OSCILACIONES.-TEMA 3 - Universidad de … · 1 1 OSCILACIONES.-TEMA 3 Bases Físicas del Medio...
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OSCILACIONES.OSCILACIONES.--TEMA 3TEMA 3
Bases Físicas del Medio Ambiente2º de Ciencias AmbientalesProfesor: Juan Antonio Antequera Barroso
CURSO 2009CURSO 2009--20102010
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Oscilaciones
KxF −=
Kxdt
xdmmaF −=== 2
2
Una oscilación ocurre cuando un sistema es perturbadoperturbado de su posición de equilibrio
mm
MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)
xxEquilibrio
En el equilibrio no experimenta ninguna fuerza el objeto por parte del muelle.
LEY DE HOOKELEY DE HOOKE
K: constante recuperadora del muelle (N/m)
CondiciCondicióón del movimiento armn del movimiento armóónico simplenico simpleAplicando la segunda Ley de Newton
xmK
dtxda −== 2
2
““La aceleraciLa aceleracióón es proporcional al desplazamiento y de direccin es proporcional al desplazamiento y de direccióón negativan negativa””
2
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OscilacionesMOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)
La ecuación general de este tipo de movimiento es:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=+=
2cos πδωδω tAsentAtx
donde:
x(tx(t)): posición del objeto en cualquier instante.- ElongaciElongacióón n (m)(m)
AA: amplitudamplitud del movimiento (m), máximo desplazamiento del equilibrio.
ωω: frecuencia angular o pulsacifrecuencia angular o pulsacióónn (rad/s).
δδ: desfase o fase de oscilacidesfase o fase de oscilacióónn (rad)
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Oscilaciones
( ) ( ) ( )δωω +−== tsenAtvdt
tdx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )txAtAtadt
tdvdt
txd 222
2cos ωδωω −=+−=== m
K=ω
MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)
Comprobación de la ecuación anterior al movimiento armónico simple
A y δ se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales
( )δω
δsenAvstv
Axstx−===
===
0
0
)0(cos0
( ) ( ) ( )[ ] ( )TtATtATtxtx ωδωδω ++=++⇒+= coscos
El periodo TT es el tiempo en el cual se repite x(t).
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Oscilaciones
πω 2=TTπω 2
=
πω2
1==
Tf
MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)
La frecuencia f es:KmT
mKf
π
π
2
21
=
=
Independiente de A
¿Cuál de los dos objetos llegará primero a su posición de equilibrio si se sueltan a la vez?
5 cm
mm22
10 cm
m1
Objeto 1Objeto 2
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OscilacionesMOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)
Ejemplo:Ejemplo: Viajamos en un barco entre las olas. El desplazamiento vertical del barco en las olas viene dado por:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
62cos2.1 π
stmy
a) Encontrar la amplitud, la frecuencia, la pulsación, el periodo, las constante de fase.
b) ¿Dónde se encontrará el barco en el instante t=1 s?
c) Encontrar la velocidad y la aceleración en cualquier instante
d) Encontrar la posición, la velocidad y la aceleración en t=0 s
Ejemplo:Ejemplo: Un objeto oscila con una velocidad angular ω= 0.8 rad/s. En el instante t=0 s, el objeto se encuentra en x0 = 4 cm con una velocidad inicial v0 = -25 cm/s.
a) Encontrar la amplitud y constante de fase para el movimiento.
b) Escribir x(t)
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Oscilaciones
( )( )( ) tAta
tsenAtvtAtx
ωω
ωωω
cos
cos
2−=
−==
MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)
x(tx(t))
v(tv(t))
a(ta(t))
AA
00
--AA
AAωω
00
--AAωω
AAωω22
--AAωω22
00
T/4T/4 T/2T/2 3T/43T/4 TT
ππω
ππω
ππω
ππω
222
34
324
32
22
242
4
==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒=
TT
tTt
TT
tTt
TT
tTt
TT
tTt
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Oscilaciones
δωθ += t( )δωθ +== tAAx coscos
( )δωθ +== tAsenAseny
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMEJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLENICO SIMPLE
a) a) MOVIMIENTO CIRCULARMOVIMIENTO CIRCULAR
XX
YY
AA
AcosAcosθθθθ
b) b) PPÉÉNDULO SIMPLENDULO SIMPLE
φφ
TT
mgcosφmgsenφ
mgmg
LL
SS
∑ ==−= 2
2
2
2
dtdmL
dtSdmmgsenFt
φφ
φφLg
dtd
−=2
2
gLT π
ωπ 22==
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Oscilaciones
( ) ( )δω +== tKAKxtE P222 cos
21
21
( ) ( ) ( )δωδωω +=+== tsenKAtsenmAmvtEC222222
21
21
21 cteKAET == 2
21
ENERGENERGÍÍA DEL MOVIMIENTO ARMA DEL MOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLENICO SIMPLELas energías potencial y cinética del sistema varían con el tiempo, permaneciendo la energía total constante
++==
EETOTALTOTAL
EEPP
00
tttt
EEcc
EETOTALTOTAL
( ) ( ) TOTALCp EavEavE21
==
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Oscilaciones
--AA AA
00
ENERGENERGÍÍA DEL MOVIMIENTO ARMA DEL MOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLENICO SIMPLE
Ejemplo:Ejemplo: Un objeto de 3 Kg unido a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. a)a) ¿Cuál es la energía total del sistema? b)b)¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? c)c) ¿En qué posición la velocidad es igual a la mitad del valor máximo?
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Oscilaciones
02
2=++ Kx
dtdx
dtxdm γ
OSCILACIONES AMORTIGUADASOSCILACIONES AMORTIGUADAS
( ) ( ) ( )δωδω τγ
+=+=−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− teAtAtx a
ta
tm coscos 00
AA00: amplitud inicial
ττ: tiempo de relajación o amortiguamiento = 2m/γ
ωωaa: frecuencia angular modificada
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Oscilaciones
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= 2
02
220
220
2
2
22
411
411
411
41
ωγωγωγγω
mmKmKmK
mmK
a
OSCILACIONES AMORTIGUADASOSCILACIONES AMORTIGUADAS
2
020
2
2
0 14
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
Ca m γ
γωω
γωω
γγCC: : amortiguación crítica
a) γγ<<γγCC ⇒ Sistema subamortiguado
b) γγ==γγCC ⇒⇒ Sistema crSistema crííticamente amortiguadoticamente amortiguado
c) γγ>>γγCC ⇒ Sistema sobreamortiguado
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OscilacionesEjemploEjemplo: Algunos insectos mayores, especialmente dípteros e himenópteros, presentan del orden de 150 movimientos -o más-de las alas por minuto (Esto supone un ritmo superior al cambio de potencial debido a los impulsos nerviosos). Para explicar de modo simplificado este movimiento rápido se supone que las alas actúan como un oscilador débilmente amortiguado, dado por una ecuación del tipo
02
2=++ θθγθ K
dtd
dtdm
donde θθ es el ángulo que forma el ala con la horizontal, mm la masa del ala que es del orden de m=10-2 g, y γγ el coeficiente de rozamiento γ=0,4 gs-1 y KK la constante elástica K=1600π2 gs-2. a)a) Dibújese esquemáticamente la solución de la ecuación. Si suponemos que cuando la amplitud de oscilación decrece hasta un valor de 1/e, se dispara el impulso nervioso que devuelve la amplitud de la oscilación a su valor inicial. b)b) ¿Cuántos impulsos nerviosos se disparan por minuto, según los datos del problema?
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Oscilaciones
λπ2
=K
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDASN DE ONDASLas ondas transportan energía y cantidad de movimiento a través del espacio sin transportar materia.
λλ
vvΔΔtt
x=0 x=λOndas Armónicas
λλ: longitud de onda: longitud de onda
K: nK: núúmero de ondamero de onda
v: velocidad de propagaciv: velocidad de propagacióónn
Kvf
Tv ω
πωλλλ
==⇒==2
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Oscilaciones
( ) kxytxy cos0, 0==
( )( )
( ) ( )txytkxyvtxky
kxytxy
,coscos
´cos´´,
0
0
0
=−==−===
ω
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−=
λπωω x
Ttykxtytkxytxy 2coscoscos, 000
PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDASN DE ONDASyy
t=0t=0
xx
vtvt
xx
tt
f(xf(x--vtvt))
( ) ( )tkxytxy ω+= cos, 0
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OscilacionesONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALESONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALES
Ondas TransversalesOndas Transversales: Perturbación perpendicular a la propagación.Ondas LongitudinalesOndas Longitudinales: Perturbación paralela a la propagación.
