P cendoya dinamica_2012_2
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1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS Patricio Cendoya Hernández [email protected] Departamento de Ingenieria Civil Universidad de Concepción
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Dinamica de Estructuras
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1
DINAMICA DE ESTRUCTURAS
Patricio Cendoya Hernández
Departamento de Ingenieria Civil
Universidad de Concepción
2
PRESENTACION
El presente texto de apoyo a la docencia constituye un complemento a las
clases teóricas y practicas del curso de Dinámica de Estructuras que semestre a
semestre se dicta en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de
Concepción.
Consta de 7 Capítulos, partiendo con un Capitulo inicial que sirve de
introducción para definir los conceptos básicos y la nomenclatura involucrada en el
análisis dinámico de estructuras. El Capitulo 2 desarrolla la ecuación que define el
equilibrio dinámico de sistemas de un grado de libertad con masa concentrada y
analiza la respuesta dinámica para distintos tipos de excitaciones que tienen una
representación analítica y para las cuales es posible obtener una solución cerrada
a la ecuación de movimiento. En el Capitulo 3, se introduce el análisis para cargas
del tipo arbitrario como ser las asociadas a los fenómenos del tipo sísmico,
colocando énfasis en el cálculo de la respuesta mediante la utilización de la
integral de Duhamel y la utilización métodos de integración temporal del tipo paso
a paso. En el Capitulo 4, se presentan una serie de problemas en donde se
aplican y mezclan los conceptos básicos de la dinámica de estructuras asociados
a sistemas de un grado de libertad. En el Capitulo 5, se entregan los conceptos
básicos asociados a sistema de n grados de libertad y como abordar el análisis
de este tipo de estructuras. En el Capitulo 6, se presentan ejemplos resueltos de
sistemas de n grados de libertad sometidos a diversos tipos de cargas
dinámicas. Finalmente en el Capitulo 7 se desarrolla el análisis de sistemas con
masa distribuida utilizando el concepto de coordenada generalizada, dicho capitulo
se complementa con ejercicios sobre el tema.
La publicación de este texto complementa el estudio de los libros clásicos
de Dinámica de estructuras (CHOPRA (1995))3(, CLOUGH y PENZIEN (1982)
)4(,
PAZ (1992))6() y ayuda a la comprensión de los mismos.
Patricio Cendoya Hernández.
Ingeniero Civil (U. de Concepción)
Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos (U. Politécnica de Catalunya)
3
Índice
Capítulo 1: Conceptos básicos ...............................................................................................1
1.1 Introducción ...................................................................................................................2
1.2 Grados de libertad .........................................................................................................3
1.3 Modelo mecánico...........................................................................................................4
1.3.1 Rigidez equivalente .................................................................................................5
1.3.2 Método de la rigidez basal .......................................................................................8
1.4 Comportamiento general de un sistema mecánico..........................................................11
Capítulo 2: Ecuación de movimiento en sistema de 1 GDL ...................................................14
2.1 Introducción ...................................................................................................................14
2.2 Oscilación libre no amortiguada......................................................................................16
2.3 Oscilación forzada no amortiguada.................................................................................20
2.4 Oscilación libre amortiguada ..........................................................................................22
2.4.1 Amortiguamiento critico ...........................................................................................24
2.4.2 Amortiguamiento supercrítico...................................................................................25
2.4.2 Amortiguamiento subcritico ......................................................................................26
2.5 Conceptos de disipación de energía...............................................................................29
2.6 Oscilación forzada no amortiguada con carga constante ................................................32
2.7 Oscilación forzada amortiguada .....................................................................................36
2.8 Aislamiento de vibraciones: respuesta al movimiento de la base ....................................40
Capítulo 3: Excitación arbitraria ..............................................................................................43
3.1 Respuesta a movimientos sísmicos................................................................................43
3.2 Oscilación forzada bajo carga no armónica ....................................................................45
3.3 Espectro de respuesta sísmico.......................................................................................47
3.4 Integración de ecuación de movimiento..........................................................................50
3.4.1 Solución explicita .....................................................................................................51
3.4.2 Solución implícita .....................................................................................................53
Capítulo 4: Ejemplos sistemas de 1 GDL................................................................................59
4.1 Aplicaciones ..................................................................................................................59
4.1.1 Marco sometido a carga impulsiva rectangular ........................................................59
4.1.2 Marco sometido desplazamiento de su base ..................................................................... 63
4
4.1.3 Marco sometido a carga impulsiva triangular ...........................................................67
Capítulo 5: Sistemas de n GDL................................................................................................71
5.1 Introducción ...................................................................................................................71
5.2 Propiedad de ortogonalidad de los modos .....................................................................76
5.3 Ecuaciones desacopladas .............................................................................................78
5.4 Normalización de la matriz modal ..................................................................................81
5.5 Masa equivalente...........................................................................................................82
5.6 Método de superposición modal Análisis de sensibilidad ................................................84
5.7 Ventajas y desventajas del anales modal ......................................................................85
5.8 Efecto del amortiguamiento............................................................................................86
Capítulo 6: Aplicaciones a sistemas de n GDL ......................................................................90
6.1 Ejemplos........................................................................................................................90
6.1.1 Marco de tres niveles sometido a un espectro de velocidades .................................90
6.1.2 Marco de dos niveles sometido a espectro de aceleraciones....................................100
6.1.3 Marco de tres niveles análisis de piso blando...........................................................106
6.1.4 Marco de dos niveles con aceleración basal.............................................................111
Capítulo 7: Sistemas generalizados ........................................................................................115
7.1 Sistemas con masa y elasticidad distribuida...................................................................115
7.1.1 Chimenea con masa distribuida ...............................................................................119
Capítulo 8: Referencias ...........................................................................................................122
5
CAPITULO 1
CONCEPTOS BASICOS
1. 1 INTRODUCCION
La dinámica de estructuras es aquella parte de la mecánica aplicada que
desarrolla métodos para el estudio del comportamiento de estructuras sujetas a la
acción de vibraciones, BARBAT (1983))1(. El estudio de la dinámica de los
cuerpos deformables, puede realizarse desde dos enfoques: uno denominado
determinista en el cual a través de las ecuaciones de la mecánica clásica aplicada
sobre un modelo estructural continuo o discreto obtiene la solución analítica o
numérica a las ecuaciones que gobiernan el problema. Otro enfoque es el
denominado no-determinista (estocástico-aleatorio) que toma en cuenta la
aleatoriedad de las cargas y del comportamiento mecánico de los materiales,
dicho enfoque no se aborda en estos apuntes, siendo este ultimo el más próximo a
la realidad en el caso sísmico.
Una carga estática es aquella cuyo valor no cambia con el tiempo. Un ejemplo de
carga estática lo representan las cargas muertas (por ejemplo el peso propio de la
estructura) ya que estas permanecen constantes con el paso del tiempo. Una
carga o excitación dinámica es aquella cuya intensidad es función del tiempo, un
sismo por ejemplo se puede representar como una fuerza del tipo dinámico que
6
actúa sobre la estructura durante la duración del movimiento sísmico. Cualquier
estructura elástica sujeta a la acción de una carga dinámica se comporta como un
sistema oscilante.
Una de las diferencias entre un problema estático y uno dinámico es la variación
en el tiempo de la respuesta, lo que hace que el problema dinámico no tenga
solamente una solución. Al contrario, el análisis entrega una solución en cada
instante de tiempo n10 t,,t,t K .
Las principales fuentes de fenómenos vibratorios que pueden afectar a las
estructuras son entre otros:
• Las maquinarias y las instalaciones cuyo funcionamiento implica la
presencia de masas en desequilibrio. Las vibraciones causadas por las
maquinarias en funcionamiento afectan principalmente a las estructuras
soportantes, a sus fundaciones y a estructuras y equipos ubicados en las
cercanías.
• Vehículos en movimiento
• Sismos, explosiones
• La acción del viento
1.2 GRADOS DE LIBERTAD
Para poder estimar la respuesta dinámica de una estructura real es necesario
aplicar simplificaciones conceptuales para reducirla a una estructura ideal
(modelo mecánico) a partir del cual se construye un modelo matemático que
describe cuantitativamente la respuesta de la estructura idealizada.
Calcular la respuesta dinámica implica establecer dicha respuesta en cada uno de
los puntos de la estructura, es decir, en una infinidad de puntos si se considera el
hecho real que esta es un medio continuo. Dicho de esta forma el problema se
transforma en insoluble, para facilitar él cálculo numérico se define un número
finito de puntos representativos de la estructura en donde se plantea y formula el
7
problema. Esto se realiza mediante un procedimiento denominado discretización
BARBAT (1983))1(.
Entre los métodos más utilizados para realizar esta operación, se tienen:
• El método de las masas concentradas
• El método de los desplazamientos generalizados
• El método de los elementos finitos
Cada uno de estos métodos se aplica en función del tipo de estructura que se
utiliza.
Uno de los métodos más empleados para estimar la respuesta dinámica es el de
las masas concentradas, el cual supone que la masa se concentra en una serie
de puntos previamente seleccionados, de tal forma que el modelo mecánico
resultante sea capaz de proporcionar una descripción aproximada del movimiento
de la estructura real.
Cada una de las masas concentradas describe el moviendo generado por el efecto
de las fuerzas de inercia que aparecen en el modelo mecánico durante su
vibración. El número total de componentes de los desplazamientos en los cuales
las masas concentradas vibran con respecto a sus posiciones originales, se
denomina número de grados de libertad dinámica del modelo.
El número de grados de libertad dinámica de una estructura se puede también
definir como él número mínimo de desplazamientos que se tienen que conocer
para definir por completo la deformada de la estructura en cada instante durante
su vibración.
Una vez obtenida la deformada de la estructura en cada instante del movimiento,
es decir, la descripción de los desplazamientos es posible conocer las
deformaciones, tensiones y esfuerzos que se desarrollan en la estructura en el
8
tiempo.
La identificación de los grados de libertad dinámica de una estructura necesita
mucha rigurosidad, ya que tiene gran influencia sobre el resultado del cálculo
dinámico. El método de las masas concentradas, resulta eficaz en aquellas
estructuras en las cuales una gran parte de su masa está realmente concentrada
en puntos discretos.
1.3 MODELO MECANICO
El modelo mecánico más sencillo que permite idealizar el comportamiento de una
estructura de un grado de libertad, está constituido por una masa soportada por un
elemento de rigidez K . Por ejemplo si en el marco plano de nudos rígidos de la
figura 1.1, se considera que es despreciable la deformación axial de las columnas
y que el elemento horizontal que las une es indeformable (es decir, dicho elemento
se comporta como un diafragma rígido), la posición del sistema en cualquier
instante del tiempo puede ser definida por una única coordenada que corresponde
al desplazamiento horizontal del diafragma rígido, que en el modelo mecánico
corresponde al centro de masas de la masa concentrada.
Alternativamente la estructura de la figura 1.1, se puede idealizar como un carro
con ruedas sin roce con el suelo, de masa m y con un resorte sin masa de rigidez
horizontal K , tal como se indica en figura 1.2. En ambos casos, las
características mecánicas asociadas a la disipación de energía del sistema se
pueden caracterizar a través de la inclusión de un amortiguador del tipo viscoso
con constante de amortiguamiento c .
9
Figura 1.1. Marco plano con nudos rígidos y modelo mecánico asociado.
Ambos modelos suponen que la masa de la estructura se concentra a nivel del
diafragma horizontal el cual ha efectos del análisis dinámico se considera rígido
(indeformable) y que se desplaza paralelamente con respecto a la dirección
horizontal, imponiendo igualdad de desplazamiento en todos los elementos
verticales que se conectan a ella.
Figura 1.2. Modelo mecánico de un sistema de un grado de libertad.
10
1.3.1 RIGIDEZ EQUIVALENTE
En una columna de sección constante que sufre un desplazamiento horizontal i∆
sin giro de nudos y que se deforma solo por flexión con base empotrada la rigidez
vale:
3ih
EI12k ⋅= (1.1)
Físicamente ik representa la fuerza horizontal necesaria que hay que aplicar a
nivel de diafragma horizontal en la dirección horizontal para producir un
desplazamiento unitario sin giro en el nudo que conecta la columna con el
diafragma.
En el caso que la no existiera empotramiento, si no que la base de la columna
estuviera con un apoyo fijo la rigidez lateral ik de la columna i se reduce a:
3ih
EI3k ⋅= (1.2)
Se debe señalar que los diafragmas horizontales aparte de resistir solicitaciones
verticales de peso propio y sobrecargas transmiten fuerzas horizontales de inercia,
imponiendo igualdad de deformaciones a nivel del diafragma horizontal y
produciendo fuerzas de corte proporcionales a la rigidez horizontal de cada una de
las subestructuras verticales conectadas a ella.
Por ejemplo, el marco plano de la figura 1.3 consta de “n” columnas empotradas
en su base y conectadas rígidamente a nivel del diafragma superior. Bajo la
hipótesis de diafragma horizontal rígido el desplazamiento horizontal de cada una
de las columnas es el mismo, es decir:
11
∆=∆==∆=∆ nK21 (1.3)
Para dicho marco plano se cumple que:
∑=+++= in FFFFF L21 (1.4)
iii kF ∆⋅= (1.5)
De la ecuación Constitutiva (1.5) y de la ecuación de compatibilidad de
desplazamiento laterales (1.3), reemplazando en la ecuación de equilibrio de
fuerzas horizontales (1.4), se tiene:
[ ] ∆⋅=∆⋅∑=∆⋅++= KkkkkF inL21 (1.6)
Luego:
∑==
n
iikK
1
(1.7)
12
Figura 1.3. Marco plano. Sistema equivalente de resortes elásticos en paralelo.
Siendo K la rigidez lateral equivalente del sistema, es decir, la estructura se
puede modelar como si se tratase de un sistema eléctrico en paralelo.
13
Cuando los resortes se disponen en serie, la constante del resorte equivalente
vale:
∑
=
=
n
i ikK 1
11 (1.8)
Por ejemplo, la estructura de la figura 1.4 puede modelarse como un sistema
mecánico de un grado de libertad con una rigidez equivalente de piso igual a:
3
3
3
2
3
1
3
EI3
4
EI12
3
EI3K ⋅+⋅+⋅= (1.9)
Figura 1.4. Estructura de un grado de libertad
Veamos la siguiente situación, considérense tres marcos planos rígidos todos de
igual masa y con columnas de igual rigidez flexional )cteEI( = pero con distintas
condiciones de vinculación de las columnas en la base.
La rigidez equivalente para cada marco vale:
14
• Marco con ambas columnas empotradas: 31
H
EI24K =
• Marco con una columna empotrada y la otra con apoyo fijo: 32
H
EI15K =
• Marco con ambas columnas con apoyos fijos: 33
H
EI6K =
Graficando las relaciones F .vs u (fuerza vs. desplazamiento lateral) tal como
se indica en figura 1.5. Se concluye que para una carga horizontal aplicada a nivel
del diafragma horizontal rígido, el marco con columnas empotradas se desplaza
una cantidad 1u , mientras que el marco con una columna empotrada se desplaza
una cantidad 2u y el marco con ambas columnas con apoyos fijos se desplaza
una cantidad 3u .
Es decir:
321 uuu << Puesto que 321 KKK >> (1.10)
Luego el marco más rígido se desplaza menos para la misma carga horizontal. Se
verifica que el desplazamiento horizontal es inversamente proporcional a la rigidez
lateral del marco.
15
Figura 1.5. Influencia de la rigidez lateral en el nivel de desplazamientos laterales.
1.3.2 METODO DE LA RIGIDEZ BASAL
Afectos del diseño estructural no solo es necesario conocer el desplazamiento que
experimenta el diafragma horizontal, si no que interesa saber cuanta fuerza de
corte toma cada una de las columnas del marco.
Para poder definir el valor de las fuerzas de corte que toma cada una de las
columnas analicemos las ecuaciones de equilibrio (1.12), constitutivas (1.13 y
1.14) y de compatibilidad de desplazamientos (1.15):
21 FFF += (1.12)
111 ukF ⋅= (1.13)
16
222 ukF ⋅= (1.14)
∆== 21 uu (1.15)
Reemplazando (1.13), (1.14) y (1.15) en (1.12) se tiene:
[ ][ ]21
21221121kk
FkkukukFFF
+=∆⇒∆⋅+=⋅+⋅=+= (1.16)
Reemplazando el valor del desplazamiento horizontal del diafragma (1.16), en
(1.13) y (1.14) se llega a la fuerza de corte que toma cada columna:
[ ]F
kk
kkukF ⋅
+=∆⋅=⋅=
21
11111 (1.17)
[ ]F
kk
kkukF ⋅
+=∆⋅=⋅=
21
22222 (1.18)
Luego cada columna toma una fuerza de cortante proporcional a su rigidez, es
decir, la columna con mayor rigidez toma más carga.
F
k
kF
n
1ii
ii ⋅=
∑=
(1.19)
En la figura 1.6, se presenta un marco plano con columnas de diferente altura pero
igual rigidez flexional (EI=cte), para este marco se busca conocer como se
distribuye la fuerza de corte basal bQ en cada una de las columnas.
bQFFF =+= 21 (1.20)
17
31H
EI12k = (1.21)
1332 k8H
EI96
2
H
EI12k ⋅==
= (1.22)
De ecuación (1.19), se tiene:
9
kk
kF b
b
21
11 =⋅
+= (1.23)
bb
21
22 Q
9
8Q
kk
kF ⋅=⋅
+= (1.24)
En este caso la columna más rígida ( 12 kk > ) toma 8 veces la fuerza de corte que
toma la columna mas flexible. Lo anterior nos debe hacer reflexionar que teniendo
ambas columnas igual inercia flexional (EI=cte), el hecho que una sea más corta
que la otra la transforma en más rígida y hace que se lleve el 88.9% del cortante
basal.
Un buen diseño sismorresistente debe considerar este distribución de esfuerzos y
considerar esta condición en el diseño estructural para evitar modos de falla
indeseables.
18
Figura 1.6. Marco plano con columnas de diferente rigidez al corte.
1.4 COMPORTAMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA MECANICO
Figura 1.7. (a) Modelo conservativo; (b) Modelo amortiguado; (c) Modelo sísmico
19
Inicialmente se estudia el modelo dinámico de péndulo invertido de la figura 1.7.
Si dicho modelo se desplaza de su posición inicial y se lleva a una nueva posición
de equilibrio alejada en una unidad 1)0t(u == con respecto a la posición inicial
y luego se suelta con una velocidad inicial 0)0t(u ≠=& , el péndulo oscilaría con
respecto a su posición de equilibrio inicial en un movimiento que se le conoce
como vibración libre no amortiguada, (ver figura 1.8). Evidentemente este es un
caso teórico que sirve solamente para definir las características dinámicas del
sistema. Este tipo de respuesta, no es realista ya que, intuitivamente se espera
que la amplitud de las oscilaciones disminuya poco a poco hasta detenerse por
completo.
Con el objeto de introducir este fenómeno (disminución paulatina de la amplitud
del movimiento) al péndulo invertido se le agrega un elemento que disipe energía.
Normalmente se utiliza un amortiguador del tipo viscoso, es decir, se asume que la
disipación de energía se produce mediante fuerzas de amortiguamiento
proporcionales con la velocidad, en conformidad con la hipótesis de Voight
BARBAT (1983))1(.
El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en
amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por
varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.
Finalmente el modelo de la figura 1.7 (c) corresponde al caso de análisis sísmico,
en donde la excitación se caracteriza por su registro de aceleraciones )t(a , o
por el registro de velocidades )t(v o por el registro de desplazamientos )t(d
del suelo.
20
Figura 1.8. Vibración libre no amortiguada.
En la figura 1.8, se define:
A: amplitud del movimiento, que depende de las características mecánicas del
péndulo y de las condiciones iniciales.
T: periodo (s), que depende de las características de masa y rigidez del péndulo.
21
CAPITULO 2
ECUACION DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD
2.1 INTRODUCCION
El movimiento de la estructura idealizada como un sistema de un grado de libertad
sometida a cargas dinámicas se rige por una ecuación diferencial, la cual se
obtiene utilizando el principio de D’Alembert BARBAT (1983))1(:
“El equilibrio dinámico del sistema queda garantizado, si en cada instante todas
las fuerzas que actúan sobre el sistema, incluso las fuerzas de inercia (ficticia),
están en equilibrio estático”.
Cuando al sistema de un grado de libertad se le aplica una carga externa
dinámica )(tF , la masa sufre un desplazamiento lateral )(tu el cual representa la
deformación que sufre la estructura.
22
Puesto que la fuerza externa varía con el tiempo, el desplazamiento también
cambiará en el tiempo.
Las fuerzas involucradas en el equilibrio del sistema son: la fuerza dinámica
externa )(tF , la fuerza elástica resistente )(tFE que es la fuerza que las
columnas ejercen sobre la masa cuando ésta se mueve, la fuerza de
amortiguamiento )(tF A que es la fuerza que ejerce el amortiguador sobre la
masa y la fuerza de inercia )(tFI .
Las fuerzas de inercia, de amortiguamiento y elásticas son función del movimiento
de la masa, o sea son función de la aceleración, de la velocidad y del
desplazamiento de la masa, respectivamente.
De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia que se desarrolla en
la masa m es directamente proporcional a la aceleración total de la misma, es
decir:
)(tumFI&&⋅= (2.1)
La fuerza de amortiguamiento, suponiendo un amortiguamiento del tipo viscoso
está dada por:
)(tucFA&⋅= (2.2)
Donde c es el coeficiente de amortiguamiento y )(tu& es la velocidad relativa de la
masa con respecto al suelo. Para un sistema lineal la fuerza elástica resistente
está dada por:
)(tukFE ⋅= (2.3)
23
Donde k es la rigidez lateral del sistema y )(tu es el desplazamiento relativo
entre la masa y el suelo.
Substituyendo las fuerzas EAI F,F,F en la ecuación de equilibrio dinámico, se
obtiene:
)()()()( tFtuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& (2.4)
Ecuación diferencial ordinaria, lineal de coeficientes constantes cm, y k , de
segundo orden y no homogénea.
Para que la solución numérica o analítica de la ecuación quede definida en el
dominio del tiempo, es necesario definir dos condiciones iniciales, una asociada a
los desplazamientos y otra asociada a las velocidades iniciales.
En el caso de una excitación sísmica, no existe una fuerza externa que esta
aplicada a la masa del sistema en forma directa, sino que la única solicitación al
sistema es la debida a la aceleración del suelo sobre el cual se encuentra la
estructura. Como resultado de esta excitación la base de la estructura tiene una
aceleración )(tag y a su vez la estructura se deforma en una cantidad )(tu . El
equilibrio dinámico impone que:
[ ] 0)()()()( =⋅+⋅++⋅ tuktuctatum g&&& (2.5)
Luego:
)()()()()( tamtFtuktuctum g⋅−==⋅+⋅+⋅ &&& (2.6)
Siendo esta la ecuación del movimiento que gobierna la respuesta de un sistema
de un grado de libertad amortiguado sometido a un movimiento sísmico.
