pc2

1

Problemas resueltos.

Problema 2.1.

Determinar I y p, para la red de la figura P2.1.

Figura P2.1

Solucin. Se identifican variables:

Figura P2.2 Variables

Ecuaciones LCK: i1+i2 = 0, i2 = I +i3, i3 = i4

Ecuaciones LVK: v1= v2 + v, v = v3 + v4

Ecuaciones de equilibrio: v1 = E1, v2 = R1 i2, v = R3 I, v3 = R2 i3, v4 = E2

Se tienen 10 ecuaciones en las siguientes 10 incgnitas:

BA C

D

E1

R1 R2

E2 R3

Ip

BA C

D

E1

R1 R2

E2 R3

Ip

i1

i2 i3 i4

v1 v v4

v2 v3

2 Captulo 2

v1, v2, v3, v4, v, i1, i2, i3, i4, I Anlisis: Debido a que p= v1 i1, se requiere resolver para las

variables: v1, i1, I. Resultan:

I = + R2 E1 R1 E2

+ + R2 R1 R2 R3 R1 R3

p = E1 ( ) + R2 E1 E2 R3 R3 E1 + + R2 R1 R2 R3 R1 R3

Solucin en Maple.

> restart: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos. > lck:={i1+i2 = 0, i2 = I5 + i3, i3 = i4}; Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en mallas. > lvk:={v1= v2 + v, v = v3 + v4}; >ecequilibrio:={v1=E1, v2=R1*i2,v=R3*I5, v3=R2*i3, v4=E2}; Definimos las incgnitas, las variables en los elementos: >voltajes:={v1,v2,v3,v4,v}; corrientes:={i1,i2,i3,i4,I5}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk: incgnitas:=voltajes union corrientes: El siguiente comando resuelve el problema en general. Debido a la gran cantidad de ecuaciones suprimiremos la

salida, empleando un dos puntos como terminador del comando.

> sol:=solve(ecuacionesdelared,incgnitas): Luego asignamos las soluciones a las incgnitas. De este

modo podemos tener acceso a cualquier variable por su nombre.

> assign(sol): > i1;

Componentes Elementales 3

+ R2 E1 E2 R3 R3 E1 + + R2 R1 R2 R3 R1 R3 > I;

+ R2 E1 R1 E2 + + R2 R1 R2 R3 R1 R3

p = E1 ( ) + R2 E1 E2 R3 R3 E1 + + R2 R1 R2 R3 R1 R3 > v1*i1; >

E1 ( ) + R2 E1 E2 R3 R3 E1 + + R2 R1 R2 R3 R1 R3 Problema 2.2.

Para la red de la figura P2.3 a) Con: R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, R4 = 4, calcular i, v y p. b) Determinar relacin entre E1, E2 y J para que p >= 0.

Figura P2.3

Solucin: a) Identificacin de variables:

BA C

E

E1

R1 R2

E2 J p

R4R3

i v

D F

4 Captulo 2

Figura P2.4 Identificacin de variables

Ecuaciones de equilibrio: , , , , , , = v1 R1 i1 = v2 R2 i2 = v3 R3 i3 = v4 R4 i4 = v5 E2 = i6 J = v7 E1

Ecuaciones LCK, nodo D de referencia: , , , , = + i1 i7 0 = + i1 i6 i2 = i2 i5 = i5 i4 = i4 + i6 i3

Ecuaciones LVK: , = v7 + v1 v6 v3 = + + + v4 v6 v2 v5 0

Anlisis: Se requieren calcular i = i7, v = v4 + v6 v = -v2-v5, p = -v6 i6 Reemplazando ecuaciones de equilibrio en LVK: E1 = R1 i1 v6 + R3 i3, R4 i4 +v6 + R2 i2 +E2=0 Empleando ecuaciones LCK: i2 = J - i = i5 = i4 i3 = i4 J i1 = -i Se obtiene el sistema: E1 = R1(-i) v6 +R3( J-i J) , R4(J-i) +v6 + R2 (J-i) +E2=0 Sistema del cual se obtienen i y v6:

