61

dible en toda perspectiva). Tal coniolo hiciéramos en el 2o. caso del Pá¡ra-fo ant¿rior con un cuadrado ( base delcubo), tomamos los puntos resultanteEde las intersecciones de zus proyectan-rcs, en ambos sentidos perpendicularesentre sr con ambos planos verticales(Fig. No. 303) y fijándolos medianteuna tira de papel en la terna isométri-ca, directánehte, sin reducción, ob.tendremos los puntos sobre los ejesque nos permitirán t¡aza¡ las coorde-

AXONOMETRIA

nadas y obt¿ner el paralelogramo basede la perspectiva del cubo, sobre cu-yos cuatro vértices deberemos toma¡,paralelament€ aj eje OZ, la magnih-.dde la altura pero, como ya se explica-ra, mql!!p!!cada-=pol _c!_,ssgqge¡l€1-23 J con esas cuatro aristas vertica-les dibujar el paralelogramo de basesuperior, idéntico al inferior, confo¡-mando la imagen buscada (que se pue-de completar representando ambaspmyecciones verticales).

123

r00

Fig- N' 304

TRATADO DE DIBUJO TEC\ICY)

Para simplificar el procediaÉntode la cor¡ección d€ altr¡¡ar ¡€e tá¡áconveniente dibujar un biángulo rec.

62

tángulo (Fig..No. 304) cuyo cat€tomayor, dispuesto en sentido vertica.l.medi¡í 123 milímet¡os y el menor.

Flg. f,lo 3{15

bó

horizontal, 100 milímetros; dividido,si así fuera necesario, en milímetros,para hacer efectiva la corrección (au-mento) de alturas, no habrá más quetoma¡ la magnitud de las mismas, ensentido horizontal, a partir de cero, ydesde ese punto extremo (4, por ejem-plo, en el Dibujo) tomar la vertical co-nespondient€ gue en su encuentrocon la hipotenusa del triángulo nosda¡á la mag¡itud de la altura corregidabuscada.

(Es común ver, en a¡as de la sim-plificación que, a veces, esta correc'ción de alturas no se hace efectiva ylas mismas se toma¡ sin aumento loque, aunque no constituyc una inco-rrección, no es lo más ortodoxo.)

Representación de un prisma rec-to de base hexagonal regular. Com-l)rcndido el I\4étodo y a los efectos dergilitar el trámite o desa¡rr¡llo del tex-ru utilizarr'¡nos para las ¡róximas re-irlesentaciones (poliedros y volúme-:rr.s dc' caL¿rs curvas) el slstema isomé-'¡ico solarnelrte.

Cuantio el plisma está a¡royado¡ el Plalrc, o¡izonlal por una de sus

,,:rscs hexrgon¿rlcs (Fig. No. 305, arri-¡r) liroc¡rdercmos indistin tamente ya.,,a cuando dicha base tiene dos de sus..'dos en posición isornótrica (y aplica-:rtos la constnrcciírn dr:l semi encajc) o'tando ninguno dc sus lados es parale-, a los ejes; tonrandr.¡ la altura delrsnra (multiplicada por 1,23) a partir

:¡ cada uno de los seis vérl,ices obten-:.nlos los dc la cara su¡terior y ¡rodre-'os confrirm¡r la imagen pe rspecl;iva

:'l \'olum ctt.Cuanclo cl t)rism¡ está a¡ro¡lado

tl Pla¡ro llorizoltal ¡ror una dt,sus.:as latcrales rer'largulares (Fig. No.¡. abajo) put'de su< cder c¡ue sus tta-, ¡rrltendir.r¡ lan,s a dicho,plano, cs-: i i)nl(,nidas t:n ¡tlarros isornótricos o' ,f omo en la !'igura), p(:¡0 en ¿ur-'- posibilidadcs ¡rodemos recurri_¡ al- :edimiento de la "c¡¡nstrucción de

'- ,a,e' consistenle en inscribir al pris,.. pn otro de base rectangular ( o

cuaüada, según el volumen de que se

trate). Esta forma de proceder, dada laoportunidad, se cita aquí en un ejem.plo muy simple, pero tiene la fina-lidadde ahorra¡ líneas de construcción enimágenes complicadas; en el caso enque la base, apoyada en el PH, tienedos lados pamlelos a un eje, repitiendola construcción del semi encaje en labase superior, habremos completadola "construcción de encaje".

Representaci<in de una pirámiderecta de base cuad¡ada. Para represen-tar una püámide recta de base cuad¡a-da. por ejemplo (Fie. \o. 306, a¡riba)no existiÉ ninguna dificultad cuandoesté apoyada por su base en el PHpues luego de dibujar su base, comoya se ha hecho con el cuad¡ado basedel cubo, no hab¡á más que traza¡ susdiagonales y, en su encuentro, tomarla altura conespondiente ( es decir, lanatural multiplicada por 1,23). Pero si

la pirámide estuviera apoyada en el PHpor una de sus caras laterales triangu-Iares (Fig. No.306, abajo) tendremosque trlrir.ar en la represcnlación isomó-trica los cinco puntos, 1', 2'. 3', 4' y5', resl¡lLrntes del abatimiento de lapirámide hecho en Proyecciones Orto-gonales y que confornan su [)royec-ción horizontal; determinados en Iaperspcctiva dichos cinco puntos me-diantc sus respcctivas coordenadas,lt'stará solamente medjr la mag¡itud(altur¿) existente entre los puntos 3yy 3" ( la misma que entre 42 y 4"1'.ñl'ro5'ct ciones Ortogonales y. ¡retia ,. o.rrec< ión o aumento de acuerdo al coeficiente 1.23, tomarla a partir de 3' ¡'4' para fijar los puntos 3 y 4 y ¡-rodcrcompletar Ia imagen bus<:da.

Representaciones axonométrica¡ortogonales de los poliedros regulares.Como complemento y resumen de to-do lo expuesto en este Tema hemos derepresentar al tetraeüo, octaeüo. dc.decaedrohexaed¡o¡ncntr ).

eha

icosaedro regulares reisido tralado erpiJ.-i:+

TRATADO DE DIBUJO TEC'\']CO

r23

5'I1er. ejemplo. Perspectiva dimé-

trica del tet¡aedro regular. Sea el te-lraedro regular lVer Párrafo 52, l'ig.)io.68, arriba) que represo n t¿lr(fmosregrrlo por una t¡'rna dinrétrica ya visLir (Pnrrrrlo 211, 2o. caso, Fig. No.283); si de la proyccción ortogonalho¡ieontal (F-ig. No. 307, ¿uriba, iz-quielda) t()manros a ¡rartir dc \', haciala izquierda, solrre XV, los ¡runtos c',b', d'y a'y, hacia abajo, solrrc VY,lospuntos b"', d"', a"'y c"'sr¡l¡re s¡ndastiras de papel, los fijruros a partir deO, hacia la izquierda y Ia dcrecha respectivament€, sobre X'O y OY'y los

4' l'l¡ 1lNo 306

trasladamos correlativamente, en di-rección verti< al. sobrc XO y OY, cn c1.b1. d1 Y al, Y bA. d3. a3 v.c3 tondremos los prrnlos l)ara trazcr las coorde.nadas , segirn las dos dirccci<-¡nes h<¡ri'z()nt¿ües rcct.)ras dt'l sistema (paralelasa XO y OY ) y de esa fr¡rma ot¡tencrkrs ¡runtos A, B, C y D': los puntos A,B y C conformarán el triángulo üna-gr.n de la cara apoyatlir en el PII y pa-ra ()l)tcn{'r la ¿lltt¡ra t()nlirmos, de la reprt'sentacriíln ortogona), la magnitudD'f ) r. la que ul)icaremos a parlir de O,sot.¡ri OZ', y trasladamos h<.¡rizontal-mente hasta OZ' en d2. La magnitud

6.1

Fig.

66

Od9 tomada verticalmenüe. a partir deD',-nos dará el punto D que, unidocon los puntcs A, B y C, completerá laimagen diméürica del tetraedro.

2o. ejemplo. Perspectiva isomé-trica (en posición no isométrica) deloctaedro reguls¡. Tomemos la proyec-ción ortogonal horizontal (Fig. No.307, a¡riba, derecha) del octaedro(Ver Párrafo 53, Fig. No.63, arriba) ysobre la tema isométrica (Ver Párafo210, Fig. No. 281) fijaremos sobreX'O y OY', por su orden, los Puntosd', c', af', e'y b', y e"', d"', af", b"'y c"'y desde ellos, verticalment€, a dl,c1, af1, e1 t b1, Y e3, d3, af3, b3 Y ca,puntos de donde pa¡tuán lás coordenadas (todas a 30o con la regla T o"lÍnea de base") que se encontra¡ánconformando el paralelogramo B'C'D'E' que con zus diagonales constituyela proyección isomét¡ica horizontaldd pdiedro; si sobrc OZ', a partir deO. tomamos la altura de A ( igual a la.:rl:gonal del cuad¡ado proyección or-rogonal E'C':B'D') y a la altura de lospuntos intermedios B, C, D y E (mitadde la anterior) y a ámba6 las traslada-mos horizontalmente hasta el eje ver-tical OZ tendremos las dos alturas ne-c€sarias pa¡a ubica¡ al vértice más altoy a los cuat¡o de altura media que,conjuntamente con F (sobre el PH)nos dará la imagen isométrica, con re-ducción, del octaedro.

3er. ejemplo. Perspectiva isomé.:rica (en posición isométrica) del do.:ecaedro regular. Para esta represents-::ón partamos de la proyección orto-;:nal horizontal (Fig. No. 307, abajo,:quierda) del dodecaedro (Ver Párrá.: - 54, Fig. No. 70, arriba) y tomemos-:ra terna isométrica compuesta sola-: -.nt€ por los tres ejes (conformando,'-:

-supuesto, entre sí, ángulos de. !?ur pues no ha_remos efectiva la re.:-:ción; ubicando en dicha ¡epresen-.::ón ortogonal el purrto V hacia laj . - rerda (es decü que el eje XO que-..'j dlspuesto en sentido vertical y el

AXONOMETNA

OY confundido con LT) y tomandoambos ejee, mediante s¿ndas tüas depapel, Io8 punto3 que fijaremos eobrelos correspondientes de la terna a¡o-nométrica pod¡emos traza¡ la¡ coor-denadas que 8€ encontra¡án aportandolos 20 puntos proyecciones horüonta-les de otros ta¡rtos vértices del polie-dro y que p€rmitirán dibujar sr pro-yección isométrica horizontal. (Comoya se habÉ notado, dada la "posiciónisométrica" del volumen en cuestiónuno de srs planos de simetría. el quecontiene a los vértices 1,6, 11 y 19 esisométrico y tanto en el entido deOY, como en el de XO. habÉ va¡iascoordenadas que contienen pajes depuntos, simétricos los que están sobrelas orientadas en el sentido del eje Oye isométricos los que se halla¡ sobrelas segundas.) Para completá¡ esta ima-gen sin reducción habrá que toma-¡ enprimer termino la altura h 1 de lospuntoe 6, E, lO, 12 y f4, h h,) de 7 , 9,11, 13 y 15 y h2 +h1 de lo-s puntos16, r?, 18, rg í 20'v, mediante elprocedimiento geométrico, aumenta¡-la de acuerdo al meficiente l-23.

4o- ejemplo. Perspectiva trimétri-ca del ic<¡saedro regular. Sea el icosae.dro regular (Ver Prá,rrafo 55, Fig. No.71, arriba) que represent€¡emos (Fig.No. 307, ab{o, derecha) regido por late¡na t¡imétrica (Ver Párrafo 212, Fig.No. 284). Repitiendo el proceso ubi.camos sobre las a¡istas X'O y OY' lospuntos tomados de XV y VY de laproyección ortogonal y, trasladadosv-erticalmente, los filamos sobre XO yOY (haciendo efectivas las reduccio-nes horizont¿les) y las a-lturas h11he*h1 ubicadas sobre OZ', tr¿sladadaihorizontalmgnte hasta OZ ( haciendoentonces la reducción vertical o ¡e-ducción de alturas). En posesión delos puntos que perrnit€n trazar iaJcoordenadas para la obtención de iaproyeceion axonomélrica ho¡¿ont¿de cada vértice y zu respecliva aitur-onr.¡ existirá ningún inconveniente r a:-¿drbuju l. tnlag;n tJ[nélnca dei icsa¿dro buseada.

TRATADO DE DIBUJO TECNICO 66

-7--'

8.1(t6.17

I7.1!

64,.#,^

Fig. No 307

bf

219. PROYECCIONES AXONOME.TRICAS DEL CIRCULO. Rezulta ob-vio que la circunferencia u otras líneascurv¿$ no apafecerán en las representa-ciones axonométúcas ortogonales ensu yerdade¡a magnitud y forma (única-mente en el caso particular en que estécontenida en un plano paralelo al Prin-cipal), y como es sabido, un círculoproyectado sobre un plano oblicuo aél aparecerá como una elipse. Por lotanto, tal como s€ hiciera en el Capítulo ?, Trazado de Curvas. convend¡áinscribir al cÍrculo en un cuadrado quepuesto en perspectiva resulLará un pa-ralelogramo que aportará los elemen-tos (ejes o diámeftos conjugedos) pemla construcción de la correspondienteelipse. Así, si al círculo contenido enel Plano Horizontal (Fig. No. 308) loinscribiéramos en un cuadrado 1234,que por determinada razón estuvieraen posición "no isométrica", al efec-tua¡ la puesta en perspectiva debere-mos construú una elipse inscripta enun paralelogramo no recláhgulo cuyasnedianas vx e yz constituyen dos diá-

metros conjugados de la cuna, para locual emplearemos el mátodo que con-sideremos más conveniente o apropia.do (en la Figura se empleó el Métocl,rde los dos haces de rectas, Ver Párrrafo65). Si dese:íramos det€rminar los ejesde esta elipse por cualquiera de losprocedim ientos estudiados (ver Párra-fos 59 y 60) comproba-remos que eleje menor será paralelo al eje OZ (estáen dirección principal) y el mavor.perpendicular a é1.

Si al mismo circulo, contenidoen el P. H.. lo hubiéramos inscri¡rto.nun cuadrado en "posición isométrica"regido por una te¡na de ejes rsométri-

ca (Fig. No. 309) el ¡es¡itado de lapuesta en perspectiva será un rombo.cuyas diagonales, perpendicula-res en-tre sí, serán también paralela ¡ per-pendicular, respectivamente, a la di-rección de la visual principal. es decüque dichas diagonales estarán confu¡r-didas con los ejes de la elipse, y por lotanto, si pa¡a construü la e.lipseempleamos el Método de los ochopuntos y las ocho tángent€s (Ver Pá-

F¡g. 308

TRATADO DE DIBTJJO TEC¡;ICO

rraJo 64) obtendremos directamente,sobre las diagonales, los puntos extre-mos de ambos ejes (por donde pasaránlas tangentes a la curva que tambiénserán horizontales y verticales). (Entoda representación axonométrica quese aplique el correspondiente coefi-ciente de reducción el eje mayor de laelipse deberá tener exactamente lamisma magnitud que el diámetro delcírculo que representa, pero, comoaquÍ henros hecho la perspectiva iso-métrica sin reducción, el eje mayor dela elipse ticne una magnitud equivalen,te a 1,23 del diámetro del cÍrculo delcual es proyección; la magnitud del ejemenor de la elips€ estará dada siempreen relación a la oblicuidad que guardela visual principal con el plano <¡uecontendrá al cÍrculo en cuestión.Cuando el cÍrculo está contenido en elPH y la terna es isomét¡ica, como enel presente caso, la relación entre losejes está dada por la linea que une zusextremos y que guarda 600 con elmenor y 30o con el mayor. )

Similares consideraciones mereceel (as() en que el cÍrtulo está conteni-do en uno de los planos verticales.

