==

En la figura se muestra la variacin de ambas velocidades dentro de la gua a partir de la frecuencia de corte. Para + n la veloci-dad de fase tiende a infinito, mientras que la velocidad de grupo tiende a cero. Para

, ambas velocidades tienden a c, la velocidad de las ondas electromagnticas en el medio que rellena la gua. Este comportamiento es exactamente el mis-

mo que el de la propagacin en un plasma ilimitado de prdidas despreciables (Ejemplo 8.12). La existencia de la frecuencia de corte como frecuencia mnima de propagacin distingue al mo-do TM del modo TEM donde no hay limitaciones de frecuencia a la propagacin. Podemos vincular la nocin de velocidad de grupo con el esquema de incidencia oblicua que usamos en esta seccin para analizar la propagacin guiada. En el intervalo t la onda plana que va rebo-

/c

vg/c

vf/c 1

1



tando entre los planos conductores avanza una distancia l, mientras que la onda guiada avanza la distancia z. Entonces:

tlc = y tzv g = , de donde: ( )21cos czg ck

kcclzcv ===

= que es la expresin hallada previamente. Como la velocidad de fase depende de la fre-cuencia, existe dispersin, que es dispersin normal, como en el caso del plasma. En la figura

se representa la relacin de dispersin = (kz) = (). Cuan-do esta relacin es lineal no hay dispersin. En el presente caso la relacin es no lineal. La existencia de dispersin altera el conteni-do de informacin de las seales que se propagan por la gua, ya que deforma los pulsos al viajar las distintas componentes armni-cas con distinta velocidad. En el modo TEM la relacin de disper-sin es lineal y no hay dispersin.

Ejemplo 9.1: Analizar la propagacin de una onda TM de 20 GHz entre planos con-ductores perfectos paralelos separados 1cm por aire.

La frecuencia de corte para el modo TMn es: GHzndncfn 152/ = de modo que la frecuencia de trabajo se halla por encima de la frecuencia de corte y hay propa-gacin solamente si n = 1. Los campos son en este caso:

( ) yrHzxrE cos),( sencos),( )(0

010

1 zktixzzkti zz edxEt

dx

kk

idx

kk

eEt

=

+

= TM1

con: ( ) 122221 06.277/88.418/ === mdkkkkmck xz csmvcvcsmkv fgzf 66.0/1098.1/51.1/1054.4/

828 == = 18.24966.01 0220 11 cZTM

En la figura se esquematizan las l-neas de campo para el modo TM1. Las lneas de campo de E se extien-den entre distintas posiciones de la misma placa y las lneas de H son paralelas a los planos y equiespacia-das sobre z, aunque se concentran a lo largo de x por la funcin coseno. En la figura:

fvgg /= .

x

z

d l

z

n kz

x

d

0 z

g

E

H



Modo TE En el caso de los modos TM analizamos la propagacin dentro de la gua de planos paralelos usando una visin de una onda que ingresa oblicuamente a la gua. En el caso de los modos TE vamos a usar las ecuaciones generales a partir de la/s componente/s longitudinal/es. En este caso la nica componente longitudinal es Hz, por lo que se tiene:

yH

kikH

xH

kiE

xH

kikH

yH

kiE

z

t

zy

z

ty

z

t

zx

z

tx

=

==

=

22

22

La componente longitudinal satisface la ecuacin de Helmholtz: 022 =+ ztzt HkH . Hz no pue-de depender de y por la simetra de los planos contorno, que son de extensin infinita en esa di-reccin, y entonces:

( ) )(00222 0 zktixikxikzztz ztt eeHeHHHkxH + +==+ de donde:

( )( ) )(0022

)(0022

0

0

zktixikxik

t

zz

t

zx

z

t

zy

zktixikxik

t

z

ty

z

tx

ztt

ztt

eeHeHkk

xH

kikH

yH

kikH

eeHeHkx

Hk

iEy

Hk

iE

+

+

===

=

===

=

De estas componentes, Ey es tangencial a los planos conductores que forman el contorno. Pero el campo en los conductores es nulo, de modo que Ey debe anularse sobre los planos:

( ) ++ ==== 00)(00 0 0 HHeeHeHkEx zktixikxikty ztt

Luego: ( ) )(0 sen2 zktitt

yzexkH

kiE +=

( )d

nkedkHkiEdx t

zktit

ty

z ==== + 0sen2 )(0

Queda entonces:

)(0

)(0

)(0

sen

sen cos

zkti

t

zx

zkti

ty

zktizn

z

n

z

n

z

n

edxnH

kikH

edxnH

kiEe

dxnHH

=

=

=

TE

En este caso el vector de onda es:

dcn

cdn

ckk

dnkk

ck n

nzzzx

==

=+

=+=

= 2222

22

222

2 con

y las frecuencias de corte coincide para modos TM y TE del mismo orden n. Tambin coinciden las expresiones de las velocidades de fase y de grupo, con lo que el modo TE presenta las mis-mas caractersticas de dispersin que el modo TM del mismo orden. La impedancia de onda en el modo TEn es:

2

222

1 =

===nnn

n

ctzx

y

kkkHE

ZTE

Se observa as que para la propagacin guiada entre planos conductores paralelos:



2=nn

ZZ TETM Como en el caso TM, la expresin general de los campos en el caso TE se puede escribir como la superposicin de los modos normales TEn.

