UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

Rómulo Mauricio Navarrete Villafuerte

Ingeniería Electrónica e Instrumentación, Quinto, Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.

e-mail: mava_nav@yahoo.com.ar mavanav@gmail.com

Fecha de presentación: 10 de febrero del 2015

REPRESENTACIÓN DE SI STEMAS DISCRETOS EN CELOSÍA

RESUMEN

En el procesamiento digital de señales es común utilizar un tipo de estructura de filtro en el cual se

pueda analizar y modelar la señal en base a sus características, estas prestaciones nos brinda la

representación celosía, este filtro analiza los coeficientes de reflexión y el análisis hacia adelante y

hacia atrás para analizar la señal través de él. Estas estructuras son muy complejas entenderlas

debido a su extenso uso y propiedades que la conforman es por ellos que en el presente documento

presentamos otra estructura de filtro FIR denominada realización en celosía. El uso de los filtros en

celosía está muy extendido en las aplicaciones de tratamiento de voz y en la implementación de

filtros adaptativos.

ABSTRACT

In digital signal processing is common to use a type of filter structure in which to analyze and model the signal based on their characteristics, these benefits gives us the lattice representation, this filter analyzes the reflection coefficients and analysis to and forth to analyze the signal through it. These structures are very complex to understand due to their widespread use and properties that comprise it is for them that in this paper we present another FIR filter structure called lattice realization. Using lattice filters are widely used in the treatment of voice applications and implementation of adaptive filters.

PALABRAS CLAVE

Filtro

Lattice

Sistema

INTRODUCCIÓN

La estructura en celosía, ampliamente

utilizada en el procesamiento de voz, se

caracteriza por su robustez numérica y

modularidad para su implementación, lo

que la hace muy adecuada para la

implementación de filtros. Se analizarán 3

casos: sistema todo-ceros (MA), sistema

todo-polos (AR), y sistema con ceros y polos

(ARMA).

DESARROLLO

1. GENERALIDAD DE CELOSÍA

VENTAJAS

Número reducido de coeficientes permite que

grandes bloques de datos puedan ser

modelados en tiempo real.

USOS COMUNES

• Procesamiento digital de señales de

voz.

• Filtros adaptativos.

• Tratamiento de señales geofísicas

2. CELOSÍA FIR

Dado un filtro FIR con función de

transferencia:

𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑘)𝑧−𝑘

𝑀

𝑘=0

Se puede definir un conjunto de filtros:

𝐴𝑚(𝑧) = ∑ 𝑎𝑚(𝑘)𝑧−𝑘

𝑚

𝑘=0

para 𝑚 ≥ 1 y 𝑎𝑚(0) = 1.

Entonces

𝐻(𝑧) = 𝐴𝑀(𝑧).

La respuesta impulsional es:

ℎ𝑚(0) = 1, … , ℎ𝑚(𝑘) = 𝑎𝑚(𝑘)

Para este conjunto de filtros en el dominio

temporal será:

𝐴𝑚(𝑧) =𝑌(𝑧)

𝑋(𝑧)

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + ∑ 𝑎𝑚(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑚

𝑘=1

Para un filtro de orden 1: m=1

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑎1(1)𝑥(𝑛 − 1)

Se considera la siguiente estructura:

La ecuación es la siguiente:

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑘1𝑥(𝑛 − 1)

Si 𝑘1 = 𝑎1(1) esta estructura representa al

filtro de orden 1.

Si se consideran dos etapas en cascada:

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 𝑘1(1 + 𝑘2)𝑥(𝑛 − 1) + 𝑘2(𝑥

− 2)

Luego: 𝑎2(2) = 𝑘2, 𝑎2(1) = 𝑘1(1 + 𝑘2)

Al calcular 𝑔2(𝑛) = 𝑘2𝑥(𝑛) + 𝑘1(1 +

𝑘2)𝑥(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛 − 2).

Los valores 𝑘𝑖 se denominan coeficientes de

reflexión.

En general para un sistema de M bloques:

Dado que 𝐹𝑚(𝑧) = 𝐴𝑚(𝑧)𝑋(𝑧) y 𝐺𝑚(𝑧) =

𝐵𝑚(𝑧)𝑋(𝑧) se puede obtener la relación:

𝐴𝑚−1(𝑧) =𝐴𝑚(𝑧) − 𝑘𝑚𝐵𝑚(𝑧)

1 − 𝑘𝑚2

𝐵𝑚(𝑧) = 𝑧−𝑚𝐴𝑚(𝑧−1), 𝑎𝑚(𝑚)

= 𝑘𝑚, 𝑎𝑚(0) = 1

Que permiten obtener los coeficientes de

reflexión a partir de H(z).