Poclemos generalizar diciendoque todo cÍrculo contenido en uno delos planos coo¡dt'nados o en un planoisométrico. se verá re¡rresentado poruna elipse cuyo ejc menor será parale-lo al e.je axonométrico opuesto al pla-

no que ia contiene y s¡ eje mayor,perpendicular a é1.

Cuando debamos representa¡ uncírculo contenido en un plano noisométrico, ya sea éste oblicuo a dos oa t¡es de los coordenados, no habÉmás que inscribirlo en el cuadrado queconsideremos más cJnvenient€ y, conel paralelogramo resultante, en pergpectiva. construü la elipse correspon-diente (como vemos ésta también esuna aplicación de la construcción delsemi encaje).

(Es bastante común, en algunosTextos, ver representado al círculo, enAxonometrÍa, mediante el llamadoMétodo de Stevens, consistente en elt¡azado de un óvalo de cuatro centros,es decü, con curvas de compás, pero, apesal de zu practicidad, por su contra.dicción con la definición de elipse, porla diferencia existente entre óvalo yelipse, no se ha considerado pertinent€incluirlo aquÍ. ¡

Si la cu¡va a representar no fueraun círculo y si una curva abierta y si-nuosa, por ejemplo (Fig. No. 310), de-beremos elegü de ella cuantos puntosconsideremos necesarios y trazar lasrespectivas proyectantes que, en laLmagen a-r onométrica. convertidas encoordenadas nos irán a¡rortando losmismos en perspectiva tratando ade-más de aplicar en lo posible la cons-trucción del semi encaje.

68

2*- -¡--?(lzz\.Jts -}/ \ :

69

220. PROYECCIONES AXONOME.TRICAS DE VOLUMENES DE CA-PA,S CURYIS. En este Pá¡ra-fo vere-mos la represen'r,ación perspectiva de

AXONOMETRIA

lo¡ tres volúmenes "tipo" de revolu-ción: cilindro, cono y esfera.

Para la representación del cilin-d¡o ¡ecto consideremos en prirnertérmino el caso en que el volumen estáapoyado en el PH por una de su6 bases(Fig. No. 311, izquierda) (es decü quesu eje, y por tanto todas s.¡s generatri-ces son paralelas al eje vertical OZ).Construyendo la imagen de la base, deforma elíptica, por el método que en-tendamos más adecuado, no habrámás que tomar la magnitud de la gene'ratriz o altura del cllindro y. prer ia co.rrección de acue¡do al coeliciente1,23 ubica¡la sobre los extremos desus ejes (o diámehos conjugados si asise diera) y dibujar otra elipse idénticaa la inferior; las generatrices ubicadassobre los extremos de los ejes mayoresde ambas elipses completarán el con-torno apa¡ente del volumen.

Si el cilindro estuviera apoyadoen el PH por una de sus generatrices(su eje es horizontal) (Fig. No.311,derecha) recurrüemos a Ia construc-

I

s

s.

Fig. No 310

Fig. No 311

I

TRATADO DE DIBUJO TECNICO

ción del encqie, dibujando el prismarecto de ba¡e cuadrada que lo inrribe.Dentro de los paralelog¡amos perspec-tivas de ambas bases contenidas en pla-nos verticaleg (no isométricos en estecaso) construiremos sendas elipses inscriptas que luego uniremos mediant€do6 tangentes (Ver Párrafo 72, T"ra'zado de las tangentes a la elipse para-ielas a una di¡ección dada) sabiendoque su düección es la misrna de lasa¡istas longitudinales del prisma deencaje, con las que completaremosla imagen buscada.

Para la representación del conorecto ve¡emoE dos ejemplos; 1o.)cuantlo el cono está apoyado en el PHpor su base (y su eje es verl,ical) (Fig.No. 312, a¡riba); dibujada la imagenelíptica de su base en dicho plano bas-tará con tomar a parti-r de su centlo laaltura del volumen, multiplicada ¡ror1,23, y desde ese vértice traza¡ las tan-gentes a la elipse (Ver Párrafo ?3,'lra-zado de las tangentes a la elipse desdeun punto situado en la prolongaciónde uno de sus ejes) que completar-án elcontorno aparente de la figura, y2o.) cuando el cono est'á apoyado enel PH por medio de una de sus genera-trices (F[g. ir-o. 312, abajo) (el eje esoblicuo a dicho plano) tendremos queubica¡ en la representación axonomé-trica los cinco puntos, 1'.2',3', 4' y5', resultantes del abatimiento hechoen Proyecciones C)rtogonales, de la ¡'li-rámide utilüada como construcciónde en<:aje y que inscribe al cono encuestión, que conforman la proyec-ción ho¡úontal de aquclla, determina-dos en la perspectiva dichos cincc¡puntos median¿e sus res¡rectivas coor-denada,s no habrá más que medir lamagnitud (altura) existente entre lospuntos 32 v 42y 3" y 4" en proyec-cionts <,rtrrgonales y, prcvia <'orrec-ción de acuerdo al coeficiente 1,23,toma¡la a partir de 3'y 4', en la axo-nometrÍa, para fijar los puntos 3 y 4 ypoder drbujar conjuntarnente con I y2 el paralelogramo no rectángulo, baúde esa pirámide, que inscribe'a la elip-

70

¡e base del cono, que traza¡emos deacuerdo a los diámetros conjugadosque conforman.las. media¡as del para-

r23

Flg. No 312

?1

lelogramo; para completar la imagendel cono volcado habrá que trazar lastangent€s a la elipse desde el punto 5,imagen de su vérbice.

Veremos ahora la representació nde la esfera. La esfera en cua.lquierperspectiva axonométrica ortogonalcon su correspondient¿ reducción seráuna circunferencia cuyo diámetro tie-ne la misma magnitud que el de lapropia esfera que represent¿ pero, enla perspectiva isométrica sin reducciónse representará entonces como una, ircunferencia cuyo diámetro será1.23 mayor que el de dicha esfe¡a.-.\unque la representación de Iar,slera resulta aparentemente simpleno oonviene hacerlo solamente por sucontorno sino acompaiado ademási)or sus tres planos meridianosLSométricos posibles (Fig. No. 313)lplanos meridianos del cubo isomé-

AXONOMETRIA

trico que la inscribe), que apor-tarán cada uno de ellos una elip-se que, aparte de la sensación de voht-men, darán puntos de referencia sobrela zuperficie esfórica que pueden resrl-ta¡ de utilidad para algún otro tipo deexpresión o como ejemplo para la de-terminación de otros planos (isometri-cos o no) para la obtención de casqu"'t€s o sectores esfé¡icos.

26. AXONOMETRIA CLA;OGON.,{LU OBLICUA.

221 . GEf ERALIDADES. \'oha¡¡os aconsiderar nue!alnenie al SistemaAxononiétrico compuest.J por e! Trie-dro Recto Fundamental de Prc,¡tc-ción y un único obsen'ado¡ (o cent¡ode proyección cilíndrica) ubicadosiemprc en el infinito. que entite r rsua.les o proyectantes paralelas entre si.

\\

f *'2

t-,¡-\

Fig. No 313

TRATADO DE DIBUJO TECI;rcO

p€ro perpendiculares ahora a Lrno cuai'quiera de los tres planos component€sdel T¡iedro y cuya dirección est¿rá de't¿rminada, como siempre, por la vÉraiprincipal que aquÍ, forzosament€. se

confundirá con la inters€cción de losobos dos plaaos en cuestión (FiS. No.314).

