[1] FSICA 2 BACHILLERATO BLOQUE TEMTICO: OPTICA. INTRODUCCIN A LA FSICA MODERNA LA LUZ. ELEMENTOS DE FSICA CUNTICA 1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX).2.- Ondas electromagnticas. 3.- Espectro electromagntico. 4.- Propiedades de las ondas electromagnticas 5.- Hiptesis de Planck. 6.- Efecto fotoelctrico.7.- Cuantizacin de la energa en los tomos. Espectros atmicos.8.- Hiptesis de De Broglie. Dualidad partcula-onda. 9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg. Los fsicos emplean la teora ondulatoria los lunes, mircoles y viernes, y la corpuscular, los martes, jueves y sbados Sir. William Henry Bragg (1862-1942) 1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX) Ch. Huygens, en 1690 propuso en su obra Tratado de la luz: La luz consiste en la propagacin de una perturbacin ondulatoria del medio ParaHuygenssetratabadeondaslongitudinalessimilaresalasondassonoras. Mediante esta hiptesis se explica fcilmente fenmenos como la reflexin, la refraccin de laluzyladoblerefraccin(quesevermsadelante).Lasdificultadesdelateora ondulatoria residan en que no se haban observado por entonces en la luz otros fenmenos tpicamente ondulatorios como la difraccin. Hoy da s se han observado dichos fenmenos dedifraccincuyadificultaddeobservacinresideenlapequealongituddeondadelas ondas luminosas. En su obra ptica, publicada en 1704, Newton propuso que: La luz tiene naturaleza corpuscular: los focos luminosos emiten partculas que se propagan en lnea recta en todas las direcciones y, al chocar con nuestros ojos, producen la sensacin luminosa Loscorpsculossondistintossegnelcolordelaluz.Soncapacesdeatravesarlos mediostrasparentesysonreflejadosporloscuerposopacos.Medianteestahiptesisse explicafcilmentelapropagacinrectilneadelaluzylareflexin,peroencuentra dificultadesenotrosfenmenoscomolarefracciny,sobretodo,enexplicarporquuna misma superficie de separacin de dos medios es capaz tanto de reflejar como de refractar. [2] A principios de siglo XIX las experiencias de T. Young sobre interferencias luminosas, eldescubrimientodelapolarizacindelaluzolasexperienciasdeA.J.Fresnelsobrela difraccin, revalorizaron la hiptesis ondulatoria ya que todos estos fenmenos son tpicos de ondas. No obstante las ondas luminosas pasaron a ser transversales para poder explicar la polarizacin. En 1864 J. C. Maxwell estableci la teora electromagntica de la luz, adelantndose a la comprobacin experimental de la existencia de las ondas electromagnticas efectuada en 1887 por el fsico alemn H. Hertz. Maxwel propuso que:La luz no es una onda mecnica sino una forma de onda electromagntica de altafrecuencia.Lasondasluminosasconsistenenlapropagacin,sin necesidad de soporte material alguno, de un campo elctrico y de un campo magntico.Dichoscampossonperpendicularesentresyaladireccinde propagacin La teora electromagntica fue comnmente aceptada a finales de siglo XIX. 2.- Ondas electromagnticas. J. C. Maxwell desarroll su teora del campo electromagntico entre 1861 y 1864, y predijo la existencia y caractersticas de las ondas electromagnticas. Talcomosehadichoenelapartadoanteriorlaluzesunaondaelectromagntica. Podemos decir que son dos ondas en una, transversales las dos respecto de la direccin de propagacin.Unadelasdosondasconsisteenlapropagacindeuncampoelctrico variablequegenera,portanto,uncampomagnticotambinvariablequesepropaga perpendicularmentealcampoelctrico.Asuvez,uncampomagnticovariablegeneraun campo elctrico variable perpendicular. Sepuededecirqueunaondaelectromagnticaesauto-sostenida,quenoprecisade un medio material de propagacin y, por tanto, se puede propagar por el vaco.Los dos campos son funciones peridicas (funcin de onda) tanto de la coordenada en ladireccindepropagacincomodeltiempo.Concretamente,sepuedeconsiderarque [3] varansinusoidalmenteconeltiempoylaposicin,porloquelessonaplicableslas ecuaciones dadas para las ondas armnicas: k x) - tsen( Ex-Tt2 senE t) E(x,o oe t =((

+ |.|

\|=k x) - tsen( Bx-Tt2 senB t) B(x,o oe t =((

+|.|

\|=DondeE Mdulodelcampoelctrico(N/C)enelinstantetyaunadistanciaxdelfoco emisor. La variacin de E se puede dar, por ejemplo, en el eje Y.EoCampo elctrico mximo o amplitud mxima del campo elctrico (N/C). B Mdulodelcampomagntico(T)enelinstantetyaunadistanciaxdelfoco emisor. La variacin de B se puede da en el eje Z si la de E se da en el eje Y. BoCampo magntico mximo o amplitud mxima del campo magntico (T),TPeriodo (s) de variacin del campo elctrico y del campo magntico. Longitud de onda (m). = 2/TPulsacin (rad/s), tambin frecuencia angular. k = 2/Nmero de onda (m-1) t k xFase de la onda (rad). En este caso se desplaza en el sentido positivo del eje x. f = 1/TFrecuencia de la onda (Hz) Fase inicial, en radianes. Adems,lasondaselectromagnticastambincumplenlasrelacionesentre velocidad,longituddeondayfrecuencia.Lavelocidaddeunaondaelectromagnticase suele representar con la letra c si se refiere al vaco (o al aire donde prcticamente tiene el mismo valor). = cT f = c La velocidad de las ondas electromagnticas depende del medio de propagacin. Su valor en el vaco es una constante que vale c = 3 x 108 m s-1.Por ltimo, los mdulos de los vectores campo elctrico y campo magntico, en una posicin y en un tiempo determinado cumplen BEc = Problema 1 Unaondaelectromagnticaarmnicade20MHzsepropagaenelvaco,enelsentidopositivodeleje OX.El campo elctrico de dicha onda tiene la direccin del eje OY y su amplitud es de 3 10 - 3 N C - 1

a)EscribalaexpresindelcampoelctricoE(x,t),sabiendoqueenx=0sumduloesmximo cuando t = 0. b) Represente en una grfica los campos E(t) y B(t) y la direccin de propagacin de la onda. Dato: c = 3 10 8 m s 1 [4] a)Empezaremospordeterminarlascaractersticasdelaondaelectromagnticaapartirdelos datos del problema. La frecuencia es de 20106 Hz, por tanto, el periodo y la pulsacin son:

f2

d La velocidad de la onda y la frecuencia permiten conocer la longitud de onda y, entonces, el nmero de onda: =

=

2

=

La expresin del campo elctrico ser:

2

2 Paraconocerlafaseinicialsenosdicequeenelinstanteinicialelmdulodelcampoelctricoes mximo. Por tanto,

de donde = /2 rad. En definitiva:

2

2 b) La expresin del campo magntico en esta onda es

2

2 donde =

Por tanto,

2

2 Lafiguraadjuntarepresentasimultneamentelas variacionesdeloscamposelctricoymagnticode estaondaelectromagnticaenfuncindeltiempo.La direccindepropagacineselejexensentido positivo.Siseelijecomodireccindevibracindel campoelctrico,porejemplo,elejey,entoncesla direccindevibracindelcampomagnticoser perpendicular a dicho eje, es decir, el eje z. [5] Problema 2 Obtnlafrecuenciaylalongituddeondadelaondaelectromagnticadefinidaporlaexpresindesu campo elctrico E(x,t) = 10-3 cos(5 1010 t 200 x)(S.I.). Se transmite en el vaco? De la ecuacin de la onda podemos conocer las caractersticas de la onda:

=

/ =

/=

2=

= 2

=2

= Todaondaelectromagnticaquesepropagaenelvacolohaceaunavelocidadde3108m/s.La velocidad de esta onda es:

Por tanto, la onda no se est transmitiendo por el vaco. 3.- Espectro electromagntico. Hoydaseconocenmuchasclasesdeondaselectromagnticas.Laluzvisiblenoes msqueuntipodeestasondas.Laslongitudesdeondamayoresenlasondas electromagnticas pueden llegar a ser de kilmetros y las menores longitudes de onda de 10-14 m. Lasecuenciaordenadasegnsulongituddeondaosufrecuenciadelasondas electromagnticas conocidas recibe el nombre de espectro electromagntico: [6] 4.- Propiedades de las ondas electromagnticas. Laspropiedadesdelasondaselectromagnticas,comoondasqueson,yafueron analizadasenelestudiodelmovimientoondulatorio:propagacindeunaonda, difraccin, reflexin, refraccin, polarizacin, interferencias, etc.En este apartado slo se analizarn algunas peculiaridades en la reflexin y refraccin de la luz. 4.1.- ndice de refraccin. La velocidad de la luz es mayor en el vaco que en los medios materiales. En el vaco la velocidad de las radiaciones luminosas (de las ondas electromagnticas) es constante y se simboliza por la letra c; su valor es de 300 millones de metros por segundo. El ndice de refraccin absoluto de un medio es la razn entre la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad de la luz en dicho medio: vcn =Comocessiempremayorquev,entonceselndicederefraccinabsolutoser siempremayorquelaunidad.Elndicederefraccinrelativodeunmedio2respectode otro medio 1 (n21) ser: 212121121221 ;vvnvvvcvcnnn = = = =Dadoquelafrecuencia delaondanocambiaalcambiardemedio,puesdicha frecuencia depende de la frecuencia de vibracin del foco emisor de ondas, entonces:

o offvcn = = =Como n >la longitud de onda de una radiacin en el medio () es menor que su longitud de onda en el vaco (o). 4.2.- Refraccin y reflexin. Ley de Snell Como sabemos la ley de Snell viene dada por la expresin

dondev1eslavelocidaddelaluzenelmedio1,esel ngulodeincidencia,v2eslavelocidaddelaluzenel medio2yreselngulorefractado.Simultiplicamoslos dosmiembrosporlavelocidaddelaluzenelvaco obtendremos: [7]

Consideraciones: 1)Si, es decir, ,se est produciendo un paso a un medio menos denso a otro ms denso (por ejemplo de aire a agua). Adems, la velocidad de la luz en el medio 1 ser mayor que en el medio 2, es decir n2 > n1. 2) Si, es decir, , se est produciendo un paso a un medio ms denso a otromenosdenso(porejemplodeaguaaaire).Lavelocidaddelaluzenelmedio1es mayorqueenelmedio2,esdecir,estacircunstancianohacambiadorespectodelcaso anterior. 3)Lareflexindelaluzpuedeconsiderarsecomouncasoparticularderefraccinenel que n1 = n2. 4) En la refraccin desde un medio ms denso a otro menos denso (agua-aire) se pueden darvarias situacionessegnseael ngulodeincidencia,como se muestraenlasiguiente figura: Podemosobservarquecuandoelngulodeincidenciaesinferioroigualaunngulo, llamadongulolmite(cenlafigura)partedelrayoesreflejadoyparteesrefractado. Cuando el ngulo de incidencia es igual al ngulo lmite, rayo refractado forma un ngulo de 90 grados con la normal. En este caso podemos escribir

comoenelpasodelaguaalairen2n1,el cociente anterior no puede ser mayor de 1 (hay que recordar que los subndices indican 1 el medio del rayo incidente y 2 el medio del rayo refractado). [8] 5)Losngulosdeincidenciasuperioresalngulolmiteproducirnsloreflexin (reflexin total), es decir, no sera posible ver el objeto sumergido. 6)Interesanteesanalizarladoblerefraccinqueocurrecuandolaluzatraviesauna lminadecarasplanasyparalelas(cuandoatraviesaelcristaldeunaventana,por ejemplo). La doble refraccin viene representada en la siguiente figura: En la primera refraccin

Entonces

En la segunda refraccin

Como

=

podemos poner en la segunda refraccin que

Si sustituimos el valor del

obtenido de la primera refraccin nos queda,

Esdecir,elngulodeincidenciainicialpermaneceperosehadesplazadoelrayouna distancia d que, si el espesor del vidrio (L) es conocido, se puede determinar. [9] 4.3.- Dispersin Segnsehacomentado,elndicederefraccindeunasustanciaesfuncindela longitud de onda incidente. Cada longitud de onda tiene un ndice de refraccin de manera que si la longitud de onda disminuye el ndice de refraccin aumenta. En efecto,

o offvcn = = =sidisminuye,como

nocambia,ndebedeaumentar.Comoconsecuenciadeesto, cuando un haz de luz blanca (rayos de luz de distintas longitudes de onda) incide sobre un material refractante cada radiacin de la luz blanca (cada longitud de onda) se desviar un ngulo diferente. Este fenmeno recibe el nombre de dispersin de la luz. Ladispersindelaluzseponede manifiestocuandolaluzblancaincidesobreun prismaptico(sistemaformadopordos superficiesplanasrefractantes,lascarasdel prisma,queformanunngulodiedro1llamado ngulorefringentedelprisma).Lasdistintas radiacionesquecomponenlaluzblancase refractan(dosveces,unaencadacaradel prisma)conngulosdiferentespuessusndices derefraccinsondiferentesyemergen separadas.Alsalirdelprismaformanuna sucesincontinuadecoloresdenominada espectrodelaluzblanca.Estaexperienciafue realizada por Newton en 1666.Siobservamoslafiguraveremosquelaluzrojaeslaquemenossedesva,seguida delnaranja,amarillo,verde,azul,ndigoyvioleta.Portanto,amenorlongituddeonda, mayor desviacin. Por tanto el prisma da lugar a un ngulo de desviacin caracterstico paracadaradiacinsimpleoradiacinmonocromtica,esdecir,deunasolalongitudde onda.

