Pauta Auxiliar 7 MI40120 P1.

a)

El tamaño máximo será el tamaño 1. Como es el tamaño máximo, no hay partículas mayores que

al molerse queden del tamaño 1. Se puede plantear lo siguiente:

𝑓1(𝑡) = 𝑓1(0) × 𝑒−𝑆1𝑡

También tenemos:

Tamaño FuA fiA FuP fiP

1 65% 35% 98% 2%

Por enunciado dice que hay un 65% bajo el tamaño máximo (por ende, hay un 35% en el tamaño

máximo), yse pretende llegar a que haya un 98% bajo el tamaño máximo (por lo tanto, sólo

quedaría un 2% sobre dicho tamaño). Luego, en un tiempo t*:

0.02 = 0.35 × 𝑒−0.7×𝑡∗

Se despeja t* y se tiene el tiempo pedido.

b)

El anterior molino era Batch, y se requiere realizar el escalamiento a molienda continua, bajo las

mismas condiciones operacionales (según enunciado). En molienda continua, se tiene que el

producto de tamaño i puede ser calculado como:

𝑝𝑖 = ∫ 𝑓𝑖𝐵𝑎𝑡𝑐ℎ(𝑡)𝐸(𝑡)𝑑𝑡

∞

0

Es decir, se pondera el producto que tendría un molino Batch por la distribución de tiempo de

residencia del mineral dentro del molino. En este caso, nos dicen que el tiempo de residencia

equivale al de un reactor perfectamente mezclado, el cual tiene la siguiente formula de

distribución de tiempo de residencia:

𝐸(𝑡) = 1

𝜏 𝑒−

𝑡𝜏

Con el parámetro τ el tiempo medio de residencia calculado como siempre:

𝜏 =𝐻

𝐺𝑠

Como nos piden el flujo máximo para realizar la misma molienda que en molino Batch, el producto

nuevamente será 0.02. Luego, reemplazando la DTR en la ecuación del producto se tiene:

0.02 = ∫ 0.35 × 𝑒−𝑆1𝑡 1

𝜏 𝑒−

𝑡𝜏𝑑𝑡

∞

0

Despejando un poco:

0.02 = 0.35

𝜏 ∫ 𝑒−(𝑆1+

1𝜏

)𝑡𝑑𝑡∞

0

Finalmente:

0.02 = 0.35

𝜏 × (𝑆1 +1𝜏)

De la ecuación anterior se despeja 𝜏 en función de S1. Con ese valor, se puede ocupar la ecuación

de tiempo medio de residencia para despejar Gs:

𝐺𝑠 =𝐻

𝜏

Sin embargo, nos falta calcular S1, pues éste parámetro depende del H y de la potencia del molino,

mediante la siguiente ecuación:

𝑆1 = 𝑆𝐸 × (𝑃

𝐻)

Nosotros sabemos que para el molino Batch, S1 era 0.7 min^-1. Con los parámetros dados

podemos calcular el H y la Potencia del molino Batch y despejar el valor de SE, el cual depende solo

del tipo de molienda y el tipo de mineral (que no cambian). Podríamos plantear:

𝑆𝐸 =0.7

𝑃𝐻 (𝐵𝑎𝑡𝑐ℎ)

Con el valor de SE, y utilizando la misma ecuación pero ahora con los parámetros del molino

continuo (que cambia sus dimensiones) se puede calcular S1, que era el parámetro que nos

faltaba.

P2.

En esta pregunta nos piden estimar el producto ocupando el mismo molino, pero con el doble de

la capacidad y 2.1 veces más potencia consumida.

Es un problema típico de escalamiento, en donde se deben calcular los valores de S1,S2,S3, b21,

b31, b32.

Los valores de los bij son ocupables directamente, pues son invariantes y no dependen de las

condiciones de operación, solo del tipo de molienda y el mineral.

Los valores de Si deben ser escalados ocupando la relación de SiE. Partamos con el escalamiento:

Sabemos que:

𝑆𝑖 = 𝑆𝑖𝐸 ×

𝑃

𝐻

Como SiE es invariante, es el mismo para cada tamaño en ambos molinos, luego:

𝑆𝑖𝐸 = 𝑆𝑖𝑀1

𝐻𝑀1

𝑃𝑀1= 𝑆𝑖𝑀2

𝐻𝑀2

𝑃𝑀2

Donde M1 indica que son los parámetros del molino 1 y M2 los parámetros del molino 2.Luego,

despejando Si de M2:

𝑆𝑖𝑀2= 𝑆𝑖𝑀1

𝐻𝑀1

𝐻𝑀2×

𝑃𝑀2

𝑃𝑀1

Por enunciado, sabemos cuál es la razón entre los H y los P, asi que solo basta con calcular el Si del

molino 1 para tener el del molino 2.

Ahora bien, cuántos Si se deben calcular? Si pensamos, Si muestra la tasa a la cual se rompen las

partículas de tamaño i. Por ende, como tenemos 3 tamaños (+28, +200 y 0) podemos pensar que

S1 aplica porque las partículas de tamaño 6 se muelen y caen a la malla 28 o 0. Las partículas de

tamaño 28 también se muelen y caen al de tamaño 0, sin embargo, las partículas que están en la

malla 0, aunque se muelan siguen siendo de esa malla, así que el factor S3 automáticamente es

cero.

Ahora veamos que sucede con los bij. Empezando por la malla 28 (sobre la 6 no hay nada), todo lo

que se muele en esa malla va a parar a la malla 200 o a la malla 0, por lo que debemos calcular b21

y b31. Por su parte, todo lo que se muele de la malla 200, va a parar necesariamente a la malla 0,

por lo tanto b32 es necesariamente 1 (recordar que son fracciones: cuál es la fracción de tamaño 2

que al molerse queda de tamaño 3?: toda, porque es el único tamaño en el cual pueden caer

desde el tamaño 2).

Así, b32 es 1 automáticamente. Ahora, existe otra relación importante. Como son fracciones, b21

y b31 deben sumar 1, porque lo que se muele de la malla 1 cae a la malla 2 o a la malla 3

necesariamente, y no hay más opciones. De lo anterior tenemos entonces:

𝑏32 = 1

𝑏31 + 𝑏21 = 1

𝑆3 = 0

Tenemos 5 incógnitas en total, y ya tenemos 3 ecuaciones. Con 3 ecuaciones más estamos listos.

Las otras ecuaciones son las de reducción de tamaño para los dos primeros casos:

La granulometría que nos dan en el enunciado es la siguiente:

Malla FuA FuP fiA fiP

6 100.00% 100% 0% 0%

28 57.10% 87.30% 42.9% 12.7%

200 21.40% 57.70% 35.7% 29.6%

0 0 0 21.4% 57.7%

Por ende, el primer tamaño donde hay mineral es el tamaño de la malla 28. Este será nuestro

tamaño 1. El tamaño 2 será la malla 200 y el tamaño 3 será la malla 0.

Tamaño 1:

Para el primer tamaño, se puede imponer:

𝑓1(𝑡) = 𝑓𝑖0 × 𝑒^(−𝑆1𝑡)

Como tengo el tiempo de molienda (6 minutos), y los tamaños de alimentación y producto, puedo

despejar S1 sin problemas.

Tamaño 2:

La ecuación general está relacionada con los parámetros Aij, y puede ser escrita como:

𝑓𝑖(𝑡) = ∑ 𝐴𝑖𝑗 × 𝑒−𝑆𝑗𝑡

𝑖

𝑗=1

Para el tamaño 2, se tiene:

𝑓2(𝑡) = ∑ 𝐴2𝑗 × 𝑒−𝑆𝑗𝑡

2

𝑗=1

= 𝐴21 × 𝑒−𝑆1𝑡 + 𝐴22 × 𝑒−𝑆2𝑡

Nos falta calcular A21 y A22, y para eso se usan las reglas del apunte del profe. Primero obtienen

A21, que según la formula dependerá de A11, el cual es f10. Después, obtienen A22 que depende

de A21, que lo calcularon recién. Lo chantan en la formula y obtienen la última ecuación, que tiene

como incógnitas S2 y b21.

La tercera y última ecuación que pueden plantear es la del tamaño 3, que es parecida a lo anterior

pero con la gracia de que S3 es 0 y b32 es 1, así que se simplifica un poco.

Con esas ecuaciones tienen los bij y los Si. Los Si los tienen que escalar, y los bij los ocupan tal cual

y pueden calcular las granulometrías del producto para el molino nuevo.