BA C

E

E1

R1 R2

E2 J p

R4

R3

i7v

D F

i1 i2

i3

i4

i5i6v6

v4


= i + + + E1 E2 R4 J R2 J + + + R3 R4 R2 R1 = v6 + + + + + + + R4E1 R4R3J R4R1J R2E1 R2R3J R2R1J E2R3 E2R1 + + + R3 R4 R2 R1

Evaluando con los datos de las resistencias:

= i + + 1 E1101 E210

3 J5

= v6 3 E1512 J

52 E2

5

Para calcular v4, empleamos: v4 = R4 i4 = 4 (J i)

Obteniendo: = v4 + 2 E158 J5

2 E25

Lo que nos permite determinar v:

v = v4 + v6 = 45 E215 E1

45 J

Finalmente la potencia, en trminos de los datos:

p = -v6 i6 = 15 J ( ) + + 3 E1 12 J 2 E2

b) En la relacin anterior, logramos la condicin con:

p>= 0 Se obtiene:

J ( ) + + 3 E1 12 J 2 E2 >= 0 Solucin en Maple.

> restart; >ecequilibrio:={v1=R1*i1,v2=R2*i2,v3=R3*i3, v4=R4*i4,v5=E2,i6=J,v7=E1}; datos:={R1=1,R2=2,R3=3,R4=4}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos. >lck:={i1+i7=0,i1+i6=i2,i2=i5,i5=i4,i4=i6+i3}; Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en mallas. > lvk:={v7=v1-v6+v3,v4+v6+v2+v5=0}; Definimos las incgnitas, las variables en los elementos: > voltajes:={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}; corrientes:={i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7};

6 Captulo 2

>ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk: incgnitas:=voltajes union corrientes: El siguiente comando resuelve el problema en general. > sol:=solve(ecuacionesdelared,incgnitas); sol = v5 E2 = i6 J = v7 E1 = i5 + + E1 R3J R1J E2 + + + R3 R4 R2 R1, , , ,{ :=

= v6 + + + + + + + R4E1 R4R3J R4R1J R2E1 R2R3J R2R1J E2R3 E2R1 + + + R3 R4 R2 R1 , = v3 R3( ) + + + E1 E2 R4J R2J + + + R3 R4 R2 R1 = v1

R1( ) + + + E1 E2 R4J R2J + + + R3 R4 R2 R1, ,

= v4 R4( ) + + E1 R3J R1J E2 + + + R3 R4 R2 R1 = v2R2( ) + + E1 R3J R1J E2

+ + + R3 R4 R2 R1, , = i3 + + + E1 E2 R4 J R2 J + + + R3 R4 R2 R1 = i7

+ + + E1 E2 R4 J R2 J + + + R3 R4 R2 R1, ,

= i4 + + E1 R3 J R1 J E2 + + + R3 R4 R2 R1 = i2 + + E1 R3 J R1 J E2

+ + + R3 R4 R2 R1, , = i1 + + + E1 E2 R4 J R2 J + + + R3 R4 R2 R1 }

Luego asignamos las soluciones a las incgnitas. De este modo podemos tener acceso a cualquier variable por su nombre.

> assign(sol): Recin comienzan las ventajas de emplear procesadores

matemticos para el anlisis de redes. Veremos algunas aplicaciones como ilustraciones Como primer ejemplo, veremos la expresin asociada a i7. > i7; + + + E1 E2 R4 J R2 J

+ + + R3 R4 R2 R1 > v:=-v5-v2;

:= v E2 R2 ( ) + + E1 R3 J R1 J E2 + + + R3 R4 R2 R1 > p:=-i6*v6;

:= p J ( ) + + + + + + + R4E1 R4R3J R4R1J R2E1 R2R3J R2R1J E2R3 E2R1 + + + R3 R4 R2 R1 > eval(i7,datos);


+ + 110 E11

10 E235 J

> eval(v,datos); 45 E2

15 E1

45 J

> pot:=simplify(eval(p,datos)); := pot 15 J ( ) + + 3 E1 12 J 2 E2

> eval(v6,datos); 35 E1

125 J

25 E2

> eval(v4,datos); + 25 E1

85 J

25 E2

Problema 2.3.

Para la red de la figura P2.5: a) Determinar potencias que ingresan a las resistencias. b) Determinar potencias que salen de las fuentes.

Figura P2.5

Solucin: Identificacin de variables:

R1 R2J

E

8 Captulo 2

Figura P2.6

Ecuaciones de la red: , , , , , , , = i4 J = v3 E = v1 R1 i1 = v2 R2 i2 = v5 0 = v6 0 = v7 0 = v8 0

, , , = + i8 i4 i5 = i5 + i2 i6 = + i4 i1 + i2 i3 = i8 + i1 i7 , , , = + v3 v1 v7 0 = + + v3 v2 v6 0 = + + v4 v5 v2 0 = + + v4 v8 v1 0

Reemplazando ec de equilibrio en LVK:

v1 = E, v2 = -E, v4 = -E Reemplazando ec. de equilibrio en LCK:

i3 = -v2/R2 + v1/R1 +J Substituyendo v1 y v2, se obtiene para:

= i3 + + R2 R1 J R2 E R1 ER2 R1 Potencia que sale de la fuente de corriente:

Pc = v4 i4 = -E J Potencia que sale de la fuente de tensin:

Pt = v3 i3 = E ( ) + + R2 R1 J R2 E R1 E

R2 R1

Potencia que sale de la resistencia R1 = v1 i1 = E2 /R1 Potencia que sale de la resistencia R2 = v2 i2 = E2 /R2 No es necesario calcular i3 si se aplica conservacin de la

energa, ya que: v3 i3 = v1 i1 + v2 i2 v4 i4

R1 R2J

E

i7 i6

i2 i1

i8 i5 i4 v4

i3

v3


Solucin en Maple.

> restart; >ecequilibrio:={i4=J,v3=E,v1=R1*i1,v2=R2*i2, v5=0,v6=0,v7=0,v8=0}; datos:={R1=1,R2=1,J=1,E=1}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos. >lck:={i8+i4=i5,i5=i2+i,i4+i1=i2+i3,i8=i1+i7}; Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en mallas. >lvk:={v3-v1+v7=0,v3+v2+v6=0, -v4+v5+v2=0,v4+v8+v1=0}; Definimos las incgnitas, las variables en los elementos: > voltajes:={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8}; corrientes:={i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk: incgnitas:=voltajes union corrientes: El siguiente comando resuelve el problema en general. > sol:=solve(ecuacionesdelared,incgnitas); sol = i4 J = v3 E = v5 0 = v6 0 = v7 0 = v8 0 = v2 E = v1 E = v4 E, , , , , , , , ,{ :=

= i8 + J i5 = i3 + + R2R1J R2E R1ER2R1 = i7 + R1J R1i5 ER1 = i6

+ E R2i5R2, , , ,

= i1 ER1 = i2 ER2 = i5 i5, , }


> assign(sol): Como primer ejemplo, veremos la expresin asociada a las

potencias en las fuentes: > v4*i4; E J > v3*i3; E ( ) + + R2 R1 J R2 E R1 E

R2 R1

Expresiones asociadas a las potencias en las resistencias: > v1*i1; E2

R1

10 Captulo 2

> v2*i2; E2

R2

> simplify(v4*i4+v3*i3); E2 ( ) + R2 R1

R2 R1

> simplify(v2*i2+v1*i1); E2 ( ) + R2 R1

R2 R1

> p3:=simplify(v1*i1+v2*i2-v4*i4); := p3 E ( ) + + R2 R1 J R2 E R1 ER2 R1

> simplify(v3*i3); E ( ) + + R2 R1 J R2 E R1 E

R2 R1

Problema 2.4.

Para la red elctrica de la figura P2.7, con J1 = 4 y p1 = 2, determinar p2 y v2.

Figura P2.7

Solucin: Se identifican variables:

2

J1 p1

1

v2 J2

p2


Figura P2.8

Ecuaciones de la red. , , , = i1 J1 = v3 R3 i3 = i2 J1 = v4 R4 i4

, , = + i3 i2 0 = + i2 i4 0 = i1 i3 = v1 + + v3 v2 v4

Si es red elctrica J2 debe ser igual a J1, para que se

cumpla LCK. Puede calcularse v1, segn: p1 = -v1 i1 = -v1 J1 = -v1*4 = 2 => v1 = - 1/2 Calculando v2: v2 = v1 v3 v4 = - 1/2 R3 i3 R4 i4 = -1/2 2J1 1J1 = -1/2 8 4 = -25/2 Finalmente, puede determinarse p2: p2 = v2*i2 = (-25/2)(-4) = 50

Solucin en Maple.

