OSCILACIONES ACOPLADAS

OSCILACIONES ACOPLADAS

Analizar el comportamiento (obtener las ecuaciones horarias) de dos sistemas constituidos por un cuerpo de masa "m" (modelizado como puntual) y un resorte lineal de constante elstica "K" cuando estn acoplados por un resorte lineal de constante "K1" como indica la figura.

Los desplazamientos de los cuerpos respecto de sus posiciones de equilibrio (resortes con su longitud natural) coinciden con las coordenadas x1 y x2. Suponiendo que para un determinado instante ambos cuerpos tienen posiciones x1(t) y x2(t) podemos plantear la segunda ley de

Newton para cada uno de ellos. Sin explicitar las posiciones como funcin del tiempo las ecuaciones diferenciales del movimiento son:

Ntese que y que hemos escrito las ecuaciones para un instante en el que x2 > x1. El sistema de ecuaciones (1) y (2) es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas ya que las funciones x1 y x2 aparecen en ambas.Si sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) y reacomodamos trminos:

Si restamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) y reacomodamos trminos:

Haciendo los cambios de variables:

Llamando:

Reemplazando (5) (6) (7) (8) en (3) y (4) quedan las siguientes ecuaciones:

La solucin para estas ecuaciones son del tipo:

En donde son constantes a determinar en funcin de las condiciones iniciales.Si obtenemos x1 y x2 en funcin de Xa y Xb a partir de las ecuaciones (5) y (6).

Reemplazando (11) y (12) en (13) y (14) obtenemos la solucin general para x1(t) y x2(t)

Las velocidades de ambos cuerpos las obtenemos derivando (15) y (16)

Condiciones iniciales.Planteamos las siguientes condiciones iniciales:

Queda como ejercicio para el lector desarrollar el problema para otras condiciones iniciales.Con las condiciones iniciales planteadas las ecuaciones (15) (16) (17) (18) quedan:

Haciendo (25) + (26) se obtiene:

Haciendo (25) - (26) se obtiene:

Reemplazando los valores obtenidos en (27) y (28) en las ecuaciones (23) y (24)

Haciendo (23) + (24) se obtiene:

Haciendo (23) - (24) se obtiene:

Reemplazando las constantes obtenidas en (27) (28) (31) (32) en las (15) (16):

Haciendo:

Escribimos (33) y (34) de la siguiente manera:

Derivando estas expresiones obtenemos las velocidades instantneas de cada cuerpo para las condiciones iniciales postuladas.

Movimiento relativo:En las expresiones (37) y (38) vemos que el movimiento relativo de un cuerpo respecto de otro (x1 x2) es un movimiento armnico simple de frecuencia angular b.

Energa MecnicaLa energa mecnica del sistema es:

Desarrollando el binomio y agrupando trminos:

A los corchetes del segundo miembro de la ecuacin (43) los podemos interpretar como la parte de energa mecnica correspondiente a los sistemas masa resorte, mientras que el tercer trmino corresponde al acoplamiento entre ambos sistemas.ResumenEcuaciones de posicin:

Siendo:

Xo1: Posicin inicial del cuerpo 1Xo2: Posicin inicial del cuerpo 2