Orden superior
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Sistemas de Orden Superior
Sistemas de orden superior
Introducción
• Los sistemas de orden superior contienen ceros y polos adicionales que afectan al comportamiento tanto en régimen transitorio como permanente.
Sistemas de orden superior
Sistemas de segundo orden con polo adicional
• La función de transferencia de un sistema de segundo orden con polo adicional es la siguiente:
( )H ss s bs
n
n n
( ) =+ + +
ωξ ω ω
2
2 22
1
1Im(s)
Re(s)
P1
P2
-1/bo
σ
θ θp
ωd
P3
Sistemas de orden superior
• La respuesta transitoria viene dada por la siguiente expresión:
• Que podemos comparar con la de un sistema de segundo orden puro.
( ) ( )[ ]ptd
t
etsene
ty θθθθθωθ
σσ
2pp2
sensensen
1)( −−
++++−=
( )
+
−−= − θω
ξω σ tseneKty d
tn
211)(
Sistemas de orden superior
• Su efecto sobre la respuesta transitoria dependerá de la posición relativa del nuevo polo con respecto al par de polos complejos conjugados:
Sistemas de orden superior
Respuesta transitoria de sistemas de orden superior
• Partimos de una función de transferencia genérica del tipo:
on
nn
n
om
mm
m
asasasa
bsbsbsbsH
++++++++= −
−
−−
11
1
11
1)(
( )( )
H s K
s z
s p
jj
m
ii
n( ) =+
+
=
=
∏
∏1
1
Sistemas de orden superior
• Separando polos en el origen, polos reales y polos complejos queda:
• Y descomponiendo en fracciones simples:
( )( ) ( ) ( )
H s K
s z
s s s j s j
jj
m
lh k k k k
hh
qh k k
( ) =−
− − + − −
=
==
∏
∏∏1
11
σ α ω α ωυ λ λ
γ
( ) ( ) ( )H s
A
s
B
s
C
s j
C
s j
uu
u
lhu
h
uuh
qku
k k
uuk
ku
k k
u
h k
( )*
= +−
+− +
+− −= == ==
∑ ∑∑ ∑∑1 11 11σ α ω α ω
υ λγ
Sistemas de orden superior
• Agrupando términos:
• Con lo que estos sistemas pueden verse como una combinación de sistemas de primer y segundo orden.
( ) ( )( )H s
A
s
B
s
M s N
s s
uu
u
lhu
h
uuh
qku ku
k k k
uuk
h k
( ) = +−
++
− + += == ==∑ ∑∑ ∑∑
1 11 2 2 211 2σ α ω α
υ λγ
Sistemas de orden superior
• La respuesta ante escalón vendrá dada por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en fracciones simples:
( ) ( )
( ) ( )∑
∑∑∑∑∑
+−−
+
+−+
−+=
= == ==
)(
)(
*
1 11 11
sUadebidosnostérmijs
P
js
P
s
N
s
MsY
ukk
ku
k uu
kk
kuq
h uu
h
hul
uuu
kh
ωα
ωασ
γ λυ
• Pasando al dominio temporal:
( ) ( )
( ) ( )( ) [ ]( )∑∑ ∑
∑ ∑∑
+−−
+
−+
−=
−−
= =
= =
−
=
−
)(Largcos!1
2
!1!1)(
1-1
1 1
1 1
1
1
1
sUadebidosnostérmiPetu
P
etu
Nt
u
Mty
kuktu
k u
u
ku
q
h u
uhul
u
uu
k
k
h
h
ωαγ λ
υσ
Sistemas de orden superior
Sistemas de orden reducido
• En algunos casos, los sistemas de orden superior pueden simplificarse para dar lugar a sistemas de orden inferior más fáciles de analizar.
– A) Dominancia: Polos y ceros alejados.– B) Cancelaciones: Pares de polos y ceros próximos.
Sistemas de orden superior
• A) Polos dominantes:
d
>10 d
Sistemas de orden superior
• B) Cancelaciones:
Sistemas de orden superior
• Hay que verificar analíticamente o por medio de simulaciones que la simplificación es admisible:
• Pueden imponerse condiciones al nuevo sistema.– P. E. garantizar el mismo comportamiento estático:
ssHsK
sssH eqeqss
1)(lim
1)(lim 00 →→ =
Sistema reducido