Oscilador armonico cuantico resuelto por el metodo algebraico
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EL OSCILADOR ARMONICO CUANTICO
R E S U E L T O P O R E L M É T O D O A L G E B R A I C O
P R E S E N T A D O P O R : K A R O L C A S T R O
Oscilador armonico cuantico metodo algebraico
1
24/02/2011
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS
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EL problema cuántico es resolver la ecuación de Schrödinger para el potencial:
22
2
1)( xmxV
2
Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24/02/2011
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Como hemos visto, en la literatura se encuentran dos enfoques completamente diferentes a este problema el primero es una solución a la ecuación diferencial, utilizando el método de expansión de series de potencias. Esta tiene la virtud de que la misma estrategia se puede aplicar a muchos otros potenciales
3
Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24/02/2011
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La ecuación de Schrödinger
ExVdx
d
m )(
2 2
2
4
Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24/02/2011
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Reacomodando en la ecuación
Exmdx
d
m
22
2
22
2
1
2
Exmdx
d
m
222
2
22
2
1
Exmdx
d
im
2
2
)(2
1
5
Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24/02/2011
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Tenemos que:
Exmdx
d
im
2
2
)(2
1
))((22 viuviuvu
La idea es factorizar la expresión entre corchetes6
Oscilador armonico cuantico metodo algebraico 24/02/2011
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)(2
1xfxim
dx
d
ixim
dx
d
im
Aquí, sin embargo, no es tan simple, ya que u y v son operadores, y los operadores, en general no conmutan es decir uv no es lo mismo que vu.
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7
xm
dx
d
ima
2
1
xm
dx
d
ima
2
1
Donde:
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8
En algebra lineal (y en sus aplicaciones en la mecánica cuántica, un operador de subida o de bajada (también conocidos como operadores escalera) es un operador que aumenta o disminuye el auto valor de otro operador.
En mecánica cuántica, el operador de subida también se denomina operador de creación mientras que el de bajada se denomina operador de destrucción
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Al trabajar con los operadores podemos cometer errores a menos que introduzcamos una función de prueba para actuar con los operadores. Al final se puede tirar la función de
prueba, y se deja una ecuación que incluye solo los operadores
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)(2
1)()( xfxim
dx
d
ixim
dx
d
imxfaa
xfim
dx
df
ixim
dx
d
imxfaa
2
1)()(
xfim
dx
df
ixim
dx
d
imxfaa
2
1)()(
fxm
dx
dfxm
dx
xfdm
dx
fd
mxfaa 2
2
22 )(
)(
2
1)()(
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Tenemos que:
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10
fxm
dx
dfxm
dx
xfdm
dx
fd
mxfaa 2
2
22 )(
)(
2
1)()(
fdx
dfx
dx
dxf
dx
dfx
dx
xfd
)(
fdx
xfd
dx
dfx
)(
fxmfdx
xfdm
dx
xfdm
dx
fd
mxfaa 2
2
22 )(
)()(
2
1)()(
Sustituyendo
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Simplificando:
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11
fxmfm
dx
fd
mxfaa 2
2
22 )(
2
1)()(
fxmfdx
xfdm
dx
xfdm
dx
fd
mxfaa 2
2
22 )(
)()(
2
1)()(
)()(2
1)()( 2
2
xfmxmdx
d
imxfaa
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Agrupando y descartando la funcion de prueba
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12
2
1)(
2
1)( 2
2
xm
dx
d
imaa
2
1)(
2
1 2
2
xm
dx
d
imaa
De la misma manera podemos calcular:
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13
aaaa
Exmdx
d
im
2
2
)(2
1
2
1))((22 viuviuvu
Retomando la ecuación Schrödinger
2
1 aa
con este resultado podemos escribir la
ecuación de Schrödinger en términos de sus
operadores
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14
Eaa )2
1(
aaaa
La ecuación de Schrödinger la podemos escribir de la siguiente manera:
Teniamos que:
Eaa )2
1(
De la misma manera se puede escribir:
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15
Eaa )2
1(
E
)( Ea
a
))(2
1( aaa
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16
))(2
1( aaa
)2
1()
2
1( aaaaaaa
])2
1[()
2
1( aaaaaa
Eaa )2
1( Eaa )
2
1(
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17
))(2
1( aaa
)2
1()
2
1( aaaaaaa
])2
1[()
2
1( aaaaaa
Eaa )2
1(
Eaa )2
1(
E
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)]([][][ aEEaEa
Eaa )2
1(
)())(2
1( Eaaa
)())(2
1( Eaaa
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Con esto se presenta una gran herramienta para encontrar nuevas soluciones con energías mas altas y más bajas. Llamamos factores de escala, porque estos nos permiten aumentar o disminuir la energía. Es llamado el operador que aumenta, y el operador que disminuye.
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Pero, qué pasa si aplicamos el operador de escalera que disminuye la energía repetidamente?
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Eventualmente alcanzaríamos un estado con energía menor que cero, que, de acuerdo al teorema general, esto no existe. Sabemos que es una nueva solución de la ecuación de Schrödinger, pero no hay una garantía que esta solución será normalizable. En conclusión: debe ocurrir “El escalón mas bajo” tal que
00 a
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La ecuación diferencial seria
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22
xm
dx
d
ima
2
1
02
10
0
xm
dx
d
im
00
x
m
dx
d
Operador de escalera que disminuye la energía
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Resolviendo la ecuación diferencial
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23
00
x
m
dx
d
xdxmd
0
0
xdxmd
0
0
constxm
2
02
ln
2
200 )(
xm
eAx
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Ahora aplicamos el operador que aumenta la energía para generar los estados excitados
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24
2
200 )(
xm
eAx
Eaa )2
1(
000)2
1( Eaa
0002
1 E
2
10 E
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25
2
200 )(
xm
eAx
2
10 E
2
2)()(x
m
n
nn eaAx
)2
1( nEn
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Escalera de los estados estacionarios para un oscilador armónico simple
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Referencias:
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Griffiths, D. J. (1994). Introduction to Quantum mechanics. New Jersey: Prentice Hall, Inc.