=

=

+

=

=

0

)(0

0

)(0

cossen),(

sen),(

n

zkti

t

z

n

zkti

t

z

n

zn

edxn

dxn

kikHt

edxn

kH

it

zxrH

yrETE

Ejemplo 9.2: Analizar la propagacin de una onda TE de 20 GHz entre planos con-ductores perfectos paralelos separados 1cm por aire. La frecuencia de corte para el modo TEn es la misma que para el modo TMn, hallada en el Ejemplo previo: GHzndncfn 152/ = de modo que nuevamente hay propagacin slo para n = 1. Los campos son:

)(0

)(0

cossen),(

sen),( 1

zkti

t

z

zkti

t

z

n

z

edx

dx

kikHt

edx

kHi

t

+

=

=

zxrH

yrE1TE

Los valores de k, kz, vf y vg son los mismos que en el Ejemplo previo, mientras que::

= 56.56951.11 0220 11 cEZT En la figura se muestran las lneas de campo para el modo TE1. Las lneas de campo elctrico se distribuyen uni-formemente a lo largo de z pero se concentran para x = d/2 por la pre-sencia de la funcin seno. Las lneas de campo magntico son cerradas. En la figura:

fvgg /= .

En la siguiente seccin analizamos la influencia de las prdidas conductoras en la propagacin de ondas en una gua de planos paralelos.

x

d

0 z

g

E H

En resumen, para la propagacin de ondas guiadas entre planos conductores paralelos:

en el modo TEM no existe lmite de frecuencia - inferior o superior - para la propaga-cin de ondas. No hay dispersin de paquetes de onda;

en los modos TM y TE hay un lmite inferior de frecuencia para la propagacin, la frecuencia de corte, que adems depende del orden del modo. Hay dispersin de pa-quetes de onda.



Consideraciones energticas La energa media almacenada en los campos por unidad de rea normal a z es:

( ) ( )[ ] +>=< d dxeeU0

**

21 HHEE

Vamos a analizar el comportamiento de esta energa media para un modo TEn. Consideremos una superposicin de modos normales:

=

=

+

=

=

1

)(0

1

)(0

sencos),(

sen),(

n

zkti

t

z

n

zkti

t

z

n

z

n

ed

xnkki

dxnHt

ed

xnHk

it

xzrH

yrE

Entonces, por ejemplo, para el campo elctrico (obsrvese que kt y kz dependen del orden del modo n):

( )

=

=

=

1

)(*0

1

)(0

* sensenm

zkti

tn

zkti

t

mz

m

m

nz

n

n

exd

mHk

iexd

nHk

iee yyEE

+

= =

=

= 1 1

)(00

22

1

22

02

22

sensensenn

nmm

zkki

ttn t

mzmz

mn

mn

n

n

ed

xmd

xnHHkkd

xnHk

e

Al realizar las integrales sobre x, la suma de cuadrados da un valor finito, mientras que la suma de productos para distintos modos produce integrales nulas. Queda as:

( ) =

=d

n tn

n

Hk

ddxe0 1

2

02

22*

2EE

Anlogamente:

( )

=

=

=

=

=

+

+

+

=

+

=

1 1

)(*00

1

2

2

22

0

1

)(*0

1

)(0

sensencoscossencos

sencossencos

nnm

m

zkzki

t

z

t

z

n t

z

m

zkti

t

z

n

zkti

t

z

nzmz

m

m

n

n

mn

n

n

n

mz

m

m

m

nz

n

n

n

exd

mxd

nkk

kk

xd

mxd

nHHxd

nkk

xd

nH

exd

mkk

ixd

mHexd

nkk

ixd

nHee

xzxzHH e

integrando: ( ) =

=

d

n tn

n

Hkkddxe

0 1

2

0

2

*

2HH

Entonces podemos escribir:

( ) ( )[ ]( )

=

=

=+=

+=

+=

1

2

022

21

2

0

2

1

2

02

22

0

**

222

21

n tn tn t

d

n

n

n

n

n

n

Hkk

dHkkdH

kd

dxeeU

HHEE

y como 22 =k se ve que ambos sumandos son iguales: ( ) ( ) = dd dxedxe

0

*

0

* EEHH o sea que la energa media est equipartida entre el campo elctrico y el campo magntico. Fi-nalmente la energa almacenada queda:

( ) ( )[ ] =

=+>=>d . En estas condiciones, para analizar el comportamiento del campo dentro de la gua podemos aplicar los resultados del anlisis de la incidencia oblicua desde un dielctrico sobre un buen conductor: 12)cos(21 iTE + 12)sec(21 iTM + donde i es el ngulo de incidencia (complementario de en la figura de la pg. 9.6), 1 es la impedancia intrnseca del dielctrico interior a la gua y 2 es la impedancia intrnseca del con-ductor. En ambos casos se observa que el coeficiente de reflexin difiere del caso ideal (-1) en muy poco. Por este motivo es posible aproximar las expresiones de los campos en el interior de la gua con prdidas con las correspondientes al caso ideal, pero introduciendo un factor de ate-nuacin que tenga en cuenta las prdidas4:

zidealreal

zidealreal ettett

),(),( ),(),( rHrHrErE 4 Esta aproximacion es posible en todos los casos en que las prdidas son bajas en relacin a la potencia propagada.