> restart; >ecequilibrio:={i1=J1,v3=R3*i3,

i2=-J1,v4=R4*i4}; datos:={J1=4,R3=2,R4=1}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos. > lck:={i1=i3,i3+i2=0,i2+i4=0}; Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en mallas. > lvk:={v1=v3+v2+v4};

2

J1 p1

1

v2 J2

p2

v3

v4

v1

i3 i1

i2

i4

12 Captulo 2

Definimos las incgnitas, las variables en los elementos: > voltajes:={v1,v2,v3,v4}; corrientes:={i1,i2,i3,i4}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk: incgnitas:=voltajes union corrientes: El siguiente comando resuelve el problema en general. > sol:=solve(ecuacionesdelared,incgnitas); sol = i1 J1 = i2 J1 = i4 J1 = v4 R4J1 = v3 R3J1 = v1 + + R3J1 v2 R4J1, , , , , ,{ :=

= i3 J1 = v2 v2, } Luego asignamos las soluciones a las incgnitas. De este

modo podemos tener acceso a cualquier variable por su nombre.

> assign(sol): Veremos la expresiones asociadas a p1 y p2: De la ecuacin, se puede resolver v2 > ecv2:=solve(p1=-v1*i1,v2);

:= ecv2 + + p1 R3 J12 R4 J12

J1

> valv2:=eval(ecv2,datos union {p1 = 2}); := valv2 -252

> p2:=v2*i2; := p2 v2 J1

> eval(p2,datos union {v2=valv2}); 50

Problema 2.5.

Para la red de la figura P2.9, determinar i(v).


Figura P2.9

Solucin: Identificacin de variables:

Figura P2.10

Ecuaciones: , , , , = i4 J = v5 E = v3 R3 i3 = v1 R1 i1 = v2 R2 i2

, , , = i i2 i4 = i2 i5 = i5 i3 = i3 + i1 i4 , = v4 + + v2 v5 v3 = v + v4 v1

Para encontrar la relacin, eliminamos las variables internas: v = v4 + v1 = v2 + v3 + v5 + v1 = R2 i2 + R3 i3 + E + R1 i1 = (R2 +R3) i2 +E + R1i = (R2 +R3) ( i + J) +E + R1 i Obtenemos:

B

A

C

D

R2

E J

R3R1

i

v

B

A

C

D

R2

E J

R3R1

i

v

i2

i1 i3

i4 i5v4

v5

14 Captulo 2

= v + + i ( ) + + R1 R3 R2 E J ( ) + R3 R2 Finalmente i(v) resulta:

= i v E J R3 J R2 + + R1 R3 R2

Solucin en Maple.

> restart; > ecequilibrio:={i4=J,v5=E,v2=R2*i2,v3=R3*i3, v1=R1*i1}; datos:={R1=1,R2=2,R3=3,J=4,E=5}: Planteamos (v-1) LCK independientes en los nodos. > lck:={i=i2-i4,i2=i5,i5=i3,i3=i1+i4}; Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en mallas. > lvk:={v4=v2+v5+v3,v=v4+v1}; Tenemos 11 ecuaciones. Definimos las incgnitas, las

variables en los elementos ms la variable i: De este modo podr obtenerse expresiones en funcin de v. > voltajes:={v1,v2,v3,v4,v5}; corrientes:={i1,i2,i3,i4,i5,i}; >ecuacionesdelared:=ecequilibrio union lck union lvk: incgnitas:=voltajes union corrientes: El siguiente comando resuelve el problema en general. > sol:=solve(ecuacionesdelared,incgnitas); sol = i4 J = v5 E = v3 R3 ( ) + v R1 J E + + R1 R3 R2 = v2

R2 ( ) + v R1 J E + + R1 R3 R2, , , ,{ :=

= i5 + v R1 J E + + R1 R3 R2 = v4 + + + + v R3 v R2 R1 E R1 J R3 R1 J R2

+ + R1 R3 R2, , = i1 + + + v E J R3 J R2 + + R1 R3 R2 = v1

R1 ( ) + + + v E J R3 J R2 + + R1 R3 R2, ,

= i + + + v E J R3 J R2 + + R1 R3 R2 = i3 + v R1 J E + + R1 R3 R2 = i2

+ v R1 J E + + R1 R3 R2, , }


> assign(sol):


La expresin buscada es i(v): > i; + + + v E J R3 J R2 + + R1 R3 R2 > restart; > solve(i = -(-v+E+J*R3+J*R2)/(R1+R3+R2),{v}); { } = v + + + + + i R1 i R3 i R2 E J R3 J R2

Problema 2.6.