Fig. No 314

Como ya se dijera anteriormente(Párrafo 203), el observador único, ocentro de proyección cilíndrica, co'rrespondiente a cada uno de estos ti-pos de representación de la Axonome'trÍa Oblicua se identifica con cada unode los tres observadores (o centros deproyección cil!ndrica) que, superpue$tos de t¿l manera que sus respectivasrisuales principales, perpendiculares€ntre sÍ y a sus correlativos planos de¡rro¡'ección, conformaban el Sistemade las Pro¡'ecciones Ortogonales: en la-\\i)nometría Oblicua o Cligonal se

! tüIza inCepe ndientemente uno sólode ellos. por 1o cual dispondremcis delconesponCiente plano de proyección

{ o plaro de pa¡tida) en verdadera mag-niurd y forma (un ángulo recto) sobreel cual se podrán representa¡ solamen.t€ dG dimensiones, obligándonos en-t nces a la adopción de una tercera d).¡ecclón, a¡bitra¡ia, imprescindible p:uala representación de la tercera dirnen'sión que será, en dos de los casos, laque dará la sensación de escorzo o fu.ga (perspectivas "cabinet") y, en elotro, la de a.ltura (perspectiva cavalle-ra).

Para poder representar al TriedroRecto Fundamental (Fig. No. 315.arriba, izquierda) en el Sistema de lasProyecciones Ortogonales, era necesa-rio descomponerlo girando (Fig. No.315, arriba. centro) al Plano de Perfiihast¿ confundirlo en un mismo planocon el Plano Vertical (F¡ontal) y aba.tiendo el Plano Horizontal hasta quese identificara también con el Vertical.y de esa manera leniamos representa-dos en un mismo plan<.r (Fig. No.315.arriba, derecha) las tres porciones co-rrespondientes a cada uno de los pla-nos de proyección en las que estarÍanrepresentadas las imágenes o proyec-ciones proporcionadas por los correla.tivos observadores o centros de pro-yección; alora bien, si consideramosindependientemente dichas porcionesde los tres planos coordenados queconforman al Triedro (Fig. No, 315,abajo, izquierda) poseeremos por cadauno de ellos dos direcciones perpendi-culares entre sí, concurrentes al vérti-ce del Triedro y al cual concurrirátambién la visual principal (perpendi-cular al plano representado por ese án-gulo recto) del respectivo obsewador,pero reducida a un punto, por que se-ra necesario (ya que tenemos represen-tadas solament€ dos direcciones) otor-garle a ésta una oblicuidad arbit¡aria uoptativa (eje transverso) para hacerposible la representación de la terceradimensión (Fig. No. 315, abajo, dere.cha). Como esa tercera dirección a¡-bitraria es, precis:rmente, la que coin-cide son la visual principal. ésta se ve-rá represontada ahora como una recta

73AXONOMETNA

F

P

H

F ..:.....:.:.:.

-.1:.i1iii:.1i:.ii

F¡9. No 31Soblicua (y no como un punto) a.l co-nelativo plano (y por lo tanto al pla-no del Dibujo), estando entonces den-t¡o de los límites de la AXONOME-TRIA OBLICUA O CLINOGONAL(la visua.l principal se representa oblicua a.l Pla¡o Prin cipal).

Cuando utilizarnos independien.t€mente uno de los dos observadoreso. centros de proyección correepon_drentc a cualquiera de los dos planoeverticales de proyección (ya sea el¡ rontal_o el de Perfi.l), la visual princi-pal será horizontal y se confündiráton Ia intersección del plano Horizon-ral y el restante plano vertical (Línea'le Tierra); teidremos entonces un eje';ertical y otro horizontal (formado,n¿re ambos un ángulo recto) v al otro,¡e Horizontal (reducido a un punto):ros veremos obligadus a asiqnarle unaii¡ección arbitraria, una de-terminadarblicuidad con respecto a los anterio-:es y disponer así de una terna que re-

pres€nte las aristas del Tliedro. A es.tcs dos casos de la Axonometría Obli-cua se les denomina PERSPECTIVAS"CABINET" ( o "perspectivas de gabi-nete"), y a la tercera dimensióh, d; di-rección a¡bitra¡ia y optativa de acuer-do a las conveniencias de'cada caso sele aplicará una escala o coeficiente dereducción apropiado o proporcional ala inc¡inación que se le otorgara. (Enestos dos c¿tsos, esa dirección optativaserá Ia que brinda¡á sensación-de es"corzo o fuga, es decir que todas las lí-neas fuga¡tes del conjunto serán para-lelas, de ali que. a las perspectivas degablnete y por ser además de los pri.meros ensayos de Perspectiva, se lesconociera con el nombre de,.perspec-tivas Paralelas" a dilerencia de lo quesucede con la Perspectiva Real o Cón:-ca.)

TRATADO DE DIBUJO TECNICO

Cuando el observador único uti-lizado es el correspondiente al PlanoHorizontal, la vislal principa.l trazadaal vértice del Triedro será vertical y seconfundiÉ con la intersección de am-bos planos verticales de proyección( Fronta.l y de Perfil): será necesa¡ioentonces asignarle a los ejes horizonta-les (ambas Líneas de Tierra, intersec-ciones del Plano Horizontal con cadauno de los verticales. o a¡istas horizon-tales del Triedro) dos inclinacionescualesquiera (siempre que ellas guar-den entre sÍ un ángulo recto) y la ter-cera dimensión no será en este caso ar-bit¡aria optá¡dose siempre por la ver-tical. A este caso de la AxonometríaC)blicua se le denomina PERSPECTI-\',\ CAVAL_LERA {es fracuente veren algunso textos antiguos denominara este caso "perspectiva militar") y ala tercera dirección, la vertical,*qo se_

_ &jplca Cgne¿dlS-e{e qscala o coefi-ciente dF ieducción. piésentando en-T;orrcE-l-as ven-lajá- dé poder represen-lar las tres dimensiones de un objetoen verdadera magnitud además de quesu planta (o proyección horizontal) loes*rrá también en verdadera magnitudy forma.

El tipo de representaciones cita-do en primer termino no es, por su-puesto, caprichoso y sí muy útil comocomplemento del Sistema de Proyec-ciones Ortogonales. Es cieto que e¡ he-cho d€ no existir deformación pers'¡rectiva como sucede en la visión nor-mal (y como r obtienen en la Pers-pectiva Real) da a esas imágenes un as-pecto pá¡ticular que en un principio elojo humano tiende a rechazar ya queestá acostumbrado a ve¡ los objetos deacuerdr¡ a ias leyes de la perspectivareal, pues a nuestra visión los objetosaparocen tanto más pequeños comoalelados r.stén, por lo tanto a veces no.es.Jlta aprol)iado trata-r de repres€nta¡conjun'-os en gran escala pues puedenapa-'ecer de f o¡mados en sentidocpuestc, !in la ¡ealidad, cuando seco:iempla un objeto desde un puntode vis= rcu¡ ale,;ado, sus líneas parale-

74

las se nos presentarán aparentementecomo tales dadas por vizuales práctica-mente paralelas, es decir que cuandos€ represent¿n objetos o conjuntos re-lativamente pequeños en los cuales lasensación de fuga o escorzo no resulteforzada, Ias perspectivas "cabinet" re-sulta-¡án aceptables. El uso de la pers-pectiva cavallera, en cambio, puede serm¡ís liberal.

Hemos recurrido a las denomina.ciones tradicionales o más comunespara tratar de identificar de la maneramás rápida o sencilla a las distintas re-presentaciones de la AxonometrÍaOblicua, ya que en realidad los nom-bres tecnicos apropiados de acuerdo asus ca¡acterísticas generales serían: pa-ra la p€rspectiva de Cavalieri, o cava-llera, Axonometa-ía Cligonal Horizon-tal, generalmente isométrica (aunqueen ciertos casos, a los efectos de darsensación de vista aérea o un tanto ale-jada de uir conjunto de volúmenes sereducen sus alturas, y por ellos seríamonodimétrica), y para la perspectiva"cabinet" o de gabinete (para evita¡ elgalicismo¡, Axonometría Clisona¡ Ver-tical, que generalmente es rñonodimé-trica.