Los campos para una gua real de planos paralelos quedan entonces:

zNyrH

xrE

2 ),(

),(2

20

)(0

)(0

zkztiz

kztiz

eE

eeEt

eeEt

=

==

TEM

( )zN

yrH

zxrEcos

2

cos),(

sencos),(

1

22

2

0

1

)(0

10

=

=

=

=

=

+

=n

zz

n

zktiz

n

xzzktizn

nn

znn

zn

exd

nkkE

eexd

nE

t

xd

nkkix

dn

kkeeEt

TM

zNzxrH

yrEsen

cossen),(

sen),( 22

12

2

0

1

)(0

1

)(0

z

n t

z

n

zktiz

t

z

n

zktiz

t nn

zn

n

znn

edxn

k

kH

eedxn

dxn

kikHt

eedxn

kH

it

=

=

=

=

+

=

=

TE

Obsrvese que, en general, el coeficiente de atenuacin depender del modo en consideracin. Para determinar este coeficiente analizamos la prdida de energa a lo largo de la propagacin.

La potencia que cruza un rea transversal dS de la gua es dSN , y entonces la diferencia entre estas cantidades a lo largo de un desplazamiento elemental dz es la potencia perdida en ese tra-mo5:

NdzNd

dvPd

dSdzdvPd

dSzdSdzz 2 )()( ===+ nNnN La potencia perdida sobre el tramo dz se da en los conductores, y se puede expresar por unidad de su-perficie como se describe en el Captulo 8, en la sec-cin dedicada al efecto pelicular:

sdSPd

Ej=4

donde es la profundidad de penetracin y los cam-pos se calculan sobre la superficie del conductor. Se puede reescribir esta expresin en trminos del cam-po magntico sobre la superficie del conductor:

ssssssRHHHE

dSPd 222

22

21

21

444=====

Ej con /1=sR Esta es la potencia perdida por unidad de rea por efecto Joule. Se debe multiplicar por 2 por la existencia de dos planos conductores. Tomando un paraleleppedo de ancho unitario, altura d y profundidad dz, tenemos:

==1

0

21

0

2 dyHdzRdydzRHP ssss =1

0

2 dyHRdzPd

ss

y: == S dSNdzPd

NdvPd 2 2

e igualando ambas expresiones obtenemos finalmente para :

=S

ss

dSN

dyHR

1

0

2

2

5 Esta expresin ya fue hallada en el tratamiento general de la propagacin de ondas electromagnticas en medios

ilimitados, Captulo 8.

x

z y

d

1

dz

HS TEM TM HS TE

S = 1d



Para cada modo sH y N son distintos:

z

S

z

zs

kztizs

edE

dSNeE

eE

HdyeeE

2

202

20

22

20

1

0

2)(0

2

2

==

==

zN

yH TEM dRs /=

zzd

zzS

zz

zs

zktizs

nnnnnn

nnznn

ekkdEdxx

dne

kkEdSNex

dn

kkE

eE

Hdyeexd

nE

2

2

0

0

22

2

022

2

0

22

2

01

0

2)(0

4cos

2 cos

2

cos

=

=

=

=

=

zN

yH TMn

En la integral del campo magntico se debe tomar dx ,0= , lo que lleva a que el coseno sea de mdulo unitario y la integral del coseno cuadrado vale d/2. Finalmente:

TM

s

c

ss

zTM Z

Rdd

Rd

Rkk 2

1

22

22===

z

t

z

S

z

n t

z

zs

n

zktiz

t

z

nnnn

n

n

zn

n

ek

dkHdSNe

dxn

kkH

eHHdyeedxn

dxn

kikHt

22

2

022

12

2

0

22

0

1

0

2

1

)(0

2 sen

cossen),(

=

=

=

=

=

+

=

zN

zxrH TEn

Nuevamente en la integral del campo magntico se debe tomar dx ,0= , lo que lleva a que el seno se anule y el coseno sea de mdulo unitario. Finalmente:

dRZ

dR

dR

kk

a sTEcsc

cs

z

tTE 22

2

22

222

1

===

En resumen:

Ejemplo 9.3: Grafique la variacin con la frecuencia de los coeficientes de atenuacin para los modos TM1 y TE1 con conductores de cobre separados en 1cm y dielctrico de aire. Las expresiones explcitas en funcin de la frecuencia son:

Las expresiones para la constante de atenuacin debida a las prdidas conductoras en la propagacin en la gua de planos paralelos dependen del modo y en el caso de los modos TM y TE tambin del orden.

TEM d

RsTEM =

TM 221

22 == css

zTM

dR

dR

kk

TE d

RdRZa s

c

csTEcTE

==

22

22

22

2

1



( )( )

===

==

TMc

c

cTE

cTM

sTEM

d

d

ddR

2

2

22

22

22

12

1

21

12

Graficamos a la derecha para n = 1. Se observa que TM crece con la fre-cuencia, mientras que TE tiende a cero, y que TEM (constante con ) se halla entre las otras curvas para > ~1.8c. Las curvas para otros valores de n son idnticas a las presentadas, ya que slo vara la frecuencia de corte.

Guas abiertas En el caso de la gua de planos paralelos, el guiado de las ondas se realiza mediante las condicio-nes de contorno impuestas por los conductores. Sin embargo, toda desadaptacin de impedan-cias puede funcionar como un sistema de guiado de ondas. En ese sentido vimos en el anlisis de la incidencia oblicua que, cualesquiera fueran los medios involucrados, el campo electromag-ntico en el medio de incidencia consiste en una onda semiestacionaria en la direccin normal a la interfase y una onda viajera paralela a la misma. Esta onda viajera es una onda guiada por la interfase. Sommerfeld encontr en 1899 que en la radiacin de antenas cerca de tierra exista una onda de superficie, guiada por la interfase aire-tierra. Este guiado se puede entender analizando el caso de la incidencia oblicua sobre una interfase. Si el segundo medio es conductor perfecto, el campo elctrico en el medio de incidencia resulta normal a la interfase, ya que la componente tangencial se debe anular sobre ella. Cerca de la in-terfase, entonces, todo el flujo neto de potencia se da en una direccin paralela a la misma. Si el segundo medio no es conductor perfecto, existe una componente tangencial del campo elctrico no nula sobre la interfase. Esta componente produce un flujo del vector de Poynting normal a la interfase aparte de la paralela, de modo que resulta un flujo oblicuo, que en todos los casos va del primer medio (el medio de incidencia) al segundo medio (el medio de transmisin).

Esta caracterstica lleva a que una interfase entre dos medios produce una tendencia a que la energa que transporta la onda viajera se con-centre cerca de la interfase, produciendo as un guiado de la energa. El ngulo de propagacin de la energa respecto de la propagacin paralela en distintos casos se presenta en el siguiente cuadro, para la incidencia desde el aire a una frecuencia de 3GHz:

Medio 2 Conductividad (m)-1, Permitividad Angulo () Conductor perfecto 0 Cobre 6x107 , 0 2.2x10

-3

Agua de mar 4 , 800 6.4 En el caso en que el segundo medio sea un buen conductor, la energa que se propaga normal a la interfase se disipa por efecto Joule dentro del semiespacio conductor. Se puede mejorar el guiado de ondas por una superficie conductora agregando corrugaciones peridicas transversales o una capa dielctrica. En ambos casos es posible demostrar que, para la propagacin normal a la interfase, la impe-dancia de onda es reactiva pura, lo que indica un onda estacionaria, a pesar de que el coefi-ciente de reflexin entre los medios extremos (aire y conductor) no es uno.

/c

TM (mm-1)

TE (mm-1) TEM (mm-1)



En particular, podemos considerar una capa dielctrica supuestamente sin prdidas, de parmetros y coloca-da entre aire (0, 0) y un conductor perfecto (), como se indica en la figura. La solucin TM para la propagacin segn z es, dentro de la capa:

2222000 )cos( )sen( )cos( zxx

xyxzx

x

zx kkkxkEk

iHxkEExkEkik

E +===== Esta solucin anula el campo elctrico tangencial sobre el conductor perfecto. La impedancia de onda cerca de la interfase dielctrico-aire (x d) es:

)()( // dktank

idktanik

HE

Zk

HE

Z xx

xx

y

zz

y

x

===== donde hemos distinguido entre la impedancia para la propagacin paralela (Z//) y la impedancia para la propagacin normal (Z) a las superficies interfases. Para que exista propagacin guiada (a lo largo de z) se requiere que kz sea real. En tal caso la impedancia paralela es real. En general, el valor de kx puede ser real o imaginario. Si kx es real, se ve que Z es real y se pro-duce propagacin. Si kx es imaginario, como )()( dktanhidkitan xx = tambin la impedancia normal ser imaginaria pura, o sea, reactiva. Esto indica que no hay propagacin de energa en la direccin normal. El guiado por superficies abiertas se puede realizar mediante alambres cilndricos rectos, alam-bres conductores rodeados por un dielctrico, espirales conductoras, etc. En todos estos casos la excitacin del modo apropiado es el problema ms difcil de resolver en la prctica. El guiado de ondas mediante estructuras metlicas abiertas es uno de los campos de mayor desarrollo en los ltimos aos.