1 Un ngulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una arista comn. [10] Por qu el cielo es azul? Lasmanifestacionesdecolordelcielosedebenfundamentalmentealainteraccindela luzdelsolconlaatmsfera.Laluzdelsolesblancaylaatmsferacontieneunacierta cantidaddehumedad,normalmentepequea,ascomopartculasdepolvoyceniza. Cuandounrayodeluzatraviesaunmaterial,sudireccindepropagacinsedesvaun ciertongulo,quedependedeltipodematerialatravesado.As,alatravesarunmaterial, cada color contenido en un haz de luz blanca se desviar un ngulo diferente, dando lugar a la conocida separacin de la luz en varios colores detrs de un prisma. Como hemos visto, la desviacin de los colores de la luz es mxima para los azules (con longitud de onda menor), es decir, son los colores que ms cambian su direccin con respecto al rayo blanco inicial, y es mnima para los amarillos y los rojos (con longitud de ondamayor),quecasinosondesviados.Losrayosazules,unavezdesviados,vuelvena chocar con otraspartculasdelaire,variando denuevo sutrayectoria. Realizanportanto unrecorridoenzigzagatravsdelaatmsfera,hastallegaranosotros.Esporesoque cuandollegananuestrosojosparecequellegandetodosloslugaresdelcielo.Losrayos amarillos no aparecen casi desviados y sta es la razn de que el sol nos parezca amarillo. Cuando el sol est muy bajo en el cielo sus rayos pasan a travs de un gran espesor deaireylosrayosdeluzinteractuarnmsveces conlaspartculasdelaatmsfera.Los azulesylosvioletassonesparcidoshacialosladosconmayorfuerzaquelosonlos amarillosylosrojos,que continanpropagndose enlalneadevisindel sol,formando esas magnficas puestas de sol en la Tierra. Problema 3. Un foco luminoso puntual est situado bajo la superficie de un estanque de agua. a) Un rayo de luz pasa del agua al aire con un ngulo de incidencia de 30 grados. Dibuje en un esquema los rayos incidente y refractado y calcule el ngulo de refraccin. b) Determine el valor del ngulo lmite en este caso. naire = 1;nagua = 1,33 a) Ley de Snell para la refraccin:

sen

= 2 sendonde:

=

=

=

2=

= por tanto, sen=sensen== arcosen= [11] b)Elngulolmiteeselngulodeincidenciatalqueelngulorefractadoseade90grados. Aplicando estas condiciones a la ley de Snell,

sen

= 2 sen donde

es el ngulo lmite, sen

=

2

sen

arcosen Problema 4. El lser de un reproductor de CD genera luz con una longitud de onda de 780 nm medida en el aire. a) Explique qu caractersticas de la luz cambian al penetrar en el plstico del CD y calcule la velocidad de la luz en l. b) Si la luz lser incide en el plstico con un ngulo de 30 grados, determine el ngulo de refraccin. c= 3108 ms-1;naire = 1;nplstico = 1,55 a) Las caractersticas de la luz que cambian al penetrar desde el aire en el plstico son la direccin del rayo y la velocidad de la luz. Si el ndice de refraccin es =

al cambiar el ndice de refraccin, cambia la velocidad. Por otra parte, la velocidad de una onda es =por tanto, segn la expresin, puede cambiar la longitud de onda y/o la frecuencia. Sin embargo, la frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro ya que esta depende de la frecuencia de vibracin del focoemisor.Por tanto, si la velocidad cambia porque la luz ha pasado de un medio a otro con ndice de refraccin diferente, tambin cambia la longitud de onda de dicha onda luminosa. Para conocer la velocidad de la luz en el plstico,

b) Para conocer el ngulo de refraccin utilizaremos la ley de Snell,

sen

= 2 sendonde:

=

=

=

2=

= por tanto, n=sensen== arcosen= como vemos, el rayo refractado disminuye su ngulo respecto a la normal, como corresponde a un rayo de luz que pasa de un medio menos denso a otro ms denso. [12] Problema 5. Unalminadevidrio,dendicederefraccin1,5,decaras paralelasyespesor10cm,estcolocadaenelaire.Sobreunade suscarasincideunrayodeluz,comosemuestraenlafigura. Calcule: a) la altura y la distancia marcadas en la figura. b) El tiempo que tarda la luz en atravesar la lmina. a) Empezaremos por calcular la altura h. El rayo de luz que se refleja forma un ngulo de 60 grados con la normal.Segn se observa en la figura, el ngulo a es ==entonces,

Paracalcularladistanciaddebemosconocerelnguloderefraccin,quecalcularemosdela aplicacin de la ley de Snell:

sen

= 2 sendonde:

=

=

=

2=

=por tanto, n=sensen== arcosen= Conocido este ngulo podemos resolver el tringulo,

b)Calcularemosenprimerlugarlavelocidaddelaluzenelvidrio.Apartirdeldatodendicede refraccin,

Enlafiguraadjunta,comoconocemosd,podemossaberla distanciaquerecorreelrayodentrodelvidrio,lahipotenusa del tringulo es

Lavelocidaddeunaondaenunmedioesconstante,eltiempo que tarda en atravesar la lmina es, =

[13] Problema 6. Unrayodeluzmonocromticaincideenunadelascarasdeunalminadevidrio,decarasplanasy paralelas, con un ngulo de incidencia de 30 grados. La lmina est situada en el aire, su espesor es de 5 cm y su ndice de refraccin 1,5. a)Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ngulo que forma el rayo que emerge de la lmina con la normal. b)Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lmina. a) La situacin viene representada en la figura, teniendo en cuenta que segn los datos, L = 5 cm 1 = 30n1 = 1 n2 = 1,5 Tal como se ha visto en la teora (pg. 8)

= 2 por tanto, el ngulo que forma el rayo que emerge de la lmina con la normal es 30. b) Para conocer la distancia que recorre el rayo dentro de la lmina, es necesario conocer el ngulo refractado en la primera refraccin. Aplicando la ley de Snell a dicha refraccin,

sen

= 2 sen

donde:

=

=

=

2=

=por tanto, sen=sen

sen

=

= arcosen= Conocido este ngulo podemos resolver el tringulo, tan

=

= tan= Enlafiguraadjunta,comoconocemosd,podemossaberla distanciaquerecorreelrayodentrodelvidrio(e),la hipotenusa del tringulo es

[14] 5.- Hiptesis de Planck A finales de siglo XIX la teora electromagntica de la luz pareca que poda explicar satisfactoriamentelosdiferentesfenmenosconocidosenlosqueparticipabasta.Sin embargo,afinalesdeesesiglosedescubrieronotrosfenmenosfsicosexperimentales queponanendudalasleyesclsicasaplicadasalainteraccinentrelaradiacin electromagntica(engeneral,incluidalapartevisibledelespectro)ylamateria.Tresde estos fenmenos fueron claves para el desarrollo de la denominada revolucin cuntica: la radiacintrmicadelcuerponegro,elefectofotoelctricoylosespectrosatmicos.En estosapuntessedescribirnlosdosltimosfenmenosperopreviamenteesnecesario conocer la hiptesis de Planck. El 16 de octubre de 1900, Max Planck (1858-1947) anunci que haba encontrado la funcinmatemticaqueseajustabaalascurvasdeemisindeuncuerponegro.Para llegaraesteresultadotuvoquedejardeladounaideabsicadelelectromagnetismo clsico: U pul ll i ii oiu En contraposicin, emiti su hiptesis: L g ii po u upo opouo oiu io ioiu o po uogui i La energa de un cuanto de radiacin (comnmente cuanto de luz) viene dada por la expresin: E = hf Dondefeslafrecuencia(enHz,esdecir,s-1)delaradiacinyheslallamada constante de Planck (en Juliossegundo para que E venga en unidades del S.I.). El valor2 de h x -34 Js, se trata de una constante universal (por lo menos del universo que conocemos). Plancksupusoquecadaunodelostomosdelcuerpoemisorderadiacinse comportacomounosciladorquevibraconunafrecuenciafdeterminadaqueeslaque emite.Endefinitiva,laenerganoseemite(oseabsorbecomoveremosalanalizarlos espectros atmicos) de forma continua sino en forma de cuantos de energa. LaecuacindePlancknospermiteobservarahoraqueamayorfrecuenciadela radiacin,msenergticaessta(verelespectroelectromagntico).Permiterelacionar energa y frecuencia.