24
2.2 OSCILACION LIBRE NO AMORTIGUADA
Las características dinámicas de un sistema estructural de un solo grado de
libertad se definen analizando la vibración libre no amortiguada. La ecuación de
movimiento correspondiente a este caso (sistema conservativo) se obtiene
directamente despreciando los términos asociados a la excitación externa )(tF y
la fuerza de amortiguamiento viscoso en (2.4), resultando:
0)()( =⋅+⋅ tuktum && (2.7)
Dividiendo por la masa de la estructura, resulta:
2
m
kω= (2.8)
Donde se define ω como la frecuencia fundamental del sistema:
W
gk
m
k ⋅==ω (2.9)
La solución general de esta ecuación corresponde a una vibración sinusoidal del
tipo:
)()cos()( 21 tsenCtCtu ⋅⋅+⋅⋅= ωω o (2.10)
)()( ϕω +⋅⋅= tsenCtu (2.11)
25
Figura 2.1. Oscilador libre no amortiguado.
Donde C corresponde a la amplitud del movimiento, ϕ es el ángulo de desfase y
1C , 2C son constantes de integración. Considerando condiciones iniciales
asociadas al desplazamiento 0)0( utu == y velocidad 0)0( utu && == que origina
el movimiento, es posible definir los valores de dichas constantes.
)()cos()( 0
0 tsenu
tutu ⋅⋅+⋅⋅= ωω
ω&
(2.12)
[ ] [ ]ϕωω
ϕω +⋅⋅
+=+⋅⋅= tsen
uutsenCtu
2
02
0)(&
(2.13)
26
Con
0
0
u
utan
&
⋅ω=ϕ (2.14)
Matemáticamente el periodo natural de vibración de un sistema no amortiguado se
define por:
k
m
fπ
ω
π2
12===Τ (2.15)
T
1f = (2.16)
Para tener una idea intuitiva del significado del periodo de vibración, sea ∆ la
deformación estática de una estructura de un grado de libertad asociada a una
fuerza lateral igual a su peso, en la dirección en que puede deformarse (grado de
libertad), ver figura 2.2.:
Figura 2.2. Calculo del periodo.
Por equilibrio de fuerzas horizontales:
∆≈∆
⋅=⋅==⇒⋅=∆⋅ 2.0222
gk
MTgMk ππ
ω
π (2.17)
27
Esto permite concluir que las estructuras más deformables (> ∆ k⇒< ) tendrán un
periodo de vibración mas largo que las estructuras menos deformables (rígidas).
Volviendo al problema de vibraciones libres no amortiguadas, sigamos un ciclo de
vibración de la estructura, ver figura 2.3. En la posición 1 el desplazamiento de la
masa es nulo luego se mueve hacia la derecha hasta que llega al máximo
desplazamiento en la posición 2.
A partir de este punto el desplazamiento disminuye y regresa a su posición de
equilibrio en la posición 3, continúa moviéndose hacia la izquierda hasta alcanzar
el máximo desplazamiento de ese lado en la posición 4. Después de este punto la
masa comienza de nuevo a desplazarse hacia la derecha hasta alcanzar
nuevamente la posición de equilibrio en la posición 5. Así pues un ciclo completo
de movimiento (periodo) está dado por las posiciones 1-2-3-4-5. En la posición 5 el
estado del sistema (desplazamiento y velocidad) son los mismos a la posición 1,
en la cual la estructura está lista para iniciar un nuevo ciclo.
Figura 2.3. Periodo de vibración de un sistema de un grado de libertad.
28
2.3 OSCILACION FORZADA NO AMORTIGUADA
Consideremos que no existe amortiguamiento estructural en el sistema y que
aplicamos una fuerza del tipo armónica de duraron indefinida sobre el mismo. La
ecuación que describe el movimiento del sistema, se puede expresar por:
)t(senF)t(F)t(uk)t(um 0 ⋅ϖ⋅==⋅+⋅ && (2.18)
Siendo ϖ la frecuencia de excitación asociada a la fuerza aplicada. La solución
al problema tiene dos términos una solución homogénea )t(ug y otra particular
)t(u p :
)()()( tututu pg += (2.19)
La naturaleza de la fuerza externa, sugiere la siguiente solución particular:
)()( tsenAtu p ⋅⋅= ϖ (2.20)
Figura 2.4. Oscilador no amortiguado con fuerza externa armónica.
29
Sustituyendo en la ecuación de movimiento, se tiene:
[ ] [ ] )()()( 0
2 tsenFtsenAktsenAm ⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅− ϖϖϖϖ (2.21)
)1(1
2
0
2
2
0
2
0
α
ω
ϖϖ −⋅=
−⋅
=+⋅−
=k
F
k
F
km
FA (2.22)
Donde ω
ϖα = se denomina razón de frecuencias, luego la solución particular:
)()1(
)()1(
)()1(
)(
2
2
0
2
0
tsenu
tsenk
F
tsenk
Ftu
E
p
⋅⋅−
=⋅⋅−
=⋅⋅−⋅
=
ϖα
ϖα
ϖα (2.23)
En donde k
FuE
0= , representa al desplazamiento horizontal estático del péndulo.
Finalmente la respuesta total del sistema puede evaluarse como la suma de la
respuesta homogénea más la solución particular:
[ ])()()1(
)(2
ϕωϖα
+⋅⋅+
⋅⋅
−= tsenCtsen
utu E (2.24)
[ ])cos()()()1(
)( 212tCtsenCtsen
utu E ⋅⋅+⋅⋅+
⋅⋅
−= ωωϖ
α (2.25)
Imponiendo las condiciones iniciales, resulta:
30
( )
⋅⋅+⋅⋅
+
⋅⋅−⋅⋅
−=
)cos()(
)()()1(
)(
00
2
tutsenu
tsentsenu
tu E
ωωω
ωαϖα
& (2.26)
Considerando condiciones iniciales nulas ( 0uu 00 ==& ):
( )
⋅⋅−⋅⋅
−= )()(
)1()(
2tsentsen
utu E ωαϖ
α (2.27)
En donde la variación del desplazamiento dinámico )(tu lo podemos expresar en
función del desplazamiento estático del sistema como:
EuFADtu ⋅=)( (2.28)
( ))()()1(
12
tsentsenFAD ⋅⋅−⋅⋅−
= ωαϖα
(2.29)
En donde se define el factor de amplificación dinámica (FAD):
Cuando ±∞→⇒≅⇒→ FADωϖα 1 “ocurre resonancia”
Cuando 000 →⇒→⇒→ FADϖα “se obtiene la respuesta estática”
Cuando 1→⇒∞→⇒∞→ FADϖα “el oscilador no responde”
31
Lo anterior permite reafirma el echo que la estructura se comporta como un filtro
de frecuencias, dependiendo su respuesta de la razón de frecuencias α OLLER
(1995) )5(, BARBAT (1983)
)1(.
En la figura 2.5 se presenta la grafica del factor de amplificación dinámica FAD ,
en donde se han dibujado por separado las curvas asociadas a la frecuencia de
excitación ϖ , a la frecuencia natural ω y la suma de ambas ecuación (2.29).
Para obtener el valor máximo del factor de amplificación dinámica, se debe
derivar la expresión (2.29) e igualarla a cero para despejar el tiempo al cual este
valor se hace máximo, sin embargo, esto resulta en una operación engorrosa,
siendo mas fácil graficar la respuesta y leer en forma directa desde el grafico el
valor máximo.
2.4 OSCILACION LIBRE AMORTIGUADA
En este caso la ecuación de movimiento que representa al sistema, se puede
escribir como:
0=⋅+⋅+⋅ ukucum &&&& (2.30)
En donde c es el coeficiente de amortiguamiento.
0um
ku
m
cu =⋅+⋅+ &&& (2.31)
Sea:
ω⋅ξ⋅= 2m
c y
crc
c=ξ (factor de amortiguamiento), 10 << ξ
32
En donde el valor critico del coeficiente de amortiguamiento crc , se define por:
mkmcc
c
m
ccr
cr
⋅⋅=⋅⋅=⇒⋅⋅= 222 ωω (2.32)
Luego:
02 2 =⋅+⋅⋅⋅+ uuu ωωξ &&& (2.33)
La solución a esta ecuación diferencial tiene la forma de:
teCtu ⋅⋅= λ)(
1)( ⋅⋅⋅= ⋅ λλ teCtu& (2.34)
1)( 2 ⋅⋅⋅= ⋅ λλ teCtu&&
Reemplazando en la ecuación de movimiento, se obtiene la ecuación
característica:
[ ] 02 22 =+⋅⋅⋅+⋅⋅ ⋅ ωλωξλλ teC (2.35)
[ ] [ ]1022
2,1
22 −±−⋅=⇒=+⋅⋅⋅+ ξξωλωλωξλ (2.36)
Luego, la solución general, viene dada por la superposición de las dos soluciones,
en donde las constantes de integración 1C y 2C son dependientes de las
condiciones iniciales:
33
tteCeCtu
⋅⋅ ⋅+⋅= 2121)(
λλ (2.37)
Según sea ξ , se tiene:
• [ ] 1012 <⇒<− ξξ El sistema oscila alrededor de la posición de
equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente y es
denominado amortiguamiento subcrítico.
• [ ] 1012 =⇒=− ξξ El sistema retorna a su posición inicial de
equilibrio sin oscilar y se denomina amortiguamiento crítico.
• [ ] 1012 >⇒>− ξξ El sistema no oscila pero retorna a su posición de
equilibrio lentamente y es denominado amortiguamiento supercrítico.
2.4.1 AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: ( 1=ξ )
En este caso las dos raíces de la ecuación característica son iguales:
ωωξλλ −=⋅−== 21 (2.39)
Para que la solución sea independiente debe tener la siguiente forma:
[ ] tttetCCetCeCtu ⋅−⋅⋅ ⋅⋅+=⋅⋅+⋅= ωλλ
212121)( (2.40)
Imponiendo condiciones iniciales, se tiene:
34
[ ] tt etuteutu ⋅−⋅− ⋅⋅+⋅−⋅⋅= ωω ω 00 1)( & (2.41)
Que es la respuesta de un oscilador con amortiguamiento crítico, siendo un
movimiento no oscilatorio.
En figura 2.5, se presenta el movimiento no oscilatorio ( 1=ξ ) asociado a las
siguientes condiciones iniciales, 10 =u cm. y 30 =u& s
cm.
Figura 2.5. Movimiento no oscilatorio, factor de amortiguamiento unitario ( 1=ξ ).
35
2.4.2 AMORTIGUAMIENTO SUPERCRITICO: ( 1>ξ )
En este caso, las dos raíces de la ecuación característica son diferentes,
obteniéndose:
tteCeCtu
⋅⋅ ⋅+⋅= 2121)(
λλ (2.42)
Aplicando las condiciones iniciales, se llega a:
12
0201
)(
λλ
λ
−
+⋅=
uuC
& (2.43)
21
0102
)(
λλ
λ
−
+⋅=
uuC
& (2.44)
Sustituyendo las constantes, se tiene la ecuación de movimiento del sistema sin
oscilaciones.
2.4.3 AMORTIGUAMIENTO SUBCRITICO: ( 1<ξ )
Este corresponde al caso típico de las construcciones civiles ( 10 << ξ ). Las
raíces de la ecuación característica son:
βγξςωλ ⋅±=
−⋅±−⋅= ii
22,1 1 (2.45)
La solución general al problema es:
36
tititteCeCeCeCtu ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ ⋅+⋅=⋅+⋅= )(
2
)(
12121)( βγβγλλ
(2.46)
Utilizando las ecuaciones de Euler (OLLER (1995))5():
)()cos( xsenixe xi ⋅+=⋅
)()cos( xsenixe xi ⋅−=⋅− (2.47)
Se llega a la siguiente expresión:
[ ]
[ ])t(seni)tcos(eC
)t(seni)tcos(eC)t(u
t2
t1
⋅β⋅−⋅β⋅⋅
+⋅β⋅+⋅β⋅⋅=
⋅γ
⋅γ
(2.48)
La cual se puede reescribir como:
[ ])()cos()( 21 tsenBtBetu t ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅ ββγ (2.49)
211 CCB += (2.50)
1212 )( BiCCiB ⋅=+⋅= (2.51)
Sustituyendo ωξγ ⋅−= y 2
1 ξωβ −⋅= se llega a:
−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅−
])1[(])1cos[()(2
22
1 tsenBtBetut ξωξωωξ
(2.52)
Definiendo la frecuencia amortiguada como:
37
2
12
1
21
ξω
πξωω
−=
⋅=⇒−⋅=
TT
a
aa (2.53)
Considerando las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad, se llega a:
( ) ( )
−
−
++−= − t
uutuetu oo
o
t
2
2
2 1sin1
1cos)( ξωξω
ξωξωξω &
(2.54)
En la figura 2.6 se presenta la respuesta de un sistema de un grado de libertad
con amortiguamiento subcritico.
La vibración amortiguada es la de mayor interés en la dinámica estructural, pues
las estructuras reales poseen esta característica.
Figura 2.6. Sistema con amortiguamiento subcritico, con fracciones de
amortiguamiento del 10% y del 20%.
38
Los valores de la fracción de amortiguamiento determinados para distintos tipos de
estructuras son muy variados y exhiben una gran dispersión, ver tabla 2.1.
Tabla 2.1: Fracciones del amortiguamiento critico para diferentes tipos de
construcciones
Tipo de Estructura ξ % de amortiguamiento
Edificios de Acero 2%-5%
Edificios de Hormigón Armado 5%-10%
Construcciones de Albañilería 8%-15%
Construcciones de Madera 10%-15%
Se concluye que estructuras con amortiguamientos menores al crítico tienen un
desplazamiento decreciente en el tiempo.
En la figura 2.9, se aprecia que el amortiguamiento estructural tiende a disminuir a
frecuencia circular de vibración, y por lo tanto de alargar el periodo de vibración.
Además el aumento del amortiguamiento estructural reduce la amplitud de las
vibraciones, lo cual es beneficioso para la estructura, pues disminuye el nivel de
daños esperado en ella. En la mayoría de las estructuras el amortiguamiento
crítico varía entre el 2 y 10%, por lo que el periodo amortiguado es entre 0.002 y
1.0050 del periodo natural o no amortiguado. Así pues para la mayoría de las
estructuras el periodo amortiguado es prácticamente igual al periodo no
amortiguado ( aTT ≅ ).
39
Figura 2.9 Influencia del amortiguamiento estructural en la respuesta
2.5 CONCEPTOS BASICOS DE DISIPACION DE ENERGIA
Consideremos inicialmente un sistema conservativo, en dicho sistema la energía
total en todo instante se mantiene constante, es decir, no existe disipación de
energía:
.)()()( CtetEtEtE PK =+= (2.55)
.2
1
2
1)( 22 CteukumtE =⋅⋅+⋅⋅= & (2.56)
40
Cuando:
2
max2
1)()(0
máxPuktEtEuu ⋅⋅==→=⇒ & (2.57)
2
max2
1)()(0
máxKumtEtEuu && ⋅⋅==→=⇒ (2.58)
máxuu ⋅= ωmax
& (2.59)
[ ]m
kumukCtetE
máxmáx=⇒⋅⋅⋅=⋅⋅⇒= 222
2
1
2
1.)( ωω (2.60)
Veamos a continuación el problema de un sistema general (ya no necesariamente
elástico) que disipa energía (por amortiguamiento viscoso y por histéresis).
Consideremos que actúa una acción sísmica en la base del péndulo. La ecuación
energética puede obtenerse integrando la ecuación de movimiento de un sistema
inelástico de un grado de libertad, el hecho que el sistema sea inelástico hace que
las fuerzas internas ),( uufs
& sean una función de los desplazamientos y las
velocidades:
)(),()()( tumuuftuctum gS&&&&&& ⋅−=+⋅+⋅ (2.61)
dutumduuufdutucdutumu u u u
gs ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ⋅−=⋅+⋅⋅+⋅⋅ )(),()()(0 0 0 0
&&&&&& (2.62)
El lado derecho de esta ecuación es la energía de entrada al sistema definida por
excitación sísmica:
41
∫ ⋅⋅−=u
gI dutumtE0
)()( && (2.63)
El primer termino del lado izquierdo, es la energía cinética de la masa asociada
con su movimiento relativo al suelo:
∫ ∫⋅
=⋅⋅=⋅⋅=u u
K
umudtumdutumtE
0 0
2
2)()()(
& &&&&& (2.64)
El segundo término del lado izquierdo es la energía disipada por amortiguamiento
viscoso:
∫ ⋅⋅=⋅∫=uu
DD duucdutftE00
)()( & (2.65)
El tercer término del lado izquierdo es la suma de la energía disipada por
histéresis (fluencia de los materiales que componen la estructura) y la energía de
deformación del sistema:
[ ]k
tftE S
S⋅
=2
)()(
2
(2.66)
Donde k es la rigidez inicial del sistema inelástico. Luego la energía disipada por
histéresis (fluencia) es:
)(),()(0
tEduuuftE S
u
SY −⋅∫= & (2.67)
42
El balance de energía para el sistema es:
[ ])()()()()( tEtEtEtEtEYSDKI
+++= (2.68)
Figura 2.7. Analogía del estanque. Concepto de disipación de energía.
El balance de energía se puede interpretar físicamente a través de la siguiente
analogía:
Para que el estanque de la figura 2.7, (en nuestro caso la estructura) opere
eficientemente su capacidad (resistente y de deformación) total dada por la suma
de su volumen y las salidas de agua, debe ser mayor que las entradas de agua
(energía sísmica). Es decir, la capacidad de admitir energía I
E depende del
volumen del tanque SK
EE + y del tamaño del orificio por donde escapa
YDEE + .
Un principio básico del diseño estructural es que las capacidades estructurales
deben ser mayores a las demandas sísmicas.
43
En este contexto, debe buscarse que la capacidad de disipación de energía de la
estructura debe ser mayor que la demanda de energía histeretica (o de fluencia),
es decir, incrementar el lado derecho o disminuir el lado izquierdo de la ecuación
(2.68) de balance energético. Incrementar el lado derecho puede lograrse
aumentando la resistencia lateral de la estructura con lo que se incrementa la
importancia de los dos primeros términos con respecto al tercero y cuarto, sin
embargo, ello implica un aumento de costo en la estructura.
La filosofía actual del diseño sismorresistente acepta la existencia de
deformaciones inelásticas en la estructura, permitiendo de este modo que gran
parte de la energía de entrada se disipe por medio de energía histeretica.
En una estructura convencional que no tiene dispositivos de disipación de energía,
se acepta que existan importantes demandas de deformación inelástica en
elementos estructurales (rotulación de vigas, falla de arriostramientos
concéntricos, base de muros, etc.) lo cual se traduce en diferentes niveles de
daño.
2.6 OSCILACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADA CON CARGA CONSTANTE
Si a un sistema de un grado de libertad se le aplica una fuerza de magnitud
constante (es decir, una fuerza cuya amplitud no varía en el tiempo), entonces la
respuesta particular del sistema a dicha carga tendría un valor de:
k
Futu
Ep==)( (2.69)
La respuesta total del sistema estará compuesta por la solución homogénea más
la solución particular:
k
FtsenBtBtu +⋅⋅+⋅⋅= )()cos()( 21 ωω (2.70)
44
Considerando condiciones iniciales nulas ( 000 == uu & ), se tiene:
[ ] [ ])cos(1)cos(1)( tutk
Ftu
E⋅−⋅=⋅−⋅= ωω (2.71)
De (2.71) se observa que el desplazamiento dinámico )(tu es función del
desplazamiento estático E
u multiplicado por )cos(1 tFAD ⋅−= ω . Graficando el
factor de amplificación dinámica se encuentra que el desplazamiento dinámico
máximo del sistema es igual a 2 veces el desplazamiento estático del sistema y
ocurre cuando 1)cos( −=⋅ tω , ver figura 2.8.
En este caso, el hecho de aplicar la carga horizontal en forma dinámica es
equivalente a multiplicar el desplazamiento estático de dicha estructura por 2. Lo
anterior, se puede reinterpretar de la siguiente forma:
[ ]
−==⇒
⋅−⋅
=⋅−⋅=
)2(cos1)(
)2cos(1
)cos(1)(
T
tFAD
u
tu
T
tu
tk
Ftu
E
E ππ
ω
(2.72)
La ecuación (2.72) puede expresarse en función de fuerzas: como la razón entre
la fuerza dinámica que se desarrolla en el sistema y la fuerza estática (dicha razón
se denomina, factor de amplificación dinámica FAD .
FADT
t
F
F
ku
ktu
u
tu
EEE
=
−==
⋅
⋅= )2(cos1
)()(π (2.73)
Para efectos del diseño interesa conocer el valor máximo de la fuerza horizontal
independientemente del tiempo en donde dicho máximo ocurre.
45
Consideremos ahora que la fuerza constante tiene una duración definida igual a
dt , es decir corresponde a un pulso rectangular de duración dt . Si el sistema
parte del reposo y no existe amortiguamiento, entonces la respuesta al tiempo final
dt vale:
[ ]
⋅−⋅=⋅−⋅= )2cos(1)cos(1)(
T
tut
k
Ftu d
Edd πω (2.74)
[ ]
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= )2()()(
T
tsenutsen
k
Ftu d
Edd πωωω& (2.75)
Figura 2.9. Variación del factor de amplificación dinámica FAD .
46
Para evaluar la repuesta después del tiempo dt se deben considerar que los
valores entregados por (2.74) y (2.75) corresponden a las condiciones iniciales
para esta nueva fase de carga. Es decir, podemos separar el comportamiento del
sistema en dos fases de carga, una fase inicial en donde la carga se aplica hasta
el tiempo dt y una fase final en donde la carga se retira en dt y el sistema de ahí
en adelante responde como si estuviese en vibración libre.
Para dtt > la respuesta del sistema será:
))(())(cos()( 21 ddd ttsenBttBttu −⋅⋅+−⋅⋅=− ωω (2.76)
En donde las constantes de integración, se obtienen a partir de las condiciones
iniciales (2.74) y (2.75):
))(()(
))(cos()()( d
d
ddd ttsentu
tttuttu −⋅⋅+−⋅⋅=− ωω
ω&
(2.77)
[ ]
))tt((sen)t(senk
F
))tt(cos()tcos(1k
F)tt(u
dd
ddd
−⋅ω⋅⋅ω⋅
+−⋅ω⋅⋅ω−⋅=−
(2.78)
[ ])cos())(cos()( tttk
Fttu dd ⋅−−⋅⋅=− ωω (2.79)
Luego:
)2cos(1T
tFAD π−= para dtt ≤ (2.80)
47
T
t
T
t
T
tFAD d ππ 2cos)(2cos −−= para dtt > (2.81)
2.7 OSCILACIÓN FORZADA AMORTIGUADA
En el caso de cargas dinámicas la respuesta (el desplazamiento producido por la
fuerza dinámica) no sólo será función de la rigidez lateral del sistema, sino que
además depende de:
(1) El periodo de vibración del sistema, es decir, del cuociente entre la
rigidez lateral y la masa.
(2) El coeficiente de amortiguamiento del sistema c.
(3) El contenido de frecuencias de la fuerza dinámica, o sea que tan rápido
o lenta es la variación de la amplitud de la fuerza externa en el tiempo.
Una de las fuerzas dinámicas más simples es la carga armónica, que aparece en
problemas en problemas típicos de vibración de maquinarias. En este caso, la
excitación externa, es de la forma:
)()( 0 tsenFtF ⋅⋅= ϖ (2.82)
Donde F0 es la amplitud de la fuerza y ϖ es la frecuencia de la excitación. La
respuesta a una excitación armónica tiene dos componentes:
1. Una componente debida a la vibración libre, propia del sistema, que se
denomina solución transitoria del movimiento por cuanto decae y tiende a
desaparecer por efecto del amortiguamiento (solución asociada a la parte
homogénea de la ecuación de movimiento).