Guas de hoja dielctrica Es posible usar una hoja dielctrica (entre dielctricos) para guiar ondas si su permitividad (o su ndice de re-fraccin, si se trabaja en el rango ptico) es mayor que la de los medios a su alrededor: 1232 >> y . En tal caso, existen ngulos lmite:

231

23211

12 /sen o /sen == icic Si la radiacin dentro de la hoja, considerada como una onda plana que incide oblicuamente sobre las interfases, lo hace con ngulos mayores que estos ngulos lmite, se produce el fen-meno de reflexin total y no existe potencia (media) que cruza la interfase. Toda la energa de la radiacin se ve entonces guiada por la hoja dielctrica. En este principio se basa el guiado de ondas de luz en las llamadas fibras pticas. Aunque las fibras pticas son de seccin circular y requieren una descripcin matemtica basada en coordenadas cilndricas, existen guas dielctricas planas en dispositivos de ptica integrada que se basan en tecnologas de pelculas delgadas. Para estos dispositivos es posible realizar un anlisis en slo dos direcciones: la direccin longitudinal (de propagacin) y la direccin normal a las interfases. Consideramos el caso de tres medios de caractersticas diferentes, que corresponden al sustrato (3, ), la capa (2, ) y el recubrimiento (1, ) en la nomenclatiura de la tecnologa de pelcu-las delgadas. Habitualmente el sustrato es el soporte mecnico de la estructura, la capa es la gua

x

d

0 3,

1,

z

2,

x

d

0

0, 0

z

, Ex

Ez Hy



de ondas propiamente dicha, y el recubrimiento tiene funciones de proteccin de la estructura. Suponemos que la permeabilidad es la misma en los tres medios, lo que es lo normal. Asumimos campos que se propagan en la direccin z, de manera que las componentes incorpo-rarn el factor )( zzktie que consideraremos implcito en las ecuaciones. Despreciamos adems la dependencia respecto de y debido a que consideramos indefinida la extensin de la estructura sobre planos yz. Esta aproximacin tiene sentido si el tamao de la estructura sobre estos planos es mucho mayor que el espesor de la capa d y si ese tamao es adems grande frente a la mxima longitud de onda de la radiacin a considerar. Consideremos primero un modo TE. La ecuacin de Helmholtz para la componente longitudinal (Hz) queda:

3,2,1 0222

2==

+

iHkkx

Hizixi

iz

cuya solucin es una superposicin de exponenciales de argumento imaginario o funciones tri-gonomtricas. Elegiremos exponenciales en los medios externos, donde esperamos tener ondas evanescentes, y funciones trigonomtricas en la capa, donde esperamos tener ondas estaciona-rias en la direccin normal a las interfases.

Tenemos as: ( ))(

3

)(2

)(1

)cos()sen(zzktipxz

zzktiz

zzktiqxz

eeDH

ehxChxBH

eeAH

=+=

=

De las condiciones de contorno surge que y kz deben ser constantes en los tres medios. Las componentes transversales de los campos salen de las ecuaciones:

0 02222

==

===

=y

H

k

ikH

xH

k

iEx

H

k

ikH

yH

k

iE z

t

zy

z

ty

z

t

zx

z

tx

de donde:

( ) ( )pxzzz

xpxz

y

zzzx

zy

qxzzzx

qxzy

eDp

ikx

H

p

ikHeD

pi

x

H

p

iE

hxChxBh

ikx

H

h

ikHhxChxB

hi

x

H

h

iE

eAq

ikx

H

q

ikHeA

qi

x

H

q

iE

===

=

===

=

===

=

323

323

222

222

121

121

)sen()cos( )sen()cos(

(en estas ecuaciones se ha omitido el factor comn )( zzktie ). Planteamos las condiciones de contorno. Se conservan las componentes tangenciales a las inter-fases de ambos campos (Ey y Hz) y las componentes normales Hx:

DCDhBpDhBp

HHEEHH

x

zzyy

xx

===

===

= 032

32

32

( )( )

)cos()sen()sen()cos()sen()cos(

21

21

21

hdChdBeAhdChdBqeAhhdChdBqeAh

HHEEHH

dxqd

qd

qd

zzyyxx

+===

===

=

Se ve que la conservacin de las componentes normales dan condiciones redundantes respecto de la conservacin de las tangenciales. De las ecuaciones restantes queda un sistema homogneo de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas.



Como C = D, quedan slo tres incgnitas. Para que este sistema tenga solucin, su determinante debe anularse:

( )pqh

qphhdtanhdhdehdqhdqeh

hp

qd

qd

+==

2)( 0

)cos()sen()sen()cos(

0

ecuacin trascendente que debe cumplirse junto con las ecuaciones: 22

322

322

222

222

122

1 zzz kpkkhkkqk +==+==+== que definen las componentes del vector de onda. Esta ecuacin trascendente no tiene solucin analtica. Puede resolverse en forma grfica o en forma numrica. Supongamos el caso simtrico en que las propiedades del sustrato y las del recubrimiento coinci-den. En tal caso 1 = 3 y entonces k1 = k3 p = q, y la ecuacin a resolver es:

