Bloque I * Tema 028Determinantes

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DETERMINANTEDeterminante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn nmeros ordenados de igual manera que en la matriz.En cuanto a su notacin, sirve cambiar los parntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de nmeros, ordenados en n filas y en n columnas. Ejemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) ser |A| =[Cuatro filas x cuatro columnas]

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REGLA DE SARRUSREGLA DE SARRUS

El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda).Cada elemento aij del determinante formar parte de un producto positivo y de un producto negativo.Para determinantes [2x2]:|A| = a11.a22 - a12.a21Para determinantes [3x3]:|A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Para determinantes [nxn] en general:Se procede a desarrollar, como veremos ms adelante, el determinante dado en funcin de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 nicamente.

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MENOR NO NULOMENOR DE UN DETERMINANTE

Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n k)x(n k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el ndice i (de las filas) o el ndice j (de las columnas).EjemploSea el determinante 3x3: a11 a12 a13|A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33Menores de dicho determinante sern, entre otros:a11 a12 a11 a13 a22 a23a21 a22 , a31 a33 , a32 a33 , a21 , a23 , etc.

Se llamar MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero.

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Determinante de orden 2Sea el determinante de orden 2 Habr nicamente 2 productos posibles: a11.a22 y a12.a21El primer producto es positivo y el segundo negativo.El valor del determinante ser: |A| = a11.a22 - a12.a21

Ejemplo 2 - 4 |A| = 3 5

|A| = 2.5 (- 4).3 = 10 (- 12) = 10+12 = 22

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Determinante de orden 3Sea el determinante de orden 3 123|A|456 789

Por la Regla de Sarrus

|A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32

|A| = 1.5.9 + 2.6.7 + 4.8.3 3.5.7 2.4.9 1.6.8 = = 45 + 84 + 96 105 72 48 = 225 225 = 0

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RANGO DE UNA MATRIZEs el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz.

El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3).Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3.Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 1 2|A| = |A|= 5 8 = 3 0 , luego Rang A = 24 5

Sea la matriz 123A =456 789

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