222. EL PLANO DEL CUADRO HO.RIZONTAL (AXONOMETRIA CLI.GONAL HORIZONTAL O PERSPEC.TM CAVALLEEá). Cuando el úni-co observador ( o centro de proyec-ción) de la Axonometría se ubica detal forma que su vizual principal (tra-zada al vértice del Triedro Fundamen-tal) es perpendicula¡ al Plano Horizon-tal, ésta se confundirá con la intersec-ción de los dos planos verticales( Frontal y de Perfil) reduciéndose porlo tanto en la imagen la arista verticala un punto. Representaremos enton-ces al Plano Horizontal como un ángu-lo recto (Fig. No. 316) a cuyas rüistasXV y VY se les podrá asignar cual-quier inclinación con respecto a la re-gla T (guardando entre ellas, por su-puesto, un ángulo de 90o) aunque ge-nera.lmente se aconseja ubica¡lo a 30o

76

l"

Fig. No 316

y 600 1o 600 y 30o, tal el caso de laFigura); como resulta forz oso, a lat€rcera dimensión, la arista YZ (o ejeOZ), le asignaremos la düección verti-cal y así tend¡emos representado alTried¡o ¡ecto- (A efectos acla¡atoúosse ha representado el Plano Principal oCuadro, en el que se verifica la ima-gen, que será paralelo al Horizontal, yse verá al eje OZ como oblicuo ael slendo, en realidad, perpendicular.También conviene hager notar que sehan utilizado indistintamente lo¡ tér-ninos a¡ista y eje, pues la¡ aristas XVv VY tendrán la misma dirección que:os ejes XO y OY, y la a¡ista VZ se-'onfunde con el eje OZ, es decir quei terna de aristas y la terria de eje6ion idéntic$).

Como el Plano Horizont¿l está-prerentado en verdadera magnitud,:oda magnihrd que tomemos sobre él: zus ejes XO y OY también lo esta¡á¿n ese condición, por tanto resulta

conveni€nte rcpreÉntar ademá¡ enverdadera magniü¡d las alürns (pa-ralela¡ al tercer eje OZ) y así lasp€rsp€ctivaÁ cavalleras tend¡án laventeja. de eKp¡eoar directamentelas tres dirnengiones del objeto di-bujado y de no tener que recurrira la aplicación de ningún coeficien-te de reducción o escala para zu construcción, es Ceci¡, que, en la generalidad de los casos, l¡ per¡pecüva cava-üera es isométrica, aunque no deb€-mos descartar aquellos en los que pordeterminadas ci¡cunst¿¡cias nos con-venga reducir las a.ltu¡as.

(En cuanto a Ia grafía del nom-bre de. esta ¡epresent¿ción, que despierta curlosidad, es neces¿¡io acla¡a¡que se ha optado po¡ la de cavalle¡a(con uve) pues deriva de Cavalieri"apellido de un pintor ita.liano, nacidoen Cremona, Pedro Antonio Cavajieri(1700-1770) que "se dedicó a la pin.tura de perspectiva obtaniendo reputa-ción en el ejercicio de esta especiali-dad, gozó fama de original por rehusarsu trabajo a los ig¡rorantes por crecidasque fueran zus ofertas", desechándosela de caballera, aunque sea ésta Iaaceptada por la ReaJ Academia, surg:-da seguramente de la traducción detextos fra¡ceses (cavaliére=cabaJlera)y que ha dado lugar a explicaciones dela etimologÍa de esta palabra verdade-ramente inefables. Por zupuesto queantes de 1700 ya existÍan repres€nta,ciones perspectrvas. y de las mismasca¡acterísticas de la cavallera, pero da-da zu especialización, fue Cavalieriquien le legara su nombre; es dableleer, en textos antiguos, como título:"perspe<:tiva de Cavalieri". )

223. EL PI.ANO DEL CUADROVERTICAL (AXONOMETRIA CLI-NOGONAL VERTICAL O PERSPEC.TIVA "CABINET") Veremos aquílos dos casos posibles de la perepeiti-va "cabinet", es decü, cuando ól ob_servador del caso sea indüerentementeel correspondientp al Plano VerticalFrontal o al Vertical de Perfil o Late

TRATADO DE DIBUJO'I ECNICO

ral, y el eje tra¡werso f confundidocon la correlativa lÍnea de tbrra). elXO o el OY, de inclinación optat.iva.

Todo lo que estrá contenüo en elplano vertical án cues¿ión ( F¡onta.l ode Perfil), para.lelo aJ cuadro, elará re-presentado en verdadera magnitud yforma, pues el eje vertical OZ y unode los horizontales. XO u OY, segun elcaso. lo están t¿mbién (s¡8 coeficien-tes de reducción son nulos y quedaniglalados con la unidad objetiva) encambio el ot¡o, el t¡ansverso (ya sea elOY o el XO. segun el caso) (Fig. No.31?) por ser perpendicular al Cuadro(Plano Principal) se verá reducido a unpun¿o, su coeficient¿ de reducción escero, ! s€ anula o desaparece, lo cualresulta absurdo para un sistema tridi-nrensional. Como ya se dijera, se leasigna entonces al tercer eje una direc-

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crón un t¿into arbitraria u optativa, ys€ le aplica luego un coeficient€ de re-ducción adecuado o proporcional a

esa inclinación asignada.La libertad para otorga¡le al eje

transverao una oblicuidad o incliná-ción cualquiera da lugar a infinidad deposibilidades en la combinación delos ejes, pero para evitar complicacio-nes generalmente s€ utilizan combina-ciones de ejes que result€n cómodas(sujetas por lo común a los ángulosque aportan las escuadras de dibujo).(Como se habrá advertido, aquí tam'bién hemos utilizado la palabra eje c<.r.

mo sustituta de a¡ista que, en la Axo-nometría Oblicua, se pueden conside-rar sinónimas.)

Debemos ahora distinguir dosgrupos de perspectivas "cabinet": 1o.)cuando el eje transverso (inclinado)forma ángulos iguales con los otrosdos (vertical y horizontal), es deci¡.cuando la inclinación del eie tra¡wer.so es de 45o (con respecto a Ia regla Tcuya línea central llámase generalmen-te "línea de base") bisectriz del ángu-Io formado por los anteriores, o 2o.)cuando forma con ellos ángulos distintos.

ler. gn:po. el eje transverso estáinclinado 45u (con respecto a la reglaT) y forma por lo tanto dos ángulosiguales de 135o con lo! otros dos (Fig.No. 318)- A veces, en este caso, no sele aplica ninguna reducción al ejetranwerso, t¡l como en la cavallera,pero como veremos más adelante, sitomamos una misma magnitud en lostres ejes (como por ejemplo para la re-presentación de un cubo) la imagen re-sulta algo chocante a la vista (lo queno sucede en la cavallera pues la visiónes más tolerante cuando la deforma-ción se opera en sentido vertical y nocuando se debe da¡ sensación de fuga),por lo tanto, no olvid¿rndo que la ter-cera dirección es convencional, ¡ecu-rriremos a la aplicación de una escalade reduccióin de las magnitudes transversales equivalentes a 1/2, confor-mando lo que ha dado en llamarse unaFig. N'317

77

Fig. No 319perspectiva "cabinet con escorzo,'(monodimétrica).

.2o. gnrpo. El eje tranwerso for-ma angulos disttntos con los otros dos,Sl aJ eje trarwerso le asimamos unarnclinación de 30o ó 60d. por ejem-plo, con la línea de base de la regla Tteniendo en cuenta, con fines ilustra-

:ivos, solamente las di¡ectas aplicacio-res de las escuadras de dibujo) (Fig.\o. 319). los ángulos que forme con.os otros dos ejes, según el caso, seránle 1200 y 150^o: cuando el ángulo\OZ es de 1200 y el XOy, de 1300Fig. No. 319, izquierda, arriba) a la

-erspectiva "cabinet" se le conoce co-:ro lateral-f¡rjntal ( o frontal-lateral si= refiere a Ia terna ubicada abaio de Ia:,rsma Figura¡ y cl cocficic;h de:gducción a aplica-r al eje tranwerso se-

AXONOMETRIA

rá de 2/3; cuando el ángulo XOZ es de1500 y el XOY, de 1200 (Fig. No.319, derecha, arritra) a la perspectiva"cabinet" se le conoce como horizon-tal-front¡t (u horizontal-late*1, p"rala terna ubicada debajo) y el coeficien-te de reducción a aplicar al eje trans-verso será de 1/3.

