Universidad Simn BolvarDepartamento de MatemticasPuras y AplicadasEneroMarzo 2011

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2do. Parcial de Matemticas VII. Bloque C (1:30 PM)

TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER; a 2 R; c > 0 y ; 2 C(La expresin 1(c;c)(x) indica la funcin que vale 1 para c < x < c y 0 en otro caso)

f(x) f^(!)

f(x a) eia! f^(!)eiaxf(x) f^(! a)f(cx) 1c f^(

!c )

f(n)gen(x) (i!)nf^(!)

xnf(x) inf^(n)gen(!)

ecx2 1p

4ce!

2/4c

1c2+x2

12ce

cj!j

ecjxj c(c2+!2)sen cx

x121(c;c)(!)

1(c;c)(x) sen c!!1 (!)

(x) 12f(x)g(x) f^ g^(!)

f^(!) = 12

Z 11

f(x)ei!x dx

f(x) =

Z 11

f^(!)ei!x d!F (f(x) + g(x)) = f^(!) + g^(!)

(f; g) =

Z 11

f(x)g(x)dxZ 11

f(x)g(x)dx = 2

Z 11

f^(!)g^(!) d!

1. (12 ptos.) Considere la funcin 2-peridica f(x) =(0 ; Si < x < 01 ; Si 0 < x <

(a) Obtenga la serie de Fourier trigonomtrica de f .

(b) Calcule el valor al cual converge la serie1Xn=1

1

(2n 1)2 .

(c) Calcule el valor al cual converge la serie1Xn=1

(1)n(2n 1) .

2. (8 ptos.) Calcule la transformada de Fourier de f(x) = 11 x x2 .

3. (15 ptos.) Resuelva la ecuacin de calorUt = Uxx; U = U(x; t); 0 x < ; t > 0

que satisface las condicionesU(0; t) = U(; t) = 0; t > 0

U(x; 0) = sen3(x) en 0 < x < .

4. (15 ptos.) Encuentre la funcin acotada U(x; y) en R = f(x; y) 2 R2 : x > 0; y > 0g tal queUxx + Uyy = 0 en R con

(Ux(0; y) = 0 ; y > 0

U(x; 0) = ex/2 ; x > 0: