Ordenes de magnitud y conceptos previos

ROBÒTICA XABIER PÉREZ / FRANCESC PÉREZ TEMA 01

Pàgina 1 de 11

1. CONCEPTES PREVIS. En aquest primer tema es presentaran alguns conceptes bàsics sobre Matemàtiques i Teoria del Senyal, imprescindibles per al correcte desenvolupament del curs. 1.1 ORDRES DE MAGNITUDS I PERCENTATGES.

�� Ordres de Magnitud A la vida quotidiana constantment es fan servir paraules que ens permeten fer referència a la mida, cost i/o importància de tots els conceptes que fem servir. Això permet parlar amb propietat i rigor dintre del context al que es fa referència. Exemples:

• Per a fer referència a conceptes grans o importants, es fan servir paraules com: gran, molt gran, grandíssim, prou gran, enorme, gegant, etc. D’aquesta forma, no és el mateix un gran pis que un pis enorme.

• De forma anàloga tenim un munt de mots que fan referència a

conceptes petits: petit, molt petit, petitíssim, ínfim, mínim, etc. Tants els mots del grup gran com els del grup petit, es podrien ordenar establint una relació de major a menor. De fet, és aquest ordre que tots compartim el que ens permet entendre que gegant està per sobre de prou gran. Així, doncs s’estableix una relació de magnitud entre totes dues paraules que indica quina és major.

� Exercici 1. Ordenar els mots de tots dos grups de major a menor.

En els cas de les Ciències (Física, Química, Matemàtiques, Electrònica, Informàtica...) existeixen un seguit de mots específics, amb un valor concret, que fets servir com a prefixes d’altres paraules ens permet entendre com de gran, o de petit, és un concepte. Molts d’aquests mots es fan servir a la vida diària. Exemple:

• A la fruiteria les patates es demanen per kilograms (ningú no demanarà quatre mil grams de patates). De fet, habitualment no es fa servir la unitat (grams, unitat de pes) i directament es demanen quatre kilos. Això és degut a que en el context de la


Pàgina 2 de 11

fruiteria, gairebé tot és ven al pes i tant el fruiter com el comprador s’entenen sense haver d’especificar més.

D’altres mots que permeten establir una relació de magnitud, ben coneguts i fets servir per tots, són els següents: giga, mili, nano, mega, micro, kilo.

� Exercici 2. Diferencia els mots de la taula segons facin referència a conceptes grans o petits. Ordena’ls de major a menor dintre de cada grup.

� Exercici 3. Si un kilo és igual a 1000 (1 kilo = 1.000), podries

establir relacions semblants amb la resta de mots de la taula?

� Exercici 4. Indica quin és el símbol de cada mot.

GRAN PETIT

Mot Símbol Valor Mot Símbol Valor

1.000.000.000 mili

Mega 0.000001

K n

Els ordres de magnitud s’agrupen segons sigui el seu valor:

• Els ordres de magnitud superiors són aquells que tenen el valor per sobre d’1.

• Els ordres de magnitud inferiors són aquells que tenen el valor

per sota d’1. Donat que acostumen a ser números molt grans i enfarragosos per a escriure-hi i treballar amb ells, es fa servir l’anomenada notació científica.

�� Notació Científica. Permet escriure de forma abreviada el valor de qualsevol número per molt gran, o petit, que sigui. Una forma fàcil de determinar el seu funcionament i composició seria fent servir aquestes regles:


Pàgina 3 de 11

• Tot valor més gran 1 s’expressa amb potències positives de 10. El valor de l’exponent serà el del número de dígits que es troben rere la primera xifra significativa (aquesta xifra pot estar composta per un o varis dígits). Exemples. 1 = 1 · 100

10 = 1 · 101

1.000 = 1 · 103

3.000 = 3 · 103

4.500 = 4,5 · 103

7.830.000 = 7,83 · 106 = 7830 · 103

A l’últim cas s’han establert dues igualtats. Fixeu-vos que en la primera igualtat la xifra significativa era 7,38 mentre que en la segona era 7380. Això obliga a ajustar correctament l’exponent.

• Tot valor més petit d’1 s’expressa amb potències negatives de 10. El valor de l’exponent serà el del número de decimals que vulguem expressar com l’exponent de 10.

Exemples. 0,1 = 1 · 10-1 0,001 = 1 · 10-3 0,003 = 3 · 10-3

0,0045 = 4,5 · 10-3

0,045 = 4,5 · 10-2 = 45 · 10-3

� Exercici 5. Omple la taula (primer les cel·les blanques, després les grises) segons l’exemple.

10-6 10-3 Valor 103 106

520000000·10-6 520000·10-3 520 0,520·103 0,000520·106

0,00036

35

0,000098

0,158

89.546.200

Segons la notació científica vista, resulta immediat expressar els ordres de magnitud.


Pàgina 4 de 11

SUPERIORS INFERIORS

Nom Símbol Valor Notació Nom Símbol Valor Notació

Giga G 1.000.000.000 109 mili m 0.001 10-3

Mega M 1.000.000 106 micro µ 0.000001 10-6

Kilo K 1.000 103 nano n 0.000000001 10-9

Però aquesta taula resulta incompleta. En el món de les ciències, i especialment en la branca de l’electrònica es fan servir més ordres de magnituds donats els elements amb els que es treballen. La taula completa1, doncs, seria la següent:

SUPERIORS INFERIORS

Nom Símbol Valor Notació Nom Símbol Valor Notació

Tera T 1.000.000.000.000 1012 mili m 0.001 10-3

Giga G 1.000.000.000 109 micro µ 0.000001 10-6

Mega M 1.000.000 106 nano n 0.000000001 10-9

Kilo K 1.000 103 pico p 0.000000000001 10-12

�� Percentatges.

Sovint es troben valors i quantitats expressades en forma de percentatges, tant a la vida real com a l’entorn de les ciències. En l’àmbit de l’assignatura de Robòtica haurem de treballar amb valors expressats en tant per cent. Per a trobar el tant per cent d’alguna cosa només cal fer la següent operació:

A % de B = 100

B×A

1 No es pot dir que sigui del tot completa. Encara existeixen més prefixes específics per a identificar valors encara més grans i petits. Donat que no seran d’us habitual, no els tractarem per ara.


Pàgina 5 de 11

Exemples.

18% de 47 = 46.8=100846

=100

47×18

10% de 850 = 85=185

=1008500

=100

850×10

10% de 35 = 5.3=100350

=100

35×10

5% de 35 = 75.1=100175

=100

35×5

Observacions: • Per a trobar el 10% de qualsevol valor només cal dividir entre 10.

10% de 85 = 5.8=1085

• Per a trobar fàcilment el 5% d’un valor, el més còmode és trobar

primer el 10% d’aquest valor i després dividir entre 2.

Directe: 5% de 64 = 2.3=100320

=100

64×5

Trobant el 10% i dividint entre 2:

10% de 64 = 4.6=1064

6.4 / 2 = 3.2

� Exercici 5. Troba els següents percentatges sense fer servir la calculadora.

Valor 5% 10% 20%

84 326 0.35

16589 1200 350


Pàgina 6 de 11

�� Equacions d’una incògnita. Regla de tres.

Amb la regla de tres es pot trobar una dada a partir d’una relació entre d’altre dades. De fet, al trobar el tant per cent d’un valor, indirectament s’està fent una regla de tres. El plantejament podria ser el següent:

10% de 850 • El que indica aquesta relació és el següent: si dividim el valor 850

en 100 parts, quanta quantitat de 850 es tindrà si s’agafen 10 de les 100 parts?

• Una altra forma de llegir-lo és la següent: “10 és a A, com a 100

és a 850”. • Per a trobar la incògnita (la A) s’ha de fer el que s’anomena

“productes creuats”:

10 x 850 = 100 x A • Ara només cal aïllar la A:

85=1008500

=100

850×10=A

� Exercici 6. El cost d’un generador de funcions és de 350€. Donat que es compren 10, fan una oferta del 10% sobre el preu final. Quant es paga finalment per cada aparell?

A

850100

10


Pàgina 7 de 11

1.2 CARACTERITZACIÓ DELS SENYALS.

Els aparells d’instrumentació electrònica permeten treballar amb quatre senyals bàsics:

�� Constant �� Sinusoïdal �� Triangular �� Quadrada

En els següents apartats es definiran algunes de les seves

característiques i s’aprendrà a representar-les. 1.2.1 Definició de senyal.