48
2. Una componente debida a la energía entregada al sistema por la
excitación externa al sistema por la excitación externa que se denomina
componente o estado de régimen del movimiento por cuanto es la
componente de la respuesta que prevalece una vez atenuada la vibración
libre (solución asociada a la parte derecha de la ecuación de movimiento,
denominada solución particular).
La respuesta de régimen a una excitación armónica también es armónica y de la
misma frecuencia aunque no necesariamente en fase con la excitación. Una vez
pasada una fase inicial de transición (al poco tiempo de aplicada la fuerza), este
desplazamiento será también de tipo armónico con una amplitud u(t) que varía con
el tiempo, con una amplitud máxima y un ángulo de desfase o de atraso de la
respuesta, con respecto a la excitación:
)()2()1(
)(222
0
φϖαξα
+⋅⋅⋅⋅+−
= tsenk
F
tu p (2.83)
Siendo ω
ϖα = la razón de frecuencias.
La solución general es dada por:
)()2()1(
)()(222
0
φϖαξα
θωωξ +⋅⋅⋅⋅+−
++⋅⋅⋅= ⋅⋅− tsenk
F
tseneCtu at (2.84)
Luego la respuesta máxima del sistema al ser sometido a una fuerza armónica de
amplitud 0F puede ser mayor, menor o semejante a la producida por la carga
estática de igual amplitud, dependiendo básicamente de dos aspectos:
(1) La razón entre la frecuencia de excitación y la frecuencia natural del
sistema
49
(2) Del grado de amortiguamiento del sistema
Se define como factor de amplificación dinámico de la respuesta estática al
cuociente entre el desplazamiento máximo bajo cargas dinámicas y el
desplazamiento estático Eu .
Matemáticamente el factor de amplificación dinámica de la respuesta estática
Eu , se puede expresar como:
222
222
0
max
)2()1(
1)2()1(
αξα
αξα
⋅⋅+−=
⋅⋅+−==
EE
p
u
kF
u
uFAD (2.85)
Cuando FAD es mayor a uno, se tiene que existe amplificación dinámica, esto
es, el desplazamiento máximo dinámico es mayor al desplazamiento estático. Así
mismo cuando es menor a uno existe una reducción, esto es la respuesta
dinámica es menor a la respuesta estática. Finalmente cuando es igual a uno, el
desplazamiento dinámico es igual al estático.
En la figura 2.10 se presenta la variación del factor de amplificación dinámica
para diferentes valores de la razón de frecuencias y del grado de amortiguamiento.
Puede observarse, que para frecuencias de excitación muy bajas (ósea
excitaciones con periodos grandes):
1)2()1(
100
222
max
≅⋅⋅+−
==⇒→⇒→αξα
αϖE
p
u
uFAD (2.86)
50
En este caso la respuesta dinámica es igual a la respuesta estática, es decir,
estamos en presencia de una carga estática.
Para fuerzas con frecuencias de excitación cercanas a la frecuencia natural del
sistema:
ξαωϖ
⋅==⇒=⇒→
2
11
0
max
u
uFAD
p (2.87)
∞→⇒→⇒⋅
= max0max0
2pp u
uu ξ
ξ Resonancia (2.88)
21 0max u
u p =⇒→ξ Amortiguamiento critico (2.89)
Figura 2.10. Factor de amplificación dinámica.
Para una fuerza externa con una frecuencia de excitación alta:
51
00max →⇒→⇒∞→⇒>> puFADαωϖ (2.90)
El oscilador no responde y se queda en reposo.
Se concluye que cuando la frecuencia de la excitación es mucho menor a la
frecuencia natural, o sea que la fuerza es mucho más "lenta" en comparación con
la velocidad con la que se mueve la estructura en vibración libre, el
desplazamiento dinámico es igual al desplazamiento estático.
Por lo contrario, cuando la frecuencia de la excitación es mucho mayor a la
frecuencia natural del sistema, o sea cuando la variación de la fuerza es mucho
más rápida que la velocidad con la que completa un ciclo la estructura en
vibración libre, el desplazamiento dinámico es menor al estático, y se tiene una
reducción de la respuesta dinámica.
Como ya se mencionó, los edificios por lo general tienen amortiguamientos
menores al 0.05, por lo que es importante el evitar frecuencias de excitación
semejantes a las frecuencias naturales, para poder evitar de esta forma
amplificaciones dinámicas importantes.
En resumen:
⇒<< ωϖ Problema Estático
⇒≈ ωϖ Problema Dinámico
⇒>> ωϖ No hay respuesta
52
2.8 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES: RESPUESTA AL MOVIMIENTO DE LA
BASE
Caso de estructuras sometidas a movimientos en su fundación: sismos, maquinas,
explosiones. Considerando un movimiento en la base del tipo armónico:
)()( 0 tsenutus
⋅⋅= ϖ (2.91)
Ecuación de equilibrio, en términos de desplazamientos relativos:
[ ] [ ] 0=−⋅+−⋅+⋅ss
uukuucum &&&& (2.92)
ssukucukucum ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅ &&&& (2.93)
[ ] [ ])()cos( 00 tsenuktucukucum ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ϖϖϖ&&& (2.94)
Expresión, que se puede reescribir como:
)t(senF
)t(senk)c(uukucum
0
220
β+⋅ϖ⋅
=β+⋅ϖ⋅+ϖ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ &&& (2.95)
Donde:
1)2()(2
0
22
00 +⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅= αξϖ kukcuF (2.96)
αξϖ
β ⋅⋅=⋅
⋅⋅= 2
0
0
uk
uctg (2.97)
La solución particular (o en régimen) tiene la forma:
53
[ ]ψβϖαξα
++⋅⋅⋅⋅+−⋅
= )()2()1(
)(222
tsenk
Ftu O
p (2.98)
Se define la “transmisibilidad” como el grado de aislamiento relativo entre la
estructura y el suelo:
222
2max
)2()1(
1)2(
αξα
αξ
⋅⋅+−
+⋅⋅==
E
p
Ru
uT (2.99)
De figura 2.11, se concluye que:
0→RT ⇒ Sistema aislado
1→RT ⇒ Sistema no aislado (2.100)
∞→RT ⇒ Sistema no aislado (amplificación del movimiento del suelo)
El amortiguamiento disminuye la transmisión del movimiento del suelo para
2≤α , para valores mayores de la razón de frecuencias el efecto del
amortiguamiento actúa negativamente. La transmisibilidad también puede
interpretarse como un aislamiento de fuerzas.
54
Figura 2.11. Transmisibilidad
Utilizando (2.96) en la relación de transmisibilidad de (2.99) se tiene:
1)2(F
F
1)2(F
uk
1)2(k
F
u
u
uT
2
0
max
2
0
maxp
2
0
maxp
0
maxp
R
+α⋅ξ⋅⋅
=+α⋅ξ⋅⋅⋅
=
+α⋅ξ⋅⋅
==
(2.101)
Del factor de amplificación dinámica de la respuesta estática de (2.85), se tiene:
0
max
max
0
max
F
F
uk
uk
u
uFAD
E
pp=
⋅
⋅== (2.102)
1)2(2 +⋅⋅⋅= αξFADTR (2.103)
55
CAPITULO 3
EXITACION ARBITRARIA
3.1 RESPUESTA A MOVIMIENTOS SÍSMICOS
Con fines de la ingeniería sismo-resistente, los movimientos del suelo durante un
terremoto se miden instrumentalmente por medio de un acelerógrafo, el cual
registra la historia de aceleraciones del terreno, ver figura 3.1
Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, el
posible obtener la historia de velocidades del terreno a partir de las aceleraciones
de terreno por medio de una integración en el tiempo.
Análogamente, como las velocidad es la derivada del desplazamiento con
respecto al tiempo, el posible obtener la historia de desplazamientos del terreno a
partir de una integración en el tiempo de la historia de velocidades o una doble
integración de la historia de aceleraciones.
56
Figura 3.1. Registro de desplazamientos, velocidades y aceleraciones durante el
sismo de Iquique del 13 de Junio de 2005.
La respuesta de un sistema de un grado de libertad a un movimiento del suelo se
puede obtener a partir de la solución de la ecuación diferencial de movimiento de
una estructura, utilizando diferentes métodos:
(1) En el dominio del tiempo por medio de la solución de la integral de
Duhamel.
(2) En el dominio del tiempo por medio de una integración numérica de la
ecuación del movimiento.
57
(3) En el dominio de la frecuencia obteniendo la transformada de Fourier
de la historia de aceleraciones, multiplicándola por la función de
transferencia del sistema y obteniendo la transformada inversa de
Fourier de dicho producto.
3.2 OSCILACION FORZADA BAJO CARGAS NO ARMONICAS
En este caso la dificultad del cálculo de la respuesta sísmica se debe al carácter
de la excitación )(ta que no puede ser expresada en forma analítica, por lo que
su cálculo implica la utilización de métodos numéricos.
Si se aborda el problema en el dominio del tiempo, la ecuación de movimiento del
sistema de un grado de libertad se expresa por:
)()()()( tamtuktuctum g⋅−=⋅+⋅+⋅ &&& (3.1)
La solución a (3.1) se obtendrá a través de la superposición de las respuestas a
impulsos rectangulares, para ello, consideremos que la excitación sísmica
)(tam g⋅− puede ser modelada como una serie de impulsos. De acuerdo a
BARBAT (1983))1( considérese la respuesta a un impulso de duración τd y de
intensidad 0a que se aplica en la base de la estructura, tal como el indicado en
figura 3.2. Este impulso le imprime una velocidad inicial al sistema 0)0( utu && ==
y un desplazamiento inicial nulo.
58
Figura 3.2. Impulso inicial como acción sísmica
Aplicando el principio de la conservación del movimiento, según el cual el
momento o cantidad de movimiento 0um &⋅ es igual al impulso correspondiente
τdam ⋅⋅− 0 , se tiene que:
τdau ⋅−= 00& (3.2)
La respuesta del sistema al impulso, es equivalente a la de un sistema en
vibración libre (por simplicidad consideremos un sistema no amortiguado) con una
velocidad inicial dada por (3.2) y un desplazamiento inicial nulo, es decir:
)cos()()( 21 tBtsenBtu ⋅⋅+⋅⋅= ωω (3.3)
001)0( 22 =⇒=⋅== BBtu (3.4)
τω
τω da
BdaBtu ⋅−=⇒⋅−=⋅== 0101)0(& (3.5)
59
)()( 0 tsenda
tu ⋅⋅⋅−= ωτω
(3.6)
Si el impulso no se aplica al tiempo cero sino al tiempo τ , entonces la respuesta
al tiempo τ>t será:
))(()( 0 τωτω
−⋅⋅⋅−= tsenda
tu (3.7)
Si la excitación sísmica no es un impulso, sino que esta descrita por una curva
arbitraria, entonces dicha excitación se puede descomponer en un número finito
de impulsos, puesto que el sistema es elástico, su respuesta en cualquier instante
de tiempo debida a la aceleración arbitraria puede obtenerse sumando las
respuestas elementales producidas por cada uno de los ""n impulsos:
∑
−⋅
⋅−−=
=
n
in tsen
datu
1
0 ))(()( τωω
τ (3.8)
Para obtener la respuesta exacta, se pasa al límite cuando ∞→n , resultando:
∫ ⋅−⋅−=t
dtsenatu0
))(()(1
)( ττωτω
(3.9)
La integral (3.9) se conoce con el nombre de integral de convolución o integral de
Duhamel BARBAT (1983))1(, OLLER (1995)
)5(.
Cuando se considera el amortiguamiento estructural, dicha integral se transforma
en:
60
∫ −⋅⋅⋅−= −⋅⋅−t
a
τ)(tωξ
a
dττ))(tsen(ωea(τω
u(t)0
)()1
(3.10)
En donde 2
1 ξωω −⋅=a es la frecuencia amortiguada del sistema.
Las expresiones (3.9) y (3.10) se restringen a problemas lineales en donde es
posible utilizar el principio de superpoción. Su solución analítica solo es posible
para algunas expresiones analíticas de la excitación )(τa siendo recurrente el
uso de métodos numéricos para su solución.
Para una aceleración en la base )(τa resulta una fuerza )()( ττ amF ⋅−= ,
luego la integral de Duhamel, se puede reescribir como:
))(,,())(()(1
)(0
)( τωξττωτ
ωτωξ Fudtsene
m
Ftu
t
a
t
a
⇒∫ ⋅−⋅⋅= −⋅⋅− (3.11)
3.3 ESPECTRO DE RESPUESTA SÍSMICA
Para fines del diseño sismorresistente interesa conocer únicamente la respuesta
máxima del oscilador (desplazamiento lateral, el corte basal y momento de
volcamiento) para una excitación conocida.
Una de las herramientas más útiles para evaluar esta interrogante, es la
construcción de un espectro de respuesta BARBAT y MIQUEL (1994))2(, el cual
se define como la representación gráfica de la respuesta máxima (ya sea de
desplazamientos, velocidades o aceleraciones) en función del periodo natural de
vibración del sistema para un sismo determinado y un amortiguamiento definido.
61
Es decir, el espectro de respuesta nos da información de la respuesta máxima
para toda una familia de sistemas de un grado de libertad (por lo general basta
considerar estructuras con periodos comprendidos entre 30 −=T )(s ) para un
sismo definido.
Derivando (3.10), se obtiene la solución de la historia de la respuesta de
velocidades:
)())(cos()()(0
)( tudteatut
a
t ⋅⋅+∫ ⋅−⋅⋅−= −⋅⋅− ωξττωτ τωξ& (3.12)
Derivando nuevamente, se obtiene la respuesta de aceleraciones totales del
sistema:
)t(u)()t(u2d))t((sene)(a
)t(a)t(u
2t
0a
)t(a ⋅ω⋅ξ−⋅ω⋅ξ⋅−τ⋅τ−ω⋅⋅τ⋅ω
=+
∫τ−⋅ω⋅ξ− &
&&
(3.13)
Luego, se definen:
max)(),( tuSd =ξω (3.14)
max)(),( tuS v
&=ξω (3.15)
max)()(),( tatuSa += &&ξω (3.16)
62
Con el fin de obtener expresiones mas simples y considerando que en
aplicaciones de la Ingeniería Civil el factor de amortiguamiento por lo general es
pequeño ( %20%2 << ξ ) OLLER (1995))5(, es posible aproximar aωω ≅ y
despreciar los términos que están fuera de las integrales de (3.12) y (3.13).
Adicionalmente se demuestra que la función coseno que aparece en el espectro
de velocidades de (3.12) se puede sustituir a efectos de cálculo por la función
seno, sin que ello implique cambios importantes en los valores máximos de la
velocidad del sistema.
Luego se tiene:
( )max0
)( )()(1
),( τωτω
ξω τωξ −⋅⋅∫ ⋅−= −⋅⋅− tseneaS a
tt
d (3.17)
( )max0
)()()(),( τωτξω τωξ −⋅⋅∫ ⋅−= −⋅⋅−
tseneaS a
tt
v (3.18)
( )max0
)()()(),( τωτωξω τωξ −⋅⋅∫ ⋅⋅= −⋅⋅−
tseneaS a
tt
aa (3.19)
Estas aproximaciones permiten escribir:
),(),( ξωωξω dv SS ⋅= (3.20)
),(),( 2 ξωωξω da SS ⋅= (3.21)
63
Luego los espectros de respuesta avd SSS ,, permiten la estimación inmediata del
desplazamiento, la velocidad y la aceleración máxima de toda una familia de
estructuras sometidas al mismo movimiento del suelo.
A partir del espectro de aceleraciones es posible obtener al máximo corte basal de
la estructura a partir de la siguiente expresión:
WC=Sg
W=Sm=Q saa0 ⋅⋅⋅ (3.22)
Donde W es el peso total de la estructura sobre el nivel basal y g es la aceleración
debida a la gravedad. Cuando el máximo cortante se representa como en la
ultima de las ecuaciones, la razón g
Sa se denomina coeficiente sísmico sC , el
cual forma la base de las cargas sísmicas en el diseño sismorresistente de
edificios.
La norma Chilena NCH433.OF96, en su punto 6.2.3 considera que el esfuerzo de
corte basal de ecuación (3.22) esta dado por:
PICQ0 ⋅⋅= (3.23)
Donde:
=C Coeficiente sísmico, función de parámetros relativos al tipo de suelo de
fundación, del tipo de estructuración y material utilizado, del periodo del modo con
mayor masa traslacional equivalente y de la zonificación sísmica del país.
64
=I Coeficiente relativo al destino (uso) del edificio.
=P Peso total del edificio sobre el nivel basal.
Es importante aclarar que la aceleración espectral aS representa la aceleración
en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima aceleración del
suelo. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la máxima aceleración del
suelo está representada como la ordenada del espectro para un periodo igual a 0.
Dicho periodo corresponde a un sistema infinitamente rígido, de modo que el
movimiento que se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual
al de su base, o sea al del suelo.
El espectro de respuesta se construye calculando la respuesta máxima
(aceleración máxima, velocidad máxima o desplazamiento máximo) para una
familia de sistemas de un grado de libertad que tienen el mismo amortiguamiento.
3.4 INTEGRACION DIRECTA DE ECUACION DE MOVIMIENTO
Dada la ecuación de movimiento definida en el dominio del tiempo:
)()()()( tFtuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& (3.24)
Se puede obtener la respuesta directa sin pasar por la integral de Duhamel,
utilizando métodos de integración paso a paso. Dichos métodos se dividen en
métodos del tipo explicito o del tipo implícito OLLER (1995))5(.
El desplazamiento y la velocidad, se pueden aproximar por:
)()()( ttuttuttu ∆⋅+⋅∆+=∆+ α (3.25)
65
)()()1()( ttututtu ∆+⋅+⋅−=∆⋅+ &&& ααα (3.26)
En donde dependiendo del valor del coeficiente α , se tiene uno u otro método.
Tabla 3.1 Solución Explicito-Implícito
α Método Tipo
0 Diferencia hacia adelanté Explicito
21 Regla punto medio
32 Galerkín
1 Diferencia hacia atrás Implícito
Lo que se busca en resolver es la ecuación de movimiento (3.24) en pasos
discretos de tiempo nttt ,,, 21 L distanciados un incremento de tiempo t∆ , con
jj ttt −=∆ +1 .
3.4.1 SOLUCION EXPLICITA
Conocidos el desplazamiento y la velocidad en el tiempo t , se busca definir la
respuesta en el tiempo tt ∆+ a partir de la ecuación de movimiento (3.24)
planteada en el tiempo t .
Utilizando las aproximaciones del método de las diferencias finitas centradas para
la para la velocidad y aceleración, se tiene:
t
ttuttutu
∆⋅
∆−−∆+=
2
)()()(& (3.27)
2
)()(2)()(
t
ttututtutu
∆
∆−+⋅−∆+=&& (3.28)
66
Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento (3.24):
[ ]
[ ] )t(F)t(uk)tt(u)tt(ut2
c
)tt(u)t(u2)tt(ut
m2
=⋅+∆−−∆+⋅∆⋅
+∆−+⋅−∆+⋅∆
(3.29)
De (3.29) despejando )( ttu ∆+ :
)(2
)(2
)(2
)(222
tFt
c
t
mttu
t
mktu
t
c
t
mttu =
∆⋅−
∆⋅∆−+
∆
⋅−⋅+
∆⋅+
∆⋅∆+
(3.30)
)(2
)(2
)()(22
ttut
m
t
ctuk
t
mtFtR ∆−⋅
∆−
∆⋅+⋅
−
∆
⋅+= (3.31)
∆⋅+
∆=
t
c
t
mk
2ˆ
2 (3.32)
k
tRttutRttuk
ˆ
)()()()(ˆ =∆+⇒=∆+⋅ (3.33)
Para comenzar el proceso de avance paso a paso en el tiempo, se parte de las
condiciones iniciales 0)0( utu == y 0)0( utu && == :
ttt ∆+= 01 ⇒ =⋅ 1ˆ uk 1220
2
2−⋅
∆−
∆⋅+⋅
−
∆
⋅+ u
t
m
t
cuk
t
mF o (3.34)
En donde 1−u , se obtiene a partir de (3.27) y (3.28) particularizadas para el
tiempo inicial:
67
t
ttuttutu
∆⋅
∆−−∆+=
2
)()()(& ⇒
t
uuu
∆⋅
−= −
2
110& (3.35)
2
)()(2)()(
t
ttututtutu
∆
∆−+⋅−∆+=&& ⇒
2
1010
2
t
uuuu
∆
+⋅−= −&& (3.36)
Despejando 1−u , se tiene:
tuutu
u ∆⋅−+∆⋅
=− 00
20
12
&&&
(3.37)
Conocido 1−u , se puede comenzar el proceso de avance paso a paso para
resolver la ecuación de movimiento en pasos discretos de tiempo, con la
condición que el paso de tiempo elegido t∆ sea menor que el paso de tiempo
critico critt∆ .
De acuerdo con BARBAT Y MIQUEL (1994))2(, el paso de tiempo crítico se
puede estimar por:
γω
⋅=∆max
2crit (3.38)
En donde maxω es la frecuencia máxima del sistema y γ es un factor de
seguridad que se puede elegir entre )90.075.0( − .
68
3.4.2 SOLUCION IMPLICITA
De acuerdo con BARBAT y MIQUEL (1994))2( Newmark en 1959 desarrolló una
familia de métodos del tipo implícito para resolver la ecuación de movimiento.
Dichos métodos se basan en encontrar la respuesta para el tiempo tt ∆+ a partir
del planteamiento de la ecuación de movimiento (3.24) en el tiempo tt ∆+ ,
requiriéndose la solución de un sistema de ecuaciones lineales para encontrar la
respuesta, estos métodos son incondicionalmente estables, eso se traduce en que
no existe limitación para el tamaño del paso del tiempo t∆ , salvo el echo que
dicho paso de tiempo debe permitir que la respuesta quede bien definida para ello
se recomienda valores del orden de 10
T .
Para definir el algoritmo de Newmark, se parte definiendo una variación lineal de la
aceleración:
[ ])()()()()( tuttùftuu &&&&&&&& −∆+⋅+= ττ (3.39)
Con:
0)( =τf Para t=τ (3.40)
1)( =τf Para tt ∆+=τ (3.41)
Integrando (3.39), se obtiene la variación de la velocidad:
[ ] ∫∫∆∆
⋅−∆++∆⋅+=⋅+=∆+tt
dftuttuttutudututtu00
)()()()()()()()( ττττ &&&&&&&&&&& (3.42)
Integrando (3.42) se obtiene la variación del desplazamiento:
69
∫ ∫∆
+∆⋅+=∆+
t
dduttututtu0 0
)()()()( ττττ
&&& (3.43)
[ ] ττττ
ddtuttuftuttututtut
∫ ∫∆
−∆+⋅++∆⋅+=∆+
0 0
))()(()()()()()( &&&&&&& (3.44)
τττττ
ddftuttututtututtut
))())()(()(()()()(00
∫∫ ⋅−∆++⋅+∆⋅+=∆+∆
&&&&&&& (3.45)
τττττ
ddftuttututtututtut
))())()(()(()()()(00
∫∫ ⋅−∆++⋅+∆⋅+=∆+∆
&&&&&&& (3.46)
[ ] ∫ ∫∆
⋅−∆++∆⋅⋅+∆⋅+=∆+t
dftuttuttuttututtu0 0
2)()()()(
2
1)()()(
τ
ττ&&&&&&& (3.47)
Sea:
tdft
∆⋅=∫∆
γττ0
)( (3.48)
2
0 0
)( tdut
∆⋅=
∫ ∫∆
βτττ
&& (3.49)
ututtu ∆=−∆+ )()( (3.50)
Reemplazando en (3.42) y (3.47) se tiene:
70
[ ] ttuttuttututtu ∆⋅⋅−∆++∆⋅+=∆+ γ)()()()()( &&&&&&&& (3.51)
[ ] 22 )()()(2
1)()()( ttuttuttuttututtu ∆⋅⋅−∆++∆⋅⋅+∆⋅+=∆+ β&&&&&&& (3.52)
Reordenando términos en (3.51) y (3.52):
tttuttututtu ∆⋅⋅∆++∆⋅⋅−+=∆+ γγ )()()1()()( &&&&&& (3.53)
22 )()()2
1()()()( tttuttuttututtu ∆⋅⋅∆++∆⋅⋅−+∆⋅+=∆+ ββ &&&&& (3.54)
Reemplazando (3.50) en (3.54), se obtiene )( ttu ∆+&& :
)()12
1())((
1)(
2tuttuu
tttu &&&&& ⋅−
⋅−∆⋅−∆⋅
∆⋅=∆+
ββ (3.55)
Reemplazando (3.55) en (3.53):
ttuttuut
ttututtu ∆⋅⋅
⋅−
⋅−∆⋅−∆⋅
∆⋅+∆⋅⋅−+=∆+ γ
ββγ )()1
2
1())((
1)()1()()(
2&&&&&&&
(3.56)
)()2
1()()1()()( tuttuut
ttu &&&& ⋅∆⋅⋅
−+⋅−+∆⋅∆⋅
=∆+β
γ
β
γ
β
γ (3.57)
En donde γ y β determinan la estabilidad del método. Planteando la ecuación
de equilibrio (3.24) en el tiempo tt ∆+ y sustituyendo (3.55) y (3.57):
)()()()( ttFttukttucttum ∆+=∆+⋅+∆+⋅+∆+⋅ &&& (3.58)
71
Resulta:
)()(ˆ ttRttuk ∆+=∆+⋅ k
ttRttu
ˆ
)()(
∆+=∆+⇒ (3.59)
kt
c
t
mk +⋅
∆⋅+
∆⋅= γ
ββ 2ˆ (3.60)
+
⋅−
⋅+⋅
∆⋅+⋅
∆⋅⋅+∆+=∆+ )()1
2
1()(
1)(
1)()(
2tutu
ttu
tmttFttR &&&
βββ
⋅∆⋅−
⋅+⋅−+⋅
∆⋅⋅ )()1
2()()1()( tuttutu
tc &&&
β
γ
β
γ
β
γ (3.61)
Se demuestra que el algoritmo de Newmark es incondicionalmente estable
cuando:
2
1≥γ y 2)
2
1(
4
1γβ +⋅≥ (3.62)
A continuación se presenta un programa en MATLAB que utiliza el algoritmo de
Newmark para integrar temporalmente la ecuación de movimiento en una
estructura de un grado de libertad sometida a la acción del sismo del 3 de Marzo
de 1985, el acelerograma corresponde a la estación Llolleo componente N10E, ver
figura 3.4.
%Datos de la estructura
Vec=Vec*9.8;
m=10000; %kg
k=98.7e3; %N/m
chi=0.02; % %2=ξ %
wn=sqrt(k/m);
Tn=2*pi/wn;
c=2*m*wn*chi;
72
n=length(Vec);
d=zeros(1,n);
v=zeros(1,n);
ac=zeros(1,n);
p=-m*Vec;
%Método de Newmark lineal de aceleración promedio
%gama = 0.5 y beta = 0.25
%Cálculos iniciales
d(1)=0;
v(1)=0;
ac(1)=(p(1)-c*v(1)-k*d(1))/m;
delta=0.005;
kk=k + 2*c/delta + 4*m/delta^2;
a=4*m/delta + 2*c;
b=2*m;
%Cálculos para pasos posteriores
for i=1:n-1
deltap(i)=p(i+1)-p(i);
deltapp(i)=deltap(i) + a*v(i) + b*ac(i);
deltad(i)=deltapp(i)/kk;
deltav(i)=2*deltad(i)/delta - 2*v(i);
deltaac(i)=4*(deltad(i)-delta*v(i))/delta^2 - 2*ac(i);
d(i+1)=d(i)+deltad(i);
v(i+1)=v(i)+deltav(i);
ac(i+1)=ac(i)+deltaac(i);
end
%Resultados
figure
t=0:0.005:43.795;
plot(t,Vec)
title('Acelerograma terremoto Chile 1985, Estacion LLolleo');
xlabel('Tiempo (seg)');
73
ylabel('ug (m/seg^2) ');
figure
plot(t,d)
title('Desplazamiento del centro de masa');
xlabel('Tiempo (seg)');
ylabel('desplazamientos (m) ');
grid
%Determinación del valor de desplazamiento máximo
uo=max(abs(d));
fo=k*uo;
Figura 3.4. Registro de aceleraciones terremoto del 3 de Marzo de 1985, estación
Llolleo.
74
Figura 3.5. Respuesta oscilador al terremoto del 3 de Marzo de 1985, estación
Llolleo.
75
CAPITULO 4
EJEMPLOS: SISTEMAS 1 GRADO DE LIBERTAD
4. 1 EJEMPLOS
A continuación se presentan una serie de ejercicios de carácter académico que
permiten comprender las bases del comportamiento dinámico de sistemas de un
grado de libertad. La gran mayoría de estos problemas corresponden a
problemas de evaluaciones realizadas a los alumnos del curso de Dinámica de
Estructuras.
76
4.1.1. El marco de la figura 4.1, tiene una masa total concentrada a nivel del
diafragma horizontal de 50 T, la rigidez flexional de las columnas es constante y
vale EI=6000 KN-m2. Dicha estructura se somete a una carga impulsiva de
duración 0.5 (s) aplicada a nivel del diafragma rígido horizontal.
Se pide, despreciando el amortiguamiento estructural:
Encontrar la rigidez equivalente y el periodo fundamental.
Encontrar la respuesta del desplazamiento horizontal en forma analítica tanto
para la fase de aplicación de la carga como una vez que dicha carga se retira
al tiempo de 0.5 seg. El sistema se encuentra inicialmente en reposo.
Determinar el factor de amplificación dinámica de la carga impulsiva.
Determinar el valor numérico de cada una de las reacciones horizontales de
diseño que se generaran en las columnas del marco en los apoyos A, B y C
debido a la acción de la carga impulsiva.
Determinar cual es la columna más crítica desde el punto de vista de los
esfuerzos internos que se desarrollan debido a la acción de la carga.
77
Figura 4.1. Marco rígido sometido a carga lateral impulsiva.
Inicialmente es necesario calcular la rigidez lateral del sistema considerando la
rigidez lateral de cada columna:
=
⋅⋅==
m
N
L
EIkA 67.666666
3
1060003·33
3
3
=
⋅⋅==
m
N
L
EIkB 67.2666666
3
10600012·123
3
3
=
⋅⋅==
m
N
L
EIkC 33.21333333
5.1
10600012·123
3
3
La rigidez lateral equivalente del sistema vale:
=++=
m
kNkkkk BBA 67.24666 ;
78
La frecuencia fundamental y el periodo valen:
=
⋅==
s
rad
m
k21.22
1050
67.246666663
ω ;
( )sT 283.0·2
==ω
π
Utilizando la integral de Duhamel para estimar la respuesta en la fase inicial de
carga que va entre )(5.00 st ≤≤ (con 10000 =F kN ), se tiene:
( ))·cos(1·))·(·sin(··
1)( 0
00 t
k
FdtF
mtu
t
p ωττωω
−=∫ −=
Luego, la solución general en la fase inicial de carga:
( ))·cos(1·)··sin()··cos()( 0 tk
FtBtAtu ωωω −++=
Dadas las condiciones iniciales nulas del sistema, se tiene que: 0== BA
( ) )()·cos(1·041.0)( mttu ω−= ; para: )(5.00 st ≤≤
Cuando se retira la carga al tiempo 5.0=t )(s , el desplazamiento y la velocidad
valen:
( ) )m(0365.0)5.021.22cos(1·041.0)5.0(u =⋅−=
79
)t··sin(·K
F)t('u d
0d ωω=
)/(905.0)5.021.22·sin(911.0)5.0(' smu −=⋅=
Tanto el desplazamiento como la velocidad en 5.0=t (s) se deben determinar
pues corresponden a las condiciones iniciales para la siguiente fase de carga.
En la fase subsiguiente y final en este caso, luego de retirar la carga la estructura
queda en oscilación libre no amortiguada con las condiciones iniciales
correspondientes a las finales de la fase inicial, en este caso la respuesta vale:
)())5.0·(·sin(04075.0))5.0·(·cos(0365.0)( mtttu −−−= ωω ; para:
)(5.0 st >
En figura 4.2 se observa que el desplazamiento dinámico máximo del sistema es
082.0=máxu (dos veces el desplazamiento estático del sistema) y ocurre en la
fase inicial de carga del sistema.
Las fuerzas que toma cada columna, de acuerdo con el método de la rigidez basal
son proporcionales a su rigidez:
( )( )( )kNkuF
kNkuF
kNkuF
C
B
A
3.174933.21333333082.0·
67.21867.2666666082.0·
67.5467.666666082.0·
3maxmax
2maxmax
1maxmax
=×==
=×==
=×==
Finalmente, la columna más rígida es la que toma mas esfuerzo de corte.
80
Figura 4.2. Respuesta de la estructura para la carga impulsiva dada.
4.1.2. La estructura de la figura 4.3 esta compuesta por tres columnas verticales
de igual rigidez flexional EI= 5000 kN-m2, la masa del sistema vale M= 20 T y
puede ser concentrada al nivel del diafragma horizontal rígido, si el
amortiguamiento estructural se puede despreciar, responda a las siguientes
preguntas:
Figura 4.3. Marco plano sometido a un desplazamiento del tipo armónico.
81
• Considerando que las condiciones iniciales del problema son
05.0)0( ==tu m, 1)0( ==tu& s
m y que el sistema oscila libremente
sin amortiguación, se pide estimar la altura de las columnas para que el
desplazamiento horizontal máximo sea menor que 081.0max =u m.
• Si la base del edificio experimenta una excitación del tipo armónico como
la indicada en la figura 4.3 con 04.00 =u m y 20=ϖ rad/s, determine
la forma analítica de la respuesta permanente del sistema.
• Calcule el factor de transmisibilidad entre la estructura y el suelo y
comente su respuesta.
Solución:
La rigidez equivalente del sistema corresponde a:
3333
2712312
h
EI
h
EI
h
EI
h
EIk =++=
Considerando que el sistema oscila libremente sin amortiguación, la solución del
problema será del tipo:
)(·)( ϕω += tsenCtu
Donde
2
02
0
+=
ω
uuC
& el desplazamiento máximo de la estructura estará
determinado por la amplitud de la respuesta.
82
Por lo tanto:
2
02
0max
+=
ω
uuu
&
Reemplazando, se tiene:
[ ]mu 05.00 = y [ ]smu /10 =& ⇒ [ ]mu 081.0max =
[ ]sradu /69.15081.01
05.0
2
2
max =⇒=
+= ω
ω
Puesto que se conocen la masa del sistema Kgm 20000= , la frecuencia
fundamental [ ]srad /69.15=ω y la rigidez equivalente 3
27
h
EIk = , se tiene:
3
22 27
h
EImk
m
k ⋅=⋅=⇒= ωω
01.327
3/1
2=
⋅
⋅=
m
EIh
ω3=⇒ h m
Veamos la segunda de las preguntas, puesto que la ecuación movimiento del
sistema debido al movimiento de la base es:
)(· tumkuums&&&& −=+
83
Con la excitación definida en forma armónica:
)·(·)( 0 tsenutus
ϖ=
)··cos()( 0 tutus
ϖϖ=&
)·(·)( 2
0 tsenutus
ϖϖ−=&&
Reemplazando en la ecuación de movimiento:
)·(·)·(·· 0
2
0
0
tsenFkuumtsenumkuum
F
ϖϖϖ =+⇒=+ &&43421
&&
Cuya solución se conoce y corresponde:
)·(1
)(2
0 ϕϖα
+−
= tsenu
tup
21
2)tan(
α
ξαϕ
−
−=
Como no hay amortiguamiento 0=ϕ , la solución permanente se define por:
)t20(sen065.0)t20(sen
69.15
201
04.0)t(u
2p ⋅⋅−=⋅⋅
−
=
En la figura 4.4 se presenta la grafica del movimiento del suelo vs. el movimiento
del centro de masas del diafragma horizontal.
84
Se observa que se produce una amplificación del movimiento del suelo, es decir
un observador a nivel del diafragma rígido sentirá un movimiento mayor que si el
se ubicara en la base de la estructura, es decir, se produce sobre la estructura una
amplificación del movimiento basal, dicha amplificación se puede estimar:
max
o
maxp
R u....)(u
uT ==⋅⇒=
α−== 064004061611
12
Figura 4.4.Movimiento del suelo vs. el de la estructura.
4.1.3 La estructura de la figura esta compuesta por dos columnas verticales de
igual rigidez flexional EI= 5000 kN-m2, la masa del sistema vale M= 20 T y puede
ser concentrada al nivel del diafragma horizontal rígido. La estructura, se conecta
a un muro rígido indeformable a través de un sistema mecánico de rigidez axial K=
50 kN/m. Se sabe que la razón de amortiguamiento es nula (es decir, c =
0, 0=ξ ).
85
Figura 4.5. Marco plano sometido a carga lateral impulsiva.
Bajo estas condiciones se pide:
• Definir analítica y gráficamente la ley de variación que describe el
desplazamiento horizontal del diafragma rígido para la fase de carga
ascendente (fase I):
• Definir el valor
numérico del
desplazamiento
horizontal
máximo que se
desarrolla en la
fase ascendente de carga.
86
• Evaluar el valor de los esfuerzos de corte tanto en la base de las
columnas, como en la sección A-A que se desarrollan para el
desplazamiento máximo en la fase ascendente.
Solución:
[ ]mkNkh
EI
h
EIk
H/2.2752
12123
2
3
1
=++=
[ ]sradm
k/73.11
10·20
10·2.27523
3
===ω
≥
≤≤−
≤≤
=
)(55.00
)(55.025.020001100
)(25.002400
)(
s
s
s
tP
τ
ττ
ττ
La solución particular se obtiene mediante la integral de Duhamel:
∫∫ ττ−ωτω
=ττ−ωω
=t
0
t
0p d))t((sen·2400
m
1d))t((sen)·t(P
m
1)t(u
∫ −=t
p dtsenm
tu0
))((·2400
)( ττωτω
Integrando por partes:
))(( τω
τ
−=
=
tsendv
u
ω
τω
τ
))(cos( −=
=
tv
ddu
87
−−−= ∫
tt
pd
tt
mtu
00
))(cos())(cos(
2400)( τ
ω
τωτω
ω
τ
ω
−=
2
)·(2400)(
ω
ω
ωω
tsent
mtu p
Reemplazando valores, se llega:
[ ])·73.11(10·26.7085.0·23.10)( 3 tsenttu p
−−=
[ ]mtsenttu p )·73.11(·074.0·87.0)( −=
La solución homogénea será de la forma:
[ ]mtBtsenAtuH
)cos()()( ⋅⋅+⋅⋅= ωω
Así solución total para la fase ascendente será:
[ ]mtsenttBtsenAtuT
)·73.11(·074.0·87.0)cos()()( −+⋅⋅+⋅⋅= ωω
Considerando condiciones iniciales nulas, A=B=0, por lo tanto:
[ ]mtsenttuT
)·73.11(·074.0·87.0)( −=
De figura 4.6, se aprecia que el desplazamiento máximo se produce en 25.0=t
)(s y vale aproximadamente 20.0)25.0( ==tuT
)(m .
88
El corte en la base de las columnas y en la sección A-A, se obtiene utilizando el
desplazamiento máximo y la rigidez de cada elemento.
[ ]kNuh
EIukF 96.96202.0·
5
5000·12·
123max3
1
max·11 ===⋅=
[ ]kNuh
EIukF 89.448202.0·
3
5000·12·
123max3
2
max22 ===⋅=
Sección A-A: [ ]kNukF 1.10202.0·50max3 ==⋅=
Figura 4.6. Respuesta en fase I.
89
4.1.4. El marco de la figura tiene una masa total de 30.000 kg y la rigidez
flexional de cada columna es constante de valor EI=8000 KN-m2. Si a nivel del
diafragma horizontal rígido se aplica una fuerza armónica definida por la ley
)t10(senF)t(F 0 ⋅⋅= , se pide despreciando el amortiguamiento estructural:
Determinar la altura de las columnas para que la frecuencia fundamental del
sistema no sea superior a 12 seg
rad .
000.320.412000.30MKM
K 221
21 =⋅=ω⋅=⇒=ω 0,320.4N = KN
333ieH
EI60
2
H
EI6
H
EI12kK ⋅=
⋅+⋅=∑=
81.4H11,1114320
000.860H 3 =⇒=⋅= m
Encontrar la amplitud de la fuerza forzante 0F , para que la amplitud del
desplazamiento dinámico máximo no supere los 6 cm , considerando que la
90
frecuencia fundamental no varia de los 12 seg
rad .
0,200.79))12
10(1(000.320.406.0F
100
6
)1(
1
K
FA 2
02e
0 =−⋅⋅=⇒=α−
⋅=
∴ 2.79F0 = KN
Determinar las fuerzas de corte que toman cada una de las columnas para el valor
de la amplitud del forzante 0F , definido en el punto anterior.
7,86281.4
800012K
3A =⋅= m
KN
3,725.141.2
80003K
3B =⋅= m
KN
3,725.141.2
80003K
3C =⋅= m
KN
3,313.4Ke = m
KN
8,152,793,313.4
7,862FA =⋅= KN
7,312,793,313.4
3,725.1FF CB =⋅== KN
Definir el valor de la amplitud del desplazamiento horizontal estático asociado a
0F .
018.00,320.4
2,79
K
Fu
e
00 === m
91
4.1.5. Un maquina tiene una masa de 330 kg e inicialmente se encuentra en
reposo. Dicho elemento se encuentra ligado a una pared fija, a través de un
sistema de resortes elásticos lineales. Si dicha maquina estará sometida a la
acción continua de una fuerza horizontal (tal como se indica en la figura) del tipo
armónico de amplitud máxima de 20 KN y de frecuencia 1 Hz (50 puntos). Se
pide:
Determinar el valor de la constante elástica 1K , para el desplazamiento horizontal
máximo en operación (servicio) de dicha maquina no exceda los 6.0 cm.
92
111
e k5
7k
5
k2K ⋅=+
⋅
⋅=
e21 K330 =⋅ω y 28.621 =π⋅=ϖ
seg
rad
33,333.33333043304
1330
0,000.20
100
6 221
21
221
=⋅π⋅−⋅ω⇒
ω
π⋅−⋅⋅ω
=
4.32330
)9.027.1333,333.333(1 =
+=ω
seg
rad
8,420.3463304.32K2
e =⋅= m
N
4,2474,443.2478,420.3467
5k1 ==⋅=
m
KN
Estime la fuerza máxima que se transmite a la pared rígida, cuando el sistema
esta funcionando.
1,780.20
4.32
28.61
10,000.20F
2T =
−
⋅= N
Estime el valor de la constante de amortiguamiento “c ” necesaria de adicionar al
sistema mediante un dispositivo mecánico del tipo amortiguador viscoso para que
el sistema no vibre.
93
0,384.213308,420.3462mK2cc ecr =⋅⋅=⋅⋅== m
segN ⋅
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Dentro de los modelos dinámicos se pueden realizar dos tipos de análisis para
determinar su comportamiento y características dentro de un periodo de tiempo
finito esto es a través de realizar un análisis en el dominio del tiempo o en el
dominio de la frecuencia. En el caso particular del dominio de la frecuencia para la
descripción de los modelos dinámicos nos aportan ciertas características que
facilitan la representación de los sismos, para realizar análisis y estudios
utilizando modelos estocásticos como los que se realizan en este trabajo.
CONTENIDO DE FRECUENCIA
Debido a la naturaleza dispersiva con que viajan las ondas en medios elásticos,
que se manifiestan con las diferentes velocidades en que se trasladan los distintos
tipos de ondas sísmicas en un terremoto, el contenido de frecuencia de un
acelerograma nos muestra una evolución temporal que describe el desfase en la
llegada de las ondas sísmicas con sus diferentes frecuencias. Se observa también
de los registros de aceleraciones que las ondas de periodos cortos llegan al
comienzo y las de periodos más largos lo hacen al final. Estas características
hacen necesario estudiar el contenido de frecuencias tanto en su estructura como
en su evolución lo cual es una forma de representar los sismos.
Además, en ciertas situaciones es más conveniente utilizar el análisis en el campo
de la frecuencia, porque se puede llegar más rápido a la obtención de la respuesta
en comparación con las técnicas numéricas presentadas para el cálculo en el
campo del tiempo. Para conocer el contenido de frecuencias dentro de un
acelerograma de un sismo cualquiera y transformar el análisis en el campo de la
frecuencia para la ecuación diferencial lineal que describe el fenómeno vibratorio
es común utilizar en la Ingeniería Sísmica la transformada de Fourier y su
94
inversa.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA DINÁMICO
Si se considera un sistema dinámico como el mostrado en la figura 2.1 cuya
respuesta x(t) es producida por un movimiento sísmico del terreno de aceleración
a(t).
Donde m representa la masa del sistema, c la razón de amortiguamiento del
sistema, k la rigidez del sistema y x la coordenada del eje x.
La ecuación diferencial que rige el movimiento del sistema bajo la hipótesis de
invariancia temporal es decir si la respuesta a una excitación a(t) es x(t) y para una
excitación a(t+t0) se traslada t0 proporciona una respuesta x(t+t0) con t0 como una
constante arbitraria es
)()()()()( tftmatkxtxctxm =−=++ &&&
x m c
a(t)
Figura : Modelo sísmico con un grado de libertad
k
95
La ecuación (2.1) esta expresada en el dominio del tiempo para llevar tal ecuación
al dominio de la frecuencia la transformada de Fourier, en el caso particular la
excitación f(t) y para la respuesta x(t) estas vienen definidas por:
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−− −=⋅−=⋅= )()()()( θθ θθmAdtetamdtetfF
titi
∫∞
∞−
−⋅= dtetxXtiθθ )()(
En donde θ es la frecuencia de excitación del sistema y A(θ) la transformada de
Fourier de la aceleración sísmica a(t). Considerando que en la Ingeniería Sísmica
las señales de excitación y respuesta f(t) y x(t), respectivamente son finitas,
continuas y acotadas, las integrales anteriores y sus respectivas transformadas
de Fourier existen, por lo cual siempre pueden ser evaluadas. Lo mismo ocurre
con respecto a las transformadas inversas de Fourier las cuales se definen por
∫∞
∞−
⋅= θθπ
θdeXtx
ti)(
2
1)(
∫∞
∞−
⋅= θθπ
θdeFtf
ti)(
2
1)(
La función de transferencia o función del sistema H(θ), formulada en el campo
complejo de la frecuencia se expresa en la forma:
)(
)()(
θ
θθ
F
XH =
Por consiguiente, la respuesta compleja en frecuencias se expresa en la forma:
96
)()()()()()()( θθθθθθθ AHmAmHFHX ⋅⋅−=⋅−⋅=⋅=
Que corresponde al producto de la transformada de Fourier de la excitación y de la
función de transferencia del sistema.
Respuesta a una excitación cualquiera
Si el sistema se somete a una acción sísmica cualquiera, definida por su
aceleración a(t). La respuesta en desplazamiento del sistema se obtiene aplicando
la transformada de Fourier:
( ) ∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
⋅⋅−=⋅⋅++ dtetamdtetkxtxctxmtiti θθ
)()()()( &&&
Se supone que el sistema se encuentra inicialmente en reposo, se obtiene
ecuación lineal de coeficientes complejos.
[ ] )()()(2 θθθθθ FAmXkcim =⋅−=+⋅+⋅−
En donde A(θ) es la transformada de Fourier de la aceleración del terreno y X(θ) la
transformada de Fourier de la respuesta.
La respuesta en el campo complejo de la frecuencia podemos expresarlo de la
siguiente manera:
kcim
F
kcim
AmX
+⋅+⋅−=
+⋅+⋅−
⋅−=
θθ
θ
θθ
θθ
22
)()()(
97
La función de transferencia compleja de un sistema de un solo grado de libertad
adopta la expresión.
kcimH
+⋅⋅+⋅−=
θθθ
2
1)(
Que puede escribirse como
)2(
1)(
22 θωθξθθ
+⋅⋅⋅⋅+−=
imH
mc ⋅⋅⋅= ωξ2 y m
k=2ω
Donde ω es la frecuencia del sistema y ξ la fracción del amortiguamiento critico.
Al utilizar la representación polar de números complejos, la función de
transferencia compleja la podemos expresar como:
ϕθθ ieHH −⋅= )()(
Cuyo modulo es definido por:
[ ]( ) [ ]( )22)()()( θθθ HHH ℑ+ℜ=
Mientras que el ángulo de fase de la función de transferencia también conocido
como ángulo de fase de Fourier vale:
98
( )( ))(
)()tan(
θ
θϕ
H
H
ℜ
ℑ=
En el caso sísmico, la función de transferencia compleja de un sistema con un
grado de libertad se escribe:
)2(
1)(
22 θωθξθθ
+⋅⋅⋅⋅+−=
iH
Otra forma de llegar a la expresión anterior, es utilizar dos funciones f1(t) y f2(t)
cuyas transformadas de Fourier son respectivamente F1(θ) y F2(θ). Se define
como integral de convolución la expresión:
∫∫ −=−⋅=tt
dftfdtfftf0
21
0
21
*)()()()()( ττττττ
El teorema de Duhamel (llamado también teorema de Bohel) afirma que la
transformada inversa del producto de dos transformadas de Fourier es igual a la
integral de convolución de las inversas de las dos transformadas:
)()()()()()()(2
1 *
0 0
21211 tfdftfdtffdFF
t t
=⋅−=−⋅=⋅∫ ∫ ∫+∞
∞−
ττττττθθθπ
En conformidad con este teorema, la respuesta en el dominio del tiempo del
sistema analizado se puede expresar a partir de:
=⋅⋅−
=⋅= ∫∫∞
∞−
∞
∞−
θθθπ
θθπ
θθdeAH
mdeXtx
titi)()(
2)(
2
1)(
99
∫ ∫ ⋅−−=−⋅−=t t
datfmdtafm0 0
)()()()( ττττττ
Para conocer la solución x(t), es necesario conocer la función del sistema f(t) en
el campo del tiempo.
La transformada de Fourier de esta función se puede obtener sin aplicar dicha
transformada a cada término de la ecuación (2.1). Esto se realiza considerando
que sobre el sistema actúa una excitación armónica de frecuencia θ, definida por
la expresión:
tiemtam θ⋅−=⋅− )(
La excitación se considera de duración infinita: ),( +∞−∞∈t . Con esto la
ecuación (2.19) proporciona el siguiente resultado:
∫∫∞
∞−
−∞
∞−
− ⋅⋅−=⋅−= ττττ θτθτθdfeemdefmtx
ititi)()()(
)( (2.21)
Si se tiene en cuenta que:
∫∞
∞−
− =⋅ )()( θττθτHdfe
i (2.22)
resulta:
tieHmtx θθ ⋅⋅−= )()( (2.23)
Esta ecuación expresa el hecho de que la respuesta del sistema producida por la
excitación armónica es igual al producto entre la excitación armónica y la función
del sistema en el campo complejo H(θ). Resulta que la función H(θ) se puede
obtener sustituyendo (2.20) en la ecuación de movimiento (2.1)
titititi emeHkmeHmceHm θθθθ θθθθθ ⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ )()()(22
(2.24)
100
de donde:
+⋅⋅⋅+−
=⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅−
=+⋅⋅+⋅−
=
12
1
2
11)(
2
2222
ω
θξ
ω
θωωξθθθθθ
ikmmimkcim
H
(2.25)
Es la misma expresión que (2.11).
En los diagramas siguiente se observan los pasos para resolver los problemas en
el campo complejo de la frecuencia.
101
CAPITULO 5
SISTEMAS DE N GDL
5.1 INTRODUCCIÓN
Si bien el sistema de un grado de libertad conduce a aproximaciones razonables
para obtener una estimación del comportamiento global de edificios, existen
ocasiones en las que es necesario el recurrir a modelos más sofisticados en los
que la masa de la estructura ya no se concentra en un sólo punto, si no que se
distribuye en varios puntos a lo alto del edificio. Típicamente, en este tipo de
modelos se supone que la masa está concentrada en los niveles de piso y sujeta a
desplazamientos laterales únicamente de dichos diafragmas.
En la figura 5.1, se muestra el modelo dinámico de un edificio de tres pisos, en
102
donde cada piso se puede representar por una masa concentrada que tiene la
posibilidad de desplazarse en forma horizontal únicamente dado que se asume la
hipótesis que las columnas son inextensibles.
Figura 5.1. Modelo de estructura de n grados de libertad.
En este caso las ecuaciones del movimiento para el edificio de tres pisos de la
figura anterior, se obtiene aplicando el principio de D’Alambert en cada una de las
masas en forma aislada, considerando los desplazamientos relativos de una masa
con respecto a la otra:
s
3
2
1
3
2
1
33
3322
221
3
2
1
33
3322
221
3
2
1
3
2
1
y
1
1
1
m00
0m0
00m
y
y
y
kk0
kkkk
0kkk
y
y
y
cc
cccc
0ccc
y
y
y
m00
0m0
00m
&&
&
&
&
&&
&&
&&
−=
−
−+−
−+
+
−
−+−
−+
+
(5.1)
Para ello, se han considerado las siguientes hipótesis PAZ (1992))6(:
103
1. Toda la masa de la estructura esta concentrada a nivel de los pisos. Es
decir, transforma el problema, de un sistema con un número infinito de
grados de libertad, a un sistema que tiene tantos grados de libertad como
numero de masas concentradas.
2. Las vigas en los pisos son infinitamente rígidas con relación a la rigidez de
las columnas. Es decir, la deformación de la estructura es independiente
de las fuerzas axiales que se presenten en las columnas. Es decir, se
establece que las vigas rígidas en los pisos permanecen horizontales
durante el movimiento de la estructura.
Este sistema de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, se puede
expresar en forma matricial, de acuerdo con:
syMyKyCyM &&&&& ⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ 1 (5.2)
La matriz de masa concentrada M es diagonal y definida positiva y tanto la matriz
de amortiguamiento C como de rigidez son simétricas K .
En (5.2) las ecuaciones diferenciales a nivel de cada una de las masas se
encuentran acopladas, es decir, los desplazamientos que se desarrollan en una
masa, dependen de los desplazamientos y velocidades relativas del piso inferior y
superior, así por ejemplo para el piso 1, se tiene:
symykykkycyccym &&&&&& ⋅−=⋅−⋅++⋅−⋅++⋅ 1221212212111 )()( (5.3)
Cuando la estructura no esta sometida a excitación externa alguna (aceleración
del suelo 0=s
y&& ), y su movimiento esta gobernado solo por las condiciones
104
iniciales se considera que el sistema esta en vibración libre.
Bajo esta condición y suponiendo que el amortiguamiento estructural es nulo
0=C , es posible encontrar el vector de desplazamientos que satisface el sistema
de ecuaciones diferenciales:
0=⋅+⋅ yKyM && (5.4)
La solución analítica, para cada uno de los grados de libertad es dada por:
)t(seny 11 φ+⋅ω⋅Φ=
)t(seny 22 φ+⋅ω⋅Φ= (5.5)
)t(seny 33 φ+⋅ω⋅Φ=
En forma vectorial se expresa por:
)t(seny φ+⋅ω⋅Φ= (5.6)
En donde Φ es un vector de amplitudes, ω es la frecuencia propia del sistema y
φ es el ángulo de desfase. Sustituyendo (5.6) en (5.4) resulta:
[ ] 02 =Φ⋅− MK ω (5.7)
La solución del sistema de ecuaciones (5.7) constituye un problema de valores y
vectores propios. Este sistema tiene soluciones Φ diferentes de cero (es decir, el
sistema vibra) solamente si el determinante de la matriz de los coeficientes es
nulo:
105
[ ] 0det 2 =− MK ω (5.8)
La ecuación algebraica resultante, se conoce como ecuación característica del
sistema y conduce a una ecuación polinómica en la incógnita 2ω que tiene tantas
soluciones como grados de libertad tiene la estructura BARBAT (1983))1(.
0CCCC n2
1n4n2
22n2
1n2 =+ω⋅++ω⋅+ω⋅+ω −
−− L (5.9)
Estas soluciones corresponden a los valores propios (frecuencias) en las cuales
puede desarrollarse una vibración armónica.
Estos valores se denominan frecuencias normales o frecuencias propias y
dependen solamente de las propiedades del sistema, es decir de su rigidez y de
su masa. En el caso de estructuras las matrices de masa y rigidez son reales,
simétricas y definidas positivas por lo tanto la ecuación (5.9) tiene siempre
soluciones 2ω positivas y en consecuencia las cantidades iω son reales
(BARBAT (1983))1().
Siguiendo una práctica convencional se ordenan las frecuencias normales de
menor a mayor n321 ω<<ω<ω<ω L y se ordenan en una matriz denominada
espectral. En el caso particular del ejemplo de la figura 5.1, dicha matriz tiene la
siguiente forma:
=Ω
3
2
1
00
00
00
ω
ω
ω
(5.10)
A la menor frecuencia del sistema se le denomina frecuencia fundamental. Para
106
cada valor de 2
iω que satisfaga la ecuación característica (5.7), puede resolver la
ecuación:
( ) 02 =Φ⋅⋅− ii MK ω 3,2,1=i (5.11)
Y encontrar componentes del vector de amplitudes ii 21 ,ΦΦ y
i3Φ en términos
de una constante de proporcionalidad arbitraria. Si se grafican estas coordenadas
se obtiene un movimiento armónico de vibración, en el cual todas las masas de la
estructura se mueven en fase con la misma frecuencia. Este movimiento, se
denomina modo de vibración normal asociado a la frecuencia i
ω :
Para 1=i ,
Φ
Φ
Φ
=Φ⇒
31
21
11
11ω Para la frecuencia fundamental (5.12)
Para 2=i ,
Φ
Φ
Φ
=Φ⇒
32
22
12
22ω (5.13)
Para 3=i ,
Φ
Φ
Φ
=Φ⇒
33
23
13
33ω (5.14)
107
Figura 5.2. Modos de vibrar estructura de masas concentradas de 3 niveles.
Ordenando los respectivos vectores propios se define la matriz modal Φ , que
contiene en sus columnas los respectivos autovectores ordenados de izquierda a
derecha partiendo con el autovector asociado la frecuencia fundamental (modo 1)
y terminando con el autovector asociado la frecuencia máxima (modo n).
[ ]nj
nnnjn
ij
nj
ΦΦΦ=
ΦΦΦ
Φ
ΦΦΦ
=Φ KK
KK
MOM
MM
MOM
KK
1
1
1111
(5.15)
108
5.2 PROPIEDADAD DE ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS
Se puede demostrar que las formas naturales de vibración agrupadas en la matriz
modal Φ constituyen un conjunto ortogonal completo con respecto a las matrices
de masa M y rigidez K . La propiedad de ortogonalidad de los autovectores y el
concepto de coordenada normal )(tz son la base del análisis modal:
Conocidas las frecuencias del sistema, h
ω ∈ ℜ y los respectivos autovectores
hΦ , para dos frecuencias cualesquiera ji ωω ≠ se tiene de (5.11):
02 =Φ⋅⋅−Φ⋅ iii MK ω (5.16)
02 =Φ⋅⋅−Φ⋅jjj
MK ω (5.17)
Premultiplicando ecuación (5.16) por T
jΦ− y ecuación (5.17) por T
iΦ se tiene:
T
ji
T
jii
T
j MK Φ−⋅=Φ⋅⋅Φ⋅+Φ⋅⋅Φ− /02ω (5.18)
T
ij
T
ijj
T
i MK Φ⋅=Φ⋅⋅Φ⋅−Φ⋅⋅Φ /02ω (5.19)
Sumando (5.18) con (5.19) se llega:
[ ] 022 =Φ⋅⋅Φ⋅− j
T
iji Mωω (5.20)
109
Puesto que ji ωω ≠ 0=Φ⋅⋅Φ⇒ j
T
i M , que es la propiedad de ortogonalidad de
dos autovectores cualesquiera con respecto a la matriz de masa. Entonces se
demuestra que:
0M j
T
i =Φ⋅⋅Φ para ji ≠ (5.21)
Se demuestra también que para el modo j jΦ⇒ :
jjjjjj MKMK Φ⋅⋅=Φ⋅⇒=Φ⋅⋅−Φ⋅ 220 ωω , multiplicando por iΦ se llega
a:
j
T
ijj
T
i MK Φ⋅⋅Φ⋅=Φ⋅⋅Φ 2ω (5.22)
Pero como el lado derecho de la ecuación (5.22) es nulo debido a la ortogonalidad
de la matriz de masa con respecto a dos autovectores diferentes con ji ωω ≠ , se
tiene que también se cumple la condición de ortogonalidad con respecto a la
matriz de rigidez.
0=Φ⋅⋅Φ j
T
i K para ji ≠ (5.23)
La demostración anterior puede verse desde otro punto de vista a partir de la ley
de Betti, la cual plantea que el trabajo mecánico efectuado por las fuerzas del
modo i con los desplazamientos del modo j es igual al trabajo mecánico
efectuado por las fuerzas del modo j con los desplazamientos del modo i .
110
Fuerzas del modo i :
02 =Φ⋅⋅−Φ⋅ iii MK ω (5.24)
iiiiii MFMK Φ⋅⋅=⇒Φ⋅⋅=Φ⋅ 22 ωω (5.25)
Fuerzas del modo j :
jjj MF Φ⋅⋅= 2ω (5.26)
j
T
ii
T
j FF ⋅Φ=⋅Φ (5.27)
jj
T
iii
T
j MM Φ⋅⋅⋅Φ=Φ⋅⋅⋅Φ 22 ωω (5.28)
022 =Φ⋅⋅⋅Φ−Φ⋅⋅⋅Φ jj
T
iii
T
j MM ωω (5.29)
[ ] 022 =−⋅Φ⋅⋅Φ jii
T
j M ωω (5.30)
Puesto que ji ωω ≠ :
⇒ 0=Φ⋅⋅Φ i
T
j M (5.31)
111
Que es la condición de ortogonalidad de la matriz de masa con respecto a dos
autovalores diferentes ji ≠ .
5.3 ECUACION DESACOPLADAS
Con el fin de desacoplar las ecuaciones de movimiento de (5.1) se utiliza una
transformación de coordenadas que relacionan las coordenadas reales y con un
nuevo sistema de coordenadas denominado modales, es decir:
[ ]
⋅ΦΦΦ=
⋅
ΦΦΦ
Φ
ΦΦΦ
=⋅Φ=
n
jnj
n
j
nnnjn
ij
nj
z
z
z
z
z
z
zy
M
M
KK
M
M
KK
MOM
MM
MOM
KK1
1
1
1
1111
(5.32)
ii zy ⋅Φ∑= (5.33)
Realizando la transformación de coordenadas en la ecuación de movimiento (5.1)
y premultiplicando por la matriz modal, se llega a:
syMzKzCzM &&&&& ⋅⋅−=⋅Φ⋅+⋅Φ⋅+⋅Φ⋅ 1)()()( T
Φ⋅/ (5.34)
s
TTTTyMzKzCzM &&&&& ⋅⋅⋅Φ−=⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ 1)()()( (5.35)
112
En donde, se definen:
Matriz de masa generalizada:
*MM
T=Φ⋅⋅Φ (5.36)
Matriz de amortiguamiento generalizado:
*CC
T=Φ⋅⋅Φ
(5.37)
Matriz de rigidez generalizada:
*KK
T=Φ⋅⋅Φ (5.38)
Puesto que las matrices de masa, de amortiguamiento y rigidez son ortogonales
con respecto a la matriz modal se verifica que dichas matrices solo contienen
términos en la diagonal principal:
=
*
*
*
1
*
00
00
n
j
M
M
M
M
KK
MOM
MM
MOM
KK
(5.39)
113
=
*
*
*
1
*
00
00
n
j
C
C
C
C
KK
MOM
MM
MOM
KK
(5.40)
=
*
*
*
1
*
00
00
n
j
K
K
K
K
KK
MOM
MM
MOM
KK
(5.41)
El lado derecho de la ecuación (5.2) queda:
11 ⋅⋅Φ=⇒⋅⋅Φ= MLMLT
jj
T (5.42)
Luego, la ecuación diferencial para la coordenada normal j en términos de los
parámetros generalizados se expresa por:
sjjjjjjj yLzKzCzM &&&&& ⋅−=⋅+⋅+⋅ *** (5.43)
s*j
j
j*j
*j
j*j
*j
j yM
Lz
M
Kz
M
Cz &&&&& ⋅−=⋅+⋅+ (5.44)
Donde:
j
T
j
T
j
*j
j
jM
1M
M
L
Φ⋅⋅Φ
⋅⋅Φ==Γ (5.45)
114
sjjjjjjj yzzz &&&&& ⋅Γ−=⋅+⋅⋅⋅+ 2)2( ωωξ (5.46)
Con jΓ denominado factor de participación modal asociado al modo j .
El sistema de n grados de libertad de ecuación (5.1) se ha transformado en
n sistemas de un grado de libertad cada uno de ellos de la forma (5.46).
En dicho formato el problema se transforma en n ecuaciones independientes en
la coordenada )t(z j que puede resolverse con los métodos y procedimientos
utilizados para sistemas de un grado de libertad.
Gráficamente, el desacoplamiento modal se presenta en la figura 5.3 para un
edificio de cuatro pisos, la interpretación del proceso de desacoplamiento es que
el comportamiento dinámico de una estructura de varios grados de libertad, se
puede descomponer en varios sistemas independientes, de un grado de libertad
cada uno, cuyas características dependen de las propiedades normales de
vibración de la estructura.
Figura 5.3. Desacoplamiento modal
115
En la práctica, en el análisis dinámico de estructuras de varios grados de libertad
es corriente considerar el efecto del amortiguamiento separadamente en cada
modo.
5.4 NORMALIZACION DE LA MATRIZ MODAL
Muchas veces resulta cómodo desde del punto de vista del desacoplamiento de
las ecuaciones de movimiento utilizar el matriz modal normal puesto que esta tiene
las siguientes propiedades:
==Φ⋅⋅Φ
100
010
001
IMT
(5.47)
2
23
22
21
00
00
00
Ω=
=Φ⋅⋅Φ
ω
ω
ω
KT
(5.48)
Donde 2
Ω es la matriz espectral al cuadrado y Φ es la matriz modal normal, la
cual se obtiene al dividir cada una de las columnas de (5.15) por un factor de
escala.
Dicho factor de escala corresponde a las respectivas raíces cuadradas de la
diagonal de la matriz de masa generaliza *iM de ecuación (5.39). Nótese que
el factor de participación modal *j
j
jM
L=Γ depende del método utilizado para
escalar las formas modales luego si utilizamos la matriz modal normal este vale
jj L=Γ puesto que 1M*j = .
116
ΦΦΦ
Φ
ΦΦΦ
=Φ
*n
nn
*j
nj
*1
1n
*j
ij
*n
n1
*j
j1
*1
11
MMM
M
MMM
KK
MOM
MM
MOM
KK
(5.49)
Que corresponde a la matriz de modal normal. Dicha matriz satisface sobre la
matriz de masa y de rigidez las condiciones (5.47).
5.5 MASA EQUIVALENTE
Para el análisis sísmico es conveniente a utilizar el concepto de masa equivalente
el cual es útil para reducir el número de cálculos involucrado en los parámetros de
diseño. Puesto que el valor máximo de la respuesta modal se encuentra asociado
al valor máximo del lado derecho de la ecuación (5.46), es decir, se encuentra
asociado al valor del desplazamiento espectral multiplicado por el factor de
participación modal del respectivo modo j .
jj zy ⋅Φ∑= )S(zyjDjj
max
jj
máx
j⋅Γ⋅Φ=⋅Φ=⇒ (5.50)
Las fuerzas de corte sobre la estructura:
)( zKyKf ⋅Φ⋅=⋅= (5.51)
[ ]nnjj zzzKf ⋅Φ++⋅Φ++⋅Φ⋅= KK11 (5.52)
117
Luego, la fuerza de corte máxima asociada al modo j considerando la propiedad
de ecuación (5.8):
jj Djj
2jDjj
maxjjj
SM)S(KzKf ⋅Γ⋅Φ⋅⋅ω=⋅Γ⋅Φ⋅=⋅Φ⋅= (5.53)
El esfuerzo de corte que considera la contribución de cada uno de los modos de
vibrar, se define por:
jDjj
n
jj
j
n
j
SMff ⋅Γ⋅Φ⋅⋅∑=∑=== 1
2
1
ω (5.54)
Luego el corte basal se expresa como la suma de todas contribuciones modales:
2
1
)1(1 jDjj
Tn
j
T
b jSMfQ ω⋅⋅Γ⋅Φ⋅⋅∑=⋅=
=
(5.55)
j
T
jnjnijijj
TLMMMMM =⋅⋅Φ=Φ⋅++Φ⋅++Φ⋅=Φ⋅⋅ 11 11 KK (5.56)
)SM
L(
)SM
LL()SL(Q
2jjD
n
1j j
2j
2jjD
j
jn
1jj
2jjDj
n
1jjb
ω⋅⋅
=ω⋅⋅⋅=ω⋅⋅Γ⋅=
∑
∑∑
=
==
(5.57)
En donde, se define la masa modal equivalente CHOPRA (1995))3(:
j
jE
jM
LM
2
= (5.58)
118
Recuérdese que si la matriz modal se normalizo entonces cumple con las
ecuaciones (5.48) y existe la siguiente relación entre las cantidades espectrales:
2
jDA jjSS ω⋅= (5.59)
Entonces, el corte basal de ecuación (5.57) se puede expresar en función de la
masa modal efectiva como:
)(1
jA
n
j
E
jb SMQ ⋅∑==
(5.60)
Se debe tener presente en ecuación (5.60) que dicho esfuerzo de corte basal debe
ser evaluado utilizando algún criterio de superposición modal.