Como vemos. en todos estos ca-sos se utiliza una determi¡rada reduc-ción a las magnitudes regidas por el ejetranwerso confirmando que la pers-pecliva "cabinet" es monodimétrica( o slmplementp dimétrica ). Es obvic,que el Dibujante puede opt¿r por nohacer la reducción de las magnitudestrans!ersales. y la perspectrva sorá en-tonces isométrica, pero ta.l procede¡más cómodo o rápido ¡esulta conve-nient€ para la confección de trazadosauxiliares y no es aconsejable en la ¡e,presentación de conjuntos.

(Se ha optado por el galicismo"cabinet" debido a la profusa utiliza.ción del t¡rmino en los textos france-ses, surgido de las representaciones delcubo, ejemplo elemental e ineludiblede perspectiva e identificado con unacajit¿ (cabinet), cuya traducctón lire,raria serÍa "gabinete".)

27. REPRESENTACIONES EN ELSISTEMA AXONOMETRICO CLI.GONAL.

224. GENERALIDADES. Como elprincipal propósito de la Axonome-trÍa, aparte de complementarse conlas Proyecciones Ortogonales, es el deaportar imágenes fácilmente compren-sibles y de construcción rápida. IaAxonometría Clinogonal u Oblicua.en cualquiera de sus dos formas seadapr"a perfectamente a tai finalidadClarc que, previamente a la realüacjóide una ¡,rc¡'r.s,,ntación atonomp:i:, ,oblicua tlebercntos conside¡a¡ ias i-..lidades ilel cnl.e gt ométrico a iitru x .

en q:ré -,.n,lic:on, s hacerlo. ; ar" .,.r--

78TRATADO DE DIBUJO TECNTCO

Fig.

por el tipo de perspectiva a utilizar: sila vertical o la horizontal (o, dicho deotra manera, cuál será el plano de par'tida que se habrá de elegir).

Si la representación proPuestaluera la de un punto, línea, plano, figura plana. o de un solo volrrmen, es

aconsejable utilizar la vertical, puespara algunas representaciones de volú'menes. sohre todo en conjuntos, comoluego )o explicaremos, resulta másagradablc ¡' soncilla la horizontal. Vea-mos la mencionada opción.

lo. ('uündo dcbcmos ar ompañaruna ex¡rlicaci(rn o complementar unaiep reser r,ac lón de Proyecciones Orto-gonales dc "ntes gconrétricos, sean ésto6 puntos. s€gmentos de recta, figu-

ras planas, inters€cciones de planos,por ejemplo, conviene optar por lasrepresentaciones de tipo vertical o"cabinet". (Es muy comúu el empleoconjunto de amlras rel)r('sentactunes vescuchar a los Profesores de Dibujo,cuando recur¡en a este tipo de pers-pectiva, decir: "voy a hat:er Ia re¡rrc-scnta¡ión en el espa,r,r". asl c{,nlotambiórr llaman a las Proyect'iotrt's {)r-togonales "el depurado": cn realidadla exprt'sión adt,cuaria sr:ría ll¡nt;¡rlaspor sus nottrbrcs tecnicos ( orreclos.Comrl también v'notará, l¿rl comt¡ se

vuelven a repr<tducir a.hora (l-ig. No.320) dura-qte el desa¡rollo de todo es-

te T¡atado se han empleado las per+pectivas a,\on ométricas oblicuas verti-

1200 150 0

1200

300

----*a..'-tI

I

é---I

-----v

19

cales como ilustraciones acla¡atoriascomplementarias.) Este tipo de repre-sentación es un auxilia¡ indispensablede la Geometría Descriptiva y de usocasi obligado en toda imagen que sedeba representar al Triedro Funda-mental de Proyección.

2o. En cambio, si se tratase dc lape¡speciiva de un volumeu que prescn-tc alguna complicación (por su formao su posición) o un agrupamiento decuerpos ge<lnrétricos (! ('t) la que noi¡rterese rel)resentar al 'I'riedlo Fun-d¿imental) será conveniente utilizar laaxononlelría oblicua horizontal, nosólo porque resulta más agradable a larista, sino por la cualidad de que suplano de partida es la proyección ho,rizontal, o plant.a, que vemos en ve¡da.dera magnitud y forma.

Pa¡a r:onslru ir i:rLa l)(.fsper.tlvadllrr¡remos tener la ¡.rrccaución de qucain6'unl línea de su l)la¡rta rlur.de enrosicitin pcrpentlicular a la lÍnr'¡ rlc:,as¡ ¡)ues se cr¡nfun<iirán c<¡n las lÍ-'ri'as verticalcs qut' delrn d¿u la st,¡ls¿¡,rión de ali,ura. AsÍ, si descarn<.rs bacer: perspectiva r-avallera dc dos prrsnras

AXONOMETRIA

rectos de base rectargular, dispuestosde tal manera que sus direcciones prin-cipales sean oblicuas entre sí (Fig. No.321, an'iba) no habrá más que incliniula proyección horizontal (60o y 30o.po¡ ejemplo) y tomar desde sus res-pectivos vértices, sin reduct.ión (es dt'-cir, isométrica) las correspondientesalturas (!'ig. No. 321, centro). Pero,para hacer Ia perspectivá "cabinet" se.

rá necesario en este (:aso recurlir ¡lmétodo de las coordenadas o cotasvisto ya en Axononletría Or-togonulpara dis¡roner los vórtices de la bas,'del prisma superior ( ¡'ig. Nt¡. 32I .

abajo) además de tener que aplrtaruna escala de reducción en las lÍner¡5de esr.orzo o fuga: a t¡¡l ltirb¡J,r r,,lrvendrá entonces la utilizat.ión de irr

Perspe('tiva isomót.rica crrtogcrD.rl tir.r,i)rindarii unil imagt,n más agratlrrlrle',más sr:Dcill¿r en su (!nstru(( r()¡r. :irla¡rlicar'iórr dt' coeficientes de r,,du,( lOll, i¡Unque, ComO Sg \era nl¿: rLl.-lantr,, no delremc¡s restar mérit()s ¿ .:i)crsl)ccliva "cabinet" que puede re=..tal rll11¡' co;ri cttient€ para la repre.e:..

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TRATADO DE DIBUJO TECNICO

-!-:on. ,:a¡to isométrica comr.¡ dimétri-ca. cie cie¡-',os casos de volúmenes.

Expuesro e! c¡iterio sobre la elec-

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cíón del sistema a empJear ve¡emos elprocedimiento pa¡a una correcta re-present¿ción de un ente lpunto, linea.plano) en ¡ierspectiva "cabinet".

Para representar en perspectiva"cahinet" un punlo y srs proyeccio-nes (Fig. No. 322) en perfecta correspondencia con las Proyecciones Orto-gonales debemos. en primer término.disponer la terna de ejes, concurrentesen O, de tal forma que ZO sea vertical.OY, horizontal y XO guarde con la re-gla T 30o a los que, lüego de asignárse.les una cierta magnitud, se les trazaránlas correlativas para.lelas que configu-ran los bordes o límites del diedro rec-to formado por el plano vertical queelegimos como frontal y el horizontal:fijamos luego el punto x, sobre la lÍ-nea de tierra XO, y a partú de éste ensentido vertical (paralelo a ZO) fija-mos A", siendo xA" la altura del pun-to. -r, en sentido horizontal (paralelo aOY ) fijamos A't . teniendo en cuentaque la magnitud xA' ¡ es el alejamien-to del misrno: la profecr"ante horizon-attta-\

Fig. 321

81

tai que parte de A" y la vertical queparte de A'1 se cortarán en A, imagenaxonomét¡ica del punto en cuestión.Pademos completü )a fintn haciendo

centro en x, con radlo xA'1 , y trazarun alco de ci¡cunferencia d^e 90o quenos permita ubicar a A', sobre la pro-longación, hacia abqjo, de la rectaA"x; el segmento A"xA' representa,en verdadera magnihrd, la línea de co-rrespondencia de la imagen ortogona.lde la derecha de la Figura (que, comoya se habrá advertido, se correspondecon la No. 6 de la Primera Pafe delTratado).