Un senyal és la representació d’un esdeveniment en funció d’un paràmetre de referència. Aquesta representació pot ser gràfica o bé mitjançant formulació matemàtica. Al llarg de l’assignatura es treballarà gràficament. Per això és important aprendre a dibuixar els senyals. Habitualment el paràmetre de referència, o variable, acostuma a ser el temps. 1.2.2 Representació gràfica.

Per a la representació gràfica es dibuixarà el senyal sobre els eixos cartesians (la ‘X’ i la ‘Y’). L’eix horitzontal serà els de les ‘X’ i mostrarà els temps; l’eix vertical, de les ‘Y’, representarà l’amplitud del senyal.

Segons les necessitats de la representació, el temps estarà

expressat en segons, milisegons o fins i tot minuts.

Amplitud (t)

t (seg)1 5 100

2

4

6

8


Pàgina 8 de 11

Segons la imatge anterior es pot treure la següent informació:

� Al segon 0 (t = 0) l’amplitud val 1: A(0) = 1 � L’amplitud mínima es troba al segon 9 (t = 9) i val 4: A(9) = 4

� Exercici 7. Per a quins moments de temps l’amplitud és

màxima? Quant val? 1.2.3 Amplitud (Pic a Pic, App).

Es parla d’amplitud pic a pic quan es fa referència a la diferència entre l’amplitud màxima i la mínima del senyal. Segons l’exemple anterior:

AMAX = 6 AMIN = 1 APP = AMAX - AMIN = 6 – 1 = 5

Aquesta forma de indicar l’amplitud és habitual al parlar de senyals periòdics (més endavant es veurà que vol dir periòdic) que tenen tant part negativa com a positiva. El senyal de la figura, un senyal quadrat, té les següents característiques:

AMAX = 3 AMIN = -3 APP = AMAX - AMIN = 3 – (-3) = 3 + 3 = 6 Període = 4 seg’s (després es veurà com es troba)

Amplitud (t)

t (seg)1 5 100

2

4

-4

-2


Pàgina 9 de 11

1.2.4 Freqüència i període.

El període d’un senyal és el temps que triga aquest senyal en tornar a repetir-se. Per indicar el període es fa servir la lletra ‘T’.

A la figura es pot veure que el senyal es repeteix cada quatre segons. Així doncs: T = 4 seg’s

Conegut el període, és immediat trobar la seva freqüència. El

perquè de treballar amb freqüència s’explicarà més endavant. La relació entre període i freqüència és la següent:

És a dir, un és l’invers de l’altre. La unitat de la freqüència és l’Hertz, que indica el número de cicles per segon d’un senyal. Habitualment es treballa en ordres de Kilos (KHz’s) i Megues (MHz’s). Per tant, a l’exemple de la figura, la freqüència serà de 0.25 Hz:

Amplitud (t)

t (seg)1 5 100

2

4

-4

-2

T T T

f1

=T

Hz25.0=41

=T1

=f

T1

=f


Pàgina 10 de 11

1.3 SENYALS BÀSICS. 1.3.1 Senyal Constant. És aquell que sempre, per a qualsevol instant de temps, té una mateixa amplitud. 1.3.2 Senyal Senoïdal. És el senyal que s’acostuma a fer servir a les Telecomunicacions per a transmetre senyals de TV, Radio, etc. És important conèixer com es representa i entendre la seva periodicitat.

AMAX 6 AMIN -6 APP 12 T 8 µseg f 125 KHz

Amplitud (t)

t (seg)1 5 100

2

4

-4

-2

Amplitud (t)

t (µseg)

1 5 100

3

6

-6

-315

T = 8 µseg’s T = 8 µseg’s

App =

12


Pàgina 11 de 11

1.3.3 Senyal Triangular. 1.3.4 Senyal Quadrada. Els tres últims senyals, senoidal, triangular i quadrada, es poden aconseguir mitjançant el generador de funcions i per a visualitzar-les es fa servir l’oscil·loscopi. Per a configurar-les és important saber identificar els paràmetres ja esmentats: amplituds, períodes i freqüències.

AMAX AMIN APP T f

AMAX AMIN APP T f

Amplitud (t)

t (mseg)

1 5 100

2

4

-4

-215

T

App

T T T

Amplitud (t)

t (seg)

1 20

5

10

-10

-5

T T TA

pp

Ordenes de magnitud y conceptos previos

Education

Transcript of Ordenes de magnitud y conceptos previos