2 En ocasiones la podremos ver en ergios x segundo. Si 1 ergio = 10-7 Julios h = 2-27 erg s. [15] Problema 7 Un tomo de masa 199 10-26 kg oscila linealmente con una frecuencia propia de 484 1014 Hz. a) Cunto es el valor de un cuanto de energa del oscilador, en Julios y en electrn-voltios? b) Cul es la amplitud mxima que adquiere con 20 cuantos de energa? a) La energa de un cuanto del oscilador viene dada por la ecuacin de Planck: E = hf Sustituyendo valores:

Parapasaraelectrn-voltios(eV),debemossaberque1eVeslaenergaqueposeeunelectrn sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Si la carga del electrn es 1,610-19 C, entonces,

En definitiva,

b) La energa calculada en el apartado anterior es para un cuanto. Para 20 cuantos la energa sera: -19-18 J En cuanto a la frecuencia angular del oscilador,

Laenergamximadeunosciladorlinear(movimientoarmnicosimple)vienedadaporla expresin:

donde m es la masa de la partcula quevibra (el tomo) y A es la amplitud mxima de vibracin. Si sustituimos y despejamos A obtendremos A-12 p. 6.- Efecto fotoelctrico Este efecto fue observado en 1887 por Hertz: La descarga entre dos electrodos aumenta si stos se iluminan con luz ultravioleta Vamos a hacer un estudio cualitativo de este efecto segn las observaciones de 1888 debidasaHallwachsquiencompletlaobservacindeesteefectounaodespus. SupongamosunelectroscopioconsuslminasdeorojuntastalcomoeldelafiguraA. Cuando se ilumina la plaza metlica con luz ultravioleta (procedente de un arco elctrico, [16] por ejemplo) se observa que las lminas de oro se repelen consecuencia de que se cargan elctricamente (figura B). Otras observaciones en este experimento: 1.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las lminas se separan,peroseproduceunaprdidarpidadelacarga(ydelaseparacin)si,a continuacin, se ilumina la placa con luz ultravioleta. 2.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las lminas se separan,peronoseproduceunaprdidarpidadecargasiseinterponeunalminade vidrio entre la luz ultravioleta y la placa de zinc.3.-Sitocamoslaplacadezincconuncuerpocargadopositivamentelaslminasse separan.Aliluminarposteriormenteconluzultravioleta,noseobservaunadescarga rpida del electroscopio aunque se aumente la intensidad de la luz ultravioleta. 4.-Enlaexperienciarepresentadaenlafiguraanteriorlaslminasseseparanal cargarse positivamente stas por la iluminacin de la placa de zinc con luz ultravioleta. 5.- La luz visible (menos energtica que la ultravioleta) no produce estos efectos en cualquier caso. Un modelo que explica estas observaciones es el siguiente: Elefectofotoelctricoconsisteenlaemisindeelectronesporlassuperficies metlicascuandoseiluminanconluz(radiacinelectromagntica)defrecuencia adecuada. Con frecuencias altas (ultravioleta) el efecto s se produce; con frecuencias bajas (luzvisible)elefectoavecesnoseproduce.Sielefectofotoelctriconoseproducecon una luz de frecuencia determinada, tampoco se produce al aumentar la intensidad del haz luminoso de esa frecuencia. Tambinseobservaquecadametalnecesitadeunafrecuenciamnima caractersticaparaproducirelefecto.Lasfrecuenciasmenores(radiacinmenos [17] energtica) corresponden a los metales alcalinos que presentan este efecto incluso con luz visible. 6.1.- Dispositivo experimental para el estudio cuantitativo del efecto fotoelctrico. El siguiente esquema representa dos placas de metal colocadas en un tubo de cuarzo estancoenelquesehahechounbuenvaco.Lasdosplacasformanpartedeuncircuito elctricoenelqueunabateradesarrollaunadiferenciadepotencialvariableentrelas placas (medida con el voltmetro V). Las placas son del metal objeto de estudio. Cuestiones que hay que responder: 1) Cuntos electrones (fotoelectrones) son emitidos por el metal? 2) Cul es la energa cintica de los fotoelectrones? 3) La energa cintica mxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia de la radiacin incidente? 1) Nmero de fotoelectrones por unidad de superficie de la placa o por unidad de tiempo.Eldispositivodelafiguraanteriorpermitecontarloselectronesemitidosporla placa negativa pues al saltar hacia la placa positiva cierran el circuito y el ampermetro los puedecontar.Seobservaqueelnmerodefotoelectronesesproporcionalala intensidaddecorrienteelctrica.Adems,seobservaquesilaintensidaddelaluz incidenteaumenta,aumentatambinlaintensidaddecorriente,esdecir,aumentael nmero de fotoelectrones arrancados del metal. 2)Energacinticadelosfotoelectrones.Alserarrancadoslosfotoelectrones sonaceleradoshacialaplacapositiva,portantoadquierenvelocidadyporendeenerga cintica.Eldispositivoexperimentalanteriornoeseladecuadoparadeterminarlaenerga cintica de los fotoelectrones ya que al ser stos arrancados son acelerados hacia la placa positivay,portantoincrementananmssuvelocidadrespectoalaquetendransino [18] hubieraunadiferenciadepotencialentrelasplacas.Eldispositivoanteriorsedenomina depotencialacelerador.Paradeterminarlaenergacinticadelosfotoelectrones invertimoslapolaridaddelabatera,pasndosea undispositivo depotencialretardador, como se muestra en la siguiente figura: Veamoselfuncionamientodeldispositivodepotencialretardador.Enprimerlugar la luz ultravioleta arranca electrones con una velocidad v. A continuacin estos electrones tienden a ir hacia la placa negativa pero son repelidos por la misma. No obstante algunos fotoelectronesvantanrpidosquelleganalaplacanegativacerrandoelcircuito(el ampermetroregistraestacircunstancia).Deestaafirmacinpodemossacaruna conclusinimportante:notienenlamismavelocidadtodoslosfotoelectronesarrancados, unos tienen poca velocidad y otros tienen mucha, siendo stos ltimos los que llegan a cerrar el circuito. Como el potencial de la batera se puede regular, podemos hacer que la diferencia de potencialentrelasdosplacasseatalqueningnelectrnlogrellegaralaplacanegativa, sercuandoelampermetronoregistrepasoalgunodecorriente.Aestepotencialsele denomina potencial de detencin (Vo). En esta situacin podemos igualar la energa cintica de los electrones con velocidad mxima y la energa elctrica establecida entre las placas,