Si la representación a efectuarfuera la de un segmento de recta CD(Fig. No. 323) procederemos de lamisma ma¡era para disponer la ternade ejes (XO horizontal, ZO vertical,OY a 30o) y ubiearemos sohre Ia líneade tierra OY la distancia exacta entrelos puntos d y c, intersecciones, conLT, de sendas líneas de corresponden-cia de los extremos C y D del segmen-to en cuestión; repitiendo el procedi-miento del punlo A del caso anterior,con los respectivos alejamientos y al-¿uras de los puntos C y D podremosrepresentar el segrneni c.r CD. (La Fig-\o. 323 se corrcsponde con ta N6.1 1 de la Primera Pa¡te.)

Flg. No 329

AXONOMETRIA

Fig. No 324 Y

Conviene intercala¡ aquí, no solopor el int€rés que representa como ex-presión axonométrica sino por zu im.portancia dentro de su propio tema,la explicación de la perspectiva "ca-binet" y de las sombras real y virtualdel punto A (Fig. No. 324) que tienemayor altura que alejamiento (repre,sent¿ción que se inserta¡a en la Pri-mera Pa¡te como la Fig. No. 169). Dis-puesta la terna de ejes ubicamos sob¡ela línea de tierra OY al punto a, inter-se<ción de la línea de correspondenciadel punto A con LT y a partir de él laaltura a-A " (pa¡alela a OZ) y el aleja.miento aA' (paralelo a XO) para, me.diante las respectivas proyectantes fi.jar al punto A en el t's¡racro; c omo lasproyecciones del rayo f cstirn a.l5ocon LT. lcis y'gm,.ntos ¡r r'¡r *.rjnrespectivamernte iguales a a-\' ¡ a.{".I)ol lo t¿irrt(), con csas niagnitudes. podremos fijar los puntt,s r ¡ r sobre OYy tr¿zilr l¿s rectas A"\ 1 A'r lque iaprolo¡lga¡crrros a tr¡rvr"s d" OY t qu'-, -rán las proyt'i,cioncs del ra¡c f sccrtamhcf ;.lirnos de ;,r9¡ e¡ciir¡: i¿ ;:.;¿¡-sa"riór de la ¡'¡-¡o¡s1, e oZ r+-.: i

Fig. No 324

82

que parte de t hacia arriba y la tectaA"v será Sp4, sombra real del puntoA o primera traza del rayo luminosoque lo proyecte oblicuamentc (eobreel Plano Vertical) y con el cual pod¡emos trazar l8 recta ASRA, repre-e€ntación axon<iméhica del propio ra'yo9que, prolongada hacia la derecha(a travée del PV) se encontra¡á con Iaprolongación de la recta A'r en Sy¡,sombra v¡rtual del punüo A, o eegundat¡aza del rayo luminoro ( sobre el Pla-no Horizontal). Si hacemos la repre-sentación del abatimiento del PlanoHorizontal de Proyección, hasta con-fundirse con el Vertical, el punto A'girado 90o hacia abajo, con centro ená se ubica¡á en A'1 sobre la vertical(perspectivamente perpendicular a lalínea de tierra) que también contienea A", y a Sy6 (como la parte poste-

rior del PH quedará sobre LT) giradotambién 90o, con centro en v, Perohacia aniba, se ubica¡á sobre la verti-cal (perspectivamente perpendicular aLT) que parte de v, en SVAí: los pun-

tos Al, r V Sy4. quedaráñ, forzosa'

rnente, alineados sbbre una misma réc-ta.

Si queremos representa¡ ahora unplano dado por sus trazas en Proyec-ciones Ortogonales, tal el caso del ple-no tr(Fig. No. 325) (el mierro de lrar:teior Fig. No. 2?), utilizando elmismo procedimiento ya explicado enoportunidad de representar urf planocualquiera en Axonometn'a Ortogo-nal, deberemos en prime¡ término fijarel punto a (encuentro de amba¡ traza¡con LT) sobre el eje XO de la ternadispuesta de tal forma que el segrnen-to aO sea el mismo en ambas represen-,taciones, luego, a partir de O, haciaarriba, sobre el eje OZ, tomamos elsegmento O c" y hacia la derecha, so-bre el OY, el segmento O s': el trián-gulo c"a q' será la representación"cabinet" ( axonométrica oblicua ver-tical) de Ia porción del plano en cue*tión comprendida en el primer diedro.

Fig. No 325

225. PERSPECTIVA CAVALLERADE VOLUMENES DE CARAS PLA-NAS (POLIEDROSI. Dado que la ca-racterística más notoria de Ia perspec-tiva cavallera (o perspectiva axonomé-trica clinogonal horizontal) es la de representa¡ al Plano Horizontal en ver-

88

Ftg. No 322

dadera magnitud y forma, el procedi-miento lógico para la conskucción deestas irnágenes será el de tomar la pro-yección horizontal del volumen o con-junto de ellos, sin necesidad de repre-sentar el Triedro, de tal forma queninguna de zus líneas resulte perpendi-cular a la línea de base (regla T) paraevita¡ la confusión de a¡istas o planosy luego tomar las altu¡as en escala na-tural (cavallera isométrica) o reducida(cavallera monodimétrica). Si la inten-ción fuera construi¡ la perspectiva ca-va.llera isoméü¡ica de un cubo (Fig.No. 326) bastará con representar elcuadrado base, con una inclinación de30o y 600, por ejemplo, y desde suscuatro vértices toma¡ la magnitud dela arista o lado de la base en sentidovertical: teniendo las cuatro aristagverticales la misma magnitud, la ba8esuperior aerá otro cuadrado idéntico yde ladoe paralelos al inicial e inferior.

Si el propósito hubiera sido unarepresentación cavallera monodimétrica (o sirnplemente dimétrica) de un

. prisma o cubo, habrá que reducü lasalhras (Fig. No. 32?) de acuerdo auna det€rminada proporción; así, a lafigura de la izquierda, en escala natu-ral, le reducimos las alturas a 112 (cen-tro) o a 1/3 (derecha) aumentandoprogresivamente la sensación de escor-zo del volumen y, simultáneamente, lade mayor altura del punto de ubica-:ión del observado¡

ffiffi

Con el mis¡no crit€rio podremoshacer la penpectiva cavallera de cual-quier poliedro recto apoyado po¡ slbase en el Plano Horüontal: si. porejemplo, deseamos hacer la represena,ción de un pri$na recto de base hexa-gonal regu.lar o de una pirárnide recrade base cuaüada (Fig. No. 3281, dibu-jamos zu mrtespondient€ base en ver-dadera magnitud y forma, tomando laprecaución de que dos de srs vérticesno queden. a.líneados en una mismavertical y disponiendo verticalmente lamisma .tiragnitud o oltura en cada unode los seis vértice¡ en el caso del pris-ma, que nos perrnitirán dibujar la basesuperior, o la altura de la pirrimidedesde el cent¡o del cuadrado, para po-der dibujar el vértice zuperior, podre-mos completar ambas imágenes.

I

3

I2

I

I

II

Fig. No 328

llh,'.Í.ÁI

rl1-i/ tl

llI

II

h,,

k'-./t><!' \

Fig. No 329

Pe¡o, si la intención fuera repre-s€nta¡ al prisma de base hexagonalapoyado por una de sus caras lateralesen el PII debe¡emos dibujar su proyec-ción horizontal (Fig. No. 329) y adju-dicarle a cada vértice, en su correspon-diente proyectante vertical, la respec-tiva allura tom¿da de la proyecciónortogonal ve¡tical; así, Ios puntos 1 y6 t€ndrán altura nula, los puntos 3 y4, la altura he del hexágono regular debase (ditrujailo atratido, a tal efecto,en la proyección ortogonal en verda-dera magnitud y forma), y los puntos2 y 5, la altura h r (mit¿d de la a¡te-rior). Conformada )a poligonal cenada123456, conCorno de la base, veremosc¡ue ésta sc veÉ representada por unhexágono irregular (y por tanto defor-mada) de lados paralelos dos a d<.rs; repitiendo la misma operación con la ba-se posterior y dibujando las a¡istaElongitudinalcs conrpletaremos la ima-gen.

