Pedro Othechar

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAFaculdade de Cincias e Tecnologia de Presidente Prudente

Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada e Computacional

Anlise de mtodos numricos de diferenas finitas para soluoda equao de Poisson em domnios irregulares

Pedro Flvio Silva Othechar

Orientador: Prof. Dr. Cssio Machiaveli Oishi

Presidente Prudente, setembro de 2013

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAFaculdade de Cincias e Tecnologia de Presidente Prudente

Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada e Computacional

Anlise de mtodos numricos de diferenas finitas para soluoda equao de Poisson em domnios irregulares

Pedro Flvio Silva Othechar

Orientador: Prof. Dr. Cssio Machiaveli Oishi

Dissertao apresentada ao Pro-

grama de Ps-graduao em Mate-

mtica Aplicada e Computacional da

Universidade Estadual Paulista J-

lio de Mesquita Filho como requi-

sito parcial para a obteno do Ttulo

de Mestre em Matemtica Aplicada e

Computacional.

Presidente Prudente, setembro de 2013

FICHA CATALOGRFICA

Othechar, Pedro Flavio SilvaO96a Anlise de mtodos numricos de diferenas finitas para soluo da

equao de Poisson em domnios irregulares / Pedro Flavio Silva Othechar. - Presidente Prudente : [s.n], 2013

83 f.

Orientador: Cssio Machiaveli OishiDissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de

Cincias e TecnologiaInclui bibliografia

1. Mtodo de diferenas finitas. 2. Equao de Poisson. 3. Domnios irregulares. I. Oishi, Cassio Machiaveli. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Cincias e Tecnologia. III. Anlise de mtodos numricos de diferenas finitas para soluo da equao de Poisson em domnios irregulares.

ndice

ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1 Introduo 4

2 Mtodos das interfaces imersas: problemas elpticos 72.1 Um modelo unidimensional: problema de interface . . . . . . . . . 7

2.2 Condies de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 O mtodo das fronteiras imersas (MFI) de Peskin . . . . . . . . . . 11

2.4 O mtodo das interfaces imersas (MII): breve introduo . . . . . 13

2.4.1 Reformulando o problema utilizando as condies de salto 14

2.4.2 O algoritmo do MII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3 A derivao do esquema de diferenas finitas em pontos

irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 O MII para um problema elptico de interface unidimensional geral 20

3 Mtodos clssicos: construo por interpolao 263.1 Mtodo clssico usando interpolaes (MC) . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 O algoritmo do MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Um mtodo do tipo fronteiras imersas modificado (MFIM) . . . . . 30

3.2.1 O algoritmo do MFIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Equivalncia entre o MCL e o MFIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Resultados numricos:problemas elpticos unidimensionais 354.1 Exemplos do MII para problemas de interfaces . . . . . . . . . . . 35

4.2 Problemas elpticos em domnios irregulares: comparao entre

os mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Problemas elpticos de interfaces bidimensionais 485.1 O mtodo das interfaces imersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

i

ndice

5.1.1 Relao de interface para problemas elpticos de interface

bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.2 O esquema de diferenas finitas do MII em duas dimenses 50

5.2 Mtodo clssico (MC): construo por interpolao . . . . . . . . . 55

5.2.1 O algoritmo do MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Mtodo das interfaces imersas simplificado (MIIS) . . . . . . . . . 61

5.3.1 O algoritmo do MIIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Mtodo das fronteiras imersas modificado (MFIM) . . . . . . . . . 63

5.4.1 O algoritmo do MFIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Resultados numricos: problemas elpticos bidimensionais 676.1 Problemas elpticos bidimensionais em domnios irregulares: com-

parao entre os mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Concluso 70

ii

Lista de Figuras

2.1 Grfico da soluo do problema unidimensional (2.1). A soluo

no suave na interface x = devido funo delta singular. . . 10

2.2 Grfico da funo delta discreto chapu no intervalo [1, 1] com = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Grfico da funo delta discreto cosseno no intervalo [1, 1] com = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Soluo do problema (2.14), com = 1 e = 1/3, usando a funo

delta discreto chapu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Exemplo de uma malha cartesiana unidimensional com um ponto

irregular x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Figura ilustrando a localizao da interface x. . . . . . . . . . . . 27

3.3 Domnio = [a, b], subdomnios 1 e 2, e a interface . . . . . . . 31

4.1 Comparao entre as soluo numricas obtida pelo MII e pelo

MFI, e a soluo exata (4.1) para o problema (2.1) com = 23,

= 2 e 40 pontos na malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Comparao entre a soluo numrica obtida pelo MII e a soluo

exata do exemplo 2 com = pi5, [u] = 1, [ux] = 0, em uma malha

com 121 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Comparao entre as solues numricas obtidas pelo MII e a

soluo exata do exemplo 3 com = 12, [u] = 0, [ux] = 1, em uma

malha com 20 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Grfico do problema (4.4) resolvido em uma malha com 100 pon-

tos, com = 1, + = 2 e = 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Grfico do problema (4.5) resolvido em uma malha com 141 pon-

tos e interface em = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Solues numricas do problema (4.8) resolvidas em uma malha

com 20 pontos e interface em = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii

Lista de Figuras

4.7 Comparao entre as solues numricas do MII, MCQ, MCL, EI

e a soluo exata do Exemplo 2, em uma malha com 20 pontos. . 44

4.8 Comparao entre as solues numricas do MCL, MCQ e MMI e

a soluo exata do problema do Exemplo 3, em uma malha com

20 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9 Comparao entre as solues numricas do MCL, MCQ, MII e a

soluo exata do problema do exemplo 4, em uma malha com 20

pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Um diagrama da coordenada local nas direes normal e tangen-

cial, onde o ngulo entre o eixo x e a direo normal. . . . . . 49

5.2 Os trs tipos de pontos da fronteira a serem interpolados. . . . . 57

5.3 Os tipos de pontos da fronteira a serem interpolados. . . . . . . . 57

5.4 Ponto irregular a ser interpolado nas direes x e y. . . . . . . . . 58

5.5 Ponto irregular a ser interpolado na direo x. . . . . . . . . . . . 59

5.6 Elemento do domnio intersectado pelo contorno, em que (i, j),

(i + 1, j) e (i + 1, j 1) so os vrtices do elemento e x e y so ospontos onde o contorno corta as arestas do elemento. . . . . . . 63

iv

Lista de Tabelas

4.1 Resultados numricos do problema (4.4) para malhas com 20, 40,

80, 160, 320 e 640 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Resultados numricos do problema (4.5) para malhas com 20, 80,

320, 1280 e 5120 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (4.7) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560

pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (4.8) para malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e

2560 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5 Comparao dos erros na norma En2 de cada mtodo para oproblema (4.8) para malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e

2560 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6 Comparao dos resultados numricos na norma En de cadamtodo para o problema (4.9) para malhas com 20, 40, 80, 160,

320, 640, 1280 e 2560 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.7 Comparao dos resultados numricos na norma En2 de cadamtodo para o problema (4.9) para malhas com 20, 40, 80, 160,

320, 640, 1280 e 2560 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.8 Comparao dos erros na En de cada mtodo para o problema(4.10) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560 pontos. . 46

4.9 Comparao dos erros na En2 de cada mtodo para o problema(4.10) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1280 pontos. . . . . 46

4.10Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (4.11) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1280

pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.11Comparao dos erros na norma En2 de cada mtodo para oproblema (4.11) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e

2560 pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

v

Lista de Tabelas

6.1 Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (6.2) em malhas 20 20, 40 40, 80 80. . . . . . . . . . 68

6.2 Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (6.3) em malhas 20 20, 40 40, 80 80. . . . . . . . . . 69

vi

Resumo

Neste trabalho, analisamos mtodos de diferenas finitas para solu-

o numrica da equao de Poisson em domnios irregulares com condies

do tipo Dirichlet, fazendo um estudo detalhado de cada um desses mtodos

numricos. Em particular, analisamos o Mtodo das Interfaces Imersas (MII),

Mtodos Clssicos usando interpolaes linear (MCL) e quadrtica (MCQ) e um

Mtodo do tipo Fronteiras Imersas modificado (MFIM). Inicialmente, compara-

mos os resultados obtidos por esses mtodos na soluo numrica de uma

equao elptica unidimensional, envolvendo uma interface localizada em um

ponto que no coincide com a malha. No caso unidimensional provamos que

o MCL e o MFIM so equivalentes. Posteriormente, analisamos os resultados

obtidos por esses mtodos na soluo numrica de problemas elpticos bidi-

mensionais, com condies de contorno definida sobre geometrias irregulares.

Em geral, os mtodos foram consistentes com a soluo exata. No caso unidi-

mensional o MII e o MCQ apresentaram resultados semelhantes, com ordem

de preciso quadrtica, enquanto que o MCL e o MFIM so menos precisos

para esses testes. Aps isso, realizamos testes preliminares envolvendo geo-

metrias bidimensionais irregulares. Os resultados apontam que o MFIM e o

MII so mais acurados e possuem ordem de convergncia quadrtica.

Palavras-Chave: Mtodo de diferenas finitas; Equao de Poisson; Dom-nios irregulares.

1

Abstract

In this work, we study finite difference methods for the numerical so-

lution of Poissons equation on irregular domains with Dirichlet-type boun-

dary conditions, performing a detailed study of these schemes. In particular,

we analyze the Immersed Interfaces method (IIM), the classical method with

linear (CML) and quadratic (CMQ) interpolation and the modified immersed

boundary method (MIBM). Firstly, we compare the results obtained from these

methods for solving a one-dimensional elliptic equation. In this equation, an

interface is located at an irregular grid point. In general, all methods have

been found consistent to the exact solution. In the one-dimensional case,

IIM and CMQ have showed similar results, with second-order accuracy while

MBIM and CML have presented less accurate results. Finally, we conduct pre-

liminary results for two-dimensional irregular geometries. The results show

that IIM and MIBM are more accurate than the classical method with linear

interpolation.

Keywords: Finite difference method; Poissons equation; Irregular domains.

2

Agradecimentos

Agradeo primeiramente a Deus, pela sua bondade e misericrdia, e por

ter permitido que eu chegasse at aqui, com vida e com capacidade de realizar

algo importante. A Ele, a Honra, a Glria e o Louvor.

Agradeo profundamente aos meus pais, Osvaldo SantAnna Othechar

e Maria Conceio Silva Vieira, por terem me dado uma educao adequada,

pelo amor, por me ensinarem o caminho correto a ser seguido, por me mostra-

rem que o estudo importante, e por me fazerem acreditar que eu era e sou

capaz de realizar grandes feitos.

Agradeo minha esposa, Katiely Guimares Oliveira, pelo companhe-

rismo, pelo amor, pela compreenso e por acreditar em minha capacidade.

Agradeo minha Tia, Maria Aparecida SantAnna Othechar (Cidinha),

pelo companherismo, pelo amor, pela pacincia, pelas lies de vida e por ter

me ajudado, me acolhendo em seu lar.

Agradeo CAPES, que atravs do programa PICME, me concedeu au-

xlio financeiro.

Agradeo a todos os amigos, funcionrios e professores do POSMAC.

Agradeo em especial ao meu Orientador Cassio Machiaveli Oishi, pela paci-

ncia e pelo conhecimento compartilhado, e por ter me aberto a mente para

um novo caminho na Matemtica.

A todos meu Muito Obrigado!

3

CAPTULO

1

Introduo

Problemas de interfaces fixas ou mveis, problemas de fronteira livre

e problemas definidos em domnios irregulares possuem muitas aplicaes

mas so desafiadores. Estes tipos de problemas tm atrado a ateno de

muitos pesquisadores da rea de Equaes Diferenciais Parciais (EDP), tanto

os estudiosos da anlise terica quanto os analistas numricos. O estudo

da regularidade das solues desses problemas complicado devido pre-

sena de interfaces, descontinuidades nos coeficientes, e termos fontes singu-

lares. Computacionalmente, existem muitos mtodos numricos designados

para funes suaves, que no so eficientes diante dos problemas acima cita-

dos.

O assunto de tal importncia, tanto teoricamente quanto pelas aplica-

es, que recentemente foi publicado um artigo, com um estudo descrevendo

algumas tcnicas recentes e eficientes para resolver problemas elpticos de

interface, conforme pode ser visto em [21].

Um dos mtodos numricos mais conhecidos na Literatura para proble-

mas de interface e/ou domnios irregulares foi introduzido por Peskin [1] e

conhecido como Mtodo das Fronteiras Imersas (MFI). Basicamente, o MFI

representa o fluido por uma malha cartesiana fixa enquanto que a fronteira

imersa representada por uma malha lagrangeana. A interao entre as va-

riveis definidas nessas malhas feita por uma distribuio delta de Dirac.

Originalmente, o MFI obtm apenas ordem um de preciso, e por isso, nos

ltimos anos, vem crescendo as pesquisas no intuito de aumentar a ordem de

convergncia desse esquema (ver [2] e [3] ).

Uma alternativa ao MFI clssico o mtodo proposto por Leveque & Li [5]

denominado de Mtodo das Interfaces Imersas (MII). O MII foi desenvolvido

como um mtodo de maior ordem de convergncia, que evita o uso de funes

4

delta discretos na formulao numrica do mesmo. A distribuio delta de

Dirac, ainda continua representando os termos forantes, mas quando o pro-

blema reescrito em termos de determinadas condies, que so chamadas

de condies de salto, o delta desaparece ficando apenas o termo que repre-

senta a magnitude da fora desse termo. No trabalho de Leveque & Li [5], o

mtodo foi apresentado para a soluo, via diferenas finitas, de uma equa-

o elptica com coeficientes descontnuos e com termo fonte singular. Aps

isso, Leveque & Li [6] aplicaram seu esquema na simulao de escoamentos

de Stokes, enquanto que Hou et al. [9] e Li et al. [10] estenderam o MII para

problemas de interfaces mveis (ou fronteiras livres). Li & Lai [11] apresenta-

ram o MII para a soluo das equaes de Navier-Stokes com termos fontes

singulares, e Lee & Leveque [15] para escoamentos incompressveis. Como

podemos verificar nas citaes anteriores, o MII tornou-se bastante conhecido

devido sua boa performance e preciso na soluo de problemas que envol-

vam coeficientes descontnuos, como por exemplo, na soluo das equaes

de Navier-Stokes com viscosidade descontnua ao longo da interface, conforme

pode ser visto em [14].

Recentemente, Feng & Li [22], apresentaram um estudo propondo uma

simplificao para o MII. Neste estudo, os autores realizam as simplificaes,

nos casos unidimensionais e bidimensionais com interfaces circulares, tendo

como base para resoluo do problema, um mtodo de diferenas finitas com

ordem de convergncia 2. J para problemas bidimensionais com interfa-

ces representadas por retas, os autores propem inicialmente um mtodo de

ordem de convergncia linear como base e posteriormente realizam uma ex-

trapolao de Richarlison para obter ordem 2 de convergncia. Bem mais

recentemente, ainda no contexto de mtodos de interfaces imersas, Brehm &

Fasel [23] apresentaram um novo e robusto, mtodo de interface de alta ordem

para equaes do tipo adveco-difuso. Alm disso o mtodo aplicado para

as equaes de Navier-Stokes incompressveis para conduzir investigaes de

um escoamento na camada limite ao longo de uma superfcie rugosa.

Baseado em uma discretizao via diferenas finitas, Jomaa & Macaskill

[12] fizeram importantes consideraes sobre a imposio de contorno do tipo

Dirichlet para a soluo da equao de Poisson em um domnio irregular. Ape-

sar desse problema ter sido significativamente estudado no passado, como por

exemplo, no trabalho de Shortley & Weller [13], o interesse da anlise est na

estimativa dos erros envolvidos na aproximao dos contornos quando inter-

polaes so aplicadas. Os autores mostram a influncia no nmero de pontos

na malha necessrios para alcanar o mesmo erro absoluto quando uma in-

terpolao linear ou quadrtica aplicada no contorno. Basicamente o uso

de interpolaes altera a equao de diferenas construda pela discretizao,

5

resultando em uma matriz no-simtrica.

No contexto de elementos finitos, Codina & Baiges [19] apresentaram um

esquema que busca aumentar a ordem de convergncia dos mtodos de fron-

teiras imersas, nos quais as condies de contorno, em especial as de Diri-

chlet, so impostas de forma a minimizar a distncia entre as condies de

contorno exata e aproximada por mnimos quadrados. Essa ideia foi original-

mente estendida para diferenas finitas por Petri [17] e por Oishi et al. [20],

e os resultados preliminares foram motivadores, pois a formulao combina

preciso e eficincia.

Um novo mtodo para resoluo da equao de Poisson com condies de

Dirichlet em domnios no retangulares, foi proposto por Izadian & Karamooz

[24]. Os autores desenvolveram o mtodo baseado em duas malhas: irregular

e semi-irregular e, alm disso, utilizam um mtodo de diferenciao numrica

aplicando pontos no equidistantes.

Portanto, como descrevemos anteriormente, apesar do problema de re-

solver numericamente um EDP em domnios irregulares ser clssico, ainda

chama a ateno de muitos pesquisadores. Desta forma, neste trabalho, foca-

mos a anlise de mtodos de diferenas finitas na soluo da equao de Pois-

son em Domnios irregulares. Particularmente, fizemos uma introduo ao

Mtodo das Interfaces Imersas (MII), baseado em malhas cartesianas unifor-

mes para resolver problemas de interface e problemas definidos em domnios

irregulares. Posteriormente fizemos a apresentao de dois mtodos clssicos

para resolver problemas definidos em domnios irregulares. O primeiro o m-

todo clssico de interpolao, que foi investigado por Jomaa & Macaskill em

[12], onde so usadas interpolaes para captura das condies de fronteira

que esto definidas em pontos da malha que no coincidem com a geometria

computacional. O outro mtodo proposto foi por Codina & Baiges em [19], no

qual investigamos sua eficcia diante de problemas com domnios irregulares.

6

CAPTULO

2

Mtodos das interfaces imersas:problemas elpticos

Neste captulo, faremos uma breve introduo ao modelo de um pro-

blema de interface e ao MFI original proposto por Peskin (1). Faremos tam-

bm um breve introduo a respeito das condies de salto, e os principais

conceitos do MII.

2.1 Um modelo unidimensional: problema de inter-

faceConsidere o seguinte problema de valor de contorno:

(ux)x = f(x), 0 < x < 1, u(0) = 0, u(1) = 0, (2.1)

o qual modela o deslocamento de um elstico, onde , uma constante, o

coeficiente de tenso de superfcie do elstico. Se f(x) uma fora pontual em

algum ponto , 0 < < 1, ento

10

f(x)(x)dx = lim0

10

(x )(x)dx = 1

0

(x )(x)dx = (), (2.2)

para todo (x) C1[0, 1] desaparecendo em x = 0 e x = 1, onde (x) uma fun-o contnua no negativa com um suporte compacto tal que

(x) = 1. Na

equao (2.2) o que queremos mostrar uma propriedade de uma distribuio.

Essa distribuio aparece na equao para representar f que nesse problema

um ponto unitrio de fora. Esse ponto unitrio de fora representa fisica-

7

2.1 Um modelo unidimensional: problema de interface

mente uma fora puntual. Para isso utiliza-se a distribuio delta de Dirac,

que aproximada por uma sequncia de funes de suporte compacto , com

0, e assim podemos dizer que:

(x) =

{ em x,0 caso contrrio.

(2.3)

Nota-se que a equao diferencial em (2.1) simplesmente uxx = 0 nos

subdomnios (0, ) e (, 1). Enquanto a soluo (o deslocamento do elstico)

contnua, suas derivadas de primeira ordem no so. De fato, se integrarmos

(2.1) da esquerda para a direita de , temos +

(ux)xdx =

+

(x ) 1 dx = 1 (2.4)

pois, nesse problema f(x) = (x ) e (x) = 1, e a igualdade segue da propri-edade mostrada em (2.1). Nesse contexto, + e so os valores de x que se

encontram antes e depois da interface respectivamente.

Assim,

+

(ux)xdx = ux(+) ux() = 1

e portanto ux(+) = ux() + 1.

Ento em x = , aparecem condies que so dadas por:

u(+) = u(),

ux(+) = ux(

) +1

.

(2.5)

Usando as condies de salto acima podemos obter a soluo exata do

problema. Assim, integrando a equao ux() = ux(+) 1 com respeito a ,de 0 a x, sendo x , obtemos:

x0

ux()d =

x0

(ux(+) 1

)d

u(x) u(0) = ux(+) x x

pois, j que u(0) = 0 e ux(+) uma constante, uma vez que + / (0, ).Finalmente, conclumos que:

u(x) = x (ux(

+) 1

). (2.6)

Por outro lado, seja, ux(+) = ux() + 1 . Integrando essa equao com

8

2.1 Um modelo unidimensional: problema de interface

respeito a +, de x a 1, sendo x , temos que:

1x

ux(+)d+ =

1x

(ux() +

1

)d+

u(1) u(x) =(ux(

) +1

)(ux(

) x+ x

)

u(x) = (1 x)ux() + (1 x) 1,

pois u(1) = 0 e ux() uma constante, porque / (, 1).Finalmente chegamos a uma expresso para u(x) no intervalo (x, 1):

u(x) = (1 x)(ux(

) +1

)(2.7)

Consideramos ento x = , ux(+) = ux()+ 1 e fazendo ux() = c, obtemos

das equaes (2.6) e (2.7) as seguintes equaes; respectivamente:

u() =

(c+

1

1

)= c,

e

u() = (1 )(c+

1

).

Agora, somando as duas equaes acima, obtemos c:

c+ c c+ (1 )

= 0 c = (1 )

Substituindo ux() = c = (1 )

nas equaes (2.6) e (2.7), chegamos

expresso final da soluo exata do problema (2.1):

u(x) =

(1 )x

se 0 x ,

(1 x)

se x 1.(2.8)

Neste exemplo, devido funo fonte delta singular, a soluo no-suave

em x = , conforme podemos notar na figura (2.1). Portanto, a soluo suave

por partes em cada subdomnio (0, ) e (, 1). A soluo em um subdomnio

acoplada com a soluo do outro lado da interface pelas relaes (2.5).

2.2 Condies de saltoAs duas relaes em (2.5) so chamadas de condies de salto sobre

a interface ou condies internas de contorno. As condies de salto so

9

2.2 Condies de salto

Figura 2.1: Grfico da soluo do problema unidimensional (2.1). A soluono suave na interface x = devido funo delta singular.

definidas por

[u]x=def= u(+) u() def= lim

x+u(x) lim

xu(x),

[ux]x=def= ux(

+) ux() def= limx+

ux(x) limx

ux(x).

(2.9)

Geralmente o domnio para um problema de interface com solues limi-

tadas pode ser dividido em vrias regies. As solues em diferentes regies

so continuamente diferenciveis para um certo grau e so acopladas por al-

gumas relaes de interface, que so chamadas as condies de salto atravs

da interface. crucial para o MII ter um conhecimento prvio das condies

de salto, ou das razes fsicas ou das equaes diferenciais governantes. Por

exemplo, considere a equao diferencial,

(ux)x = (x ), (2.10)

onde (x) uma funo contnua por partes e uma constante. As relaes

de salto podem ser facilmente derivadas da prpria equao. Podemos provar

que as condies de salto para a equao diferencial anterior so

[u] = 0,

[ux] = ,(2.11)

em x = , onde a distribuio delta de Dirac e representa a localizao

de uma interface arbitrria. De fato, integrando o lado esquerdo, com relao

a x, da eq. (2.10) de at + temos:

+

(ux)xdx = (+)ux(

+) ()ux() = [ux],

mas por outro lado,

+

(x )dx = ,

10

2.2 Condies de salto

e portanto temos a segunda condio de salto. A primeira condio de salto

segue diretamente da teoria da regularidade [24] e [25], pois a mesma garante

que a equao (2.10) possui soluo contnua e portanto, [u] = 0. Contudo,

no sempre fcil derivar as condies de salto envolvendo uma interface.

Por outro ponto de vista, as condies de salto podem ser consideradas

como condies de contorno internas que fazem um problema bem-posto.

Considere a equao diferencial parcial (2.10) com uma condio de fronteira

Dirichlet fora nas extremidades do domnio. No interior do domnio excluindo

a interface , a EDP simplesmente uxx = 0. Contudo (2.10) no bem-posta

a menos que seja especificado duas condies em . Diferentes condies de

salto geralmente correspondem a diferentes aplicaes. Para muitas aplica-

es, a soluo contnua e o fluxo a intensidade da fora, que d [u] = 0 e

[ux] = . O problema ento bem posto e tem uma nica soluo.

Para muitas aplicaes tem-se informaes suficientes para determinar as

condies de salto.

2.3 O mtodo das fronteiras imersas (MFI) de PeskinPeskin [1] props um mtodo de imposio de contorno, desenvolvido

para um modelo de fluxo de sangue no corao humano. Este mtodo tem sido

aplicado em muitos outros problemas, especialmente em biofsica e outras

aplicaes. Uma das ideias importantes no mtodo das fronteiras imersas

o uso de uma funo delta discreta para distribuir um termo fonte singular

prximo dos pontos da malha. As funes delta discreta mais utilizadas so,

a funo delta chapu

(x) =

( |x|)

2se |x| < ,

0 se |x| ,(2.12)

e a funo delta discreto cosseno, proposta por Peskin [1]

(x) =

1

4

(1 + cos(

pix

2))

se |x| < 2,

0 se |x| 2.(2.13)

Nas figuras (2.2) e (2.3) podemos observar os grficos dessas duas funes

delta discretos, respectivamente; ambas as funes so contnuas.

fcil analisar a resoluo de um problema de interface em uma dimen-

so, usando a funo delta discreto. Para tanto, vamos considerar o seguinte

modelo de um problema de interface:

11

2.3 O mtodo das fronteiras imersas (MFI) de Peskin

Figura 2.2: Grfico da funo delta discreto chapu no intervalo [1, 1] com = 0.1.

Figura 2.3: Grfico da funo delta discreto cosseno no intervalo [1, 1] com = 0.1.

uxx = (x ), (0, 1), u(0) = u(1) = 0. (2.14)

Nesse caso a interface se reduz a um ponto singular. Utilizando o mtodo de

diferenas finitas, ao discretizarmos o domnio, obtemos a equao de diferen-

as:(Uj+1 2Uj + Uj1)

x2= x(xj ),

no qual o termo uxx da equao (2.14) foi aproximado por diferenas central de

segunda ordem com u(xi) ' Ui, e x uma das funes delta discreto. Essemtodo pode ser facilmente implementado, e na figura (2.4) apresentamos o

resultado obtido pelo mtodo de Peskin desse simples problema, com = 1 e

= 1/3 e utilizando a funo (2.12), comparado com sua soluo exata

12

2.3 O mtodo das fronteiras imersas (MFI) de Peskin

u(x) =

2

3x se 0 x 1

3,

13

(1 x) se 13< x 1.

(2.15)

Figura 2.4: Soluo do problema (2.14), com = 1 e = 1/3, usando a funodelta discreto chapu.

Podemos perceber que o MFI simples e robusto, e para esse simples exem-

plo, a soluo numrica aproxima bem a soluo exata. Contudo, o MFI apre-

senta apenas ordem linear de convergncia e recorre ao uso de uma funo

delta discreto na formulao numrica, e por isso, Leveque & Li (5), propuse-

ram o MII que apresentaremos a seguir.

2.4 O mtodo das interfaces imersas (MII): breve in-

troduoIniciamos com o seguinte problema unidimensional como modelo

((x)ux)x (x)u = f(x) + (x ), 0 < x < 1, 0 < < 1, (2.16)

com condies de fronteira especificadas por u(x) em x = 0 e x = 1. A funo

(x) assumida ser descontnua em x = , (x) uma funo contnua e

uma constante. Uma vez que o mtodo e a anlise so simples para o

problema unidimensional, utilizaremos a equao (2.16) para apresentar a

ideia principal do MII.

Tanto no contexto do MFI, como no contexto do MII, a distribuio delta de

Dirac (x ) tem o papel de representar a interface. A diferena entre essesmtodos que o MII elimina a necessidade de se usar uma aproximao para

essa distribuio nas equaes de diferenas, uma vez que ao reformular o

problema utilizando as condies de salto, a mesma desaparece. A constante

13

2.4 O mtodo das interfaces imersas (MII): breve introduo

d a magnitude do fluxo na interface.

2.4.1 Reformulando o problema utilizando as condies de salto

Sejam f(x) L2(0, 1), (x) C(0, 1), e (x) C1(0, ) C1(, 1), ondeL2(0, 1) o espao das funes quadrado integrveis no intervalo (0, 1) e C(0, 1)

o espao das funes contnuas em (0, 1). Ento u(x) C(0, 1), ou seja, u(x) contnua. Ao integrarmos a equao (2.16) de x = para x = +, estamos

fazendo um salto na equao, assim temos

+

((x)ux)x (x)u(x)dx = +

f(x) + (x )dx,

mas como (x), f(x) e u(x) so contnuas e , + obtemos:

(+)ux(+) ()ux() = ,

e assim obtemos a expresso:

[ux]x= = +u+x ux = . (2.17)

Alm disso, temos

[u]x= = u+ u = 0, (2.18)

uma vez que f contnua e possui salto zero na interface.

Uma forma alternativa de indicar o problema acima requerer que u(x)

satisfaa a equao

(ux)x (x)u = f(x), 0 < x < 1, 0 < < 1, (0, ) (, 1), (2.19)

onde (0, ) (, 1) representa o interior do domnio sem a interface . Consi-deramos tambm as duas condies internas de contorno em x = . Assim

temos

[xux + uxx u] = [f ],

mas quando f contnua [f ] = limx+

f(x) limx

f(x) = 0, portanto

+x u+x +

+u+xx +u+ = x ux + uxx u. (2.20)

Na passagem acima, usamos a propriedade do salto [f +g] = [f ]+ [g]. Como,

por definio, os saltos so limites laterais, usamos a propriedade que garante

que o limite da soma a soma dos limites, e conclumos que o salto apresenta

a mesma propriedade.

Por simplicidade comeamos assumindo que (x) e f(x) so funes suaves

e constante por partes com um salto finito em . Assim temos + = ,

14


+x = x = 0. Da equao (2.18) obtemos que u

+ = u. Podemos expressar os

limitantes do lado +, onde x > , em termos daqueles do lado -, onde x < .

Logo, a equao (2.20) reduz-se a:

+u+xx = uxx u+xx =

+uxx. (2.21)

Agora usando a equao (2.17), podemos expressar u+x em funo de ux ,

como:

u+x =

+ux +

+. (2.22)

Assim segue das equaes (2.18), (2.21) e (2.22) as seguintes condies de

salto, para esse simples problema:

u+ = u, u+x =

+ux +

+, u+xx =

+uxx. (2.23)

Aps a construo do problema (2.16) reformulado no contexto de condi-

es de salto, estamos preparados para descrever a construo das equaes

de diferenas utilizadas no MII.

2.4.2 O algoritmo do MII

Um mtodo de diferenas finitas para uma equao diferencial linear

do tipo (2.19) usualmente envolve os seguintes procedimentos: (1) gerao

de uma malha; (2) substituir as derivadas com aproximaes de diferenas

finitas em todos os pontos da malha, onde a soluo conhecida, para obter

um sistema linear de equaes; (3) resolver o sistema linear de equaes para

obter uma aproximao para a equao diferencial original; (4) realizar anlise

de erro. O MII segue os mesmos procedimentos, ou seja, o algoritmo do MII

para resolver numericamente (2.16) descrito abaixo:

Passo 1: Gerar uma malha cartesiana, xi = ix, i = 0, 1, , N , onde x =1/N . O ponto recair tipicamente entre os pontos da malha, digamos xj < xj+1. Os pontos da malha xj e xj+1 so chamados pontos irregulares da

malha se uma aproximao de diferena central padro de 3 pontos for usada

em pontos da malha longe da interface . Os outros pontos so chamados de

pontos regulares da malha.

Passo 2: Determinar o esquema de diferenas finitas nos pontos regularesda malha. Em um ponto xi da malha, i 6= j, j+1, a aproximao central padrode 3 pontos aplicada a equao (2.19)

1

x2(i+ 1

2(Ui+1 Ui) i 1

2(Ui Ui1)) iUi = fi, (2.24)

onde i+ 12

= (xi+ 12), i 1

2= (xi 1

2), i = (xi) e fi = f(xi). Neste caso Ui

15


representa a aproximao numrica de u(xi).

Passo 3: Determinar as equaes de diferenas nos pontos irregulares xj exj+1. As equaes de diferenas so determinadas atravs do mtodo de coe-

ficientes indeterminados. Num esquema de diferenas finitas onde os pontos

so todos regulares, com um espaamento x entre eles, a derivada uxx, com

constante, fica aproximada em xi como

uxx(xi) = x2

Ui+1 +2x2

Ui +

x2Ui1,

e assim a equao (2.19) fica escrita como

x2Ui+1 +

2x2

Ui +

x2Ui1 iui = fi

Mas nos pontos irregulares xj e xj+1 do problema de interface, a equao de

diferenas no ter os mesmos coeficientes, os quais devem ser encontrados

em funo das condies de salto. Portanto, podemos escrever:

j,1Uj1 + j,2Uj + j,3Uj+1 jUj = fj + Cj,

j+1,1Uj + j+1,2Uj+1 + j+1,3Uj+2 j+1Uj+1 = fj+1 + Cj+1.(2.25)

Notemos que Cj e Cj+1 so os termos de correo envolvidos nos clculos

para xj e xj+1. Esses termos de correo aparecem nos pontos irregulares,

pois, em tais pontos precisamos incorporar a informao da forma u() que

o salto na interface, mas essa informao no faz parte do esquema de

diferenas finitas que aproxima a derivada. Desse modo, esse termo aparece

como um valor extra na equao de diferenas, o qual pode ser entendido

como um termo de correo.

Nas equaes (2.25) a primeira equao a equao de diferenas para o

ponto x = xj e a segunda para o ponto x = xj+1.

Para o simples modelo em que 0, [f ] = 0, e seccionalmente constante,o coeficiente das equaes de diferenas finitas em xj e xj+1 tem a seguinte

forma fechada:

16


j,1 = ( [](xj )/x)/Dj,

j,2 = (2 + [](xj1 )/x)/Dj,

j,3 = +/Dj,

j+1,1 = /Dj+1,

j+1,2 = (2+ + [](xj+2 )/x)/Dj+1,

j+1,3 = (+ [](xj+1 )/x)/Dj+1,

(2.26)

ondeDj = x

2 + [](xj1 )(xj )/2,

Dj+1 = x2 + [](xj2 )(xj1 )/2+.

(2.27)

A derivao de todos esses coeficientes e os termos de correo sero apre-

sentados na prxima seo. Mostraremos mais tarde que Dj 6= 0 e Dj+1 6= 0 se+ > 0. Os termos de correo so

Cj = j,3(xj+1 ) +

e Cj+1 = j+1,1( xj)

(2.28)

Para problemas unidimensionais de interfaces mais gerais, os coeficien-

tes j,k e j+1,k so determinados de um sistema de equaes uma vez que

as formas fechadas de coeficientes de diferenas finitas so complicadas e

no-necessrias. O k nos termos j,k, representa a quantidade de coeficientes

indeterminados da equao de diferenas.

Passo 4: Resolveremos os sistemas de equaes em (2.26), cuja matriz decoeficientes tridiagonal e combinaremos o passo 2, para obter uma aproxi-mao da soluo de u(x) em todo ponto da malha.

2.4.3 A derivao do esquema de diferenas finitas em pontosirregulares

Nesta seo determinaremos os coeficientes de diferenas finitas j,1,

j,2 e j,3 em (2.25) para o simples caso onde na equao (2.19) assumimos

= 0, seccionalmente constante, e f(x) contnua. O critrio para determinar

os coeficientes das equaes de diferenas em (2.25) minimizar a magnitude

do erro de truncamento local

Tj = j,1u(xj1) + j,2u(xj) + j,3u(xj+1) f(xj) Cj. (2.29)

17


A principal ideia expandir as solues u(xj1), u(xj), u(xj+1) e f(xj) em

srie de Taylor em de cada lado da interface e ento usar as relaes (2.23)

para expressar u(), ux (), e uxx() em termos das quantidades de um lado

em particular. Finalmente, combinamos a expanso em comparao com a

equao diferencial com os termos que conduzem a um sistema de equaes

para os coeficientes de diferenas finitas.

Notemos que xi = + xi , assim escrevemos xi = + (xi ) e usamoso termo xi como um x. Por exemplo, usando uma expanso em srie deTaylor para u(xj+1) em para obter uma aproximao de ordem 2, temos

u(xj+1) = u+() + (xj+1 )u+x () +

1

2(xj+1 )2u+xx() +O(x3). (2.30)

Na expanso de Taylor aparecem os termos u+, u+x e u+xx, uma vez que o

ponto xj+1 est aps a interface . Assim usando as relaes de salto (2.23), a

expresso anterior pode ser reescrita como

u(xj+1) = u() + (xj+1 )(

+ux () +

+)

+ (xj+1 )2

+uxx() +O(x

3).

(2.31)

A expanso em srie de Taylor de u(xj1) e u(xj) em tem a seguinte ex-

presso:

u(xl) = u() + (xl)ux () +

1

2(xl)2uxx() +O(x3), l = j 1 ou l = j. (2.32)

Assim, substituindo as equaes (2.31) e (2.32), e considerando a expanso

em srie de Taylor de f(x) em torno de , o erro de truncamento local do

esquema de diferena finita (2.29) em x = xj tem a seguinte forma:

Tj = j,1u(xj1) + j,2u(xj) + j,3u(xj+1) f(xj) Cj

= (j,1 + j,2 + j,3)u() + j,3(xj+1 ) +

(2.33)

+((xj1 )j,1 + (xj )j,2 + + (xj+1 )j,3)ux ()

+12((xj1 )2j,1 + (xj )2j,2 + + (xj+1 )j,3)uxx()

f()O(x) Cj +O(max1l3

|j,l|x3),

aps a escolha de termos para u(), ux () e uxx().

18


Minimizando a magnitude de Tj e usando a equao diferencial (2.19) em

do lado -, obtemos o seguinte sistema de equaes para os coeficientes {j,k}:

j,1 + j,2 + j,3 = 0,

(xj1 )j,1 + (xj )j,2 +

+(xj+1 )j,3 = 0,

1

2(xj1 )2j,1 + 1

2(xj )2j,2 +

2+(xj+1 )j,3 = .

(2.34)

Podemos verificar que os {j,k}s nas 3 primeiras equaes em (2.26) sa-tisfazem o sistema acima quando = 0 e seccionalmente constante na

equao (2.19). A seguir, constamos a veracidade da afirmao anterior, para

as duas primeiras equaes do sistema. Assim para a primeira equao de

(2.34), temos:

j,1 + j,2 + j,3 =

( [](xj )/x)/Dj + (2 + [](xj1 )/x)/Dj + +/Dj =( 2 []

x(xj xj1 + ) + +

)/Dj =

((+ ) []

x(xj xj1)

)/Dj =

([] []

xx

)/Dj = 0.

De forma semelhante, obtemos:

(xj1 )j,1 + (xj )j,2 +

+(xj+1 )j,3 =

(xj1 ) (( [](xj /x))/Dj) + (xj ) ((2 [](xj1 /x))/Dj)

+

++

Dj(xj+1 ) = 1

Dj

((xj1 ) 2(xj ) (xj1 )[] (xj )

x

+(xj )[] (xj1 )x

+ (xj+1 ))

=1

Dj((xj1 + 2xj + xj+1))

=1

Dj((2x 2x)) = 0.

Uma vez que os {j,k}s foram calculados, fcil ajustar o termo de correo

19


da equao (2.33):

Cj = j,3(xj+1 ) +

, (2.35)

que coincide com os termos restantes no erro de truncamento local Tj acima.

importante ressaltar as seguintes propriedades e casos especiais dos co-

eficientes de diferenas finitas {j,k} derivados do MII.

Se continuamente constante, ento pela resoluo do sistema (2.34),recuperamos o esquema padro de diferenas finitas de 3 pontos com

j,1 = j,3 = /x2 e = 2/x2.

No caso em que seccionalmente constante, o clculo dos coeficientesda mdia harmnica satisfaz a primeira e a segunda equaes de (2.34),

mas no a terceira, indicando que o erro de truncamento desse mtodo

em xj e xj+1 O(x). Mas o mtodo tem erro global de segunda ordem de

preciso na norma infinito, devido ao cancelamento dos erros.

Se = 0 na equao (2.28), ento Cj = Cj+1 = 0. Nesse caso uma descon-tinuidade em afeta somente os coeficientes, mas no o lado direito.

Se constante e = 0 na equao (2.28), ento

Cj =

x2(xj+1) = x(xj ); Cj+1 =

x2( xj) = x(xj+1), (2.36)

onde x a funo delta discreto. Nesse caso podemos ver o esquema

de diferena finita como uma discretizao direta da equao

uxx(x) = f(x) + (x ).

Os coeficientes {j,k} dependem apenas da funo (x) e da posio de relativo a malha, mas no de .

2.5 O MII para um problema elptico de interface uni-

dimensional geralNesta seo ainda consideraremos o seguinte problema unidimensio-

nal como modelo

((x)ux)x (x)u = f(x) + (x ), 0 < x < 1, 0 < < 1, (2.37)

com condies de fronteira especificadas por u(x) em x = 0 e x = 1.O diferencial

que estaremos considerando o problema num contexto mais geral. Assim

todos os coeficientes, (x), (x) e f(x), podem ter um salto finito em x = , e

a soluo tambm pode ter um salto [u] = . Alm disso, a condio de salto

20

2.5 O MII para um problema elptico de interface unidimensional geral

para a primeira derivada ser assumida como sendo [ux] = . Os coeficientes

da equao de diferenas em x = xj so as solues do sistema linear que

obteremos a seguir. Vale ressaltar que para pontos regulares, usaremos a

aproximao clssica de segunda ordem por diferenas finitas.

Vamos determinar as equaes de diferenas finitas pelo mtodo dos co-

eficientes indeterminados. Para isso, considere as equaes de diferenas

aplicadas a equao (2.37) e aos pontos irregulares x = xj e x = xj+1, respecti-

vamente:

j,1Uj1 + j,2Uj + j,3Uj+1 jUj = fj + Cj,

j+1,1Uj + j+1,2Uj+1 + j+1,3Uj+2 j+1Uj+1 = fj+1 + Cj+1.(2.38)

Considere as seguintes condies de salto:

u+ = u + ,

u+x =

+ux +

+.

(2.39)

Mas, vejamos, que agora necessrio impor uma condio de salto para

u+xx; assim, temos:

[xux + uxx u] = [f ]

Portanto, a equao acima pode ser reescrita como:

+x u+x x ux + +u+xx uxx (+u+ u) = [f ]

+u+xx = uxx +

x ux +x u+x (u +u+) + [f ]

u+xx =

+uxx +

x+

ux +x+

(

+ux +

+

)+

([]u + +

+

)+

[f ]

+,

uma vez que podemos escrever u+u+ = []u [u]+, que ao combinar-mos com as equaes em (2.39), temos o termo []u + + = +u+ u.

Finalmente temos que

u+xx =

+uxx +

x+

ux +x

(+)2ux

+x

(+)2+

[]u

+++

++

[f ]

+. (2.40)

Nesse momento, dadas as condies de salto, nossa estratgia para deter-

minar os coeficientes das equaes de diferenas minimizar a magnitude do

erro de truncamento local

21


Tj = j,1u(xx1) + j,2u(xj) + j,3u(xj+1) (xj)u(xj) f(xj) Cj.

Primeiramente, vamos expandir u(xj1), u(xj), u(xj+1), (xj) e f(xj) na in-

terface de cada lado, e usar as relaes de interface para expressar u(),

ux (), e uxx() em termos das quantidades de um lado em particular. Depois

repetiremos o processo feito na seo anterior para obtermos um sistema de

equaes para os coeficientes envolvidos na equao de diferenas. Os deta-

lhes dessas manipulaes algbricas sero discutidos a seguir.

Usando a expanso em srie de Taylor para u(xj+1) em , como foi feito em

(2.30), e usando as relaes de salto (2.39) e (2.40) temos:

u(xj+1) = u() + +

+(xj+1 )ux () + (xj+1 )

+

+(xj+1 )2uxx()

2++

(xj+1 )22+

(x

+x

+

)ux ()

(xj+1 )2+x

2(+)2+

(xj+1 )2[]u()2+

+(xj+1 )2+

2+

+(xj+1 )2[f ]

2++O(x3)

(2.41)

Para u(xj1) e u(xj), utilizamos a equao dada por (2.32), considerando as

condies de salto do problema geral.

Alm disso, note que, usando uma expanso em srie de Taylor para (xj)u(xj)

e fj em , fornece:

(xj)u(xj) = ()u() +O(x) e fj = f() +O(x).

Ou seja, substituindo (2.41) e (2.32), com condies de salto do problema

geral e utilizando a expresso acima, na expresso do termo de erro, obtemos:

22


Tj = j,1

{u() + (xj1 )ux () +

1

2(xj1 )2uxx() +O(x3)

}

+j,2

{u() + (xj )ux () +

1

2(xj )2uxx() +O(x3)

}

+j,3

{u() + +

+(xj+1 )ux () + (xj+1 )

++

(xj+1 )2uxx2+

+(xj+1 )2

2+

(x

+x

+

)ux ()

(xj+1 )2+x 2(+)2

(xj+1 )2[]

2+u()

+(xj+1 )2+

2++

(xj+1 )2[f ]2+

+O(x3)

} ()u() f()O(x) Cj

+O(max1l3

|j,l|x3).

Agrupando os termos em relao a u(), ux () e uxx() obtemos que:

Tj =

{(j,1 + j,2 +

(1 +

(xj+1 )22+

[]

)j,3

}u()

+

{(xj1 )j,1 + (xj )j,2 +

{

+(xj+1 ) +

(x+

+x(+)2

)(xj+1 )2

2

}j,3

}ux ()

+

{(xj1 )2

2j,1 +

(xj )22

j,2 +(xj+1 )2

2+j,3

}uxx() + ()u() f()O(x)

Cj + j,3{ + (xj+1 )

+ (xj+1)2

2

(+

(+)2 +

+ [f ]+

)}+O(max

1l3|j,l|x3).

A fim de minimizar a magnitude de Tj, vamos usar a equao diferencial

(2.37) em do lado-. Desse modo queremos que os coeficientes que acom-

panham os termos u(), ux () e uxx() em Tj, sejam exatamente iguais aos

coeficientes que acompanham esses mesmos termos na expresso:

uxx() + x ux ().

Portanto, obtemos o seguinte sistema de equaes para os coeficientes

{j,k}:

23


j,1 + j,2 +

(1 +

(xj+1 )22+

[]

)j,3 = 0,

(xj1 )j,1 + (xj )j,2+

{

+(xj1 ) +

(x+

+x()2

)(xj+1 )2

2

}j,3 =

x ,

(xj1 )22

j,1 +(xj )2

2j,2 +

(xj+1 )22+

j,3 = .

(2.42)

Ainda afim de minimizar o erro de trucamento Tj, temos que:

Cj + j,3{ + (xj+1 )

+ (xj+1 )

2

2

(+

(+)2 +

+ [f ]+

)}= 0.

E assim como os {j,k}s foram calculados, podemos determinar o termo decorreo em x = xj como

Cj = j,3

{ + (xj+1 )

+ (xj+1 )

2

2

(+

(+)2 +

+ [f ]+

)}. (2.43)

Procedendo os clculos de modo anlogo ao que fizemos para x = xj, obte-

mos o seguinte sistema linear para os coeficientes das equaes de diferenas

finitas em x = xj+1:

(1 (xj )

2

2[]

)j+1,1 + j+1,2 + j+1,3 = 0

{+

(xj ) +

(+x

+x()2

)(xj )2

2

}j+1,1

+(xj+1 )j+1,2 + (xj+2 )j+1,3 = +x

(xj )22

+

j+1,1 +

(xj+1 )22

j+1,2 +(xj+2 )2

2j+1,3 =

+

(2.44)

e o termo de correo Cj+1

Cj+1 = j+1,1

{ (xj )

(xj )

2

2

(

x

()2+

+

[f ]

)}(2.45)

Note que o sistema de equaes para as equaes de diferenas e os termos

de correo so os mesmos em xj e xj+1 se trocarmos os smbolos + e -.

Portanto, para soluo de um problema geral como em (2.37), o MII uti-

liza as equaes (2.38) com os coeficientes calculados pelos sistemas (2.42) e

24


(2.44), no passo 3 do algoritmo descrito na seo (2.4.2). Os demais passosso construdos de forma anloga ao problema simplificado.

25

CAPTULO

3

Mtodos clssicos: construo porinterpolao

Quando estudamos mtodos numricos para resolver EDPs, deparamos

com algumas dificuldades quando, o domnio onde esto definidas as condi-

es de contorno do nosso problema, uma regio que no coincide com a

malha computacional. No mtodo de diferenas finitas, em particular, quando

estamos trabalhando com malhas cartesianas num plano bidimensional, por

exemplo, qualquer domnio que no seja retangular nos trar dificuldades

para resoluo do problema.

Para um problema unidimensional, um domnio irregular pode ser enten-

dido como um ponto x, que no coincide com nenhum ponto da malha, con-

forme descrito na figura (3.1).

Figura 3.1: Exemplo de uma malha cartesiana unidimensional com um pontoirregular x.

Os mtodos que aqui chamaremos de clssicos, so mtodos que utilizam

uma interpolao numrica para construir as equaes de diferenas nos pon-

tos irregulares, de modo que seja possvel incorporar o contorno irregular ao

mtodo, obtendo assim uma soluo numrica mais acurada para o problema.

3.1 Mtodo clssico usando interpolaes (MC)A primeira formulao que estudaremos, baseada no trabalho de Jo-

maa & Macaskill em [12]. A seguir descreveremos essa formulao conside-

26

3.1 Mtodo clssico usando interpolaes (MC)

rando os estudos de Jomaa & Macaskill em [12].

Para isso, considere a equao de Poisson unidimensional

uxx = f(x), x [a, b], (3.1)

e condies de contorno do tipo Dirichlet. Uma malha unidimensional uni-

forme tomada sobre [a, b]. So assumidas condies de fronteira de Dirichlet

dadas em dois pontos da fronteira x1 e x2 que em geral no so pontos da

malha. Fora do interior do intervalo [x1, x2] vamos assumir que u = 0, de

modo que em geral exista uma descontinuidade em cada x1 e x2. Assim,

condies de contorno homogneas reduziro para um salto na borda. En-

to rotulamos os pontos entre os saltos, para que a = x0 < x1 < x2 < 0, e

uma parte externa 2, onde < 0. Ser considerado inicialmente o seguinte

problema de valor de contorno:

uxx = f(x) em 1,

u = u em ,

(3.8)

onde u a soluo exata no contorno e f(x) uma funo contnua. Para

aproximar o valor de u no contorno , podemos definir um funcional dado por

F (u) = u u22 = (u u)2, (3.9)

onde 2. Esse funcional ser utilizado no contexto de mnimos quadradospara fazer com que a distncia entre a soluo aproximada U e a soluo

exata u seja mnima. Como no h graus de liberdade de u no contorno ,

pode-se utilizar uma interpolao envolvendo os graus de liberdade nos pontos

internos.

Figura 3.3: Domnio = [a, b], subdomnios 1 e 2, e a interface .

Como exemplo, consideramos um elemento do domnio, que interceptado

pelo contorno, como na figura (3.3). Sejam xj e xj+1 pontos irregulares, nos

quais os valores da velocidade e da funo implcita so conhecidos, e x o

ponto onde intercepta o domnio, ou seja, onde = 0. Considere o segmento

entre os pontos xj e xj+1, aqui denotado por [j, j+1], onde xj um ponto interno

31

3.2 Um mtodo do tipo fronteiras imersas modificado (MFIM)

(j > 0) e xj+1 um ponto externo (j+1 < 0). Dados os valores da soluo e da

funo implcita nos pontos xj e xj+1, podemos definir uma interpolao linear

da seguinte forma:

u(x) Uj(x) j =

Uj+1 Ujj+1 j . (3.10)

Como estamos considerando x como um ponto da fronteira , temos que

(x) = 0. Logo, aps algumas manipulaes algbricas, simplificamos (3.10)

como:

u(x) =Uj+1j Ujj+1

j j+1 , (3.11)

em que Uj e Uj+1 so os valores da funo u nos pontos xj e xj+1, respecti-

vamente, j e j+1 so os valores da funo implcita nos pontos xj e xj+1,

respectivamente. Desta forma, substituindo a expresso acima em (3.9) obte-

mos

F (u) = (u u)2 =(Uj+1j Ujj+1

j j+1 u)2

.

Note que para o valor Uj, h uma equao que vem da discretizao do

problema quando uma aproximao clssica de segunda ordem aplicada a

eq. (3.8). O objetivo ento encontrar uma equao adicional para Uj+1 de

forma a garantir que F (u) seja mnimo, ou seja,

F (u)

Uj+1= 0 F (u)

Uj+1= 2

(Uj+1j Ujj+1

j j+1 u)(

jj j+1

)= 0. (3.12)

Finalmente obtemos a seguinte relao:

Uj+1jj j+1

Ujj+1j j+1 u = 0 Uj+1 =

(Ujj+1j j+1 + u

)(j j+1

j

)(3.13)

3.2.1 O algoritmo do MFIM

Para esse mtodo, temos novamente, uma equao diferencial linear do

tipo (3.8). Assim o passo 1 e o passo 2 so os mesmo que para o algoritmo doMC. O passo 3, semelhante ao passo 3 do MC, o qual descrevemos abaixo:

Passo 3: Determinar os coeficientes indeterminados da equao:

j,1Uj1 + j,2Uj + j,3Uj+1 = fj + Cj. (3.14)

Notemos que Cj o termo de correo envolvido nos clculos para xj.

Esse termo de correo aparece nos pontos irregulares, pois, em tais pon-

tos precisamos incorporar a informao da forma u que a condio de con-

torno, mas essa informao no faz parte do esquema de diferenas finitas

que aproxima a derivada. Desse modo, esse termo aparece como um valor

32

3.2 Um mtodo do tipo fronteiras imersas modificado (MFIM)

extra na equao de diferenas, o qual pode ser entendido como um termo de

correo.

Agora usando a expresso encontrada para Uj+1, substitumos o termo Uj+1que aparece na j-sima equao de diferenas. Como Uj+1 j foi aproximado

em funo de Uj, podemos juntar esses termos e obtermos os coeficientes da

equao de diferenas:

j,1 =1

x2, j,2 =

jjx2

2x2

, j,3 = 0, (3.15)

e o termo de correo

Cj = j j+1jx2

u. (3.16)

Passo 4: Usando as equaes do passo 3 e combinando com as equaesdo passo 2, obtemos um sistema pentadiagonal, o qual resolvemos para obteruma aproximao da soluo de u(x) em todo ponto da malha.

3.3 Equivalncia entre o MCL e o MFIMAgora que estamos de posse dos esquemas de diferenas finitas para o

MCL e para o MFIM vamos mostrar que esses mtodos so equivalentes. Sa-

bemos que para todo ponto regular do domnio, tanto o MCL quanto o MFIM,

utiliza o esquema padro de diferenas finitas. Ambos os esquemas, sofrem

uma modificao apenas na equao de diferenas correspondente ao ponto

irregular xj. Desse modo, para mostrar a equivalncia entre os mtodos, basta

mostra que a j-sima equao de diferenas em cada mtodo so iguais.

A j-sima equao de diferenas do MCL

Uj1 +( 21

)Uj = x

2fj u(

1

1 ).

Onde u o valor de u na interface. Assim, multiplicando a equao por

1 , temos(1 )Uj1 + ( 2)Uj = (1 )x2fj u.

Mas como, =xj+1 x

xe h = xj+1 xj, substituindo estes valores na

equao anterior, e aps algumas manipulaes algbricas, encontramos

(x xj)Uj1 + (xj x x)Uj = (x xj)x2fj ux. (3.17)

Nesse momento, consideremos a j-sima equao de diferenas para o

33

3.3 Equivalncia entre o MCL e o MFIM

MFIM, isto ,

Uj1 +(j+1j 2)Uj = x

2fj u(j j+1

j

).

Multiplicando a equao por j, e utilizando j = x xj e j+1 = x xj+1,obtemos a equao (3.17). Portanto conclumos que o MCL e o MFIM so

equivalentes.

34

CAPTULO

4

Resultados numricos:problemaselpticos unidimensionais

Neste captulo apresentaremos os resultados numricos dos mtodos

investigados nos captulos anteriores. Utilizaremos as seguintes notaes:

MII: Mtodo das interfaces imersas discutido no captulo 2.

MCL: Mtodo clssico com interpolao linear discutido no captulo 3.

MCQ: Mtodo clssico com interpolao quadrtica analisado no captulo3.

MC: Mtodo clssico.

O que aqui estamos chamando de mtodo clssico, nada mais do que im-

por o valor de fronteira u(x) no ponto xj, proceder a discretizao da equao

como em um problema com valor de contorno coincidindo com a malha.

Em todos os exemplos numricos, adotaremos o clculo do erro como:

En = uexato unumrico = max1in |ui Ui|,ou

En2 = uexato unumrico2 =(h

ni=1

(ui Ui)2)1/2

.

4.1 Exemplos do MII para problemas de interfacesNesta seo faremos testes numricos voltando a ateno exclusiva-

mente ao MII, uma vez que o mesmo est muito alm de apenas resolver pro-

blemas definidos em geometrias irregulares. Assim, faremos testes numricos

35

4.1 Exemplos do MII para problemas de interfaces

envolvendo problemas de interfaces, mostrando dessa forma a eficincia e

preciso do MII ao trabalhar com tais problemas.

Exemplo 1Nesse primeiro teste, resolvemos o problema (2.1) usando = 2

3, = 2,

comparando com sua soluo exata

u(x) =

{1

6x se 0 x 2

3,

13(1 x) se 2

3< x 1, (4.1)

e com o MFI de Peskin.

Figura 4.1: Comparao entre as soluo numricas obtida pelo MII e peloMFI, e a soluo exata (4.1) para o problema (2.1) com = 2

3, = 2 e 40 pontos

na malha.

De acordo com a figura 4.1, podemos observar que o MII aproxima muito

bem a soluo exata do problema (2.1), que dada pela equao (4.1). Alm

disso, com a mesma quantidade de pontos o MFI apresenta resultados com

preciso inferior ao MII, conforme podemos ver no zoom da figura 5.1, que

mostra as solues prximas a localizao de .

Exemplo 2Consideremos uxx = 0 em [0, 1] com u(0) = 0 e u(1) = 2. A interface est

localizada em x = pi5

com [u] = 1 e [ux] = 0. Na figura 4.2 mostramos a soluo

calculada com 121 pontos na malha, comparada com a respectiva soluo

exata do problema, dada por

u(x) =

{x se 0 x pi

5,

x+ 1 se pi5< x 1. (4.2)

Novamente, podemos observar na figura (4.2) que os resultados obtidos

36


pelo MII esto em concordncia com a soluo analtica.

Figura 4.2: Comparao entre a soluo numrica obtida pelo MII e a soluoexata do exemplo 2 com = pi

5, [u] = 1, [ux] = 0, em uma malha com 121 pontos.

Exemplo 3Consideremos novamente a equao de Laplace unidimensional uxx = 0

com domnio no intervalo [0, 1] e condies de contorno dadas por u(0) = 0 e

u(1) = 32. Os saltos so dados por dados por [u] = 0 e [ux] = 1 e a interface est

localizada no ponto = 12. A soluo exata desse problema dada por

u(x) =

{x se 0 x 1

2,

2x 12

se 12< x 1. (4.3)

Na figura 4.3 podemos visualizar a comparao dos grficos das solues

numricas com a soluo exata numa malha com 20 pontos. Observamos

nessa figura que a soluo numrica do MII aproxima bem a soluo exata.

Exemplo 4Consideremos o seguinte problema:

(ux)x = 12x2, 0 < x < 1, =

{+ se x < ,

se x > ,

u(0) = 0, u(1) = 1+

+(

1 1+

)4.

(4.4)

Nesse problema, f(x) = 12x2 contnua e assim as condies de salto so

37


Figura 4.3: Comparao entre as solues numricas obtidas pelo MII e asoluo exata do exemplo 3 com = 1

2, [u] = 0, [ux] = 1, em uma malha com 20

pontos.

Tabela 4.1: Resultados numricos do problema (4.4) para malhas com 20, 40,80, 160, 320 e 640 pontos.

N En O20 4.3333 104 -40 1.0846 104 1.998380 2.7124 105 1.9995160 6.7815 106 1.9998320 1.6954 106 1.9999640 4.2385 107 2.0000

naturalmente [u] = 0 e [ux] = 0. A soluo exata

u(x) =

x4

se x < ,

x4

++

(1

1+

)4 se x > .

Neste exemplo, estamos assumindo que + = 1 e = 2 e = 12.

Na figura 4.4 podemos visualizar uma comparao da soluo numrica

com a soluo exata, onde novamente observamos a concordncia entre elas.

Na tabela (4.1) observamos os resultados numricos para esse problema, e a

comprovao numrica de uma convergncia quadrtica.

Exemplo 5No ltimo exemplo dessa seo, usamos o MII para resolver um problema

38


Figura 4.4: Grfico do problema (4.4) resolvido em uma malha com 100 pontos,com = 1, + = 2 e = 1

2.

elptico geral da forma:

(ux)x u(x) = f(x) + (x ), 0 < x < pi2, 0 < 1,

e (x) dada por:

(x) =

{cos(x) se x < 1,

sen(x) se x > 1.

Finalmente temos f(x) dada pela expresso:

f(x) =

{2cos(2x) 4(1 + x)sen(2x) cos(x)sen(2x) se x < 1,1 sen(x)log(x) se x > 1.

Na figura 4.5 vemos a soluo numrica do problema, calculada em uma

malha com 141 pontos e com = 1, comparada com a soluo exata, cuja

expresso dada por:

u(x) =

{sen(2x) se x < 1,

log(x) se x > 1.

Podemos observar da figura 4.5 e da tabela 4.2, que mesmo para um pro-

39


Figura 4.5: Grfico do problema (4.5) resolvido em uma malha com 141 pontose interface em = 1.

Tabela 4.2: Resultados numricos do problema (4.5) para malhas com 20, 80,320, 1280 e 5120 pontos.

N En O20 5.0409 103 -80 4.7684 104 1.70320 1.8589 105 2.341280 1.6616 106 1.745120 3.1040 108 2.87

blema com caractersticas mais gerais, o MII consegue produzir bons resulta-

dos numricos, quando comparado com a soluo exata. Tambm verificamos

numericamente, nesse caso mais geral, que o MII apresenta aproximadamente

ordem 2 de convergncia.

4.2 Problemas elpticos em domnios irregulares: com-

parao entre os mtodosNessa seo voltaremos nossa ateno em problemas que estejam defi-

nidos em domnios irregulares. Nesse estudo, implementamos os trs mtodos

estudados para resoluo de problemas em que a fronteira no coincide com

a malha computacional e cuja equao esteja definida em um intervalo [a, b]

qualquer. Para tanto, consideremos a equao de Poisson unidimensional:

uxx = f(x), em (a, x), u(a) = u0 e u(x) = u, (4.6)

40

4.2 Problemas elpticos em domnios irregulares: comparao entre os mtodos

e um ponto x irregular, localizado entre os pontos xj e xj+1 da malha cartesi-

ana feita sobre [a, b]. Com o intuito de estudar problemas que estejam defini-

dos em geometrias irregulares, fixaremos que u = 0 em todo ponto xi da malha,

tal que xi > x. Ento resolveremos o problema antes do ponto irregular x.

Para isso, nos mtodos numricos estudados faremos nossas aproximaes

no ponto xj, pois, Uj+1 = 0. Como j provamos a equivalncia numrica entre

o MCL e o MMFI, vamos apresentar apenas os resultados obtidos pelo MCL.