Seobservaunacontradiccinconlateoraclsicadelelectromagnetismo:desdeun puntodevistaclsicosilaintensidaddelaluzaumentaentonceslavelocidaddelos electronesdeberaaumentary,portanto,suenergacinticasermayor.Unejemplo ilustrativodeestaafirmacinpodraserelhechodequecuandolafuerzadelasolasdel mar es mayor, mayor nmero de piedras se arrastran y a ms velocidad. Sin embargo este fenmenonoseobserva,esdecir:laenergacinticamximadelosfotoelectronesnoes funcin de la intensidad de la luz incidente para una determinada frecuencia. [19] 3)Dependenciadelaenergadelosfotoelectronesylafrecuenciadela radiacinincidente.Lasexperienciasdemuestranquelaenerga cintica mximadelos fotoelectronesaumentasiaumentalafrecuenciadelaradiacin.Noseestableceuna simpleproporcionalidad.Cadametaltieneunafrecuencia,llamadafrecuenciaumbral,fo, por debajo de la cual no se arrancan electrones del metal. Por ejemplo para el zinc la frecuencia umbral est en 14 Hz, frecuencia que se encuentra en la zona del ultravioleta. Para el sodio la frecuencia umbral est en 51014 Hz, frecuencia que se encuentra en la zona visible del espectro. Estadependenciadelaenergacinticaconlafrecuenciadelaradiacinincidente tampoco es explicada satisfactoriamente por la teora electromagntica clsica. 6.2.- Teora de Einstein para el efecto fotoelctrico. Recapitulando algunas contradicciones entre las observaciones experimentales y las prediccionesdelateoraelectromagnticaclsica(mencionadasunasanteriormente, otras no): - La energa cintica de los fotoelectrones debe crecer con la intensidad de las ondas. Este fenmeno no se observa. - A cada electrn le corresponde, por unidad de tiempo, una cantidad de energa tal quedebertranscurriruntiempograndeparaqueseinicielaemisinelectrones.Sin embargo, se observa que el efecto fotoelctrico es instantneo. - No debera existir una frecuencia umbral sino que, aunque fuese poca, el cuerpo va absorbiendolaenergadelaradiacinhastaquelaacumulacindestaseatalquese produzca el efecto fotoelctrico. Este hecho tampoco se observa sino que, de hecho, existe la frecuencia umbral para cada metal. En 1905 Albert Einstein explic el efecto fotoelctrico (trabajo por el que recibi el premio Nobel) tomando las ideas de Planck afirmando que: La luz se propaga en forma de cuantos de energa, llamados fotones, cuya energa viene dada por la expresin de Planck, E = hf Partiendo de esta idea, la explicacin del efecto fotoelctrico sera (vase la figura de la pgina siguiente): I)Enuntomoloselectronesseencuentrandistribuidosendiferentesnivelesdefinidos. Hacefaltaunaenergadeterminadaparaarrancarunelectrndeltomo,sellamaen generalpotencialdeionizacin,aunqueenelefectofotoelctricoselellama preferentementetrabajo de extraccin (We). [20] II)Enlafiguraadjuntasehan representadodiferentessituacionesen lasqueunfotnde energahf incide (yesabsorbido)sobreunelectrnde un tomo. III)Losefectosdeestosfotones dependendelelectrnsobreelque incidan.Algunoselectronesadquieren laenerganecesariasloparasubira nivelessuperiores(caso5)yotros adquierenlaenerganecesariacomo paraserarrancadosdeltomo(resto deloscasosrepresentados).Los electrones representados en los casos 2 y3sonmsfcilesdearrancarquelos electrones de los casos 1 y 4, por tanto, loselectrones2y3salenmsveloces que los electrones 1 y 4. IV)Laenergaadquiridaporcada electrn es la que le aporta el fotn incidente, que a su vez depende de la frecuencia de la radiacin incidente, su valor es E = h f. Se denomina el trabajo de extraccin, We, (tambin funcin del trabajo) de un electrn a la mnima energa que debe tener un fotn para poder arrancar el electrn del metal,

dondefoeslafrecuenciaumbral,esdecir,lafrecuenciamnimaparaqueseproduzcael efecto fotoelctrico.Si llamamos Ec a la energa cintica de un fotoelectrn, es evidente que

Lafrecuenciaumbralesdistintaparacadametalpuesencadasustancialos diferentes electrones son retenidos al tomo de diferente manera.Porotraparte,alaumentarlaintensidaddelaradiacinloqueseaumentaesla cantidad de fotones que absorbe el metal. Como consecuencia de esto aumenta el nmero defotoelectronesarrancadosperonolarapidezdeestosyaqueaunqueaumenteel nmerodefotonesincidentes,noaumentalaenergadestosqueslodependedela frecuencia de la radiacin. En definitiva, si unimos las dos ecuaciones deducidasa lo largo de esta explicacin, tendremos las ecuaciones del efecto fotoelctrico: [21]

En estas ecuaciones, segn hemos ido viendo, Carga del electrn, en culombios (1,610-19C)

Potencialdedetencin,envoltios.Tambinsepuededenominar simplemente diferencia de potencial entre las placas.

Energa cintica mxima de los fotoelectrones, en julios. Masa del electrn, en kilogramos (9,1110-31 kg en reposo).

Velocidad mxima que alcanzan los fotoelectrones, en metros/segundo. Energadelaradiacinqueincidesobreelmetal,enjulios.Tambinse puede denominar energa del fotn absorbido.= Constante de Planck,

Frecuencia de la radiacin que incide sobre el metal, en hertzios. Tambin se puede denominar frecuencia del fotn absorbido.

Trabajodeextraccindelmetal,enjulios.Tambinsepuededenominar energa de extraccin o funcin de trabajo del metal.

Frecuenciaumbraldelmetal,enhertzios.Tambinsepuededenominar frecuencia de extraccin o frecuencia de corte. LaexplicacindeA.Einsteindelefecto fotoelctricovuelveaconsiderarlaluzdenaturaleza corpuscular:laluzestformadaporpartculasllamadas fotones,demasadespreciableyquetienenfrecuencia (?).Laaplicacinmsconocidadelefectofotoelctrico sonlasclulasfotoelctricas.Enlafiguraadjuntase muestra un esquema simple de una clula fotoelctrica. [22] Problema 8 (Selectividad, junio 2010). Aliluminarpotasioconluzamarilladesodiode=589010-10mseliberanelectronesconunaenerga cinticamximade0,57710-19Jyaliluminarloconluzultravioletadeunalmparademercuriode =253710-10 m, la energa cintica mxima de los electrones emitidos es 5,03610-19 J. a)Expliqueelfenmenodescritoentrminosenergticosydetermineelvalordelaconstantede Planck. b) Calcule el valor del trabajo de extraccin del potasio. a) Mientras se procede a calcular la constante de Planck se va explicando el fenmeno en trminos energticos. En primer lugar determinaremos las frecuencias de los fotones de la luz amarilla y luz ultravioleta:

=

=

2

= 2

=

=

=

Lasenergasdelosfotonesdeluzamarillayultravioletaqueincidensobreelmetal(potasio), vienen dadas por la ecuacin de Planck,

=

=

dondeheslaconstantedePlanckquedebemosdeterminar.Como

>

,losfotonesdeluz ultravioleta tienen mayor energa que los fotones de luz amarilla (

>

). Cada uno de estos fotones puede ser absorbido por alguno de los electrones de los tomos depotasio.Comoconsecuenciadeelloalgunoselectronespuedensubiranivelesenergticos superioresalosqueseencuentransiladiferenciadeenergaentredichosnivelescorresponde precisamentealasenergasdelosfotonesabsorbidos.Perotambinocurrequelaenerga absorbidaporalgunoselectronesessuficienteparaarrancarlosdesustomos.Estoselectrones arrancados,llamadosfotoelectrones,tienenunaenergacintica(correspondientealavelocidad que lleven) cuyo valor mximo es la diferencia siguiente:

=

=

=

=

dondeWe esel trabajo deextraccin del potasio, es decir, mnimaenerga necesaria para arrancar unelectrnalpotasio.Sepuedeobservarquelosfotoelectronesarrancadosporlaluzultravioleta tienen mayor energa cintica mxima que los fotoelectrones arrancados por la luz amarilla. Esto es debido a que, como se ha dicho, a que