En el casc de la púánride recta deba¡e cuadrada apoyadzt en el PH por

una de srs ca¡as laterales (Fig. No.330) deberemos tanrbién tomar la pro-yección horizontal obtenida en pro'yecciones ortogonales (Ver Párrafr51, Fig. No. 6?) y, teniendo en cuent¿que los puntos V, A y D tienen a]tu¡¿nula, tomar de la proyección vertica-ortogonal la altura de los puntos B y Cpara conformar la imagen buscada.

(En los casos expuestos de repre-s€ntaciones de volúmenes, acla¡atoriosy complementarios de problemas tra.tados en Proyecciones OrtogonaJesconviene, por razones obvias, la pers-pectiva cavallera isométrica.)

Repres€ntaciones axonométricascligonales horizontales de loe polie-dros regulares. Con la finalidad deagotar el Tema, cum¡rliendo con unade Ias pautas propuestas para estc'fra-tado, redondear conceptos y abundaren imágenes prope¡rsas a t'duciu la vist¿, además de que srr construcción re-zult¿ un excelent€ ejercicio de afi¡ma-ción de conocimientos, se ruelve a

\,'l\,,\

\i

$á

Fig. No 330

plahtear la representación de los cua-tro pliedros regulares resLantes (comoya se ha estado haciendo con oüros vo,lúmenes de acuerdo al Método adopta-do) consi<lerando que de la reiLeraclónde irnágenes de los distintos tipos deperspectivas y ¡ror la <:om¡raración dela lámina que se inserta (Fig. No.3l.tl)con Ia anterior, de {txouomctrías ()rt()gonales (Ver Fig. No. 307) ¡- las olrlict¡as vcrticales que le sur,etlgrán 1l-rg.\o. 344) sqrrgilin conrlusior¡es dr. ,.irlidad fr¡rnratir,¿.

En l:rs I¡r¡ sr.t;1,'s l)cr{1,,'ct tvit\ , .r-', all¡'ras no st' plarrt,'atiin r¡ayort:s dili-:ttltadcs y p¡rra su ( ()tlstnl( r.i¡-¡¡r habráque disponer ei suficit'nte t:uirlado <.r

neticulosidad de deternrin¿rr metódi-

AXONOMETRIA

Camente Ia correspondiente altura (enverdadera magnitud o reducida) desdela proyección horizontal (en verdaderamí+Ínitud y forma, re¡rroducción de la¡nis¡na proyección ortogonal) de cadaunr¡ de sus vértices; así hemos realiza-do las representacion(.s cavalleras iso.métric¿rs del tetraedro (Ver Párrafo52, Fig. No. 68). octaedro (Ve¡ Pána-fo 53, Fig. No.69) y dodecaedro (VerPá¡rafo 54, Fig. No. 70) regulares y ladimétrica. con sus altql(i tt(\t$t\,del icosaedro regula¡ lVer Pa¡rafo 55.Frg. No. 7l) obt€niendo imágenes rn-teresant€s y con valores est¿ttcos cier-¿o s.

226. PERSPECTIVA CAVALLERADEL CIRCLTLO Y DE LOS VOLUilIE.N¿S D¿ CARAS CURVAS. Conside.rcmos cn primcr tórmill() llr ¡rr'rs¡reltr-va c¿rvallera dcl círr:ulo cr¡¡rndo es pa-r,:lllo ¿r trno de los ¡rlanos dt, ¡'¡,ru",.-('tór) ( ()mp()rxrni.t's del 'l'rjt'dro Fr¡n<iamcnt¡rl o ¡stá contenido en uno rieell¡rs. A tal t'fccto dis¡roncnros dc u¡laI.t'rrta J,' cjcs "r'av¡iler¡r" en l:r que K()está a tjou t.un la rcgla I. el eje O\',t'erlx.ldlcula¡ al a¡¡terior, a 30o, y elverli(al ()7,, l,or suf¡ucsto. a 90o ,.onclicha regla (Fig. No.332). El círculohorizontal de ¡.t.rrtrrr O, a¡rarer.elá enverdadera nragnitud ¡. forma y podráser, por tanto, inscripto en rrn cuad¡a-do; para rcpres('ntar los cí¡<.ulos decenlr(J O2 v O,¡. t.orrlcrrrirrrs cn send,,sl)lanos vl11i, al¡s I (tt¡r. ll(, se r.erán aho.ra (¡)ntr) t.aL,s slnrr <'ortro rli¡rst,s) v,ráne(1,riitri() trirz;¡t los l)ar;rli-i{¡grirm()s norocláng(rl()s que rts¡rortrir.¡ a los diánretlos l onjugiulos I 2 (vIr-tit al. ¡rarztlelo ¡ (lZ) y 3 .l (ini.lin¿r(los i l,riral¡,l()s ¿ l0s rt,s¡rcr,tivos ejt,s ax,rn,,rnétrttos XO ¡, ()\') cuyil nta¡ltrtLrd rla deanrlros rl¡;i¡¡rt'llos cr)nji¡{¡(lr)s I 2 \ tl-1 ,1, 1.' l.r¡,., r'surti,nt,.l , . 1;. ,l- l::nret.ro.d(,1 ¡,rr(,ulo rn (ur.-tt,,l: i..:__los ¡lt¡i¡r.trus , ¡¡nJ'jgir I^. 't : . :

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Fig No 331

87

F¡9. No 332

(en ambos planos verticales) de las doselipses proyecciones del círculo, ade-más de conjugados son simétricos, yobviamente de la misma mag¡itud(Ver Parrafo 59) las bisectrices de am-bos pares de ángulos opuestos forma-dos entre sÍ serán los ejes de simetríade dichas elipses, por tanto, aplicandoel método de construcción de los ochopun¿os y las ocho langentes (Ver Pá-rrafo 64) los puntos hallados sobrearnbas bisectrices, diagonales del rom-bo (paralelogramo no rectángulo queinrribe a ambas elipses proyeccionesaxonométricas del cÍrculo) serán losextremos de los ejes mayores y meno-res de las curvas.

Podemos extraer en c<¡nclusiónque ia perspectiva cavallera de un cír-Lulo horizc¡ntal s¿¡rá r¡tro cÍ¡culo deigual diámetro, y que la de un círculo.ertical en posiciirn isornétrir:a (¡rnra-.elo a lt¡s planos de pr<iyecc',órr), i,na

AXONOMETRIA

elipse cuyos diámetros conlugados ysimétricos tendrá¡ la magnitud de srdiámetro y la dirección de los ejesaxonométricos.

Veremos ahora, p<.rr su orden, lasperspectivas cavallerar del cilindro, elcono y la esfera. Cuando el cilindro oel cono están apoyados en el PH porsu bas€, de acuerdo con Io vistorecienten¡ente, bastará con tontar uncÍrculo (verdadera magnitud y forma )

y, desde el centro O de esa base. per,pendicu l¿irment€, la a.ltu¡a del volu-men; en el casr¡ del cllind¡o 1Fig. No.333, izquierda) con centro en el pun-to O 1 traziüemos otro circulo idénti-co al rnfer¡or y luego las generatncesverticales tangentes a ambos círculosque los tocarán en los extremos de susdiá¡netros horüontales -v.., en el casodel cono (Fig. No. 333, derechar. desde el citado punto (llamado aqui \'1,que será el vértice, las tangentes al cÍr-culo base (cuyos puntos de ta:rgenciadefiniremos haciendo centro en elpunto p, mitad de la distancia en¿re elcentro O del círculo y el vértice V. vlrzzando un arco de ci¡cunferencia deradio Vp:pO que cortará a la base en

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Fig. No 333