Para la red de la figura P2.11, considerando constantes los valores de las resistencias.

a) Determinar valor de J para que la fuente de tensin entregue potencia mnima.

b) Relacin entre E y J para que la fuente de tensin absorba energa.

Figura P2.11

Solucin: a) Identificando variables:

E

R1

R2

J

16 Captulo 2

Figura P2.12

Se requiere determinar expresin para la potencia entregada por la fuente de tensin:

pE = E iE Entonces es preciso conocer iE . Se tienen las siguientes seis ecuaciones: LVK+ ec. equilibrio fuente E: vJ = E LVK: vJ = v1 + v2 LCK+ ec. Equilibrio fuente J: J+ iE = i2 LCK: i2 = i1 Ecuaciones de equilibrio resistencias: v1 = R1 i1, v2 = R2 i2 Resultan: i1 = i2 = E/(R1+R2) Potencia entregada por la fuente de tensin: pE = E iE = E (i2-J) = E(E-J(R1+R2)) /(R1+R2) La mnima entregada es cero; ya que si pE es negativa, la

fuente recibe energa. Entonces para que la fuente entregue mnima potencia, se

requiere: J = E/(R1+R2)

b) Para que absorba energa pE


Problema 2.7.

En la red de la figura P2.13, se tienen: C = 2, v(0) = 2, i(t) = u(t-1) - u(t-2) - 2 (t-3) + 2u(t-4) - 3u(t-5) + u(t-8)

Figura P2.13

Dibujar la forma de onda de i(t) Calcular v(t) y expresar en trminos de escalones unitarios. Solucin.

Figura P2.14

Para calcular el voltaje, conociendo la corriente, empleamos:

:= ( )v t + d

0

t

( )i 2 2

Puede obtenerse integrando grficamente la figura P2.14, la forma de onda de v(t).

vi(t) C

i

t

2

18 Captulo 2

Figura P2.14

Expresando en trminos de escalones unitarios, se obtiene:

( )v t1 ( )u t 1 t

21 ( )u t 1

21 ( )u t 2 t

2 ( )u t 2 ( )u t 3 ( )u t 4 t + + =

4 ( )u t 4 3 ( )u t 5 t215 ( )u t 5

21 ( )u t 8 t

2 4 ( )u t 8 2 ( )u t + + +

Problema 2.8.

Para la red, de la figura P2.15, determinar relacin entre el voltaje de entrada y el de salida.

Figura P2.15

Solucin. Para plantear ecuaciones en redes con amplificadores

operacionales idealizados se tiene que las corrientes que

v(t)

t

vo

R1

vi

R2


ingresan al amplificador operacional son nulas, y que el voltaje diferencial tambin es nulo, considerando ganancia infinita.

Con la identificacin de variables de la figura P 2.16, estas condiciones pueden plantearse:

3

4

000d

iiv

===

Figura P2.16

Aplicando LVKs y las ecuaciones de equilibrio de las resistencias, se tienen:

1 1

2 2

00

i d

o d

v R i vv R i v

+ =+ + =

Reemplazando las ecuaciones del amplificador operacional y empleando LCK, se obtienen:

1 1

2 1

i

o

v R iv R i

==

Finalmente se obtiene: 2

1

o

i

v Rv R

= Que es la ecuacin de un amplificador inversor, con

ganancia: 21

RR

vo

R1

vi

R2

vd

i1

i2

i3

i4

20 Captulo 2

Ejercicios propuestos.

Ejercicio 2.1.

Para la red de la figura E2.1: Identificar variables: corrientes, voltajes y potencias. Plantear seis ecuaciones linealmente independientes. Calcular los valores de las variables que son la solucin de la

red.