>

. Sustituyendo las energa de los fotones en las ecuaciones anteriores,

=

=

=

=

Si restamos las dos ecuaciones eliminamos el trabajo de extraccin,

= (

) La constante de Planck ser: =

=

2

= 2

[23] b)UnavezconocidalaconstantedePlanck,eltrabajodeextraccinsepuededeterminarsinms quesustituirsuvalorenunadelasecuacionesqueestablecenlaenergacinticamximadelos fotoelectrones, establecidas en el apartado anterior. Por ejemplo,

=

=

2

2

de donde

2

2

Problema 9 (Selectividad, septiembre 2009) Sobreunmetal,cuyotrabajodeextraccines3eV,sehaceincidirradiacindelongituddeonda 210-7 m. a)Calculelavelocidadmximadeloselectronesemitidos,analizandoloscambiosenergticosque tienen lugar. b) Determine la frecuencia umbral de fotoemisin del metal. a)Paraelanlisisdeloscambiosenergticosquetienenlugarvaseelproblemaanteriorolos apuntes de teora. Determinaremos el trabajo de extraccin (We) en unidades del S.I. Un electronvoltio (eV) es la energa que posee un electrn cuando est sometido a una diferencia de potencial de un voltio, en consecuencia,

Determinaremos ahora la frecuencia de los fotones que inciden sobre el metal:

Estos fotones tienen una energa, cada uno, que viene dada por la ecuacin de Planck:

Comovemos,laenergadelosfotonesessuperioraltrabajodeextraccindelmetal.Por tanto,esposibleelefectofotoelctricopueslaradiacintienesuficienteenergacomopara arrancarelectronesdelmetal.Losfotoelectronesemitidostendrnunaenergacinticamxima cuyo valor es,

La velocidad mxima de estos fotoelectrones es,

b) La frecuencia umbral se puede determinar a partir del valor del trabajo de extraccin del metal,

[24] Problema 10 Al estudiar experimentalmente el efecto fotoelctrico en un metal se observa quela mnima frecuencia a la que se produce dicho efecto es de 1,031015 Hz. a) Calcule el trabajo de extraccin del metal y el potencial de frenado de los electrones emitidos si ndice en la superficie del metal una radiacin de frecuencia 1,81015 Hz. b)Seproducirefectofotoelctricosilaintensidaddelaradiacinincidentefueraeldobleysu frecuencia la mitad que en el apartado anterior. Razone la respuesta. a)Lafrecuenciamnimaaqueseproduceelefectofotoelctricotambinrecibeelnombrede frecuencia umbral. Su valor es

El trabajo de extraccin (We) del metal es la mnima energa que debe tener un fotn de la radiacin incidente para poder producir efecto fotoelctrico en dicho metal. Este trabajo est relacionado con la frecuencia umbral a travs de la ecuacin de Planck

donde h es la constante de Planck. Por tanto, el trabajo de extraccin ser:

Encuantoalpotencialdefrenado,esladiferenciadepotencialquedebeexistirentrelos electrodos para que incluso los fotoelectrones emitidos con velocidad mxima no cierren el circuito. Por tanto,

donde e es la carga del electrn,Voes el potencial de frenado yEcmx es la energa cintica mxima deunfotoelectrnemitido.Porotraparte,laenergacinticamximadeunfotoelectrnesla diferencia entre la energa del fotn que absorbe y el trabajo de extraccin de dicho fotoelectrn,

dondefeslafrecuenciadelaradiacinquendiceenelmetal.Comotodoslosparmetrosson conocidos, podemos determinar el potencial de frenado,

=

=

=

= b)Elhechodequelaintensidaddelaradiacinincidenteaumentealdoblenoafectaalhechode que se produzca efecto fotoelctrico. En efecto, si se produjera efecto fotoelctrico, el aumento de la intensidad implicara un aumento en el nmero de fotones que inciden sobre la superficie del metal y, por tanto, conllevara un aumento del nmero de fotoelectrones emitidos. El parmetroque sque afecta a que se produzca o noefecto fotoelctricoes la frecuencia de la radiacin incidente. En este caso, si la frecuencia disminuye a la mitad,

es un valor que es inferior al de la frecuencia umbral del metal (fo = 1,031015 Hz) y, por tanto, los fotonesdelaradiacinincidentenotendranlaenerganecesaria(trabajodeextraccin)para producir efecto fotoelctrico. [25] 7.- Cuantizacin de la energa en los tomos. Espectros atmicos.Desde el punto de vista de la interaccin de la radiacin con la materia, un espectro esunarepresentacingrficaofotogrficadeladistribucindelaintensidaddela radiacinelectromagntica,emitidaoabsorbida,porunamuestradeunasustanciaen funcin de la longitud de onda (o de la frecuencia de la radiacin). Enelcasodequelamuestradelasustanciaestenformaatmica,elespectro obtenido se llama atmico. El instrumento que permite estudiar los espectros se denomina espectroscopio o espectrmetro si simplemente dispersa mediante un prisma las distintas radiaciones.Siademselinstrumentoescapazderegistrarelespectroobtenido (mediante una fotografa, por ejemplo) se denomina espectrgrafo. La estructura bsica de un espectrgrafo difiere si ste es de emisin o de absorcin. 7.1.- Estructura bsica de un espectrgrafo de emisin. Eneltubodedescargaseencuentra,a bajapresin,elgasdelquesedeseaobtener elespectrodeemisin.Alcrearuna diferenciadepotencialentrelosdos electrodosseproduceladescargadelgasen formadeluzqueposteriormentees dispersadaporelprismaensuespectro caracterstico. 7.2.- Estructura bsica de un espectrgrafo de absorcin. [26] La fuente luminosa genera un haz de luz blanca policromtica (todas las longitudes deondaposibles).Estehazsehacepasaratravsdelamuestradelaquesequiere obtener su espectro de absorcin. La muestra est enceradaen estado gaseoso dentro de un recipiente adecuado. Al pasar la luz policromtica a travs de la muestra sta absorbe partedelaluzylanoabsorbidaesposteriormentedispersadaporelprismaensu espectro caracterstico. 7.3.- Tipos de espectros. Losespectrospuedensercontinuosodiscontinuos.Losprimerosseobtienen cuando se dispersa la luz de un foco luminoso formado por un slido incandescente. Estos espectros comprenden todos los colores (si hablamos del visible) desde el rojo al azul. Los espectros discontinuos se obtienen de gases o vapores a baja presin (tal como se ha descrito en los apartados anteriores). Podremos distinguir espectros discontinuos de emisin y de absorcin. Enelespectrgrafodeemisinloselementosencerradoseneltubodedescarga emitenenergaenformaderadiacinelectromagnticaperonicamentedealgunas frecuenciasdeterminadas.Elespectroobtenidoesunaseriedelneasdecolores(si hablamos del visible) sobre un fondo oscuro. Espectro de emisin del hidrgeno [27] Enelespectrgrafodeabsorcinloselementosencerradosabajapresinenla botellaabsorbenalgunasfrecuenciasespecficas.Lasradiacionesnoabsorbidasson dispersadasporelprismaylaformadelespectroobtenidoestarformadoportodoslos colores(sihablamosdel visible)exceptoaquellas frecuenciasabsorbidasqueaparecern como lneas negras. Losespectrosnosloaparecenenlaregindelvisiblesinotambineninfrarrojo, microondas,ultravioleta,etc.Elojonoessensibleaestaszonasyseutilizanplacas fotogrficas especiales sensibles a esas frecuencias del espectro. Losespectrosdeemisinydeabsorcindeunamismasustanciason complementarios,esdecir,laslneasdeemisinodeabsorcinaparecenalamisma longitud de onda. 7.4.- Estudio experimental del espectro del tomo de hidrgeno. Losespectrosdiscontinuosdeunelementosoncomolahuelladactilardeese elementoyaquesiempreseemitenoabsorbenlasmismalongitudesdeonda.Por ejemplo: del estudiodetenidodelespectro deabsorcindelSolsepudieron identificarla mayorpartedelaslneasoscurascomofrecuenciasdeabsorcindelosdiferentes elementos que en estado gaseoso se encuentran en el Sol; sin embargo una serie de lneas de absorcin no se pudieron identificar en su momento y se pronostic como un elemento nuevo que no se haba encontrado an en la Tierra: el helio3. Losespectrosatmicosconmuycomplejosyaquecontienenunnmeromuy elevado de lneas. En el caso del espectro del hidrgeno est formado por 5 series de lneas que reciben el nombre de sus descubridores (Lyman, Balmer, Parchen, Brackett y Pfund). La serie de Balmer es la que corresponde al visible.

