Prof. Lic. Luis Rolando Pacheco Huarotto

ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.

LÓGICA

Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite llegar a conclusiones generales a partir de observaciones particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos permite llegar a conclusiones particulares a partir de observaciones generales.

ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de expresión matemática que no es verdadero ni falso.

Ejemplos: x < 9 x + 2 = 10

a + b = 1 a2 + b2 = c2

PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un enunciado informativo que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez.

La veracidad o falsedad de una proposición se denomina “Valor de verdad de la proposición”

39 es un número primo ( )

Huancayo queda en Junín ( )

1/2 < 1/4 ( )

SON PROPOSICIONES:

Resuelve este problema

¿Puedes prestarme tu libro?

Buenos días profesor

NO SON PROPOSICIONES:

F

V

F

PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables proposicionales

Ejemplos: VALOR DE VERDAD

1. 15 es un número primo : p ( )2. Lima es la capital del Perú : q ( )3. 32 = 9 : r ( )

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple.

En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante palabras conocidas como conectivos lógicos

FVF

Conectivos lógicos

Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos.

Los siguientes conectivos son los más recurrentes:

1. “si y sólo si”

2. “o . . . o”

3. “si…entonces…”

4. “o”

5. “y”

6. “no”

PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD

p p q p q r

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n

posibilidades

21

22

23

Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.

1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “” y se llama conjuntor.

Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica”

p q

p : Jorge viajó al Cusco

q : Luis viajó a Ica Simbología: “p q”

NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.

OPERACIONES LOGICAS

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

F

F

F

La conjunción sólo es verdaderacuando las dos proposiciones son verdaderas.

2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor.Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca”

r s

r : Eliana viajará al Cuzco

s : Eliana viajará a Cajamarca Simbología: “r s”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

F

V

VLa disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas

3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor fuerte.

Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco”

p q

p : Ricardo radica en Miraflores

q : Ricardo radica en Barranco Simbología: “p q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE

p q

V

V

V

V

F

F

FF

F

F

V

V

La disyunción fuerte es verdaderasolo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad

La disyunción fuerte es falsasolo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad

4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo

“Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador.

Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2”

p q

p : 12 es un número par ……………….… (antecedente)

q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente)

Simbología: “p → q ”

Notas: 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por

consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc.2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que

p; q siempre que p; q porque p; etc.

La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3

Ejemplo

(antecedente) p

(consecuente) q

426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3

(antecedente) p

(consecuente) q

La simbología para ambos casos es: p → q

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

V

V

F

El condicional solo es falsocuando el antecedente es verdaderoy el consecuente es falso.

5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si

y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador.

Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua”

p q

p : Sicilia es una isla

q : Sicilia está rodeada de agua Simbología: “p ↔ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

p q

V

V

V

V

F

F

FF

V

V

F

F

El bicondicional es verdaderosolo si ambas proposiciones poseenidénticos valores de verdad

El bicondicional es falsosolo si ambas proposiciones poseendiferentes valores de verdad

6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo

es “” y se llama negador.

Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”

p

Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”

Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición.

Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero

p

q r

Simbología: ( q r )

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN

p p

V

F

F

V

TABLA RESUMENConector Valor de

verdadCondición

V Si ambos tienen igual valor de

verdad.

V Si tienen valores diferentes de verdad.

F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso

F Si ambos son falsos

V Si ambos son verdaderos

~ V Si la proposición es falsa.

EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA

p q r ( p q ) ( p r)

Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p q) (p r)

Solución

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos:

1. Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA.

2. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN.

3. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q r) p es FALSA

Determinar el valor de verdad de: (r p) (p r)

SOLUCIÓN

( q r ) p

FPrimero analizamos la condición

FVV V F

Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se evalúa la fórmula planteada

( r p ) ( p r )

V VV F VFF

El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO

PRACTICA Nº 02 1. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué

puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?

P Λ Q            R → P                   S → ~ PR Ѵ P        P → Q              R → (S → P)R Λ P        P → P Ѵ S         P Ѵ S → (Q Λ ~ P)S Ѵ ~ P  ~ P → Q Λ R      Q Λ ~ P → R Λ Q2.- Determinar cuáles de las siguientes

proposiciones son tautologías:P Λ Q → P Λ R                   (P → Q ) → ( ~ Q →P )P → P Λ Q                         (P ↔ Q) Λ (P Λ ~ Q)P Λ ~ (Q Ѵ P)                    P Λ ~ ((P Ѵ Q) Ѵ R)(P → (Q Ѵ ~ P)) → ~ Q        P Ѵ (~ P Ѵ R)

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto