P y E 2014 Clase 2Gonzalo Perera1 3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad....
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P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 1
3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. *Lanzamiento de un dado equilibrado:
“Probabilidad de que salga un cinco=1/6=0.1666666......”
n= número de lanzamientos (independientes)N(n)= veces que sale el 5p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n
n N(n) p(n)
10 3 0.30
100 15 0.15
1000 167 0.167
10000 1665 0.1665
100000 16661 0.16661
Para n tendiendo a infinito, p(n) se aproxima a 1/6.
P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera 2
NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable).ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable).
Un experimento aleatorio es aquel que por su complejidad y variabilidad no aspiraremos a predecir “caso por caso”, sino solamente en frecuencias.
Dado un experimento aleatorio,
= conjunto de todos los resultados posibles.
Ejemplo: en el lanzamiento del dado, ={1,2,3,4,5,6}
Para cada resultado posible , su probabilidad, p() representa la
frecuencia con que ocurre el resultado en un gran número de intentos independientes.
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Un suceso o evento A es un subconjunto de .
Ejemplo: en el lanzamiento del dado,
A= “sale un resultado par”= {2,4,6}.
Representación conjuntista:
Si A y B son sucesos
“Ocurren A y B” = A B“Ocurre A o (incluyente) B” = A B“No ocurre A” = Ac
“Ocurre algo”(suceso cierto) = “No ocurre nada” (suceso imposible) = Ø
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Si es finito y A un suceso, la probabilidad de A es
Algunas propiedades de la Probabilidad:
1) P( )=1 2) P(AB)=P(A)+P(B) si A y B incompatibles (AB = Ø)
3) P(Ac)=1-P(A) 4) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A)= A p()
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¿Qué es la inferencia estadística, qué tiene que ver con las probabilidades?
Ejemplo (de alto contenido dramático):
En un depósito sucio, bastión de la Ciudad Vieja..........
n= número de lanzamientos (independientes)N(n)= veces que sale el 5p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n
n N(n) p(n)
10 1 0.10
100 23 0.23
1000 258 0.258
10000 2497 0.2497
100000 25006 0.25006
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Mmmmmm…….
No parece sensato suponer la hipótesis
H0: p(5)=1/6 (del modelo equiprobable)
ESTE FUE UN PRIMER EJEMPLO DE INFERENCIA ESTADISTICA
Conclusión: Rajemos!!!
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Inferencia Estadística: cómo funca?????
Datos empíricos Predicciones (Frecuencias)
Modelo
Estadística Cálculo de Probabilidades
KOLMOGOROV: ¿COMO HACER TEORIA, CALCULO Y COMPARACIONES TOTALMENTE RIGUROSOS?
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Axiomática de Kolmogorov y Continuidad de la Probabilidad Hoja de ruta.
1.Algebras de Boole y Sigma-álgebras.
2.Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas
3.Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas y comparación con AF.
4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK)
5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF
6.Explicación del término “Continuidad” en el TCP
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En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice un ALGEBRA DE BOOLE en si cumple que:
a) A b)Si B A, entonces Bc A c)Si B A y C A , entonces BC
A
1. Algebras de Boole y Sigma-álgebras.
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Ejemplos:
Hay dos ejemplos triviales, que son el álgebra más grande
P( )={ todos los subconjuntos de } ( llamado “conjunto de partes de ”, o “conjunto potencia de ”)
y el algebra más chica
T( )={ , Ø}
Un ejemplo no trivial: = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito}(Para comprobarlo, recordar De Morgan (B C) c = Bc Cc )
Otro ejemplo no trivial:
= Números reales A ={ B: B es numerable o Bc es numerable}
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En un conjunto cualquiera, una familia A de subconjuntos de se dice una ALGEBRA (SIGMA ALGEBRA ) en si cumple que:
a) A b)Si B A, entonces Bc A
c)Si para todo n natural Bn A, entonces
{n N} Bn A
De a) y b) resulta que Ø A De la observación anterior aplicada a c)resulta
que: TODA SIGMA ALGEBRA ES UN ALGEBRA DE BOOLE
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Un ejemplo de un ALGEBRA DE BOOLE que NO ES una SIGMA ALGEBRA.
= Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito}
Ya vimos que es álgebra de Boole.
Si Bn={2n} para todo natural n, la unión de todos los Bn nos da el conjunto de los pares, que no es finito, y cuyo complemento, los impares, tampoco lo es, por lo cual no pertenece a la clase A.
Por ende la clase A NO ES UNA SIGMA ALGEBRA
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Una PROBABILIDAD FINITA ( o PROBABILIDADSEGUN LA AXIOMATICA FINITA) en es unafunción con dominio en A álgebra de Boole en quecumple los siguientes axiomas AF1) P(B) ≥ 0 para todo B A
AF2) P( )=1 AF3) P(AB)=P(A)+P(B) si A , B A y son
incompatibles (AB = Ø)
2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas
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Ejemplos.
1)Si es el conjunto de los naturales y pn es una sucesión de números no-negativos cuya serie converge a 1, A es el conjunto de partes de para todo B contenido en se define
P(B)=∑ {n B} pn, entonces P cumple AF.
2) Si = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} y se define P(B)=0 si B es finito y P(B)=1 si Bc es finito entonces AF1) y AF2) son obvias. Para AF3) observar que si B y C pertenecen a A y son incompatibles, entonces no puede ser cierto a la vez que Bc es finito y que Cc es finito , pues la incompatibilidad y De Morgan implican que Bc Cc = . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que B es finito. AF3) se verifica discutiendo si C es finito o de complemento finito.
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Propiedades básicas.
1)P(Bc )= 1- P(B) (aplicar AF3)2)P(Ø )=0 (AF2 y punto anterior)3)Si B,C son elementos de A y B C y definimos C-B= C Bc entonces P(C-B)=P(C)-P(B) y por ende P(B)≤ P(C)(Poner C=B [C Bc ] , aplicar AF1 y AF3)4) ) Fórmula de Inclusión-Exclusión. Si B,C son elementos de A entonces: P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC)(Poner: C=[CB] [C Bc ], BC=B [C Bc ] y usar AF3)
5) Si n natural y B1,….,Bn son elementos de A que son incompatibles (la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces
P({1≤i≤n} Bi )= ∑ {1≤i≤n} P(Bi ) (AF3 e inducción completa en n)
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3. Axiomática de Kolmogorov (AK).Propiedades básicas
Una PROBABILIDAD ( o PROBABILIDAD SEGUN LA AXIOMATICA DE KOLMOGOROV) en es una
función con dominio en A SIGMA-ALGEBRA en quecumple los siguientes axiomas:AK1) P(B) ≥ 0 para todo B A
AK2) P( )=1 AK3) Si para todo n natural Bn A y la intersección de dos
cualquiera de ellos es vacía) entonces
P({n N} Bn )= ∑ {n N} P(Bn ) (esto implica la convergencia
de la serie a la derecha)
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Propiedades básicas.
1)P(Ø )=0 (poner Bn=Ø para todo n en AK3, son incompatibles y la serie divergería si no fuera P(Ø )=0 )
2)AK Implica AF: una sigma-álgebra es álgebra de Boole, AK1 y AK2 coinciden con AF1 y AF2 y para probar AF3, usar AK3 con B1=B, B2=C y Bn=Ø para todo n ≥ 3 y aplicar el punto anterior.
Se aplican entonces las propiedades básicas vistas en el slide 8 a las Probabilidades según Kolmogorov, y cada vez que digamos “Probabilidad” nos referiremos a la axiomática de Kolmogorov.
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Como no toda álgebra de Boole es sigma-álgebra, una probabilidad según AF no tiene por qué serlo según AK, pero es razonable ahondar en la diferencias entre ambos axiomáticas y preguntarse:
¿ Qué tan diferentes son AF y AK? ¿ No será que, por ejemplo, AF3) y AK3) son en realidad la misma propiedad?
La lectura apresurada de 5) del slide 8 a veces nos hace responder “SI” a la segunda pregunta, por ejemplo, PERO LA RESPUESTA CORRECTA ES “NO”.
DAREMOS DOS EJEMPLOS MOSTRANDO CUAN DIFERENTES SON AF Y AK.
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Primero:Ejemplo de P que no cumple AF en una -álgebra A, aunque cumple AF en un álgebra de Boole A* más pequeña que A (“Cuanto más grande el dominio, más cuesta conservar una determinada propiedad”)
Observaremos además que P no cumple AK ni
siquiera en A*.
Ergo, AK3) y AF3) NO son lo mismo: AK3)es más exigente que AF3)
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Sean = N, A* ={ B: B es finito o Bc es finito}.
Como ya vimos en el slide 5 , A* es álgebra de Boole y no -álgebra.
Dejamos como ejercicio verificar que la menor -álgebra A que contiene a A* (lo que se llama “-álgebra generada por A* ”) es el conjunto partes de N, A=P( N).
Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso.
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Como vimos en el slide 7, sobre A* , P cumple AF.
Pero no en A: consideremos B el conjunto de los pares y C el de los impares, que son incompatibles. Como Bc es C, que es infinito, y viceversa, P(B)=P(C)=0. Si P cumpliera AF en A entonces:1=P(N)=P(BC)=P(B)+P(C)=0+0=0, lo cual es ABSURDO.
Para todo n natural tomemos Bn={n}, que son elementos de A* ,
incompatibles entre sí. Observando que N={n N} Bn, que es un
elemento de A* , y que 1=P(N)=P({n N} Bn), mientras que
∑ {n N} P(Bn ) =0, ya que P(Bn ) =0 para todo n, se concluye que P
no cumple AK3) ni siquiera en A* .
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Segundo: Ejemplo de P que verifica AF en una -álgebra pero que no verifica AK.
Consideremos =[0,1 ], A=P( ). El gran matemático polaco S. Banach construyó una P definida en la -álgebra A que es muy “natural” como modelo de sorteo al azar pues a un intervalo le asigna como probabilidad su longitud.
Banach mostró que dicha P CUMPLE AF pero NO CUMPLE AK.¡Asi que la “longitud” es el ejemplo en que AK no vale y AF si!
Naturalmente, la definición rigurosa de la “longitud” para un conjunto arbitrario asi como la verificacion de que vale AF y no AK, la referimos a libro como el de R.M. Dudley o P. Halmos (ver texto)
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Break: ARIEL ROCHE LOWCZY
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4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK)
Si P una Probabilidad (por última vez remarcamos que en el sentidoAK) en definida sobre la -álgebra A y Bn es un elemento de A para todo n natural, entonces:
a)Si Bn Bn+1 para todo n natural, entonces
P({n N} Bn)= lim n P(Bn).
b) Si Bn+1 Bn para todo n natural, entonces
P({n N} Bn)= lim n P(Bn).
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Esquema de la prueba:
a)Tomar C1= B1 y Cn= Bn – Bn-1 para todo n natural de 2 en adelante (anillos). Estos conjuntos son incompatibles, su unión es igual a la de los B´s y usando la propiedad 3) del slide 8 resulta que la serie de sus probabilidades es telescópica.
b) Se reduce al caso anterior tomando complemento.
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5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF
• Sean = N, A*={ B: B es finito o Bc es finito}.
Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso.
Ya vimos que P cumple AF.
Si Bn={0,1,…,n}, tenemos una sucesión creciente de sucesos, con P(Bn)=0, por lo que su límite es 0, mientras que
{n N} Bn=N y P(N)=1.
• El ejemplo de Banach de “longitud” aporta un caso de AF en una -álgebra, y donde no vale TCP.
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De hecho puede probarse el siguiente teorema:
Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si cumple el teorema de continuidad.
O incluso el siguiente teorema, aún más elocuente:
Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si es “continua en el vacío”( esto es, para toda sucesión decreciente de sucesos cuya intersección es Ø, el límite de las P de los sucesos es 0).
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6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP
Inspirados en la definición de lim sup y lim inf para sucesiones reales y de lim cuando lim inf = lim sup ( siempre se tiene que lim inf ≤ lim sup) se definen el lim inf y el lim sup de sucesiones de conjuntos y el lim inf siempre está contenido en el lim sup. Cuando el lim inf y el lim sup coinciden se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite.
Si Bn es una sucesión cualquiera de conjuntos, el TCP permite probar que:
P( lim inf Bn ) ≤lim inf P(Bn ) (llamado a menudo “Lema de Fatou”)P( lim sup Bn ) ≥lim sup P(Bn )
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Si existe lim Bn se concluye que existe lim P(Bn ) y que
P(lim Bn )= lim P(Bn )
Como la propiedad que caracteriza la continuidad de una función en términos de sucesiones es “la intercambiabilidad” de la aplicación de la función y el pasaje al límite, el resultado
anterior indica que la Probabilidad, como función definida sobre los conjuntos, es una función continua (gracias a Kolmogorov).