Ejemplo: TerremotoEjemplo: TerremotoMovimiento Sísmico que se propaga a través de ondas elásticas a partir del hipocentro. Distinguimos dos tipos ondas de cuerpo o interiores y ondas superficiales.
Ondas Longitudinales o primarias P:Ondas Longitudinales o primarias P:
• v= 8 - 13 Km/s.
• Circulan en el interior de la Tierra.
• Atraviesa líquidos y sólidos.
• Son las primeras en registrarse.
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OscilacionesOndas transversales o secundarias o S:Ondas transversales o secundarias o S:
• v=4 - 8 Km/s
• Atraviesa únicamente sólidos
Ondas Superficiales:Ondas Superficiales:
• Dos tipos: Rayleigh y Love
• Interacciones entre P y S.
• Son las más dañinas
RayleighRayleigh
LoveLove
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OscilacionesComportamiento animal ante un terremotoComportamiento animal ante un terremoto
Poseen sensor ultrasensible a las vibraciones. DaguanDaguan (China)
Detectan variaciones campo magnético y perciben el infrasonido
Reaccionan ante corrientes electromagnéticas débiles.
Perciben ultrasonidos previos al temblor, 20 minutos antes que el hombre
Olisquean las emanaciones de gases
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Oscilaciones
μFv =
ρBv =
ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALESONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALESvv: : propiedades del medio e independencia del movimiento de la fuente
v=f(F,µ)
Ejemplo.Ejemplo.-- La tensión aplicada a una cuerda se obtiene colgando una masa de 3 Kg en uno de sus extremos, como se indica en la figura. La longitud de la cuerda es de 2,5 m y su masa de 50 g. ¿Cuál es la velocidad de las ondas de la cuerda?
Para un cuerda
Ondas sonoras en un fluido
Ondas sonoras en gasMRTv γ
= γ(O2,N2,H2)=1,4
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Oscilaciones
( ) ( ) ( )tkxsenAxdtdyxmvEc y ωωμμ −Δ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Δ== 222
22
21
21
21
( ) ( ) ( )tkxxsenAtkxsenkxAvxdxdyFE p ωμωωμ −Δ=−Δ=Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 2222222
2
21
21
21
( )tkxsenxAEEE PC ωμω −Δ=+=Δ 222
ENERGENERGÍÍA DE LAS ONDAS DE UNA CUERDAA DE LAS ONDAS DE UNA CUERDA
µµΔΔxx
xAEm Δ=Δ 22
21 μω
vAdt
dEP m
m22
21 μω==
Ejemplo.Ejemplo.-- Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud 1.2 cm se mueven a lolargo de una cuerda de 15 m que tiene una masa de 80 g y está sometida a una tensión de 12 N. a)a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de las ondas. b)b) ¿Cuál es la energía total media de las ondas de la cuerda? c)c) Calcular la energía total media transmitida por unidad de tiempo a lo largo de la cuerda.
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21
Oscilaciones
( )11 cos Φ+−= tkxAy ω
( )22 cos Φ+−= tkxAy ω
( ) ( )ΔΦ+−Φ= tkxAy ωδ coscos2
SUPERPOSICISUPERPOSICIÓÓN DE ONDAS.N DE ONDAS.-- ONDAS ESTACIONARIASONDAS ESTACIONARIAS
Principio de SuperposiciPrincipio de Superposicióón: n: Cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales
( )
( )21
21
2121
Φ+Φ=ΔΦ
Φ−Φ=Φδ
22
Oscilaciones
AAn 2021 =→=Φ⇒Φ=Φ δ
SUPERPOSICISUPERPOSICIÓÓN DE ONDAS.N DE ONDAS.-- ONDAS ESTACIONARIASONDAS ESTACIONARIAS
• En Fase • En Contrafase o Desfasada 180º
0221 =→=Φ⇒Φ−Φ= nAπδπ
Interferencia ConstructivaInterferencia Constructiva Interferencia DestructivaInterferencia Destructiva
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Oscilaciones
( )( )tkxAy
tkxAyωω+=−=
coscos
2
1
SUPERPOSICISUPERPOSICIÓÓN DE ONDAS.N DE ONDAS.-- ONDAS ESTACIONARIASONDAS ESTACIONARIAS
( ) ( )kxtAy coscos2 ω=
Onda estacionariaOnda estacionaria
No se produce propagación ni transmisión de energía. Ambas componentes temporal y espacial están desacopladas.