222)(

ph

phhdtan

=

Como )(1

)(2)2( 2

tan

tantan

= tenemos: 2222

)2/(1

)2/(2)(ph

ph

hdtan

hdtanhdtan

=

=

De esta ecuacin se puede obtener una ecuacin cuadrtica para la tangente:

==

+ph

hphdtanhdtan

phphhdtan

//

)2/( 01)2/()2/(22

2

Adems, podemos escribir que: 2

2122

222

122 )( hphpkz +===

Por lo tanto la ecuacin original se reduce a:

)2/(/)2/()2/(4/)( )2/(/)2/()2/(

)2/()2/()2/(4/)( )2/()2/()2/(

2221

2

2221

2

hdtanhdhddhdtanhdpd

hdtanhdhddhdtanhdpd

=+=

=+=

o

Estas ecuaciones pueden resolverse en forma grfica, ploteando ambos miembros y hallando los puntos de cruce, que son las soluciones del problema.

Ejemplo 9.4: Halle grficamente las soluciones de las ecuaciones trascendentes del problema de la capa dielctrica para una capa de vidrio de espesor md 46.1= ro-deada de aire )1 , 1( 11 = rn a )6.0(105 014 mHzf == . Nos quedan las ecuaciones:

2/ )(/89.81 )(89.81 22 hdxxtanxxxtanxx === cono

)(89.812 xtanxx = )(/89.812 xtanxx =



Se observa de las figuras que hay solucin para:

mhxmhx

74.22,5.18,38.14 6.16,5.13,5.1047.22,08.18,4.13 4.16,2.13,78.9

2

1

y para otros espesores de capa mayores.

Nociones de fibra ptica Por muchos aos se ha apreciado que el uso de ondas de luz como portadoras de informacin provee un enorme ancho de banda potencial. Las ondas pticas se hallan en el rango de 1013 a 1016 Hz (30 nm - 30 m - este rango incluye el infrarrojo lejano y el ultravioleta cercano y medio, adems del espectro visible), o sea de tres a seis rdenes de magnitud mayor que las frecuencias de microondas. Sin embargo, el aire es un medio con demasiadas prdidas por dispersin (scatte-ring) para la transmisin de ondas de luz. Slo la evolucin de guas dielctricas de bajas prdi-das y fabricacin econmica en los ltimos aos ha llevado al uso masivo de esta tecnologa en las comunicaciones. Debido a sus propiedades, el espectro ms eficiente se hallan entre los 600 - 1600 nm, siendo las longitudes de onda ms utilizadas las de 850 nm, 1300 nm y 1550 nm. Las principales ventajas de la comunicacin por guas dielctricas cilndricas (o fibras pticas, en la jerga) son:

Tamao, peso y flexibilidad. Las fibras pticas tienen espesores muy pequeos. Un gran n-mero de fibras individuales pueden agruparse en un cable del tamao de un coaxil normal. Los cables son ms livianos que los de metal y ms flexibles.

Aislacin elctrica. Las fibras pticas son prcticamente inmunes a las fuentes de interferen-cia. Esto hace su uso obligatorio en ambientes de alto ruido. Tampoco existe la diafona (cross-talk) entre fibras individuales en un paquete.

Seguridad. Es difcil "pinchar" una comunicacin enviada mediante fibra ptica. Es mucho ms difcil hacerlo sin que se note.

Bajas prdidas. Las fibras pticas modernas tienen mejores performances que los cables coa-xiles. Se ha llegado a menos de 0.2 dB/Km de prdidas, lo que elimina la necesidad de repeti-doras.

Las principales desventajas de la comunicacin con fibras pticas reside en la fragilidad de las fibras individuales, y fundamentalmente en la dificultad tcnica para lograr conexiones confia-bles y econmicas a la circuitera asociada. Tambin la velocidad de los circuitos asociados es lo que limita al presente la tasa de transferencia de informacin de un sistema de comunicaciones pticas. El paso de seales electrnicas a pticas y viceversa es tambin en la actualidad un fac-tor de alto costo.

En la variante ms simple, una fibra ptica consiste en un ncleo cilndrico de vidrio de un dado ndice de refraccin y un recubri-miento, tambin de vidrio, de ndice de refraccin menor. El conjunto se rodea de una vaina de polietileno y otras cubiertas de proteccin. Las dimensiones tpicas estn en el or-den de 100 a 150 m de dimetro. Debido a que el material del recu-

brimiento tiene un ndice de refraccin menor al del ncleo (valores tpicos 1.485 y 1.5), existe reflexin total para rayos de luz que se propagan en el ncleo con un ngulo mayor (respecto de la normal a la interfase) que el ngulo aceptable a, ligado con el ngulo lmite (rayos en azul),

a



y no hay energa radiada fuera del ncleo (los campos en el recubrimiento y ms all son evanes-centes - rayos en rojo). Esta caracterstica se mide a travs de la llamada apertura numrica de la fibra:

)2/sen( aNA = Hay diversos modos normales de propagacin posibles por encima de la frecuencia de corte. Si la fibra acepta slo un modo a una dada frecuencia se dice que es una fibra mono-modo, mien-tras que si existen varios modos posibles a una dada frecuencia se habla de una fibra multi-modo.

Cada fibra individual (ncleo + recubrimiento + vaina) se agrupa habitualmente en cables de gran nmero de fibras, y los cables se pueden a su vez agrupar de nuevo en manojos y el conjunto se recu-bre de capas protectoras y even-tualmente almas de metal para disminuir la fragilidad.

La atenuacin en la propagacin a lo largo de la fibra se debe a varios fenmenos. Hay absor-cin de energa y dispersin luminosa. La absorcin se debe a la presencia de impurezas en el material de la fibra (por ejemplo, las molculas de agua tienen un pico de absorcin a los 1400 nm) y a la absorcin propia del slice de que est hecha la fibra por encima de los 1600 nm. La dispersin luminosa tiene tres componentes: uno debido a variaciones microscpicas del ndice de refraccin del vidrio (dispersin de Rayleigh), fenmeno que aumenta con la frecuencia, otro debido a imperfecciones de la estructura cristalina de la fibra, y un tercero por la relacin de dis-persin no lineal presente en toda gua de ondas. Este tipo de dispersin se denomina dispersin cromtica, porque depende de la frecuencia de la radiacin que viaja por la fibra. Adems en las fibras multimodo cada modo tiene una velocidad de propagacin propia que depende de la rela-cin de dispersin en cada modo y la frecuencia de la radiacin. Esta dispersin multimodo es ms importante y se agrega a la dispersin cromtica (los anchos de banda se suman cuadrtica-mente). La dispersin es el factor esencial en la limitacin del ancho de banda til de la fibras pticas, y es una irona que la ventaja potencial ms importante de las comunicaciones pticas no se haya hecho realidad, ya que las fibras actuales tiene aproximadamente el mismo ancho de banda que un buen coaxil. Tambin la curvatura de la gua modifica el ngulo de incidencia de la luz sobre la interfase y puede aumentar las prdidas respecto del caso rectilneo si el ngulo de incidencia cae por debajo del ngulo lmite. Todos estos factores llevan en general a que la mejor performance (mnima absorcin) se da en la regin de 0.8 m a 1.8 m donde se logran factores de atenuacin de 2 dB/Km a 5 dB/Km. Existen tres formas bsicas de presentacin de las fibras pticas: Fibra de ndice de refraccin discontinuo. En este caso el ncleo tiene ndice de refraccin

constante y existe un salto abrupto en la interfase con el recubrimiento. La propaga-cin de los rayos es mediante reflexin total en la interfase. El dimetro del ncleo est entre 100 y 500 m. Se trata de una gua multimodo, co-

r



nocida por la sigla n/m SI MM (Step Index Multimode), donde n es el radio del ncleo y m el radio del recubrimiento en m.

Fibra de ndice de refraccin gradual. En este caso el ndice de refraccin del ncleo dis-minuye gradualmente a medida que se avanza hacia la periferia. Esto lle-va a que el camino de los rayos se curve hasta que se hacen tangenciales sobre la interfase con el recubri-miento. Se trata de una

gua multimodo y se identifica por la sigla n/m GI MM (Graded Index Multimode), donde n es el radio del ncleo y m el radio del recubrimiento en m. Este tipo de fibra tiene menor dispersin (en consecuencia, mayor ancho de banda) que la fibra de ndice discontinuo, por-que se disea la forma variacin de variacin del ndice para que la velocidad de grupo de los distintos modos sea similar. La atenuacin tambin es menor que en la fibra de ndice discon-tinuo, pero es bastante ms cara.

Fibra mono-modo. Esta fibra slo permite un nico modo o camino de rayos, porque usa dimetros de ncleo mucho menores que en los otros casos y se trata de una gua de ndice de refraccin constante con salto discontinuo. Como se propaga un solo modo, la dispersin es ms baja que en los otros casos, ya que se trata solamente de dispersin cromtica. El sistema de acople es en este caso el de mayor dificultad tcnica y costo, as como son mayores los costos de produccin, pero se tiene mayor performance.

r



RESUMEN

En este captulo se ha realizado un estudio introductorio de la propagacin de ondas electromagnticas por estructuras de guiado, llamadas guas de ondas. Comenzamos analizando nuevamente los modelos a aplicar de acuerdo a la compara-

cin del tamao D de los dispositivos respecto de la mnima longitud de onda m del campo electromagntico: Si D



==

==

S

kzti

C

kzti

dStzieE

t

tzveEt

nHyrH

dlExrE

),(),(

),(),(

)(0

21

)(0

TEM

donde la integral de circulacin del campo elctrico se realiza a lo largo de una curva C de = cte. entre ambos conductores, y el flujo del campo magntico se calcula a travs de una superficie S de = cte. cuyo contorno encierra a slo uno de los dos conductores, siendo la direccin de propagacin. La velocidad de propagacin de las ondas coincide en ambos modelos y la impe-dancia de onda del modelo de campos coincide con la impedancia caracterstica del modelo de constantes distribuidas. Esta analoga permite el uso de herramientas como la carta de Smith para el diseo de sistemas de guiado de ondas en alta frecuencia. En particular es el modelo es-tndar en el diseo de redes de microondas,