3 El helio fue descubierto de forma independiente por el francs Pierre Janssen y el ingls Norman Lockyer, en 1868 al analizar el espectro de la luz solar durante uneclipse solar ocurrido aquel ao, y encontrar una lnea de emisin de un elemento desconocido. Eduard Frankland confirm los resultados de Janssen y propuso el nombre helium para el nuevo elemento, en honor al dios griego del sol (Helios). [28] Deunaformaexperimentalseconocaosepodapredecirlaposicin()decada una de las lneas de cada serie a travs de la siguiente expresin (frmula de Rydberg4) ||.|

\| =22211 1 1n nR donden1yn2sondosnmerosenterosyReslaconstantedeRydbergcuyovalores 7 m-1. La serie de Lyman corresponde a n1 = 1 y n2 = 2 La serie de Balmer corresponde a n1 = 2 y n2 = La serie de Parchen corresponde a n1 = 3 y n2 = La serie de Brackett corresponde a n1 = 4 y n2 = La serie de Pfund corresponde a n1 = 5 y n2 = 7.5.- Modelo atmico de Bohr. Las ideas clsicas eran incapaces de explicar los espectros atmicos discontinuos. En 1913 Niels Bohr propuso un modelo del tomo de hidrgeno que fue capaz de predecir la posicindecadaunadelaslneasdelespectro,esdecir,fuecapazdededucirlafrmula experimental anterior. ParaestablecersumodeloatmicoBohrapliclasideascunticasaltomo.El modelo se basa en: -Elelectrndeltomodehidrgenogiraalrededordelncleo(protn)enuna rbita circular. -Detodaslasrbitasposiblesslosonvlidasaquellasenlasqueelmomento cintico del electrn es mltiplo entero de h/2 es decir: principal) cuntico nmero (n..... 5 , 4 , 3 , 2 , 12= = = nhn mvrt r es el radio de la rbita. Cuando n = 1 tenemos la primera rbita o estado fundamental.

4 Debida al fsico sueco Johannes R. Rydberg (1854-1919). [29] -Cuandounelectrngiraenunadeestasrbitasnoradiaenerga5,slolohace cuando cambia de rbita de forma que si oSubeaunarbitasuperiorabsorbeunaenergaequivalenteala diferencia entre las energas de dichas rbitas. Esteejemplopermiteexplicarlosespectrosdeabsorcin.Alabsorberel tomo la radiacin de frecuencia el electrn ha subido desde el nivel 1 al 2 (excitacin)yaqueladiferenciaentrelasenergasdelosdosniveleseshv. Portanto,esafrecuencianoapareceenelespectrodeabsorcin,aparecer una lnea negra en su posicin. oSi baja a una rbita inferior emite una energa equivalente a la diferencia entre las energas de dichas rbitas (ver figura en pgina siguiente). Este ejemplo permite explicar los espectros de emisin. Cuando un electrn en un estado superior (excitado) baja a una rbita inferior (decaimiento) se emiteunfotndefrecuenciaycuyaenergaeshcorrespondienteala diferenciaentrelasenergasdelasdosrbitas.Enelespectrodeemisin aparecer una lnea a esa frecuencia. El modelo atmico de Bohr permiti deducir la expresin experimental de Rydberg significandounxitoparaelmismo.Ademspermitiexplicarelporqudecadaunade las series de lneas del espectro del hidrgeno.

5 Segn la fsica clsica, toda partcula cargada y acelerada (el electrn en su rbita) pierde energa que emite en forma de energa radiante. [30] 8.- Hiptesis de De Broglie. Dualidad partcula-onda. Alolargo deestetemasehavistoque laluztienenaturalezaondulatoria(permite explicarlareflexin,refraccin,dispersin,superposicin,difraccin,etc.)ynaturaleza corpuscular (como fotn se pueden explicar propiedades como el efecto fotoelctrico y los espectros discontinuos vistos aqu, adems de la emisin de radiacin de un cuerpo negro y el efecto Compton).Podemos hacer frente al problema desde el siguiente punto de vista: es posible que otraspartculascomolosprotones,loselectrones,etc,tengantambinnaturaleza ondulatoria? En1924LuisDeBrogliebasndoseenconsideracionesrelativistasyenlateora cunticapensquesilaluz(laradiacin)secomportabacomoondaycomopartcula, tambinlamateriadeberateneresecarcterdual(losprotones,loselectrones,los neutrones, los tomos, las molculas, etc.). Segn De Broglie, para la luz la energa de un cuanto (fotn) sera: = Enestaexpresinvaimplcitoelcarcterondulatoriodelaluzpueslafrecuenciaesuna magnitud caracterstica de las ondas. Por otra parte, si la luz est formada por partculas la energa asociada a estas segn la teora de la relatividad de Einstein es =

Ambas expresiones representan la misma energa, podemos igualar

=

[31] La expresin anterior nos da la longitud asociada al fotn pues en el denominador aparece la velocidad de la luz. Para una partcula diferente debemos poner la velocidad, v,a la que se mueva:

Esta expresin nos da la longitud de onda asociada a una partcula de masa m que se mueve con una velocidad v. El momento lineal (cantidad de movimiento) de la partcula es, en mdulo, = La hiptesis de De Broglie se puede redactar de la siguiente manera:Toda la materia presenta caractersticas tanto ondulatorias como corpusculares comportndose de uno u otro modo dependiendo del experimento especfico Estapropuestafueconsideradainicialmentecomo carentederealidadfsicaporsufaltadeevidencias experimentales.Sinembargo,en1927,losfsicos norteamericanos C. Davisson (1881-1958) y L. A. Germer (1896-1971)lacomprobaronexperimentalmente despusdehaberobservadoladifraccindeelectrones deformacasual.Esemismoao,elfsicoinglsG.P. Thomson(1892-1975)confirmlarelacinobtenida tericamenteporDeBrogliemedianteladifraccinde haces de electrones a travs de hojas metlicas delgadas. Enlaexpresindelalongituddeondaasociadaa unapartculaobservamosquestadependedelamasa delapartculaydelavelocidaddesta.Silavelocidad aumentalalongituddeondadisminuye.Encuantoala masapodramospensarqueparaunapartcula determinadastanocambia(esunaideaclsica),sin embargo,segnlateoradelarelatividadmasadeuna partcula cambia segn la expresin: =