Figura E2.1 Divisor de corrientes

Con la identificacin de variables, de la figura E2.2: Demostrar que las corrientes se dividen en forma inversamente proporcional a las resistencias:

1 2

2 1

i Ri R

= Demostrar que las corrientes, en las resistencias, pueden

calcularse, en trminos de la corriente i, segn: 2

11 2

12

1 2

Ri iR R

Ri iR R

= += +

Figura E2.2 Identificacin de variables.

e

i1

R1 v1v3

i3 p3

p1

i2

R2 v2 p2

i

j1

R1

R2 j2


Ejercicio 2.2.

Para la red de la figura E2.3: Identificar variables: corrientes, voltajes y potencias. Plantear seis ecuaciones linealmente independientes. Calcular los valores de las variables que son la solucin de la

red.

Figura E2.3 Divisor de Voltajes.

Con la identificacin de variables, de la figura E2.4: Demostrar que las tensiones se dividen en forma proporcional a las resistencias:

1 1

2 2

v Rv R

= Demostrar que las tensiones en las resistencias, pueden

calcularse, en trminos del voltaje e, segn: 1

11 2

22

1 2

Rv eR R

Rv eR R

= += +

Figura E2.4 Identificacin de variables.

e

R1

R2

e

i1

R1 v1v3

i3 p3

p1

i2 R2 v2

p2

22 Captulo 2

Ejercicio 2.3.

Para la red de la figura E2.5: Calcular tensiones en las resistencias. Potencias suministradas por las fuentes. Condicin entre los parmetros de la red para que la fuente

de corriente aumente su energa interna.

Figura E2.5

Ejercicio 2.4.

Para la red de la figura E2.6: Calcular corrientes en las resistencias. Calcular potencias entregadas por las fuentes. Condicin entre los parmetros de la red para que la fuente

de tensin e2, no absorba ni libere energa. En esa condicin calcular la potencia entregada por la fuente de tensin e1.

Si las fuentes son tensiones continuas, calcule el incremento de potencia en la resistencia R3, cuando se duplican los valores de las fuentes.

Figura E2.6

Ejercicio 2.5.

Para la red de la figura E2.7: Calcular corrientes en las resistencias. Calcular tensiones en las fuentes.

e1

R1

R3

R2

e2

e

R1

R2 j


Condicin entre los parmetros de la red para que la fuente de corriente j2, no absorba ni libere energa. En esa condicin calcular la potencia entregada por la fuente de corriente j1.

Condicin entre los parmetros de la red para ingrese potencia a la fuente de corriente j1.

Figura E2.7

Ejercicio 2.6.

Determinar grficamente la relacin i(v), para la red de la figura E2.8.

Figura E2.8

Ejercicio 2.7.

Para la red, de la figura E2.9, determinar relacin entre el voltaje de entrada y el de salida.

j1

R1

R2 j2

a

b

v

i

E

j

24 Captulo 2

Figura E2.9

Ejercicio 2.8.

Para la red, de la figura E2.10 determinar relacin entre el voltaje de entrada y el de salida.

Figura E2.10

Ejercicio 2.9.

Determinar expresin para la energa acumulada en la red, de la figura E2.11.

Figura E2.11

vo

R1

vi

R2

vo

R1

vi

C2

LR

C


Ejercicio 2.10.

Para la red de la figura E2.12, determinar relacin de equilibrio entre v1 e i1.

Figura E2.12

Ejercicio 2.11.

Determinar las ecuaciones de equilibrio para la red de la figura E2.13.

Figura E2.13

a

b

v1

i1

n1:n2

c

d

v2

i2

ideal

R

a

b

v1

i1

L1

c

d

v2

i2

L2

M12

M13

e f

i3 L3

v3

M23

Problemas resueltos.Problema 2.1.Solucin en Maple.

Problema 2.2.Solucin en Maple.




Problema 2.6.

Problema 2.7.Problema 2.8.Ejercicios propuestos.Ejercicio 2.1.Ejercicio 2.2.Ejercicio 2.3.Ejercicio 2.4.Ejercicio 2.5.Ejercicio 2.6.Ejercicio 2.7.Ejercicio 2.8.Ejercicio 2.9.Ejercicio 2.10.Ejercicio 2.11.

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