Exemplo 1Neste exemplo, comparamos os mtodos estudados, para o seguinte pro-

blema: {uxx = cos(x), em = (0, 1)u = 1 em x = 0 e u = 0 em x = x = 1,

(4.7)

onde B = (0, 2) o domnio que contm o domnio de definio da equao

dada. A ideia desse exemplo, mostrar que para problemas onde a fronteira

coincide com um ponto da malha, os mtodos tm todos ordem de conver-

gncia 2. Na tabela 4.3 mostramos os resultados numricos das solues

numricas, comparadas com a soluo exata, dada por

u(x) = cos(x) cos(1)x.

Tabela 4.3: Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (4.7) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560 pontos.

N MC O MCL O MCQ O MII O20 8.957 105 8.957 105 8.957 105 8.957 105 40 2.238 105 2.00 2.238 105 2.00 2.238 105 2.00 2.238 105 2.0080 5.606 106 1.99 5.606 106 1.99 5.606 106 1.99 5.606 106 1.99160 1.401 106 2.00 1.401 106 2.00 1.401 106 2.00 1.401 106 2.00320 3.504 107 2.00 3.504 107 2.00 3.504 107 2.00 3.504 107 2.00640 8.760 108 2.00 8.760 108 2.00 8.760 108 2.00 8.760 108 2.001280 2.190 108 2 2.190 108 2 2.190 108 2 2.190 108 22560 5.475 109 1.99 5.475 109 1.99 5.475 109 1.99 5.475 109 1.99

Vemos claramente nesse exemplo, que os mtodos tm todos ordem 2 de

convergncia, e assim podemos concluir que os mtodos equivalem ao mtodo

padro de segunda ordem de diferenas finitas, quando o ponto onde est

definido o contorno, coincide com a malha computacional.

Exemplo 2 Neste exemplo, resolveremos o seguinte problema:{uxx = cos(x), em = (0, 1),u = 1 em x = 0 e u = 0 em x = x,

(4.8)

Note que esse problema igual ao anterior, a diferena que o domnio

41


est embutido no domnio B = (0, pi2), e assim o contorno no coincide com

um ponto da malha. Na figura 4.6 apresentamos os grficos das solues

fornecidas por cada um dos mtodos estudados, alm da soluo exata. Na

tabela 4.4, os erros dos mtodos numricos estudados comparados com a

soluo exata, dada por

u(x) = cos(x) cos(1)x, em = (0, 1).

Figura 4.6: Solues numricas do problema (4.8) resolvidas em uma malhacom 20 pontos e interface em = 1.

Tabela 4.4: Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (4.8) para malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560 pontos.

N MC O MCL O MCQ O MII O20 2.693 102 3.245 104 4.488 105 5.667 105 40 2.803 102 0.0582 1.024 104 1.66 1.239 105 1.85 1.371 105 2.0080 1.870 103 3.9034 7.615 106 3.75 3.395 106 1.86 3.465 106 2.04160 1.890 103 0.0141 3.161 106 1.26 8.505 107 1.99 8.664 107 1.99320 1.900 103 0.0071 1.316 106 1.26 2.134 107 1.99 2.164 107 2.00640 1.900 103 0.0035 4.000 107 1.71 5.3692 108 1.99 5.399 108 2.001280 2.145 104 3.1512 4.509 108 3.14 1.3484 108 1.99 1.351 108 2.002560 2.147 104 0.0008 1.924 108 1.22 3.372 109 1.99 3.378 109 2

Atravs dos resultados numricos apresentados na tabela 4.4 e na tabela

4.5, podemos notar que todos os mtodos apresentam solues numricas

consistentes com a soluo exata. Alm disso, notamos que os resultados da

MC so muito inferiores, o que mostra que o uso de alguma estratgia para

42


Tabela 4.5: Comparao dos erros na norma En2 de cada mtodo para oproblema (4.8) para malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560 pontos.

N MC O MCL O MCQ O MII O20 1.606 102 2.202 104 3.115 105 4.152 105 40 1.652 102 0.0413 6.794 105 1.69 8.758 106 1.83 9.945 106 2.0680 1.080 103 3.9227 6.095 106 3.47 2.455 106 1.83 2.522 106 1.97160 1.090 103 0.0087 2.339 106 1.38 6.154 107 1.99 6.303 107 2.00320 1.100 103 0.0048 8.875 107 1.39 1.546 107 1.99 1.574 107 2.00640 1.100 103 0.0025 2.627 107 1.75 3.896 108 1.98 3.924 108 2.001280 1.239 104 3.1525 3.416 108 2.94 9.798 109 1.99 9.825 109 1.992560 1.240 104 0.0005 1.310 108 1.38 2.450 109 1.99 2.456 109 2.00

a imposio de contorno necessria. O MCL apresenta uma oscilao na

ordem de convergncia, cuja mdia 2. J o MCQ e o MII, apresentam resul-

tados numricos consistentes e ordem de convergncia aproximadamente 2.

Nesse exemplo, em particular, os mtodos de imposio apresentam resulta-

dos muito prximos.

Exemplo 3Neste exemplo, comparamos os mtodos estudados, para o seguinte pro-

blema de interface:{uxx = cos(x) + 6x, em = (0,

2),

u = 1 em x = 0 e u = cos(2) +23 em x = x(4.9)

embutido no domnio B = (0, 2), juntamente com sua soluo exata, dada por:

u(x) = cos(x) + x3 em = (0,

2).

Neste exemplo, podemos notar na figura (4.7) que todos os mtodos apre-

sentam resultados consistentes com a soluo exata. Contudo, de acordo com

a tabela 4.6 e 4.7 o MII apresenta um erro menor que os demais, bem como

ordem de convergncia 2. O MCQ tambm apresenta uma ordem de conver-

gncia um pouco maior que 2 nas primeiras malhas, o que faz com que seu

erro se aproxime do erro do MII e depois ambos seguem com erros prximos

e ordem de convergncia 2. Novamente, os resultados do MCL inferior aos

demais, com valores cuja mdia fica prxima de 2.

Exemplo 4Neste exemplo, comparamos os mtodos apresentados anteriormente, para

o seguinte problema:

uxx = ex, em = (0,

pi

2), (4.10)

inserido em B = (0, 2) com u(0) = 1 e u(x) = epi2 , juntamente com sua soluo

43


Figura 4.7: Comparao entre as solues numricas do MII, MCQ, MCL, EI ea soluo exata do Exemplo 2, em uma malha com 20 pontos.

Tabela 4.6: Comparao dos resultados numricos na norma En de cadamtodo para o problema (4.9) para malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e2560 pontos.


exata, dada por:

u(x) = ex em (0,pi

2).

Conforme pode ser visto na figura 4.8, todos os mtodos continuam apre-

sentando resultados consistentes com a soluo exata. Conforme a tabela 4.8

e 4.9, o MCL apresenta resultados inferiores. O MCQ e o MII apresentam erros

e ordem de convergncia muito prximos, e cada vez mais prximos para os

refinamentos de malha.

Exemplo 5No ltimo exemplo dessa seo, comparamos os mtodos, para o seguinte

problema:

44


Tabela 4.7: Comparao dos resultados numricos na norma En2 de cadamtodo para o problema (4.9) para malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e2560 pontos.


Figura 4.8: Comparao entre as solues numricas do MCL, MCQ e MMI ea soluo exata do problema do Exemplo 3, em uma malha com 20 pontos.

uxx = sen(x), em = (0, pi), (4.11)

embutido no domnio B = (0, 4) com u(0) = 0 e u(x) = 0, juntamente com a

soluo exata do mesmo, dada por:

u(x) = sen(x) em (0, pi).

Atravs da figura 4.9 e da tabela 4.10 e 4.11, podemos notar que nesse

exemplo, todos os mtodos alm de apresentarem resultados consistentes com

a soluo exata, todos eles apresentam ordem de convergncia aproximada-

mente 2 e todos os resultados dos erros so prximos. Nesse exemplo, em

particular, no possvel notar as oscilaes nos valores da ordem do MCL.

45


Tabela 4.8: Comparao dos erros na En de cada mtodo para o problema(4.10) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560 pontos.


Tabela 4.9: Comparao dos erros na En2 de cada mtodo para o problema(4.10) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1280 pontos.


Figura 4.9: Comparao entre as solues numricas do MCL, MCQ, MII e asoluo exata do problema do exemplo 4, em uma malha com 20 pontos.

Conforme o refinamento de malha, notamos que os resultados tornam-se cada

vez mais prximos.

46


Tabela 4.10: Comparao dos erros na norma En de cada mtodo para oproblema (4.11) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1280 pontos.


Tabela 4.11: Comparao dos erros na norma En2 de cada mtodo para oproblema (4.11) em malhas com 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 e 2560 pontos.

N MC O MCL O MCQ O MII O20 6.100 102 4.200 103 3.800 103 4.300 103 40 5.970 102 0.0309 0.0010 2.04 9.998 104 1.93 0.0010 2.0280 8.700 103 2.7761 2.626 104 2.00 2.569 104 1.96 2.624 104 2.00160 8.600 103 0.0176 6.543 105 2.00 6.451 105 1.99 6.554 105 1.99320 8.600 103 0.0022 1.629 105 2.00 1.624 105 1.98 1.623 105 1.99640 2.200 103 1.9617 4.082 106 1.99 4.067 106 1.99 4.084 106 2.001280 2.200 103 0.0005 1.019 106 2.00 1.018 106 1.99 1.020 106 1.992560 6.000 104 1.8585 2.550 107 1.99 2.547 107 1.99 2.550 107 2.00

Em todos os exemplos de problemas com contorno em pontos no coinci-

dentes com a malha, observamos que a ordem de convergncia do MCL em

geral oscilante em torno de 2 ou prxima de 2 em alguns casos. J o MCQ e

o MII, sempre apresentam ordem de convergncia prxima de 2, com um erro

menor que os demais na maioria dos testes. Outro detalhe que o MCQ e o

MII apresentam resultados muito prximos para o caso unidimensional.

47

CAPTULO

5

Problemas elpticos de interfacesbidimensionais

5.1 O mtodo das interfaces imersasAqui discutiremos o MII para resolver problemas de interfaces bidimensio-

nais, definido como:

(ux)x + (uy)y (x, y)u = f(x, y), (x, y) = + , (5.1)

com uma condio de contorno prescrita em , onde min > 0 e e fso seccionalmente contnuas mas podem ter um salto finito descontnuo ao

longo da interface (uma curva em duas dimenses) C2 dentro do domnio. Duas condies de interface, ou condies de limitao interna, so ne-

cessrias para tornar o problema bem-posto. Assumimos que localmente elas

so definidas por

[u] = u+ u = , (5.2)

[un] = +u

+

n +u

n= , (5.3)

onde e so duas funes definidas somente ao longo da interface . Quando

0 e 0, tais condies de salto so chamadas condies de interfacenaturais e muitas vezes so implcitas, em vez de serem especificadas expli-

citamente em (5.2) e (5.3). Note que se = 0 e contnua, ento a soluo

do problema de interface equivalente soluo da nica equao em um

48

5.1 O mtodo das interfaces imersas

domnio inteiro,

(u(x)) u(x) = f(x) +

(xX(s))ds (5.4)

onde a funo delta de Dirac em duas dimenses espaciais. O segundo

termo no lado direito uma distribuio que satisfaz

(xX(s))(x)dsdx =

(X(s))ds (5.5)

para alguma funo suave (x).Em geral , se , , e f so seccionalmente suaves em , = 0, e

diferencivel ao longo de ento a soluo para o problema de interface existe

e est em H1(), onde H1() um espao de Sobolev.