EjmEjm..-- Una cuerda fija por los extremos
• Puntos en que kx=0 (ó múltiplos de π) ⇒⇒OscilaciOscilacióón Mn Mááximaxima ⇒⇒ VIENTRESVIENTRES
• Puntos en que kx= π/2 (ó múltiplos de π/2) ⇒⇒No hay Oscilación ⇒⇒ NODOSNODOS
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Oscilaciones
L=2λ
L21 =λ
L32
3 =λ
SUPERPOSICISUPERPOSICIÓÓN DE ONDAS.N DE ONDAS.-- ONDAS ESTACIONARIASONDAS ESTACIONARIAS
LL
λλ
n=1n=1
LL
n=2n=2
n=3n=3
λλ λλ/2/2
Lnn2
=λ
1nffn =
Nodos en los extremos fijos
13
25
Oscilaciones
L41 =λ
L43
2 =λ
124−
=n
Lnλ
SUPERPOSICISUPERPOSICIÓÓN DE ONDAS.N DE ONDAS.-- ONDAS ESTACIONARIASONDAS ESTACIONARIAS
Extremo fijo (nodo) y otro móvil (vientre)
λλ/4/4
n=1n=1
n=2n=2
λλ
1212 fnfn ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
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Oscilaciones
Ejemplo.Ejemplo.-- Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0,70 m entre sí y se ajusta la tensión de la cuerda hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 440 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda?
Ejemplo.Ejemplo.-- Una cuerda de 3 m de longitud y densidad másica 0,0025 Kg/m está sujeta por ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz.
a) ¿Qué armónico corresponde a la frecuencia de 252 Hz?
b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental?
c) ¿Cuál es la tensión de cuerda?
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OscilacionesREFLEXIREFLEXIÓÓN, REFRACCIN, REFRACCIÓÓN Y DIFRACCIN Y DIFRACCIÓÓNN
Rayo incidente
ii
Rayo refractado
rr
nn11
nn22
Leyes de Leyes de SnellSnell
Reflexión: ii=rrffRayo reflejado
rrff
Refracción:nn22sen ii=n1sen rr
vv22sen ii=v1sen rr
Difracción
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Oscilaciones
ee
r fvv
vf−
=
EFECTO DOPPLEREFECTO DOPPLER
Cuando un foco productor de ondas y un receptor se están moviendo uno con respecto al otro, la frecuencia observada por el receptor no es la emitida por el foco
a)a) Receptor en reposo y emisor móvil acercándose
b)b) Receptor en reposo y emisor móvil alejándose
ee
r fvv
vf+
=
Se acerca: ffrr>>ffee. El sonido recibido es más agudo.
Se aleja: ffrr<<ffee. El sonido recibido es más grave
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29
Oscilaciones
er
r fvvvf −
=
er
r fvvvf +
=
EFECTO DOPPLEREFECTO DOPPLERc)c) Receptor acercándose y emisor en reposo
d)d) Receptor alejándose y emisor en reposo ee
rr f
vvvvf
m
±=
R acerca
R aleja
E acercaE aleja
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OscilacionesEjemplo.Ejemplo.-- Un barco de estudio oceanográficos sitúa un receptor de sonido dentro del agua para captar el sonido de los delfines. Estos emiten frecuencias de 10000 Hz y se mueven a una velocidad de 10 m/s, paralelamente al barco. Hállese la variación de la frecuencia: a)a) cuando se acercan hacia el barco y b)b) cuando se alejan (vsonidoagua=1500 m/s)
Ejemplo.Ejemplo.-- Una persona se halla de pie en el andén cuando pasa, haciendo sonar su silbato, un tren rápido circulando a 120 Km/h. ¿Cuál será la variación relativa de la frecuencia cuando se acerca, respecto a cuando se aleja? (vsonido=344 m/s)
Ejemplo.Ejemplo.-- Un coche se desplaza a una velocidad de 10 m/s hacia una alarma que emite un sonido con una frecuencia de 5000 Hz. a)a) ¿Quéfrecuencia escucha cuando se acerca y b)b) ¿cuándo se aleja?
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Oscilaciones
ee vv
tvtvsen =ΔΔ
=α
ONDAS DE CHOQUEONDAS DE CHOQUE
vv
Mach e=
Ejemplo.Ejemplo.-- En el instante t=0, un avión supersónico se encuentra sobre un punto P volando hacia el este a una altura de 15 Km. El estampido sónico se oye en el punto P cuando el avión está a 22 Km al este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad de avión supersónico?