No hay guías para determinar cuantos modos deberían ser incluidos en el análisis
modal, dado que esto depende de las características de la estructura y de las
ordenadas del espectro utilizado. Sin embargo, el análisis debería incluir el
número suficiente de modos hasta esta alcanzar un error del 5% con respecto a la
solución “exacta”. Puesto que la respuesta “exacta” no se conoce, un
procedimiento de prueba y error se debería adoptar, hasta que la adición de
modos no afecte significativamente la respuesta.
Se debe señalar que la norma NCH433.OF96 en su punto 6.3.3 considera que en
el análisis modal espectral se deben utilizar todos los modos normales ordenados
según valores crecientes de las frecuencias propias, que sean necesarios para
que la suma de las masas equivalentes sea mayor o igual a un 90% de la masa
total.
119
Nótese que:
La suma de las masas modales efectivas para todos los modos es igual a la
suma de todos los términos de diagonal de la matriz de masa., es decir, la
masa total de la estructura
Para efectos del análisis modal espectral es suficiente considerar un numero
de modos de vibrar tal que la suma de sus masas modales efectivas no sean
menores al 90% de la masa total de la estructura (NCH433.OF96).
5.6 METODO DE SUPERPOSICION MODAL
La solución de las ecuaciones diferenciales desacopladas de (5.46) puede
realizarse mediante la integral de Duhamel la cual entrega la solución particular de
estas ecuaciones para cualquier función de las fuerzas exteriores aplicadas al
sistema.
Los valores máximos de la respuesta para cada ecuación modal pueden
obtenerse utilizando un espectro, sin embargo la superposición de los valores
máximos presenta un problema dado que estos valores modales máximos no
ocurren simultáneamente (están asociados a movimientos con distinto periodo).
Sin embargo es posible postular la existencia de un límite superior para la
respuesta máxima, la cual puede obtenerse de utilizando los valores absolutos de
cada una de la las contribuciones modales máximas, ecuación (5.62) Sin embargo
los resultados obtenidos con este método sobreestiman la respuesta.
120
⋅
ΦΦΦ
Φ
ΦΦΦ
=⋅Φ=
max
max
max1
1
1111
maxmax
n
j
nnnjn
ij
nj
z
z
z
zy
M
M
KK
MOM
MM
MOM
KK
(5.61)
maxmaxmax11
maxninjijii zzzy ⋅Φ++⋅Φ++⋅Φ= LL (5.62)
Otro método bastante utilizado y que da una estimación razonable de la respuesta
máxima calculada a partir de los valores espectrales es el método de la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de las contribuciones modales (SRSS):
)()()(max2max2max
11
max
ninjijii zzzy ⋅Φ++⋅Φ++⋅Φ= LL (5.63)
Los resultados que se obtienen con la aplicación del método SRSS (Square root
of the sum of the squares), pueden subestimar o sobreestimar la respuesta
cuando dos o mas frecuencias tienen valores cercanos (del orden de un 10%) PAZ
(1992))6(.
En este caso se recomienda otro método NCH433.OF96, denominado CQC
(Complete quadratic combination), este ultimo se basa en la teoría de vibraciones
aleatorias y puede ser utilizado en el análisis modal espectral si la duración de la
parte asociada al moviendo fuerte del sismo es varias veces mas grande que el
periodo fundamental de la estructura y si las ordenadas del espectro de respuesta
varían suavemente sobre un rango amplio de periodos que incluyen a los modos
dominantes de la estructura.
121
2/1
1 1
max
⋅⋅= ∑∑
= =
N
i
N
j
kjijkikzzy ρ (5.64)
Donde kiz y kjz son los desplazamientos modales máximos correspondientes a
los modos de vibrar i y j respectivamente y N es el numero de modos. Los
coeficientes ijρ de acoplamiento entre los modos i y j .
2222
23
2
)1(4)1(
)1(8
rrr
rrij
++−
+=
ξ
ξρ (5.65)
Donde r es la razón entre periodos naturales entre el modo j y el modo i , y
%5=ξ uniforme para todos los modos de vibrar.
Figura 5.4. Coeficientes de acoplamiento. (fuente:
http://140.194.76.129/publications/eng-manuals/em1110-2-6050/c-2.pdf)
122
Para una estructura sin amortiguación, el método CQC es idéntico al método
SRSS. También cabe mencionar, que si las frecuencias están bastante separadas,
el criterio CQC, proporciona valores similares al criterio SRSS.
5.7 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANALISIS MODAL
Dentro de las ventajas del análisis modal se tiene BARBAT (1983))1(:
El sistema de ecuaciones diferenciales se desacopla, pudiéndose solucionar
cada una de las ecuaciones en forma independiente.
Se ha comprobado que la respuesta de un sistema se puede aproximar bien,
incluyendo en el cálculo solamente los primeros modos de vibrar. Recordando
que para efectos del análisis modal espectral es suficiente considerar un
número de modos de vibrar tal que la suma de sus masas modales efectivas
no sean menores al 90% de la masa total de la estructura.
Las desventajas son:
Gran esfuerzo computacional para solucionar el problema de valores y
vectores propios.
El procedimiento es valido solo en problemas elásticos.
5.8 EFECTO DEL AMORTIGUAMIENTO
La matriz de amortiguamiento C de (5.2) debe ser tal que los modos de vibrar
posean con respecto a ella, propiedades de ortogonalidad similares a las que
poseen las matrices de masa y rigidez, para que sea posible el desacoplamiento
de la ecuación (5.2). Es decir, debe cumplirse que:
123
0C j
T
i =Φ⋅⋅Φ para ji ≠ (5.66)
*jj
T
j CC =Φ⋅⋅Φ para ji = (5.67)
*jjj
*j M2C ⋅ω⋅ξ⋅= (5.68)
La matriz de amortiguamiento (5.40) no tiene significado y en general no es
posible medir directamente sus coeficientes en ensayos experimentales.
Una aproximación de la matriz de amortiguamiento que satisface las condiciones
de ortogonalidad, es suponer que dicha matriz es proporcional a la matriz de
masa M y de rigidez K (puesto que ambas matrices son ortogonales con
respecto a la matriz modal Φ ), este tipo de amortiguamiento recibe el nombre de
amortiguamiento del tipo Rayleigh FEMA 451)7(, BARBAT Y MIQUEL
)2(.
KMC ⋅β+⋅α= (5.69)
Para que la ecuación de movimiento pueda desacoplar los términos asociados a la
matriz de amortiguamiento, se debe tener que:
[ ] [ ] *iiii
T
ii
T
ii
T
i M2KMC ⋅ω⋅ξ⋅=Φ⋅⋅Φ⋅β+Φ⋅⋅Φ⋅α=Φ⋅⋅Φ (5.70)
Puesto que M y K son ortogonales con respecto a Φ , se tiene que:
*iii
*i
*i M2KM ⋅ω⋅ξ⋅=⋅β+⋅α (5.71)
*iii
*i
2i
*i M2MM ⋅ω⋅ξ⋅=⋅ω⋅β+⋅α (5.72)
124
i
i
i22
ω⋅β
+ω
α=ξ (5.73)
Los coeficientes α y β pueden ser determinados a partir de dos razones de
amortiguamiento especificados. Suponiendo que mξ y nξ se conocen, entonces:
ξ
ξ⋅
ωω−
ω−ω⋅
ω−ω
ω⋅ω⋅=
β
α
n
m
mn
mn
2m
2n
nm11
)(2 (5.74)
A continuación, se presenta un ejemplo extraído de “Introductional Material
Complementing FEMA 451)7(, Design Examples” sobre amortiguamiento del tipo
Rayleigh.
Supónganse que se especifica que el amortiguamiento para los modos 1 y 3 es de
un 5% con respecto al valor crítico y que se conocen las frecuencias del sistema:
Tabla 5.1: Frecuencias
Modo ω
1 4.94
2 14.6
3 25.9
4 39.2
5 52.8
Para construir (5.71) es necesario definir el valor de los coeficientes α y β ,
evaluando con 005.031 =ξ=ξ y 94.41 =ω , 9.253 =ω se tiene:
41487.0=α
00324.0=β
125
i
i
i 00162.020743.0
ω⋅+ω
=ξ (5.75)
El valor de la fracción de amortiguamiento iξ se presenta en figura 5.3
Figura 5.4. Amortiguamiento del tipo Rayleigh.
De la figura anterior, se concluye que para frecuencias altas (modos 4 y 5) los
valores de la fracción de amortiguamiento critico podrían ser sobre estimados y
para la frecuencia 2 el valor de la fracción de amortiguamiento critico podría ser
sub-estimado.
126
CAPITULO 6
APLICACIONES A SISTEMAS DE N GDL
6.1 EJEMPLOS
A continuación se presentan una serie de ejemplos de cálculo dinámico de
estructuras de varios grados de libertad, en donde se aplican los conceptos
desarrollados en el Capitulo 5. Los problemas 6.1.1 y 6.1.2 corresponden a los
planteados por GOYTIA y VILLANUEVA (2001))8( y se han modificado para lograr
una mejor comprensión del análisis dinámico.
127
6.1.1 Una estructura de tres niveles de altura de entrepiso constante e igual a 3
m, se encuentra sometida al espectro de velocidades de la figura 6.1 (unidades de
pulgadas por segundo) GOYTIA y VILLANUEVA (2001))8(. La rigidez equivalente
de cada piso se indica a la derecha de las columnas y el peso de cada nivel se
señala sobre cada uno de los diafragmas rígidos.
Figura 6.1 Estructura de tres niveles y espectro de velocidades
Si sobre la estructura se impone que:
0.4)0(
5.3)0(
3)0(
3
2
1
=
=
=
y
y
y
cm.
Y se considera que las velocidades iniciales asociadas a cada grado de libertad
son nulas, se pide:
Definir la forma analítica de la respuesta al movimiento de cada uno de los
128
grados de libertad para las condiciones iniciales dadas cuando se tiene un
movimiento de oscilación libre del sistema estructural.
Si la estructura se somete a la acción sísmica definida por el espectro de
velocidades de la figura 6.1, se pide:
Determinar el valor de los desplazamientos sísmicos máximos en cada nivel,
la masa modal efectiva asociada a cada modo al igual que el corte basal
máximo.
Solución:
En primer lugar se debe definir la matriz de masa y rigidez horizontal del sistema:
−
=⋅
=cm
sT
gM
2
00541.000
000807.00
0000807.01
31.500
092.70
0092.7
−
−−
−
=cm
TK
550
5127
0717
Conocidas la matriz de masa y rigidez se debe calcular las frecuencias
fundamentales:
⇒=− 0)det( MK λ
( )( )( ) )(118.0/18.5304.2829
)(165.0/02.3888.1445
)(403.0/58.1586.242
333
222
111
sTsrad
sTsrad
sTsrad
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
ωλ
ωλ
ωλ
Para cada frecuencia, se determina el respectivo autovalor:
129
Para ( ) )(403.0/58.15 11 sTsrad ==ω
0)( 1
2
1 =Φ⋅− MK ω
=
Φ
Φ
Φ
⋅
−
−−
−
⇒
0
0
0
69.350
596.97
0797.14
13
12
11
Dado: 111 =Φ
90.20514.296.97
14.20797.14
1313
1212
=Φ⇒=Φ⋅−⋅+−
=Φ⇒=Φ⋅−
=Φ∴
90.2
14.2
1
1
Para ( ) )(165.0/02.38 22 sTsrad ==ω
0)( 2
2
2 =Φ⋅− MK ω
=
Φ
Φ
Φ
⋅
−−
−−
−
⇒
0
0
0
82.250
5335.07
0734.5
23
22
21
Dado: 121 =Φ
35.105763.0335.07
763.00734.5
2323
2222
−=Φ⇒=Φ⋅−⋅+−
=Φ⇒=Φ⋅−
−
=Φ∴
35.1
763.0
1
2
Para ( ) )(118.0/18.53 33 sTsrad ==ω
130
−=Φ
404.0
832.0
1
3
Finalmente, la matriz modal vale:
−
−=Φ
404.035.190.2
832.0763.014.2
111
La matriz de masa generalizada, se calcula y vale:
==
0.014600
00.02260
000.0905
MM T* ΦΦ
Conociendo los términos de la diagonal de la matriz de masa generalizada es
posible construir la matriz modal normal dividiendo respectivamente las columnas
de dicha matriz (6.9) por:
301.0*
1 =M 150.0*
2 =M 120.0*
3 =M
Obteniéndose la siguiente matriz modal normalizada:
−
−=Φ
37.3963.9
93.608.511.7
33.867.632.3
131
Luego si se considera la matriz modal normal, las ecuaciones desacopladas se
escriben como:
0=⋅Ω+ zz&&
Puesto que al estar la matriz modal normalizada se cumple que:
==Φ⋅⋅Φ=
100
010
001*
IMMT
2
23
22
21
*
00
00
00
Ω=
=Φ⋅⋅Φ=
ω
ω
ω
KKT
Por lo tanto se debe resolver:
01
2
11 =+ zz ω&&
02
2
22 =+ zz ω&&
03
2
33 =+ zz ω&&
En donde, cada una de las ecuaciones tiene por solución:
)cos()( 00 tztsen
zz iii
i
i
i ωωω
+=&
Para i=1, 2,3
Las condiciones iniciales se conocen y valen:
=
4
5.3
3
0y y
=
0
0
0
0y&
132
Para conocer las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad para la
variable modal z , se despeja:
( )scmyzzy oo /
0
0
0
0
1
0
=⋅Φ=⇒⋅Φ=− &&&&
La solución de (6.19) quedará de la forma:
)cos(0 tzz iii ω= Para i=1, 2,3
Donde 0
1
0 yz ⋅Φ=−
Por lo tanto:
)(
078.0
109.0
490.0
4
5.3
3
37.3963.9
93.608.511.7
33.867.632.31
03
02
01
cm
z
z
z
=
⋅
−
−=
−
Así la solución final en coordenadas modales será:
)()18.53cos(078.0
)()02.38cos(109.0
)()58.15cos(490.0
3
2
1
cmtz
cmtz
cmtz
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
133
Finalmente se debe proceder a realizar el cambio de coordenadas modales a
coordenadas reales, para así encontrar la solución real al problema planteado:
)t18.53cos(
263.0
540.0
649.0
)t02.38cos(
981.0
554.0
727.0
)t58.15cos(
72.4
48.3
63.1
y
y
y
3
2
1
⋅
−
+⋅
−
+⋅
=
El movimiento de cada uno de los grados de libertad se representa en la figura
6.2. Para considerar el efecto de la acción sísmica sobre la estructura, se procede
a plantear las ecuaciones de movimiento:
guMuKuM &&&& ⋅⋅−=⋅+⋅ 1
Utilizando coordenadas modales, considerando la matriz modal normal:
g
TTTuMzKzM &&&& ⋅⋅⋅Φ−=⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ 1
ggT
T
T
T
uM
Lu
M
Mz
M
Kz &&&&&& ⋅−=⋅
Φ⋅⋅Φ
⋅⋅Φ−=⋅
Φ⋅⋅Φ
Φ⋅⋅Φ+
*
1
gg uuM
Lzz &&&&&& ⋅Γ−=⋅−=⋅Ω+
*
2
134
Nota: recordemos que si la matriz modal esta normalizada, entonces IM =*
y
L=Γ .
Figura 6.2 Respuesta asociada a cada uno de los grados de libertad.
A partir del espectro de velocidades, para cada periodo se puede determinar el
valor máximo de la velocidad:
)/(3.20)/(8)()(118.0
)/(4.25)/(10)()(165.0
)/(1.71)/(28)()(403.0
33
22
11
scmsinSsT
scmsinSsT
scmsinSsT
V
V
V
==→=
==→=
==→=
135
Puesto que dv SS ⋅= ω , se tiene:
)(38.0/)()(
)(67.0/)()(
)(56.4/)()(
333
222
111
cmSS
cmSS
cmSS
vd
vd
vd
==
==
==
ω
ω
ω
Utilizando la matriz modal normal el factor de participación modal se estima por:
⋅
⋅
−
−=⋅Φ=Γ
1
1
1
00541.000
000807.00
0000807.0
37.3963.9
93.608.511.7
33.867.632.3
1
T
TM
=
Γ
Γ
Γ
⇒
029.0
046.0
136.0
3
2
1
Luego los desplazamientos modales máximos valen:
)cm(
011.0
309.0
621.0
)S(
)S(
)S(
z
z
z
3d3
2d2
1d1
max3
max2
max1
=
⋅Γ
⋅Γ
⋅Γ
=
La contribución de cada uno de los modos en los desplazamientos sísmicos
asociados a cada nivel de se obtiene utilizando el criterio de la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados de cada una de las contribuciones modales (RCSC):
136
( ) ( ) ( ) )cm(06.2zzzy2max
313
2max212
2max111
max1 =⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=
( ) ( ) ( ) )cm(41.4zzzy2max
323
2max222
2max121
max2 =⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=
( ) ( ) ( ) )cm(98.5zzzy2max
333
2max232
2max131
max3 =⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=
Por lo tanto, el vector de desplazamientos sísmicos del sistema es:
)(
98.5
41.4
06.2max
cmy
=
Determinación del corte basal en cada nivel:
1° Alternativa: Las contribuciones de cada uno de los modos en la determinación
de la fuerza de corte a nivel de cada piso es:
44 344 2144 344 2144 344 213
max
3
33
32
31
2
max
2
23
22
21
1
max
1
13
12
11
max
3
max
2
max
1
ModoModoModo
zKzKzK
f
f
f
⋅
Φ
Φ
Φ
⋅+⋅
Φ
Φ
Φ
⋅+⋅
Φ
Φ
Φ
⋅=
Utilizando el criterio de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada una
de las contribuciones modales (RCSC), se tiene:
)(23.5max
1 Tf =
)(01.9max
2 Tf =
)(13.8max
3 Tf =
Fuerza de corte en la base de la estructura:
137
)(37.22max
3
max
2
max
1 TfffQbasal =++=
2° Alternativa: Una forma más sencilla de obtener el esfuerzo de corte basal, es
utilizando el concepto de masa modal equivalente (Capitulo 5.3):
==⋅=1
)136.0( 2
1*
1
11 L
M
LM
E
−
cm
sT 2
0184.0
==⋅=1
)046.0( 2
2*
2
22 L
M
LM
E
−
cm
sT 2
00212.0
==⋅=1
)029.0( 2
1*
1
11 L
M
LM
E
−
cm
sT 2
00084.0
La suma de las masas modales efectivas debe ser igual a la masa total del
sistema:
−=++=
cm
sT02136.0MMMM
2E3
E2
E1
ET
La masa total del sistema se obtiene sumando las componentes de la matriz de
masa concentrada del sistema.
−=++=
cm
sTMMMM T
2
321 0215.0
Ambas cantidades (6.46) y (6.47) son prácticamente iguales y las diferencias se
deben a errores de redondeo en los cálculos numéricos. Nótese que la masa
modal efectiva asociada al modo 1 es el 86.14% de la masa total, la masa modal
efectiva asociada al modo 2 es el 9.93% de la masa total y acumulan un 96.07%
de la masa total, luego de acuerdo a NCH433.OF96 basta con considerar para el
análisis dinámico solamente la influencia de los modos 1 y 2.
138
Corte basal por modo:
( )2
111 /74.1107)()( scmSS va =⋅= ω
( )2
222 /708.965)()( scmSS va =⋅= ω
( )2
333 /55.1079)()( scmSS va =⋅= ω
)(38.20)( 111 TSMQ a
E
b =⋅=
)(028.2)( 222 TSMQ a
E
b =⋅=
)(906.0)( 333 TSMQ a
E
b =⋅=
)(50.202
3
2
2
2
1max TQQQQ bbbb =++=
6.1.2. Un marco de dos niveles tiene las propiedades mostradas en la figura y un
amortiguamiento del 5% GOYTIA y VILLANUEVA (2001))8(. Si dicha estructura se
somete al espectro de aceleraciones de la figura 6.4, se pide:
• Las respectivas frecuencias y formas modales.
• Las ecuaciones de movimiento desacopladas.
• La masa modal efectiva asociada a cada uno de los modos de vibrar.
• El corte basal máximo para el espectro de aceleraciones definido.
• Los desplazamientos espectrales máximos de entrepiso ( 1−−=∆ iii uu ).
139
Figura 6.3 Marco plano de dos niveles.
Si los desplazamientos máximos de entrepiso no deben superar los 4 cm. ¿Que
acciones de diseño sísmico especificaría sobre la estructura para satisfacer este
criterio?
Si se aplica una carga horizontal triangular descendente tal como la definida en la
figura 6.5 a nivel del diafragma horizontal del primer nivel de la estructura, se
pide:
Definir las ecuaciones de movimiento desacopladas para esta acción.
Definir los desplazamientos máximos asociados a cada uno de los grados de
libertad, utilizando los espectros de respuesta entregados.
140
Figura 6.4 Espectro de aceleraciones T vs. g
a
)25.0
1(20)1()( 1
τττ −⋅=−⋅=
dtFF T
Figura 6.5 Carga impulsiva aplicada en el primer nivel
t
20
T
0.25 seg
Fase I
P(t)
141
Considere:
1. Rigideces en unidades de T fuerza, compatibles con las unidades
cm
segT 2−de la matriz de masa concentrada. Es decir, para efectos
del calculó de la matriz de masas concentradas, considere que g
vale 2
980seg
cm (es decir, divida el peso total W de cada piso, por
dicha constante para obtener la el respectivo coeficiente de la matriz
de masa asociada a dicho piso).
2. Valores espectrales leídos de espectros de la figura anterior, son
proporcionales a “g=2
980seg
cm”, es decir gTSa ⋅=#)(
3. Criterio de superposición modal de la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados.
Solución:
Las matrices de rigidez horizontal y de masa:
cm
TK
−
−=
33
310
cmsT
g
gM
2
07143.00
007143.0
700
070−
=
=
El problema característico permite conocer los valores y auto-vectores propios
asociados a cada una de las frecuencias del sistema:
142
08.41651.1830242 =+−⇒=− ωωω MK
sTs
rad⋅=⇒= 2.12.5 11ω
sTs
rad⋅=⇒= 50.05.12 22ω
Con los correspondientes auto-vectores, que se pueden representar en la matriz
modal, sin normalizar:
−=Φ
36.07.2
11
Para definir las masas modales efectivas, es necesario evaluar los factores de
participación modal, que aparecen después de plantear las ecuaciones de
movimiento desacopladas:
)(1 taMuKuM ⋅⋅−=⋅+⋅ &&
)()( tztu ⋅Φ=
[ ] [ ] [ ] )(1)()( taMtzKtzMTTT
⋅⋅⋅Φ−=⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ &&
)(0457.0
2643.0
54.120
067.15
0807.00
05921.0
2
1
2
1ta
z
z
z
z⋅
−=
⋅
+
⋅
&&
&&
143
Figura 6.6 Modos de vibrar
Las masas modales efectivas asociadas a cada modo de vibrar, se pueden
estimar a partir de:
118.05921.0
2643.0 2
*
1
2
11 ===M
LM e
026.00807.0
0457.0 2
*
2
2
22 ===M
LM e
Verificación si la suma de las masas efectivas es igual a la masa real de la
estructura:
!144.0026.0118.007143.007143.021
21 okMMMM ee ⇒≈+=+⇒+=+
Para estimar el corte basal, se debe conocer la aceleración espectral asociada a
cada modo de vibrar, la cual se obtiene leyendo del espectro de respuesta de la
figura 6.4.
144
gST A 23.01
1 ≅⇒
gST A 85.02
2 ≅⇒
Luego, los cortes básales asociadas a cada modo de vibrar:
6.2698023.0118.0111 =⋅⋅=⋅= Aeb SMQ T
7.2198085.0026.0222 =⋅⋅=⋅= Aeb SMQ T
3.34)7.216.26(22 =+=bQ T
Los desplazamientos espectrales máximos de entrepiso, se estiman calculando
los valores de los desplazamientos modales máximos:
72.3)2.5(
98023.0
5921.0
2643.02
1
*
1
11
1
max
1 =⋅
⋅=⋅=⋅Γ= DD SM
LSz cm.
02.3)5.12(
98085.0
0807.0
0457.02
2
*
2
22
2
max
2 =⋅
⋅=⋅=⋅Γ= DD SM
LSz cm.
80.4)()(2max
2122max
111max1 =⋅Φ+⋅Φ= zzu cm.
10.10)()(2max
2222max
121max2 =⋅Φ+⋅Φ= zzu cm.
80.41 =∆ cm.
145
3.580.41.102 =−=∆ cm.
De ecuaciones (6.71) y (6.72) se observa que ambos pisos se desplazan en
términos relativos mas que 4 cm., luego para satisfacer los requerimientos del
diseño sísmico es necesario aumentar la rigidez de las columnas de forma tal de
tener una estructura mas rígida.
Figura 6.7 Desplazamientos máximos
Utilizando el criterio de la combinación cuadrática completa (CQC), se tiene:
146
Si se aplica una carga triangular descendente solamente en el primer nivel del a
estructura, tal como la indicada en la figura 6.9:
)(tPuKuM =⋅+⋅ &&
)()( tztu ⋅Φ=
[ ] [ ]
⋅Φ=⋅Φ=⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ
0
)()()()(
tFtPtzKtzM
TTTT &&
=
⋅Φ
⋅Φ=
⋅
+
⋅
)(
)(
)(
)(
54.120
067.15
0807.00
05921.0
12
11
2
1
2
1
tF
tF
tF
tF
z
z
z
z
&&
&&
Con:
)25.0
1(20)1()( 1
τττ −⋅=−⋅=
dtFF T
Para definir los desplazamientos máximos asociados a cada uno de los grados de
libertad, haremos uso de los diagramas espectrales dados para cargas
triangulares:
147
EzDLFz 11
max
1 )( ⋅=
60.0)(21.020.1
25.01
1
=⇒==⇒ DLFT
td
EzDLFz 22
max
2 )( ⋅=
20.1)(50.050.0
25.02
2
=⇒==⇒ DLFT
td
77.028.160.028.167.15
20 max
1*
1
11 =⋅=⇒=== z
K
Fz E
cm.
93.159.120.159.154.12
20 max
2*
2
12 =⋅=⇒=== z
K
Fz E
cm.
=⋅Φ+⋅Φ= 2max212
2max111
max1 )()( zzu 2.08 cm.
=⋅Φ+⋅Φ= 2max222
2max121
max2 )()( zzu 2.19 cm.
148
6.1.3. Los edificios A y B de la figura 6.8, tienen una relación de amortiguamiento
uniforme del 5% cada uno y se encuentran sometidos al espectro de
aceleraciones definido en la figura 6.9. Los valores de la rigidez horizontal
equivalente de cada piso en el edificio A son m
kNk 361 = ,
m
kNk 242 = y
m
kNk 123 = .
En cambio, los valores de la rigidez horizontal equivalente de cada piso en el
edificio B son m
kNk 121 = ,
m
kNk 242 = y
m
kNk 363 = . Si ambos edificios
tienen la misma distribución de masas en altura 2
1 0561.0 sm
kNm = (piso 1),
2
2 0510.0 sm
kNm = (piso 2) y
2
3 0459.0 sm
kNm = (piso 3).
149
Figura 6.8 Edificios de tres niveles con distinta distribución de rigideces de piso.
Se pide definir fundamentando su respuesta que edificio (A o B) recomendaría
para su construcción, si la respectiva norma de calculo sísmico exigiera que los
desplazamientos máximos de entrepiso ( 1−−=∆ iii uu ) no superen los 2 cm. A
efectos del cálculo de los valores máximos de desplazamiento utilice el criterio de
la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.
Figura 6.9 Espectro de aceleraciones
El espectro de aceleraciones se define por (g=9.8 2s
m ):
gTTSa ⋅+⋅== )2.02(%)5,( ξ , si 1.00 ≤≤ T
gTSa ⋅== 4.0%)5,( ξ , si 3.01.0 ≤≤ T
150
gTTSa ⋅⋅−== )25.0475.0(%)5,( ξ , si 3.0≥T
Solución:
Las matrices de rigidez horizontal del edificio A y B son respectivamente:
−
−−
−
=
12120
123624
02460
AK y
−
−−
−
=
36360
366024
02436
BK
La matriz de masa concentrada es la misma, pues ambos edificios tienen la misma
distribución de masas:
=
0459.000
00510.00
000561.0
M
Resolviendo la ecuación característica 02 =⋅− MKA
ω para evaluar las
respectivas frecuencias y periodos del edificio A, se tiene:
2330.101 =ω s
rad 6140.01 =⇒T )(s
2938.232 =ω s
rad 2967.02 =⇒T )(s
2764.373 =ω s
rad 1686.03 =⇒T )(s
Resolviendo el problema de autovalores asociado a cada frecuencia, la matriz
modal y normal del edificio A se calcula:
151
−
−
−−
=Φ
5911.06024.28294.3
5505.22987.22956.2
4097.32723.20179.1
A
De forma análoga para el edificio B, se tiene:
8912.71 =ω s
rad 7962.01 =⇒T )(s
1238.262 =ω s
rad 2405.02 =⇒T )(s
1019.431 =ω s
rad 1458.03 =⇒T )(s
La matriz modal normal del edificio B:
−
−−=Φ
5446.25727.29483.2
4827.33341.07142.2
2252.15028.30040.2
B
Utilizando los valores de los periodos para el edificio A y el espectro de
aceleraciones de la figura 6.9, se tiene:
( ) ( ) 01053.0233.10
15.335.015.3
211
max
121=⋅=⋅Γ=⇒= DA Sz
s
mS
( ) ( ) 0011.02938.23
92.31508.092.3
222
max
222=⋅=⋅Γ=⇒= DA Sz
s
mS
( ) ( ) 00025.028.37
92.30883.092..3
233
max
323=⋅=⋅Γ=⇒= DA Sz
s
mS
152
Utilizando los valores de los periodos para el edificio B y el espectro de
aceleraciones de la figura 6.9, se tiene:
( ) ( ) 0168.089.7
7.23862.07.2
211
max
121=⋅=⋅Γ=⇒= DA Sz
s
mS
( ) ( ) 00035.012.26
92.30617.092.3
222
max
222=⋅=⋅Γ=⇒= DA Sz
s
mS
( ) ( ) 00002.010.43
92.30079.092.3
233
max
323=⋅=⋅Γ=⇒= DA Sz
s
mS
Luego los desplazamientos en coordenadas reales del edificio A, de acuerdo al
criterio RCSC (raíz cuadrad de la suma de los cuadrados):
=
0404.0
0244.0
0110.0máxy
Luego los desplazamientos en coordenadas reales del edificio B, de acuerdo al
criterio RCSC (raíz cuadrad de la suma de los cuadrados):
=
0495.0
0455.0
0336.0máxy
Calculando los desplazamientos de entrepiso en el edificio A:
0110.0011 =−=∆ yy < 0.020 ok⇒
0134.0122 =−=∆ yy <0.020 ok⇒
0160.0233 =−=∆ yy <0.020 ok⇒
153
Calculando los desplazamientos de entrepiso en el edificio B:
0336.0011 =−=∆ yy > 0.020 No⇒
0119.0122 =−=∆ yy <0.020 ok⇒
0040.0233 =−=∆ yy <0.020 ok⇒
De acuerdo con lo anterior el edificio B no debe ser construido puesto que el
desplazamiento relativo del primer nivel es superior al desplazamiento relativo
máximo definido en el problema. Lo anterior se debe a la inversión de la rigidez de
los pisos con respecto al edificio A, en edificio B la menor rigidez de piso se ubica
en el primer nivel lo cual genera lo que se denomina un piso suave o blando.
6.1.4. A continuación del Capitulo 10, ejemplo 10.4 del libro “Dynamics of
Structures” de CHOPRA (1995))3( se presenta la estructura de la figura 6.12, la
cual se solicita por una aceleración en su base de valor )(tu s&& . Si la altura de
entrepiso es constante e igual a H y la rigidez flexional de las columnas es de
EI2 , se pide definir los desplazamientos asociados a cada uno de los grados de
libertad:
154
Figura 6.12 Estructura plana de dos niveles
Solución:
Las respectivas matrices de rigidez lateral y de masa concentrada se estiman de
acuerdo con:
−
−⋅=
kk
kkK
3
⋅=
m
mM
0
02
El problema característico que permite evaluar las respectivas frecuencias y
modos de vibrar (propiedades dinámicas de la estructura):
⇒=⋅− 02
MK ω 00
023 2 =
⋅⋅−
−
−⋅
m
m
kk
kkω
02)5()2( 2242 =⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅ kmkm ωω
155
m
k
⋅=
21ω y
m
k⋅=
22ω
Sea 3
24H
EIk ⋅=
31 464.3mH
EI⋅=⇒ω y
32 928.6mH
EI⋅=ω
Los respectivos autovectores:
=Φ
12
1
1 y
−=Φ
1
12
La matriz modal:
−=Φ
11
12
1
Normalizando los respectivos autovectores, se tiene:
( ) mMmT
⋅=
⋅
⋅=Φ⋅⋅Φ=
2
3
12
1
10
021
21
111
⋅=
⋅=Φ
2
1
6
1
12
11
1
1mm
( ) mMmT
⋅=
−⋅
⋅−=Φ⋅⋅Φ= 3
1
1
10
0211222
156
−⋅=
−⋅=Φ
1
1
3
1
1
11
2
2mm
Dado que se normalizo la matriz modal, se cumple que:
=
=
−
⋅
⋅⋅
−=Φ⋅⋅Φ=
10
01
M0
0M
m3
1
m6
2m3
1
m6
1
m0
0m2
m3
1
m3
1m6
2
m6
1
MM
*2
*1
T*
Los respectivos factores de participación modal:
mM
M
M
LT
63
21
*1
1
*1
11 ⋅=
⋅⋅Φ==Γ
mM
M
M
LT
31
*2
2
*2
22 =
⋅⋅Φ==Γ
Las ecuaciones desacopladas de movimiento del sistema:
)(63
2464.3 1
2
31 tumzmH
EIz s
&&&& ⋅⋅−=⋅
+
)(3928.6 2
2
32 tumzmH
EIz s
&&&& ⋅−=⋅
+
Conocidas las respuestas )(1 tz y )(2 tz en función de la aceleración del suelo
)(tu s&& y las condiciones iniciales del movimiento, los respectivos desplazamientos
reales )(1 tu y )(2 tu se estiman por:
157
)(1
13)(
2
1
6
1
)(
)(21
2
1tzmtz
mtu
tu⋅
−⋅+⋅
=
6.1.5. Un sistema lineal que puede idealizarse como un sistema de tres grados de
libertad tiene la matriz de masas que se indica. Se han calculado dos de las
formas modales y los valores de las tres frecuencias que son: 1φ = [ 0.25 0.50
1.00 ]T , 2φ = [ 0.25 0.50 – 0.1125 ]
T, ω1 = 2.51 rad/s, ω2 = 4.17 rad/s, ω3 =
12.57 rad/s. ¿ Cuál es la tercera forma modal ?
=
5000
0200
0010
Mm
ston 2−
a) 3φ = [ 1.00 0.50 0.25 ]T
b) 3φ =[ 1.00 – 0.50 0.50 ]T
c) 3φ =[ 0.00 0.50 0.50 ]T
d) 3φ = [ 1.00 - 0.25 0.00 ]T
Por condición de ortogonalidad de la matriz de masa con respecto a dos
autovectores ji ≠ , se tiene:
0M 3T1 =φ⋅⋅φ ⇒ 050105.2 332313 =φ⋅+φ⋅+φ⋅
0M 3T2 =φ⋅⋅φ ⇒ 0625.5105.2 332313 =φ⋅+φ⋅+φ⋅
Considerando opción d) 3φ = [1.00 - 0.25 0.00 ]T
OK⇒=⋅+⋅+⋅ 005025.01015.2
OK⇒=⋅+⋅+⋅ 00625.525.01015.2
158
6.1.6 Para la estructura de la figura:
Se requiere:
• Determinar las frecuencias del sistema, al igual que graficar cada una de
las formas modales.
−
−=
k2k
kk2K
=
m0
0mM
( ) 0m
k3m
k40MK
22 =⋅+⋅⋅λ−λ⇒=⋅λ−
m
k1 =λ y
m
k32 ⋅=λ
159
−=φ
11
11 y
⋅
=Ω
m
k30
0m
k
• Estimar la amplitud del desplazamiento horizontal de cada una de las
masas, cuando el sistema se encuentra en vibración libre.
0zKzMTT =⋅φ⋅⋅φ+⋅φ⋅⋅φ &&
=
⋅
+
⋅
0
0
z
z
k20
0k2
z
z
m20
0m2
2
1
2
1
&&
&&
)t(senz
)tcos(zz 11
011011 ω⋅
ω+ω⋅=
&
)t(senz
)tcos(zz 22
022022 ω⋅
ω+ω⋅=
&
160
=
⋅
−⋅=
0
3.0
3.0
3.0
11
11
2
1
z
z
02
01 y 0z0 =&
)tcos(3.0
3.0
0
)tcos(3.0
11
11
u
u1
1
2
1ω⋅
=
ω⋅⋅
−=
6.1.7. El marco de la figura tiene una masa total de 30.000 kg y la rigidez
flexional de cada columna es constante de valor EI=8000 KN-m2. Si a nivel del
diafragma horizontal rígido se aplica una fuerza impulsiva 1F , se pide
despreciando el amortiguamiento estructural:
• Estimar el valor del desplazamiento horizontal máximo, cuando se
aplica fuerza triangular descendente (caso (a)) y cuando se aplica una
fuerza constante (caso (b)) de magnitud 80F1 = kN y duración
35.0td = )s( .
161
0,840.3H
EI602
2
H
EI3
H
EI12K
333=⋅=⋅
⋅+⋅=
m
NK
31.111030
103840
3
3
1 =×
×=ω
s
rad, 56.0T1 = )s(
0208.03840
80uest == m
625.0T
td = DLF DLFuu estdin ×=
Carga Triangular 1.3 0.027
Carga Rectangular 2.0 0.042
162
• Concluya acerca de la influencia que tiene la forma del impulso
(triangular descendente vs. rectangular) en la respuesta del sistema.
El impulso rectangular es el doble que el impulso triangular (área
bajo la curva), esto se traduce en un incremento app. del 55% en el
desplazamiento horizontal del pulso rectangular con respecto al
triangular descendente.
• Para la situación más crítica desde el punto de los
desplazamientos, estime el valor de las fuerzas de corte que toman cada
una de las columnas.
320.28060
12DLFF
60
12F 1A =×⋅=⋅⋅= KN
640.28060
24FB =×⋅= KN
640.28060
24FC =×⋅= KN
6.1.8 El marco de la figura, se somete a una fuerza del tipo impulsiva
rectangular de 50 kN durante un tiempo de 22 )seg( a nivel del
diafragma horizontal rígido del primer nivel, si la altura de entrepiso es
constante 3H = m , se pide:
• La variación del desplazamiento horizontal en cada piso.
• Utilizando el espectro de fuerzas para una carga rectangular y el criterio
de superposición modal de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados
defina los desplazamientos máximos de piso.
163
Considere que la rigidez horizontal vale 0,000.8K = m
kN, 0,20M = T y
condiciones iniciales nulas.
Las respectivas matrices de rigidez lateral y de masa concentrada se estiman de
acuerdo con:
−
−=
kk
kk3K y
⋅=
m
mM
0
02
El problema característico que permite evaluar las respectivas frecuencias y
modos de vibrar:
164
⇒=⋅− 02
MK ω 0m0
0m2
kk
kk32 =
⋅ω−
−
−
0k2)mk5()m2( 2242 =⋅+ω⋅⋅⋅−ω⋅⋅
s
rad14,14
m2
k1 =
⋅=ω y
s
rad28,28
m
k22 =
⋅=ω
)s(44,0T1 = y )s(22,0T2 =
Los respectivos autovectores:
=Φ
12
1
1 y
−=Φ
1
12
Los componentes de la matriz de masa y rigidez generalizada valen:
⋅
⋅=
==Φ⋅⋅Φ=
m30
0m2
3
m0
0mMM
*
2
*
1T*
⋅
⋅=
==Φ⋅⋅Φ=
k60
0k4
3
k0
0kKK
*
2
*
1T*
)t(PuKuM =⋅+⋅ &&
)t(z)t(u ⋅Φ=
165
[ ] [ ]
⋅Φ=⋅Φ=⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ
0
)t(F)t(P)t(zK)t(zM
1TTTT&&
⋅−
⋅=
⋅Φ
⋅Φ=
⋅
+
⋅
)t(F1
)t(F2
1
)t(F
)t(F
z
z
60
04
3
kz
z
30
02
3
m
1
1
112
111
2
1
2
1
&&
&&
[ ] [ ] )()cos(11016.4)cos(1
2
32
))((
2
32)(
1
3
12
1
1
01
1
1
1
mtt
m
F
dtsen
m
F
tzt
ωωω
ττωω
−×=⋅−
⋅
=−
⋅
=
−
∫
[ ] [ ] )()cos(11004.1)cos(13
))((3
)(
2
3
22
2
1
02
2
1
2
mttm
F
dtsenm
Ftz
t
ωωω
ττωω
−×−=⋅−⋅
−
=−⋅
−=
−
∫
+
−=
⋅
−
=
)t(z)t(z
)t(z)t(z2
1
)t(z
)t(z
11
12
1
)t(u
)t(u
21
21
2
1
2
1
Utilizando el diagrama espectral para la fuerza rectangular de la figura inferior, se
tiene:
166
EzDLFz 11
max
1 )( ⋅=
0.2)DLF(5,044,0
22,0
T
t1
1
d =⇒==⇒
EzDLFz 22
max
2 )( ⋅=
0.2)DLF(0.122.0
22.0
T
t2
2
d =⇒==⇒
82,01016,42z1016,46000
25
k
2F
z3max
1
3
*
1
1
E
1 =×⋅=⇒×=== −− cm
21,01004,12z1004,1000.48
50
k
Fz 3max
2
3
*
2
1E
2 =×⋅=⇒×=== −− cm
167
46.0)z()z(u2max
212
2max
111
max
1 =⋅Φ+⋅Φ= cm
85.0)z()z(u2max
222
2max
121
max
2 =⋅Φ+⋅Φ= cm
6.1.9 Para un marco de tres niveles con relación de amortiguamiento del 5% del
crítico, se conoce la matriz de rigidez horizontal y la matriz de masa
concentrada. Si la estructura fuera sometida al espectro de aceleraciones
definido en la figura el que esta asociado a un amortiguamiento del 5% del
crítico, se pide:
m
kNK
−
−−
−
=
24240
245632
03268
m
skNM
2
0459.000
00510.00
000561.0⋅
=
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tn (s)
2 Sa (m/s )
168
Se pide:
• Determinar los desplazamientos sísmicos máximos de cada nivel usando el
espectro de aceleraciones dado y el criterio raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados.
• Evaluar la fuerza de corte basal en la estructura.
Resolviendo la ecuación característica 0MK2 =⋅ω− para evaluar las
respectivas frecuencias y periodos, se tiene:
56.111 =ω s
rad 54.0T1 =⇒ , 19.282 =ω
s
rad 22.0T2 =⇒ )(s
98.423 =ω s
rad 15.0T3 =⇒ )(s
Resolviendo el problema de autovalores asociado a cada frecuencia, la matriz
modal-normal:
−
−=Φ
228.1865.2475.3
11.3803.1586.2
793.2856.2368.1
g
TTTu1MzKzM &&&& ⋅⋅⋅Φ−=⋅Φ⋅⋅Φ+⋅Φ⋅⋅Φ
g*gT
T
T
T
uM
Lu
M
1Mz
M
Kz &&&&&& ⋅−=⋅
Φ⋅⋅Φ
⋅⋅Φ−=⋅
Φ⋅⋅Φ
Φ⋅⋅Φ+
gg*
2uu
M
Lzz &&&&&& ⋅Γ−=⋅−=⋅Ω+
169
=
⋅
⋅
−
−=⋅Φ=Γ
054.0
120.0
368.0
1
1
1
0459.000
00510.00
000561.0
228.111.3793.2
865.2803.1856.2
475.3586.2368.1
1MT
)s/m(40.1)S()s(15.0T
)s/m(00.2)S()s(22.0T
)s/m(75.2)S()s(54.0T
2
3a3
2
2a2
2
1a1
=→=
=→=
=→=
)m(
1009.4
1002.3
1057.7
98.42
40.1054.0
19.28
00.2120.0
56.11
75.2368.0
)S(
)S(
)S(
z
z
z
5
4
3
2
2
2
3d3
2d2
1d1
max
3
max
2
max
1
×
×
×
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅Γ
⋅Γ
⋅Γ
=
−
−
−
( ) ( ) ( ) )m(010.0zzzy2max
313
2max
212
2max
111
max
1 =⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=
( ) ( ) ( ) )m(020.0zzzy2max
323
2max
222
2max
121
max
2 =⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=
( ) ( ) ( ) )m(026.0zzzy2max
333
2max
232
2max
131
max
3 =⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=
170
135.01
)368.0(L
M
LM
2
1*
1
1E
1 ==⋅=
014.01
)120.0(L
M
LM
2
2*
2
2E
2 ==⋅=
32
3*
3
3E
3 1092.21
)054.0(L
M
LM
−×==⋅=
La suma de las masas modales efectivas debe ser igual a la masa total del
sistema:
OK153.0152.0MMMM E
3
E
2
E
1
E
T ⇒≈=++=
)kN(37.075.2135.0)S(MQ 1a
E
11b =⋅=⋅=
)kN(03.000.2014.0)S(MQ 2a
E
22b =⋅=⋅=
)kN(101.440.11092.2)S(MQ 33
3a
E
33b
−− ×=××=⋅=
)kN(37.0QQQQ2
3b
2
2b
2
1bmaxb =++=
171
CAPITULO 7
SISTEMAS GENERALIZADOS
7.1 SISTEMAS CON MASAS Y ELASTICIDAD DISTRIBUIDA
Este tipo de estructuras se caracteriza por tener infinitos grados de libertad siendo
muy difícil visualizar puntos en donde puedan definirse concentraciones de masa,
ejemplos de este tipo de estructuras son chimeneas, torres, etc. Sin embargo, es
posible realizar un análisis como si fuera un sistema con un solo grado de libertad
siempre que se suponga que solo una curva de deformación puede producirse
durante el movimiento, esto es, suponiendo que el conocimiento del
desplazamiento de un solo punto del sistema determina el desplazamiento del
sistema total (Paz,1992).