En los modos TM y TE tienen los campos:

( )

=

=

=

+

=

1

)(0

10

cos),(

sencos),(

n

zkti

n

xzzktin

zn

z

exd

nE

t

xd

nkk

ixd

nkkeEt

yrH

zxrE

TM

=

=

+

=

=

0

)(0

0

)(0

cossen),(

sen),(

n

zkti

t

z

n

zkti

t

z

n

zn

edxn

dxn

kikHt

edxn

kH

it

zxrH

yrE

TE

y surge que slo se pueden propagar ondas de frecuencia superior a una frecuen-cia de corte, que depende adems del orden del modo.

dcnn=

Las velocidades de fase y grupo son las mismas para am-bos modos. La gua presenta dispersin normal:

22

12/1

cvvcdkdvc

kv gfn

zg

nz

f =

==

==

La impedancia de onda, relacin entre las componentes del campo elctrico y el magntico transversales a la propagacin es:

2

22

2

1

1

=

=n

n

n

n

c

c ZZ TETM

Se calculan la energa transportada, la potencia disipada por efecto Joule y el co-eficiente de atenuacin en las paredes conductoras para los tres modos:

/c

vg/c

vf/c 1

1



dR

dRZae

dxn

kkH

dR

ZR

dex

dn

kkE:

dReE

s

c

csTEcTE

z

n t

z

c

s

TM

sTM

n

zz

sz

nn

nn

=

=

=

==

=

==

=

=

22

22

22

222

12

2

0

221

22

2

0

22

0

1sen

122cos

2

/2

:

:

zN

zN

zN

TE

TM

TEM

Se hace una breve introduccin a las guas abiertas, que conducen ondas electromag-nticas por desadaptacin de impedancias ms que por la presencia de superficies

conductoras. En particular, se analiza la gua de hoja dielctrica entre dos dielctricos: el sustrato y el recubrimiento. En este ltimo ca-so, el guiado se realiza utilizando un modo de propagacin que haga incidir oblicuamente las ondas sobre las interfases de la gua con un ngulo superior al ngulo lmite de re-

flexin total. Las ecuaciones de los campos son:

( ) ( )pxzzz

xpxz

y

zzzx

zy

qxzzzx

qxzy

eDp

ikx

H

p

ikHeD

pi

x

H

p

iE

hxChxBh

ikx

H

h

ikHhxChxB

hi

x

H

h

iE

eAq

ikx

H

q

ikHeA

qi

x

H

q

iE

===

=

===

=

===

=

323

323

222

222

121

121

)sen()cos( )sen()cos(

Las constantes surgen de la resolucin de una ecuacin trascendente. Si el sustrato y el recubrimiento tienen las mismas propiedades la ecuacin es: 22

2)(ph

phhdtan

=

que puede resolverse en forma grfica para hallar el espesor h de la capa para propaga-cin. Finalmente se hace una introduccin a las fibras pticas como guas de onda.

x

d

0 3,

1,

z

2,



PROBLEMAS 9.1) Una onda electromagntica se propaga entre dos placas paralalelas conductoras separadas

5 cm entre s. La frecuencia de la onda es de 8 GHz. a) Cuntos modos distintos se pueden propagar en la gua? b) Cul es la longitud de onda en la gua para cada modo?

[Rta: a) 5, b) 3.75, 4.045, 5.669 cm] 9.2) Cul es la separacin mxima permisible ente dos placas paralelas para que de los mo-

dos TE slo pueda propagarse el primero, a una frecuencia de 10 GHz? Suponga que entre las dos placas hay aire.

[Rta: d < 3 cm, estudie el caso d = 3 cm]

9.3) Grafique aproximadamente las componentes de los campos E y H entre dos placas para-lelas, en un cierto instante, para el modo de propagacin TE1.

9.4) Considere nuevamente el ejercicio 8.2). Suponga ahora que entre las dos placas hay un

material con r = 4. Cul debera ser ahora la separacin entre placas para que solamente se propaguen los primeros modos TEM, TE1 y TM1 en un rango de frecuencias con f < 10 GHz?

[Rta: 0.0075m < d < 0.015m]

9.5) Obtenga el diagrama - para el modo TE1 de propagacin dentro de dos placas parale-las. Considere que la separacin entre placas es de 3 cm y que el medio de propagacin es ai-re.

9.6) Calcule las velocidades de fase y de grupo de todos los modos que se pueden propagar a

una frecuencia de 12 GHz entre dos placas paralelas de cobre, separadas 4 cm entre s. [Rta: vf(108m/s) = 3.00, 3.16, 3.84, 8.62, vg(108m/s) = 3.00, 2.85, 2.34, 1.04]

9.7) Para un sistemas de dos placas paralelas, grafique las impedancias de onda para los mo-

dos TE1, TM1, TE3 y TM3 del ejercicio anterior.

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