Optimización Unidimensional...Método de interpolación parabólica sucesiva Este método encuentra...

Matemática Superior Aplicada

Optimización Unidimensional

Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa CruzAuxiliares: Dr. Juan Ignacio Manassaldi

Srta. Amalia Rueda

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

4 3 21 7( ) 5 2

4 3f x x x x

Mínimos Relativos

Máximo Relativo

Mínimo Absoluto

Encontrar el valor mínimo o máximo de una función en una variable


-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

4 3 21 7( ) 5 2

4 3f x x x x

3 2'( ) 7 10f x x x x

'( ) 0f x

Condición necesaria de mínimo o máximo: '( ) 0f x


-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

2''( ) 3 14 10f x x x

''( ) 0 Mínimo Relativo'( ) 0

''( ) 0 Máximo Relativo

f xf x

f x


Se basa en encontrar la raíz de aplicando el método de Newton-Rhapson.

'( ) 0f x

Método de Newton

af

afab

''

'

xfyxfa ''',

si tolbf '

no

extremob

ba

Método de interpolación parabólica sucesiva

Este método encuentra la parábola que pasa por tres puntos de la función y encuentra el extremo de la misma. Luego se eligen tres nuevos puntos y se repite el procedimiento hasta satisfacer la tolerancia.

¿Cómo elegir los tres valores de arranque?

¿Cómo encontrar la parábola?

¿Cómo encontrar el extremo de la parábola?

¿Cómo elijo los nuevos puntos?

¿Cuál es el criterio de tolerancia?


Ejemplo:

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50


4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x

Método de interpolación parabólica sucesiva (1)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1 1

2 2

3 3

0 ( ) 2

1 ( ) 0.9167

3 ( ) 0.25

x f x

x f x

x f x

El valor de la función en el punto intermedio mayor que el de los extremos

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x

1x2x

3x


2y ax bx c

2

2

2

0 0 1 2

1 1 1 0.9167

3 3 1 0.25

a

b

c

Los tres puntos deben cumplir esta ecuación

¿Cómo encontrar la parábola?

La parábola debe pasar por los siguientes puntos:

1 1

2 2

3 3

0 ( ) 2

1 ( ) 0.9167

3 ( ) 0.25

x f x

x f x

x f x

0; 2

1;0.9167

3;0.25

2

2

2

0 0 2

1 1 0.9167

3 3 0.25

a b c

a b c

a b c

Ax b Sistema 3x3


2

2

2

0 0 1 2

1 1 1 0.9167

3 3 1 0.25

a

b

c

Resolvemos

-1.0833

4

2

a

b

c

21.0833 4 2y x x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x 3x


-1 0 1 2 3 4 5 6 7-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

¿Cómo encontrar el extremo de la parábola?2y ax bx c ' 2y ax b ' 0

2

bx y

a

El nuevo punto corresponde al extremo de la parábola:

4

41.846154

2 -1.0833x

1x2x 3x4x


¿Cómo elijo los nuevos puntos?

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

Debemos quedarnos con el nuevo punto y dos de los anteriores.

¿Cuáles son los nuevo tres puntos?

1x2x 4x 3x

El valor de la función en el punto intermedio mayor que el de los extremos


Nuevo intervalo:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x


2

2

2

1 1 1 0.9167

1.8461 1.8461 1 3.2636

3 3 1 0.25

a

b

c

-2.6928

10.4378

-6.8284

a

b

c

4

10.43781.9381

2 -2.6928x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x 2x 4x3x

4 3.3219f x


¿Cuál es el criterio de tolerancia?

El nuevo punto encontrado va convergiendo al valor optimo

x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4)

0 -2 1 0.91666667 3 0.25 1.84615385 3.26368124

1 0.91666667 1.84615385 3.26368124 3 0.25 1.93810657 3.32192365

1.84615385 3.26368124 1.93810657 3.32192365 3 0.25 1.99575822 3.33327938

1.93810657 3.32192365 1.99575822 3.33327938 3 0.25 1.99894161 3.33332997

1.99575822 3.33327938 1.99894161 3.33332997 3 0.25 1.99992747 3.33333332

1.99894161 3.33332997 1.99992747 3.33333332 3 0.25 1.99998467 3.33333333

1.99992747 3.33333332 1.99998467 3.33333333 3 0.25 1.99999881 3.33333333


si

no

Método de interpolación parabólica sucesiva (1)(maximizar)

si

no

no

si

si

1 2 3 1 2 3 2 1 2 3, ,x x x x x x f x f x f x f x

4 2x x tol 4 extremox

4

1 1 2 2 3 3maximo de la parabola que pasa por , , , y ,

x

x f x x f x x f x

4 1 4 2x x x x

4 2f x f x

1 4 2 2 3 3; ;x x x x x x

4 2f x f x 1 2 2 4 3 3; ;x x x x x x

1 1 2 2 3 4; ;x x x x x x

1 1 3 2 2 4; ;x x x x x x

no

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x



-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x

Solo necesitamos tres puntos del dominio

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x


-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x


Encontramos la parábola que pasa por los tres puntos. El nuevo punto corresponde al extremo de la misma.