Para obtener la expresión de H(z) conocidos

los coeficientes de reflexión utilizaremos las

expresiones:

𝐴𝑚(𝑧) = 𝐴𝑚−1(𝑧) + 𝑘𝑚𝑧−1𝐵𝑚−1(𝑧)

𝐵𝑚(𝑧) = 𝑧−𝑚𝐴𝑚(𝑧−1)

𝐵0(𝑧) = 𝐴0(𝑧) = 1

3. CELOSÍA IIR

Dada la función de transferencia de un

sistema todo polos:

𝐻(𝑧) =1

𝐴𝑁(𝑧)

La ecuación en diferencias será:

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + ∑ 𝑎𝑁(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑁

𝑘=1

que es un sistema FIR del que ya se conoce

la relación entre la función de transferencia

y los coeficientes de reflexión.

Si se utilizan las ecuaciones de la celosía FIR

y se intercambian entrada y salida se

obtienen las ecuaciones siguientes para la

celosía IIR todo polos:

𝑥(𝑛) = 𝑓𝑁(𝑛)

𝑓𝑚−1(𝑛) = 𝑓𝑚 − 𝑘𝑚𝑔𝑚−1(𝑛 − 1)

𝑔𝑚(𝑛) = 𝑘𝑚𝑓𝑚−1(𝑛) + 𝑔𝑚−1(𝑛 − 1)

𝑦(𝑛) = 𝑓0(𝑛) = 𝑔0(𝑛)

Si se tienen en cuenta estos cambios en la

estructura, se obtiene el diagrama de

bloques que se muestra a continuación:

En el diagrama se observa claramente la

realimentación del sistema a través de las

señales 𝑔𝑖(𝑛) propia de los sistemas

recursivos.

Los coeficientes de reflexión son idénticos a

los obtenidos para el filtro FIR, si bien en el

diagrama se ordenan en orden inverso.

La estabilidad de filtro IIR solo polos está

garantizada si |𝑘𝑚| < 1 (test de estabilidad

de Schur-Cöhn).

Este tipo de filtros se ha utilizado para

modelar el tracto vocal, en este sentido, 𝑘𝑚

representa la reflexión del sonido en cada

una de las diferentes cavidades que lo

forman.

4. CELOSÍA ESCALONADA

La estructura en celosía escalonada, celosía

en escalera o lattice-ladder proporciona una

estructura para la representación de

sistemas que tienen ceros y polos.

Se considera un sistema general ARMA:

𝐻(𝑧) =𝐶𝑀(𝑧)

𝐴𝑁(𝑧) 𝑀 < 𝑁

Si se utiliza una variable intermedia:

𝐻(𝑧) =𝑌(𝑧)𝑊(𝑧)

𝑊(𝑧)𝑋(𝑧)=

𝐶𝑀(𝑧)

𝐴𝑁(𝑧)

1

𝐴𝑁(𝑧)=

𝑊(𝑧)

𝑋(𝑧)

𝐶𝑀(𝑧) =𝑌(𝑧)

𝑊(𝑧)

Las ecuaciones en diferencias serán:

𝑤(𝑛) = − ∑ 𝑎𝑁(𝑘)𝑤(𝑛 − 𝑘) + 𝑥(𝑛)

𝑁

𝑘=1

𝑦(𝑛) = ∑ 𝐶𝑀(𝑘)𝑤(𝑛 − 𝑘)

𝑀

𝑘=1

En un filtro IIR todo polos se ha visto que

𝑔𝑚(𝑛) es una combinación lineal de las

salidas actual y anteriores, además

𝐺𝑚(𝑧)

𝑌(𝑧)= 𝐵𝑚(𝑧)

Cualquier otra combinación de 𝑔𝑚(𝑛)

seguirá siendo un sistema todo ceros.

Considerando:

𝑦(𝑛) = ∑ 𝑣𝑚𝑔𝑚(𝑛)

𝑀

𝑚=0

Finalmente se obtiene:

𝐶𝑀(𝑧) = ∑ 𝑣𝑚𝐵𝑚(𝑧)

𝑀

𝑚=0

que se puede escribir de forma recursiva

como:

𝐶𝑚−1(𝑧) = 𝐶𝑚(𝑧) − 𝑣𝑚𝐵𝑚(𝑧), siendo 𝑣𝑚 =

𝑐𝑚(𝑚)

En resumen para obtener la estructura en

celosía ARMA, se calculan los coeficientes

de reflexión como en los casos anteriores,

considerando un sistema todo polos, y

posteriormente se calculan los coeficientes

𝑣𝑚 con la expresión anterior.

La estructura resultante es la siguiente:

EJERCICIOS

EJEMPLO 1:

Obtenga los coeficientes de reflexión

correspondientes al filtro FIR con función

de transferencia

21

2

72)( zzzH

Para aplicar la recursión descendente

mediante la que se obtendrán los

coeficientes en celosía, también

denominados coeficientes de reflexión, el

coeficiente am (0) debe definirse como 1

por conveniencia matemática, luego

tomaremos:

)('.2)( zHzH

21

2

1

4

71)(' zzzH

Así, obtendremos los coeficientes en

celosía de H'(z) y aplicaremos un factor de

ganancia 2 a la salida de la estructura

resultante.

Otra peculiaridad que debe tenerse en

cuenta es que, en el caso de que K2(0)

hubiera sido 1, nos hubiéramos encontrado

con K2= - 1 = α2(2).

Ha de tenerse presente que siempre que un

parámetro de celosía es 1mK es una

indicación de que el polinomio Am-1 (z) tiene

una raíz en la circunferencia de radio

unidad. Así, siempre que se obtiene un

parámetro de celosía 1mK se rompe la

ecuación recursiva y no se podrá seguir la

recursividad descendente.

En estos casos, dicha raíz puede ser

factorizada y extraída de Am-1 (z),

continuando el proceso iterativo para el

sistema de orden reducido. Siguiendo con

el caso que nos ocupa, dado H'(z) tenemos

que los polinomios A2(z) y B2(z) se definen

como

21

22

1

4

71)( zzzA

21

24

7

2

1)( zzzB

Por tanto, K2 =α2(2) = - 1/2. Siguiendo con la

ecuación recursiva descendente tenemos

que:

2

2

2221

1

)()()(

K

zBKzAzA

4

11

4

7

2

1

2

1

2

1

4

71 2121

zzzz

1

2

71 z

Y por lo tanto K1=-7/2. La representación

final del diagrama de bloques de H(z) según

una estructura de celosía se representa en

la Figura, cabe remarcar en esta realización

el factor de ganancia dos de la salida del

mismo.

EJEMPLO 2:

Considere un sistema IIR causal con función

de transferencia:

𝐻(𝑧) =1 +

12 𝑧−1 + 2𝑧−2

1 +5336 𝑧−1 +

1312 𝑧−2 +

13 𝑧−3

El sistema tiene la forma:

𝐻(𝑧) =𝐶2(𝑧)

𝐴3(𝑧)

Para obtener los parámetros en celosía del

sistema, se divide al problema en obtener

los coeficientes de celosía del sistema todo

polos 1/𝐴3(𝑧) que se tomará como bloque

básico de construcción, dado que el sistema

todo-ceros es una combinación lineal de

salidas retardadas del sistema todo-polos,

las funciones 𝐵𝑚(𝑧).

En primer lugar se deben calcular los

coeficientes en celosía de:

𝐻′(𝑧) =1

1 +5336 𝑧−1 +

1312 𝑧−2 +

13 𝑧−3

𝐾1 =3

4 𝐾2 =

2

3 𝐾3 =

1

3

Y las funciones intermedias 𝐵𝑚(𝑧) , que

serían usadas para el cálculo de los

parámetros 𝑣𝑚(𝑧) son:

𝐵3(𝑧) =1

3+

13

12𝑧−1 +

53

36𝑧−2 + 𝑧−3

𝐵2(𝑧) =2

3+

5

4𝑧−1 + 𝑧−2

𝐵1(𝑧) =3

4+ 𝑧−1

Ahora se pueden calcular los parámetros de

la escalera mediante la ecuación recursiva

descendente

𝐶𝑚−1(𝑧) = 𝐶𝑚(𝑧) − 𝑣𝑚𝐵𝑚(𝑧)

Sabiendo que 𝐶𝑚(𝑚) = 𝑣𝑚 . De 𝐶2(𝑧) se

tiene que:

𝐶2(2) = 2 = 𝑣2

Con este parámetro y las funciones 𝐶2(𝑧) y

𝐵2(𝑧) se puede realizar la recursión

descendente:

𝐶1 = (1 +1

2𝑧−1 + 2𝑧−2)

− 2 (2

3+

5

4𝑧−1 + 𝑧−2)

𝐶1 = −1

3− 2𝑧−1

De donde se desprende:

𝐶1(1) = −2 = 𝑣1

Continuando con la recursión descendente

una vez más se obtiene:

𝐶0 = (−1

3− 2𝑧−1) + 2 (

3

4+ 𝑧−1)

𝐶0 =7

6

Con lo que finalmente 𝑣0 = 𝐶0(0) =7

6.

La estructura del sistema viene

representada por:

CONCLUSIONES

Las estructuras en celosía tanto FIR como IIR se caracterizan por los mismos coeficientes de reflexión, diferenciándose únicamente en su diagrama.

Los algoritmos de conversión de parámetros entre el sistema en forma directa 𝑏𝑚(𝑘) de un sistema FIR y los parámetros de la estructura en celosía, 𝑘𝑖, se aplican también a la estructura sólo polos.

Una etapa de la estructura en celosía de filtro FIR está compuesta por dos líneas, una Directa y la otra con retardo donde un sumador en cada línea adiciona la señal proveniente de la otra, ponderada

por una ganancia. Cada línea tiene una entrada y una salida propia.

REFERENCIAS

Realización de sistemas en tiempo

discreto. Disponible en

http://ocw.uv.es/ingenieria-y-

arquitectura/filtros-

digitales/tema_5_realizacion_de_siste

mas_en_tiempo_discreto.pdf

Soria Olivas E., Martínez Sober M.,

Francés Villora J., Camps Valls G.

Tratamiento Digital de Señales.

Capítulo 4