Operaciones con matrices
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Objetivos:
• Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas.
Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones.
Introducción:
30 minutos.
Tiempo aproximado de estudio:
Operaciones con matrices
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Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Matrices inversibles
Propiedades simplificativas
Las operaciones matriciales básicas
son
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Dada una matriz de tamaño m x n, A = (aij), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
. . . .am1 am2 … amn
A =
a11 a12 … a1m
a21 a22 … a2m
. . . .an1 an2 … amn
At =
Trasposición de matrices
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1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única.
2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A. a (At)t = A.
La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At.
Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.
Propiedades de la trasposición de matrices
El procedimiento para su obtención es:
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La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, dan otra
matriz.
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico
S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
1 1/2- 4 0
3 1/40 -2 +
1+3 = 4 ½ + ¼ = ¾ -4 -2 =
A B A + B
Se suman estos dosEjemplo
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La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)
1 1/2- 4 0
A
1/4-2 +
B
= NO ES POSIBLE SUMARLAS
Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la
misma dimensión.
Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes.
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I. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
II. Conmutativa: A + B = B + A
III. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
IV. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:
V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Propiedades de la suma y adición de matrices
VI. Si A + C = B + C A = B
VII. Si kA = kB A = B si k es distinto de 0VIII. Si Ka = hA H = K SI a es distinto de 0
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I. Para la matriz A, (At)t = A
II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At
IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica, At = A
Propiedades:
1 2 34 5 6
A =
1 42 53 6
At =
Se invierte su posición
Ejemplo
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Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
(k)(a) = (k)(aij) = k = = (kaij)
ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
Producto de un número por una matriz
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1 0 -12 1/4 9-5 -4 5/7
(3) = =
(3)(1) (3)(0) (3)(-1)(3)(2) (3)(1/4) (3)(9)(3)(-5) (3)(-4) (3)(5/7)
3 0 -36 1/4 27
-15 -12 15/7
Se multiplica cada uno por 3
Ejemplo
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I. Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
II. Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
III. Elemento neutro: 1 · A = A
IV. Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial
Propiedades de la multiplicación de un número por una matriz
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Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir éstas).
De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.
Pij = aik · bkj con k=1,….n
Producto de matrices
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4 7 9 -2A = , B =
3 5 6 8
(4)(9) + (7)(6) (4 ) (-2) + (7)(8) 78 48AB = =
(3) (9) + (5)(6) (3) (-2) + (5)(6) 57 34
1. Se multiplica cada uno
2. Se suman después
Ejemplo
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5 8-4 -3
A = 1 0 , B =2 0
2 7
5 x (-4) + 8 x 2 5 x (-3) + 8 x 0 -4 -15AB = 1 x (-4) + 0 x 2 1 x (-3) + 0 x 0 = -4 -3
2 x (-4) + 7 x 2 2 x (-3) + 7 x 0 6 -6
Ejemplo
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¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n (bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.
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Propiedades del producto de matrices
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que:
A . (B . C) = (A . B) . C
II. Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
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III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r. Tenemos que:
A . (B + C) = A . B + A . C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p. Se cumple que:
(A + B) . C = A . C + B . C
Propiedad distributiva
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Producto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.
An = A . A . ........... . A
An = A … A = A A n-1 = =
n- veces
1 10 1
1 n-10 1
1 n0 1
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1 10 1A =
1 10 1A2 =
1 10 1A2 =A A =
1 10 1
1 20 1
A2 =
Ejemplo
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Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en: http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166
Referencias Bibliográficas