4x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x


¿Cómo elijo los nuevos puntos?Nos quedamos con los tres últimos

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-20

-10

0

10

20

30

40

50

1x2x

3x

4 3 21 7( ) 5 2

4 3max f x x x x


Continuamos… hasta satisfacer la tolerancia

4x

no

Método de interpolación parabólica sucesiva (1)(maximizar)

si

1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x

4 3x x tol 4 extremox

4

1 1 2 2 3 3maximo de la parabola que pasa por , , , y ,

x

x f x x f x x f x

1 2 2 3 3 4; ;x x x x x x

¿Cuál es la diferencia?

Método de interpolación parabólica sucesiva (1) y (2)

En funciones de un solo máximo (o mínimo) ambos llegan al mismo resultado.Para funciones con varios extremos:• La metodología (1) converge a un máximo o mínimo

según lo que estemos buscando. Podemos decidir que buscar.

• La metodología (2) puede llevarnos a un extremo que no corresponde al que estamos buscando.

2 2 2 2 2 21 2 3 2 3 1 3 1 2

4

1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2

f x x x f x x x f x x xx

f x x x f x x x f x x x

Tip: Existe una formula directa para el calculo del nuevo punto

Método de interpolación parabólica sucesiva (1) y (2)


Ejemplo: 2

210

xmax sen x

x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4)0 1 4

2 2 2 2 2 21 2 3 2 3 1 3 1 2

4

1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2

f x x x f x x x f x x xx

f x x x f x x x f x x x

IntervaloNuevoIntervaloNuevo

( )f

( )f

a ba b

( )f

( )f

Método de la relación dorada

Sea , , tal que

Si , luego ,

Si , luego ,

a b

f f f x f x b

f f f x f x a

(Minimización)

Expresamos a l y m como una fracción a del intervalo [a,b]:

a b

b a 1 b a

b a 1 b a

Analizando la grafica anterior encontramos las siguientes expresiones de l y m :

b b a

a b a

¿ ?


0a 0b0 0

1b1a 1 1

1b1a 1 1

Intervalo original

Nuevo Intervalo (caso 1)



Valor aleatorio: a0.7:

En cada iteración debemos calcular l y m

0a 0b0 0

1b1a 1 1

1b1a 1 1

Intervalo original



1 0 Caso 1:

1 0 Caso 2:


Buscamos a de manera que se cumpla lo siguiente:

En cada iteración solo debemos calcular l o m

0a 0b0 0

1b1a 1 1

Intervalo original


0 0 0 0

1 1 1 1

a b a

b b a

1 0 Caso 1:

0 0 0 1 1 1a b a b b a

1 0

1 0 0 0 0

b b

a b b a

De la grafica:

Reemplazando:

0 0 0 0 0 0 0 0a b a b b b b a

0 0 0 0 0 0 0 0a b a b b b b a

20 0 0 0 0 0a b a b b a


20 0 0 0 0 0a b a b b a

20 0 0 0 0 0 0b a b a b a

12

2

0.6181 0

1.618

¡Encontramos el a!

Analizando el Caso 2 se llega a la misma conclusión


Golden Ratio

( )f

( )f

a b

IntervaloNuevo


Si f f

(Minimización)

0a 0b0 0

1b1a 1 1

1 0

1 0

1 0

1 1 1 1

a a

b

b b a


Si f f

(Minimización)

0a 0b0 0

1b1a 1 1

( )f

( )f

a b

IntervaloNuevo

1 0

1 0

1 0

1 1 1 1

a

b b

a b a

no

si

0 0, intervalo de busqueda original a b

k ka b tol extremo

0 0 0 0

0 0 0 0

0

b b a

a b a

k

1

1

1

1 1 1 1

1

k k

k k

k k

k k k k

a a

b

b b a

k k

Método de la relación dorada (minimizar)

k kf f sino

1

1

1

1 1 1 1

1

k k

k k

k k

k k k k

a

b b

a b a

k k


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