172
Las propiedades dinámicas que caracterizan a este tipo de estructuras son una
masa distribuida )x(m y una rigidez flexional distribuida )x(EI , figura 7.1.
Figura 7.1 Estructuras con masa y elasticidad distribuida
Consideremos la fuerza de inercia que genera cuando existe una aceleración en la
base:
)t,x(u)x(m)t,x(f tI
&&⋅−= (7.1)
[ ])t(u)t,x(u)x(m)t,x(f gI&&&& +⋅−= (7.2)
173
Utilizando el principio de los desplazamientos virtuales (PDV), el cual establece
que el trabajo virtual de un campo de tensiones estáticamente admisible, sobre un
campo de desplazamientos virtuales cinematicamente admisible, es igual el
trabajo virtual que realizan las fuerzas externas.
Considerando únicamente la acción de la fuerza de inercia, se tiene:
.ext.int WW δ=δ (7.3)
Donde:
dxxutxfWL
Iext )(),(=0
. δδ ∫ (7.4)
dx)x(u)x(m)t(udx)x(u)t,x(u)x(mWL
0
L
og.ext ⋅δ⋅∫⋅∫ −⋅δ⋅⋅−=δ &&&& (7.5)
∫ δ⋅=δL
0.int dx)t,x(k)t,x(MW (7.6)
Con la curvatura, calculada por:
)EI(
)t,x(M
dx
)t,x(ud)t,x(k
2
2
−== (7.7)
Siendo )t,x(M el momento flector uniformemente distribuido por unidad de
longitud y tiempo, y )t,x(kδ la curvatura virtual del elemento. Evaluando las
derivadas espaciales y temporales de la función de aproximación de la respuesta:
)t(z)x()t,x(u ⋅ϕ= y )t(z)x()t,x(u δ⋅ϕ=δ (7.8)
174
Con:
:)x(ϕ Función de forma que satisface las condiciones de contorno del problema y
que se define a partir de la configuración deformada. En el caso particular de la
figura 7.1, 0=)0=x(ϕ y 0=)0=x('ϕ (condición de empotramiento en la
base).
:)t(z Coordenada generalizada correspondiente al desplazamiento del extremo
libre del elemento.
Derivada espacial:
)t(z)x("
)EI(
)t,x(M
dx
)t,x(ud)t,x(k
2
2
⋅ϕ=−==
)t(z)x()t,x(k " δ⋅ϕ=δ
Derivada temporal ⇒ )t(z)x()t,x(u &&&& ⋅ϕ= (7.9)
Reemplazando en ecuación (7.5) y (7.6):
∫ ∫ ⋅ϕ⋅⋅+⋅ϕ⋅⋅⋅δ−=δL
0
L
0g
2ext dx)x()x(m)t(udx)x()x(m)t(z)t(zW &&&& (7.10)
( )
∫ ϕ⋅⋅⋅δ−=
⋅δ⋅∫ ⋅⋅δ−=δ
L
0
2"L
0int dx)x()x(EI)t(z)t(zdx)x(k)x(k)x(EI)t(zW
(7.11)
Igualando (7.10) y (7.11) (principio de los desplazamientos virtuales), se tiene:
)t(uL)t(zk)t(zm g&&&& ⋅−=⋅+⋅ (7.12)
175
Con, los siguientes parámetros generalizados (masa, rigidez):
[ ] dx)x()x(mm
2L
o
∫ ϕ⋅= (7.13)
[ ] dx)x()x(EIk
2L
0
"∫ ϕ⋅= (7.14)
∫ ϕ⋅=L
0
dx)x()x(mL (7.15)
Dividiendo (7.12) por la masa generalizada:
)t(u)t(um
L)t(z)t(z gg
2n
&&&&&& ⋅Γ−=⋅−=⋅ω+ (7.16)
En donde, se define el coeficiente de Rayleigh, que corresponde a la frecuencia
fundamental en un sistema con masa y elasticidad distribuida:
[ ]
[ ]∫
∫
ϕ⋅
ϕ⋅
=ωL
0
2
L
0
2"
2n
dx)x()x(m
dx)x()x(EI
(7.17)
Las fuerzas internas (momentos flectores y cortes) se calculan por análisis estático
en analogía con una viga con carga uniformemente distribuida:
)x(qdx
)x(dV)x(V
dx
)x(dM=⇒= (7.18)
La fuerza de corte a lo largo del sistema, se evalúa por:
176
[ ] [ ]"""
2
2
s )t,x(u)x(EI)x(M)x(qdx
)x(Md)t,x(f ⋅==== (7.19)
De ecuación (7.8) )t(z)x()t,x(udx
)t,x(ud ""
2
2
⋅ϕ== , reemplazando en (7.19):
[ ] [ ] )t(z)x()x(EI)x(M)t,x(f"""
s ⋅ϕ⋅== (7.20)
Fuerzas que dependen de las derivadas de las funciones de forma. Puesto que las
derivadas son de cuarto orden, las funciones de formas resultan menos precisas
que los desplazamientos.
Con respecto a la respuesta sísmica máxima, esta se puede calcular a partir de:
ω⋅Γ=⋅Γ=
2n
AD
max SSz (7.21)
Dmaxmax S)x(z)x(u ⋅Γ⋅ϕ=⋅ϕ= (7.22)
[ ] AD2n
maxmaxs S)x()x(mS)x()x(muk)t,x(f ⋅Γ⋅ϕ⋅=⋅Γ⋅ϕ⋅⋅ω=⋅= (7.23)
En el caso de existir una fuerza dinámica )t(p aplicada, la ecuación de
movimiento vale:
)t(p)t(zk)t(z)x(m =⋅+⋅ && (7.24)
En donde la fuerza generalizada se define por:
177
∫ ϕ⋅=L
0
dx)x()t,x(p)t(p (7.25)
De forma similar, el coeficiente de amortiguación generalizado c vale:
dxxxccL
∫ )()(=0
2ϕ (7.26)
Considerando ahora el trabajo que realiza el peso de la estructura o una carga
axial aplicada N, es posible determinar la influencia que dicha acción tiene sobre la
rigidez. Para ello es necesario calcular la componente vertical del movimiento
)(tδ del extremo libre (ver figura 7.1) y calcular la rigidez geométrica
generalizada (Paz, 1992).
[ ] dxxNkL
G
2
0
'* )(= ∫ϕ (7.27)
En consecuencia, la rigidez generalizada efectiva, esta dada por…………:Falta
aquí debo incluir rigidez efectiva!!!
7.2 METODO DE RAYLEIGH
En general la deformada (curva elástica) en estructuras continúas y discretas de
múltiples grados de libertad, puede ser elegida arbitrariamente (con la condición
que satisfaga las condiciones de contorno) y dependiendo de cuan cercana este
de la deformada real se tendrán mejores o peores resultados, en la estimación de
la frecuencia fundamental.
Dado que el sistema es conservativo, se tiene que cuando la energía cinética es
máxima la energía potencial es nula (es decir, cuando el sistema pasa por el
origen) y viceversa, es decir, cuando se produce el cambio de dirección del
péndulo, el desplazamiento es máximo y la velocidad nula (energía potencial
máxima y energía cinética nula).
178
Puesto que el sistema es conservativo, la energía total es la misma en ambas
situaciones.
Por ejemplo considérese el cálculo de la frecuencia fundamental en el sistema de
la figura 7.2, la energía potencial, en este caso, es igual al trabajo realizado por
las fuerzas de inercia asociado a cada una de las masas gmW jj ⋅= con las que
el sistema se a “discretizado”:
nn2211maxpotext yW
2
1...yW
2
1yW
2
1Ew +++== (7.28)
Figura 7.2
179
Para un movimiento armónico, las velocidades máximas son proporcionales al
desplazamiento máximo por la frecuencia ( iyω ). Por lo tanto el valor de la
energía cinética máxima seria:
2n
n22
221
1maxcin )y(
g
W
2
1...)y(
g
W
2
1)y(
g
W
2
1E ωωω +++= (7.27)
Puesto que la energía se conserva existe igualdad la energía potencial máxima y
cinética, aunque ocurran en instantes diferentes (energía potencial máxima
cuando el desplazamiento es máximo ( 0y =& ) y energía cinética máxima cuando
la velocidad es máxima ( 0y = )).
maxpot
maxcin EE = (7.28)
∑
∑=
+++
+++=
=
=
n
1i
2ii
n
1iii
2n
222
211
nn2211
yW
yWg
yW...yWyW
)yW...yWyW(gω (7.29)
Que corresponde a la ecuación de Rayleigh, para determinar la frecuencia
fundamental en un sistema con masas distribuidas
7.1.1. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Una chimenea de hormigón ( MPaE 000.20= ) de 31 m de altura y sección
circular tubular, se encuentra inicialmente en reposo. Se desea analizar el
comportamiento de dicha estructura cuando se somete a un espectro de
aceleraciones definido por (g=9.8 2s
m y %5=ξ ), ver figura 6.9:
g)2.0T2(%)5,T(Sa ⋅+⋅==ξ , si 1.00 ≤≤ T
g4.0%)5,T(S a ⋅==ξ , si 3.01.0 ≤≤ T
180
g)T25.0475.0(%)5,T(Sa ⋅⋅−==ξ , si 3.0≥T
La estructura puede considerarse con paredes de espesor uniforme de 10 cm. y
un radio exterior de 80 cm. La masa por unidad de longitud es constante y vale
m
kg2500 .
Figura 7.2 Chimenea
Se pide responder a las siguientes preguntas cuando se considera una función de
forma igual a 2
2
)(L
xx =Ψ para describir el movimiento:
Definir la ecuación de movimiento del sistema.
Estimar el periodo fundamental utilizando el coeficiente de Rayleigh.
Estimar el desplazamiento del extremo libre ),31( txu = m para la excitación
definida por el espectro de aceleraciones.
181
Dibuje la distribución de fuerzas estáticas equivales que actúan sobre la
estructura, cuando se somete a la excitación definida por el espectro de
aceleraciones.
Solución:
Propiedades del sistema:
A = ⋅π (0.82 - 0.7
2) = 0.471 [m
2]
I0 = [ ]44444 13.2)4.16.1(4
)(4
mdD =−π
=−π
m(x) = m = 2500 Kg/m
L = 31 m
E= [ ]210 /102 mN⋅
222
2 2)(''
2)(')(
Lx
L
xx
L
xx =ψ⇒=ψ⇒=ψ
Propiedades generalizadas:
[ ] [ ]KgmL
L
mxdx
L
xmdxxxmm
LL
o
L
o
1550055
)()(
0
4
52
2
22
===
=ψ= ∫∫
(7.30)
[ ] [ ]mNL
EI
L
EIxdx
LEIdxxxEIk
LL
o
L
o
/10719.5442
)('')( 6
3
0
4
2
2
2⋅===
=ψ= ∫∫
(7.31)
[ ]KgmL
L
mxdx
L
xmdxxxmL
LL
o
L
o
3.2583333
)()(
0
2
3
2
2
====ψ= ∫∫
182
(7.32)
La ecuación de movimiento en función de las propiedades generalizadas es:
guLtzktzm &&&& ⋅−=⋅+⋅ )()( (7.33)
2
2
2
2
67.1)(97.368)(dt
udtztz
dt
d g⋅−=+ (7.34)
Estimación de la frecuencia del sistema utilizando el coeficiente de Rayleigh:
[ ]sradmL
EI
m
kn /21.19
204
===ω , donde k y m , fueron calculados
anteriormente
[ ]sT 33.021.19
22=
π=
ω
π=
Para el periodo obtenido:
[ ]mSaSd 0104.0/ 2 =ω=
El desplazamiento máximo del extremo libre se obtiene como:
Donde m
L=Γ =1.67
Además se conoce que:
[ ]2/864.38.9)33.025.0475.0( smSa =⋅⋅−=
[ ]mSdz 0174.00104.067.1max =⋅=⋅Γ=
183
[ ]mxzL
xtxu
25
max2
2
1081.1),(−⋅== (7.35)
Así: [ ]mutu 0174.0),31( max == (7.36)
La distribución de fuerzas estáticas se determina como:
[ ] [ ]NxtxuxmxF 22 69.16),()()( =⋅⋅ω= (7.37)
184
CAPÍTULO 8
ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
8.1 INTRODUCCIÓN
Dentro de los métodos de análisis dinámico de sistemas, es posible realizar dos
tipos de análisis para determinar su comportamiento y características dentro de un
periodo de tiempo finito esto es a través de realizar un análisis en el dominio del
tiempo o en el dominio de la frecuencia.
8.2 CONTENIDO DE FRECUENCIA
Debido a la naturaleza dispersiva con que viajan las ondas en medios elásticos,
que se manifiestan con las diferentes velocidades en que se trasladan los distintos
tipos de ondas sísmicas en un terremoto, el contenido de frecuencia de un
acelerograma nos muestra una evolución temporal que describe el desfase en la
llegada de las ondas sísmicas con sus diferentes frecuencias. Se observa también
de los registros de aceleraciones que las ondas de periodos cortos llegan al
185
comienzo y las de periodos más largos lo hacen al final. Estas características
hacen necesario estudiar el contenido de frecuencias tanto en su estructura como
en su evolución lo cual es una forma de representar los sismos.
Además, en ciertas situaciones es más conveniente utilizar el análisis en el campo
de la frecuencia, porque se puede llegar más rápido a la obtención de la respuesta
en comparación con las técnicas numéricas presentadas para el cálculo en el
campo del tiempo. Para conocer el contenido de frecuencias dentro de un
acelerograma de un sismo cualquiera y transformar el análisis en el campo de la
frecuencia para la ecuación diferencial lineal que describe el fenómeno vibratorio
es común utilizar la transformada de Fourier y su inversa.
8.3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA DINÁMICO
Si se considera un sistema dinámico como el mostrado en la figura 8.1 cuya
respuesta x(t) es producida por un movimiento sísmico del terreno de aceleración
a(t).
Donde m representa la masa del sistema, c la razón de amortiguamiento del
sistema, k la rigidez del sistema y x la coordenada del eje x. La ecuación
x m c
a(t)
Figura 8.1 Modelo sísmico con un grado de libertad
k
186
diferencial que rige el movimiento del sistema bajo la hipótesis de invariancia
temporal es decir si la respuesta a una excitación a(t) es x(t) y para una excitación
a(t+t0) se traslada t0 proporciona una respuesta x(t+t0) con t0 como una constante
arbitraria es
)()()()()( tftmatkxtxctxm =−=++ &&& (1)
La ecuación (1) esta expresada en el dominio del tiempo para llevar tal ecuación al
dominio de la frecuencia se utiliza a transformada de Fourier, en el caso particular
la excitación f(t) y para la respuesta x(t) estas vienen definidas por:
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−− −=⋅−=⋅= )()()()( θθ θθmAdtetamdtetfF
titi (2)
∫∞
∞−
−⋅= dtetxXtiθθ )()( (3)
En donde θ es la frecuencia de excitación del sistema y A(θ) la transformada de
Fourier de la aceleración sísmica a(t). Considerando que en la Ingeniería Sísmica
las señales de excitación y respuesta f(t) y x(t), respectivamente son finitas,
continuas y acotadas, las integrales de (2) y (3) y sus respectivas transformadas
de Fourier existen, por lo cual siempre pueden ser evaluadas. Lo mismo ocurre
con respecto a las transformadas inversas de Fourier las cuales se definen por
∫∞
∞−
⋅= θθπ
θdeXtx
ti)(
2
1)( (4)
∫∞
∞−
⋅= θθπ
θdeFtf
ti)(
2
1)( (5)
La función de transferencia o función del sistema H(θ), formulada en el campo
complejo de la frecuencia se expresa en la forma:
187
)(
)()(
θ
θθ
F
XH = (6)
Por consiguiente, la respuesta compleja en frecuencias se expresa en la forma
)()()()()()()( θθθθθθθ AHmAmHFHX ⋅⋅−=⋅−⋅=⋅= (7)
Donde (7) no es más que el producto de la transformada de Fourier de la
excitación y de la función de transferencia del sistema.
8.4 Respuesta a una excitación cualquiera
Si el sistema de la figura 1 esta sometido a una acción sísmica cualquiera, definida
por su aceleración a(t). La respuesta en desplazamiento del sistema se obtiene
aplicando la transformada de Fourier a la ecuación (1).
( ) ∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
⋅⋅−=⋅⋅++ dtetamdtetkxtxctxmtiti θθ
)()()()( &&& (8)
Se supone que el sistema se encuentra inicialmente en reposo, se obtiene
ecuación lineal de coeficientes complejos.
[ ] )()()(2 θθθθθ FAmXkcim =⋅−=+⋅+⋅− (9)
En donde A(θ) es la transformada de Fourier de la aceleración del terreno y X(θ) la
transformada de Fourier de la respuesta. Utilizando (9) la respuesta en el campo
complejo de la frecuencia se puede expresar de la siguiente manera:
kcim
F
kcim
AmX
+⋅+⋅−=
+⋅+⋅−
⋅−=
θθ
θ
θθ
θθ
22
)()()( (10)
188
De la comparación de (7) con (10), resulta que en el caso dinámico más general,
la función de transferencia compleja de un sistema de un solo grado de libertad
adopta la expresión.
kcimH
+⋅⋅+⋅−=
θθθ
2
1)( (11)
Que puede escribirse como
)2(
1)(
22 θωθξθθ
+⋅⋅⋅⋅+−=
imH (12)
En (11) se han utilizado las expresiones
mc ⋅⋅⋅= ωξ2 y m
k=2ω
Donde ω es la frecuencia del sistema y ξ la fracción del amortiguamiento critico.
Al utilizar la representación polar de números complejos, la función de
transferencia compleja la podemos expresar como:
ϕθθ ieHH −⋅= )()( (13)
Cuyo modulo es definido por:
[ ]( ) [ ]( )22)()()( θθθ HHH ℑ+ℜ= (14)
Mientras que el ángulo de fase de la función de transferencia también conocido
como ángulo de fase de Fourier vale:
189
( )( ))(
)()tan(
θ
θϕ
H
H
ℜ
ℑ= (15)
En el caso sísmico, la función de transferencia compleja de un sistema con un
grado de libertad se escribirá, de acuerdo a (12), en la forma
)2(
1)(
22 θωθξθθ
+⋅⋅⋅⋅+−=
iH (16)
Otra forma de llegar a la expresión (11) es utilizar dos funciones f1(t) y f2(t) cuyas
transformadas de Fourier son respectivamente F1(θ) y F2(θ). Se define como
integral de convolución la expresión:
∫∫ −=−⋅=tt
dftfdtfftf0
21
0
21
*)()()()()( ττττττ (17)
El teorema de Duhamel (llamado también teorema de Bohel) afirma que la
transformada inversa del producto de dos transformadas de Fourier es igual a la
integral de convolución de las inversas de las dos transformadas:
)t(f=d)(f)t(f=d)t(f)(f=d)(F)(F2
1 *+ t
0
t
021211∫ ∫ ∫
∞
∞ττττττθθθ
π
(18)
En conformidad con este teorema, la respuesta en el dominio del tiempo del
sistema analizado se puede expresar a partir de la ecuación (3) de la siguiente
manera:
=⋅⋅−
=⋅= ∫∫∞
∞−
∞
∞−
θθθπ
θθπ
θθdeAH
mdeXtx
titi)()(
2)(
2
1)(
190
∫ ∫ ⋅−−=−⋅−=t t
datfmdtafm0 0
)()()()( ττττττ (19)
Para conocer la solución x(t) con la ecuación (19) es necesario conocer la función
del sistema f(t) en el campo del tiempo. La transformada de Fourier de esta
función se puede obtener sin aplicar dicha transformada a cada término de la
ecuación (1). Esto se realiza considerando que sobre el sistema actúa una
excitación armónica de frecuencia θ, definida por la expresión:
tiemtam θ⋅−=⋅− )( (20)
La excitación se considera de duración infinita: ),( +∞−∞∈t . Con esto la
ecuación (19) proporciona el siguiente resultado:
∫∫∞
∞−
−∞
∞−
− ⋅⋅−=⋅−= ττττ θτθτθdfeemdefmtx
ititi)()()(
)( (21)
Si se tiene en cuenta que:
∫∞
∞−
− =⋅ )()( θττθτHdfe
i (22)
resulta:
tieHmtx θθ ⋅⋅−= )()( (23)
Esta ecuación expresa el hecho de que la respuesta del sistema producida por la
excitación armónica es igual al producto entre la excitación armónica y la función
del sistema en el campo complejo H(θ). Resulta que la función H(θ) se puede
obtener sustituyendo (20) en la ecuación de movimiento (1):
titititi emeHkmeHmceHm θθθθ θθθθθ ⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ )()()(22
(24)
191
De donde:
++
=++
=++
=
1i2k
1
mmi2m
1
kcim
1)(H
2
222
2
ω
θξ
ω
θωωξθθ
θθθ
(25)
Es la misma expresión que (11).
En los diagramas siguiente se observan los pasos para resolver los problemas en
el campo complejo de la frecuencia.
Ecuación diferencial en el campo del tiempo
Operación de Transformación directa
Calculo de la solución de la ecuación algebraica con coeficientes complejos
Operación de Transformación inversa
Solución en el campo del tiempo
Figura 8.2. Diagrama del cálculo sísmico en el campo complejo de la frecuencia
192
CAPITULO 9
REFERENCIAS
1. BARBAT, Alex H. (1983) “Calculo sísmico de las estructuras”, Editores
técnicos asociados, S.A., Barcelona. España
2. BARBAT, Alex H. y MIQUEL J. (1994) “Estructuras sometidas a acciones
sísmicas”, CIMNE, Barcelona. España
3. CHOPRA, Anil K. (1995) “Dynamics of Structures”, theory and aplications
to earthquake engineering, University of California at Berkeley, Editorial
Prentice Hall, New Jersey.
4. CLOUGH, Ray W. y PENZIEN, Joseph (1982) “Dynamics of Structures”,
edition 5ª, International Student Edition, McGraw-Hill International Book
Company.
5. OLLER, Sergio (1995) Apuntes del Curso “Dinámica Estructural”,
Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona. España.
Características estructurales
f(t), H(θ)
Respuesta sísmica x(t), X(θ)
Excitación sísmica a(t) , A(θ)
Datos de entrada Incógnita
Figura 8.3. Diagrama del análisis sísmico
193
6. PAZ, Mario. (1992) “Dinámica Estructural”, Teoría y Calculo, Editorial
Reverte S.A., Barcelona. España.
7. FEMA 451 http://www.bssconline.org/FEMA451B/451Bchapters.htm
8. GOYTIA, I. y VILLANUEVA, R. (2001) Texto Guía de “Ingeniería
Antisísmica”, Facultad de Ciencias y Tecnología, Carrera Ingeniería Civil.
Universidad Mayor de San Simón, Cochabamba, Bolivia.
http://www.umss.edu.bo/librostextoss.php