Dondemoeslamasadelapartculaenreposoymeslamasadelapartculaala velocidadv.Estaexpresinsedeberutilizarcuandolavelocidaddelapartculasea prxima a la velocidad de la luz. [32] Segn la hiptesis de De Broglie, una partcula como el electrn se puede comportar comounaonda.Estefenmenonoseobservaenelmundomacroscpicodebidoalas pequeasvelocidadesquesedesarrollany,sobretodo,alpequesimovalordela constante de Planck en nuestro universo. Como ejemplo se puede comprobar que la onda asociadaaunaboladebillarde600gquesemueveaunavelocidadde1m/stieneuna longitud de onda asociada de -33 m (dos cuatrillones de veces ms pequea que la asociadaalelectrndelproblemaanterior).Estevalorescasiuntrillndevecesms pequeoqueunncleoatmico(10-15m),imposibledemedir.Losefectoscunticosno son observables en objetos macroscpicos. Problema 11Un haz de electrones se acelera bajo la accin de un campo elctrico hasta una velocidad de 6105 ms-1. HaciendousodelahiptesisdeDeBrogliecalculelalongituddeondaasociadaaloselectrones.Dato: masa del electrn = 9,110-31 kg. LahiptesisdeDeBrogliedice:todalamateriapresentacaractersticastantoondulatoriascomo corpusculares comportndose de uno u otro modo dependiendo del experimento especfico. La longitud de onda asociada a una partcula viene dada por la expresin,

dondemes,enestecaso,lamasadelelectrnyvessuvelocidad.Portanto,lalongituddeonda asociada a este electrn es:

Problema 12 Lamasadelprotnesaproximadamente1800vecesladelelectrn.Calculelarelacinentrelas longitudesdeondadeDeBrogliedeprotonesyelectronessuponiendoquesemuevenconlamisma energa cintica. La longitud de onda asociada a una partcula viene dada por la expresin

donde m es la masa de la partcula y v es su velocidad. En el caso del electrn

[33] En el caso del protn

La relacin entre ambas longitudes de onda es

=

=

El problema nos indica que: - La masa del protn es 1800 veces la masa del electrn:

- La energa cintica del protn y del electrn es la misma:

Teniendoencuentaestasexpresionesquerelacionanlamasadelprotnydelelectrnyla velocidaddedichaspartculas(altenerlamismaenergacintica),larelacinentrelaslongitudes de onda asociadas al protn y al electrn queda,

= (

)2(

)2=

2

=

=

= 2

Problema 13 Un haz de electrones se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial. Tras ese proceso, la longitud de onda asociada a los electrones es 810-11 m. Determine la diferencia de potencial aplicada. SondatosparaesteproblemalaconstantedePlanck,lavelocidaddelaluzenelvaco,lacargadel electrn y la masa del electrn. Si los electrones parten del reposo es claro que la diferencia de potencial a la que son sometidos se traduceenunaumentodelaenergacinticadelosmismosdesdecerohastaelvalor correspondiente a la velocidad que adquieran. Por tanto, la energa elctrica se est transformando en energa cintica: =

2

2 donde e es la carga del electrn que adquiere una velocidadv entre dos puntos donde la diferencia depotenciales.Deestaecuacinnecesitamosconocerlavelocidaddelelectrn.Paraello sabemos que su longitud de onda asociada obedece la expresin, =

[34] por tanto,

as,

Problema 14 Cul es la longitud de onda asociada a un electrn que se mueve a un 10 % de la velocidad de la luz? El 10% de la velocidad de la luz son 30.000.000 m/s.En primer lugar veremos cmo cambia la masa del electrn respecto al reposo (-31 kg) por ir a dicha velocidad. Sustituyendo en la expresin que encabeza esta pgina vemos que om m 005 ' 1 =Portanto,podemosconsiderarqueaesavelocidadlamasadelelectrnnohacambiado.Si sustituimos ahora en la expresin que nos da la longitud de onda asociada al electrn obtendremos mmh97 313410 4 ' 210 3 10 1 ' 910 6 ' 6v= = = Aestalongituddeondalecorrespondeunafrecuenciade217Hz.Enelcasodela radiacin correspondera a la zona de los rayos X. 9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg. Paramedirunamagnitudenuncuerpohayqueverlaparaverlahayque iluminarlayaliluminarlalosfotoneschocancontraesecuerpo.Siel cuerposobreelque medimosesgrande(mundomacroscpico),elchoquedeesosfotonesnoleafectaen demasa, pero si el cuerpo en el que medimos es pequeo, como un electrn, el choque de los fotones s que le afecta de tal manera que realmente no sabemos dnde est (lo que s que podemos saber es una zona de mxima probabilidad de encontrarlo). Esta limitacin, explicadaaqutoscamenteseconocecomoprincipiodeincertidumbredeHeisenberg, tambin principio de indeterminacin de Heisenberg y dice: No e poible detemin, de un modo pecio, l poicin y l cntidd de movimiento de una partcul [35] Los valores de las indeterminaciones en la posicin y en la cantidad de movimiento cumplen

Donde x es la indeterminacin o incertidumbre en la posicin espacial (en metros) y p es la indeterminacin o incertidumbre en el momento lineal(p = mv, en kg m s-1). Segnestaexpresin,sipodemosdeterminarcongranprecisinlaposicinentoncesla incertidumbre en la cantidad de movimiento(y por tanto en su velocidad)ser grande y viceversa. El principio de incertidumbre es un principio fundamental de la naturaleza, es decir, todosloscuerposestnafectadosporesteprincipio,peroelpequeovalordehen nuestro universo hace que slo se note su influencia en el mundo atmico. Elprincipiodeincertidumbreseaplicadeformamsgeneraladosmagnitudes complementarias y debera decir en realidad: Reult impoible detemin imultnemente, de un modo pecio, do mgnitude complementi del etdo de un item Dos magnitudes complementarias son aquellas cuyo producto tiene dimensiones de una accin, es decir, las dimensiones de h: msmkg s msmkg s m N s J . 2= = =El resultado como vemos son las unidades del momento lineal por las unidades de laposiciny,portanto,podremosescribirelprincipiodeincertidumbrecomolohemos hecho:

PeroJuliosporsegundo(Js)sontambinlasunidadesdelaenergaydeltiempo, por tanto estas dos magnitudes son complementarias del estado de un sistema y podemos decir que no es posible determinar simultneamente el valor medio dela energa E de un objeto y el intervalo de tiempo necesario para efectuar la medida, es decir:

DondeEeslaindeterminacinenlaenergayteslaindeterminacinenel tiempo6.

6Elmomentocintico( r x p L = )yelngulodegiro()tambinsondosmagnitudesque cumplen el principio de incertidumbre. [36] Problema 15 Unelectrnsemueveconunavelocidadde4000km/s.Silaincertidumbreenelconocimientodesu velocidad es del 3%, Cul es la incertidumbre en la posicin del electrn? La incertidumbre en la velocidad es del 3%, es decir, =

= 2

/ Segn el principio de incertidumbre

2 como=

2 Sustituyendo

2

2 de donde

Problema 16 Un grano de arena de 1 mg de masasemueve con una velocidad de 20m/s. Si la incertidumbre ensu posicin es de 10-3 m, cul es la incertidumbre en su velocidad? Esteproblemaesidnticoalanterior,portanto,sicambiamoslascantidadescorrespondientes (unidades en el S.I.), la incertidumbre en la velocidad es,

2

[37] Estos apuntes se finalizaron el 10 de mayo de 2011 en Villanueva del Arzobispo, Jan (Espaa).Realizados por: Felipe Moreno Romerofresenius1@gmail.comhttp://www.escritoscientificos.es