5.1.1 Relao de interface para problemas elpticos de interfacebidimensionais

Das condies de salto (5.2) e (5.3) e da equao (5.1), podemos derivar as

seguintes relaes de interface que representa os valores limitados de um lado

pelos valores do outro lado usando coordenadas locais:{ = (xX) cos + (y Y ) sin , = (xX) sin + (y Y ) cos , (5.6)

onde o ngulo entre o eixo x e a direo normal, apontando para a direo

de um lado especfico, digamos o lado +. Nos pontos (X, Y ), a interface pode

ser escrita como:

= () com (0) = 0, (0) = 0. (5.7)

A curvatura da interface em (X, Y ) .

Figura 5.1: Um diagrama da coordenada local nas direes normal e tangen-cial, onde o ngulo entre o eixo x e a direo normal.

49


Teorema 1 (Relaes de Interface). Seja (X, Y ) um ponto na interface . As-suma que C2 na vizinhana de (X, Y ) correspondente na coordenada local(5.6) em (0, 0). Ento das condies de salto (5.2) e (5.3) e da eq. (5.1), temos asseguinte relaes de interface:

u+ = u + ,

u+ = u +

+,

u+ = u +

,

u+ = (+ )u + (

+

+)u+ +

+

u ++

u+

+( 1)u + u

+[f ]

++

[]u + +[u]+

,

u+ = u + (u

u+ )

+

,

u+ =+

u ++

u+ + (u+ u ) + u +

+,

(5.8)

onde =

+e , e , so as derivadas de superfcie de primeira e

segunda ordem de e em (X, Y ) na interface.

Demonstrao: Conforme [7].Essas relaes de interface so usadas na derivao do mtodo de diferen-

as finitas a seguir.

5.1.2 O esquema de diferenas finitas do MII em duas dimen-ses

Dada uma malha cartesiana (xi, yj), i = 0, 1, ...,M , j = 0, 1, ..., N , o esquema

de diferenas finitas para (5.1) tem a seguinte forma genrica:

nsk

kUi+ik,j+jk ijUij = fij + Cij (5.9)

em algum ponto da malha (xi, yi), onde u(xi, yi) conhecido. No esquema de

diferenas finitas acima ns o nmero de pontos envolvidos na discretizao

e Uij uma aproximao para a soluo u(x, y) de (5.1) em (xi, yj). A soma

sobre k envolve um nmero finito de pontos vizinhos (xi, yj). Ento cada ik e

jk tero valores no conjunto 0,1,2, .... Os coeficientes k e os ndices ik e jkdependem de (i, j).

O erro de truncamento local em um ponto da malha (xi, yj) definido como

Tij =nsk

ku(xi+ik , yj+jk) (xi, yj)u(xi, yj) f(xi, yj) Cij (5.10)

Um ponto (xi, yj) da malha chamado um ponto regular da malha em refe-

rncia ao operador padro de diferenas finitas de cinco pontos centrado em

50


(i, j) se todos os cinco pontos da malha esto do mesmo lado da interface.

Num ponto regular da malha, os erros de truncamento local so O(h2) se a

frmula padro de diferenas finitas centrada de cinco pontos, for usada, isto

:

1

x

{(i+ 1

2,j

(Ui+1,j Uij)x

i 12,j

(Ui,j Ui1,j)x

)+

(i,j+ 1

2

(Ui,j+1 Uij)x

i,j 12

(Ui,j Ui,j1)x

)} ijUij = fij,

(5.11)

Se (xi, yj) um ponto irregular da malha, isto , os pontos da malha na

molcula centrada de cinco pontos que so de ambos os lados da interface,

ento usado um mtodo de coeficientes indeterminados para determinar um

sistema de equaes para os coeficientes de diferenas finitas k em (5.9). O

termo de correo Cij pode ser obtido depois que os {k}s so obtidos. Coma suposio que a soluo suave por partes, um ponto (xi , y

i ) na interface

perto do ponto da malha (xi, yi) escolhido de modo que a expanso de Taylor

possa ser realizada a partir de cada lado da interface. Usualmente, (xi , yi )

escolhido, ou como a projeo ortogonal de (xi, yj) na interface ou como a

interseco da interface e um dos eixos.

Sejam as coordenadas locais de (xi+ik , yj+jk) como (k, k). A ideia mini-

mizar a magnitude do erro de truncamento local Tij em (5.10) combinando a

equao de diferena finita para a equao diferencial at todas as derivadas

parciais de segunda ordem. Assim, o erro de truncamento local pode ser zero

se a soluo exata uma funo quadrtica por partes, que implica segunda

ordem de convergncia se a condio de estabilidade tambm satisfeita.

A expanso de Taylor de u(xi+ik , yj+jk) sobre (xi , yi ) nas coordenadas locais

u(xi+ik , yj+jk) = u(k, k) = u + ku + ku

+

1

22ku

+ kku

+

1

22ku

+O(h

3)

onde o sinal + ou - escolhido dependendo de onde (k, k) se encontra,

no lado + ou - de . Depois da expanso de todos os termos, u(xi+ik , yj+jk),

usando na equao de diferenas finitas (5.9), o erro de truncamento local Tijpode ser expresso como uma combinao linear dos valores u, u , u

, u

, u

,

u como segue:

Tij = a1u + a2u+ + a3u + a4u

+ + a5u

+ a6u

+ + a7u

+ a8u

+ + a9u

+ a10u

++

+a11u + a12u

+ u f Cij +max{ | k| } O(h3).

As quantidades f, e so valores limitados dessas funes em (xi , yj )

51


dos lados + ou - da interface. Os coeficientes {aj}s dependem somente daposio dos pontos prximos interface. Eles so independentes da EDP, ,

u, , f , e das condies de salto e . Se definimos o conjunto de ndices k+ e

k por

k = { k : (k, k) est no lado de }

ento os {aj}s so dados por

a1 =kk

k, a2 =kk+

k, a3 =kk

kk, a4 =kk+

kk,

a5 =kk

kk, a6 =kk+

kk, a7 =1

2

kk

2kk, a8 =1

2

kk+

2kk,

a9 =1

2

kk

2kk, a10 =1

2

kk+

2kk, a11 =kk

kkk, a12 =kk+

kkk.

Usando as relaes de interface (5.8), substitumos as mesmas, na expres-

so do erro de truncamento, obtendo a seguinte expresso:

Tij = a1u + a2(u + ) + a3u + a4(u

+

+) + a5u

+ a6(u

+

) + a7u

+a8

[(+ )u + (

+

+)

(u +

+

)++

u ++

(u + ) + ( 1)u

+ u

+[f ]

++

[]u + +[u]+

]+ a9u

+ a10

[u +

(u

(u +

+

))

+ ]

a11u + a12

[+

u ++

u+ + (u +

u ) + u +

+

]

+u f + (Tij Cij) + max {|j,l|}O(h3)

Agora efetuando algumas manipulaes algbricas na equao anterior,

encontramos a seguinte forma

52


Tij = a1u + a2u + a2 + a3u + a4u

+ a4

++ a5u

+ a6u

+ a6

+ a7u

+a8

(+

)u + a8

[u +

+

+

+u

+

(+)2)

]+ a8

+

u a8++

u

a8++

+ a8( 1)u + u + a8

[]u

++

[[f ]

+++[u]

+

]+ a9u

+ a10u

+a10

((1 )u +

+

)

+ a10

+ a11u + a12

[+

u ++

u+ + (u +

u )

+u +

+

]+ u f Cij + max {|j,l|}O(h3)

Efetuando mais algumas operaes algbricas e colocando os termos da

expresso da direita na ordem dos coeficientes u, u , u ,..., u

obtemos

Tij = a1u + a2u + a8

[]u

++ a3u

+ a4u

+ a8

+

u a8 ++

u a8++

u

a10(1 )u + a12+

u a12++

u + a5u + a6u

+ a8

+

u a8++

u+

+a12(1 )u + a7u+a8u +a9u + a10u + a8( 1)u + a11u + a12u

+a2 + a12

++ a6

a8+

++ a12

+ a10

+ a4

++ a8

(

+

)

+

a10 + a12

+

(+)2+ a8

[[f ]

+++

+

] f Cij + max {|j,l|}O(h3).

Agora, juntando os termos de coeficientes u, u , u ,..., u

na expresso

do lado direito da igualdade, encontramos a seguinte expresso para o erro de

truncamento:

53


Tij =

(a1 +

a8[]

++ a2

)u +

{a3 + a8

(+

)+ a10

+a12+

+

(a4 + a8

(

+

+

) a10 a12

++

)}u

+

{a5 + a6 + a8

(+

+

+

)+ a12(1 )

}u

+ {a7 + a8}u + {a9 + a10 + a8( 1)}u

+ {a11 + a12}u u f + (Tij Cij) + max {|j,l|}O(h3)

(5.12)

onde

Tij = a2 + a12

++

(a6

a8+

++ a12

)+ a10

+1

+

(a4 + a8

(

+

) a10 a12

++

)

+a8

{[f ]

+++

+

}(5.13)

Assumindo que o esquema de diferenas finitas estvel, podemos garantir

segunda ordem de preciso na soluo aproximada exigindo que os coefici-

entes de u, u , u ,..., u

desapaream, chegamos ao seguinte sistema de

equaes:

54


a1 + a2 + a8[]

+= 0,

a3 + a4 + a8 + []

++ a10

[]

++ a12

++

= ,

a5 + a6 a8 []+

+ a12(1 ) = ,

a7 + a8 = ,

a9 + a10 + a8( 1) = ,

a11 + a12 = 0,

(5.14)

onde = +

. Uma vez que os {k}s foram calculados, podemos facilmenteobter Cij como

Cij = Tij (5.15)

onde Tij dado por (5.13) desde que

(u + u) +

u +

u u f = 0 (5.16)

no ponto (xi , yj ). O erro de truncamento local derivado da equao de diferena

finita geralmente O(h) em um ponto irregular da malha.

5.2 Mtodo clssico (MC): construo por interpola-

oConsidere a equao de Poisson bidimensional

2u = f(x, y), (x, y) . (5.17)

com alguma forma 2D irregular in

Pedro Othechar

Documents

Transcript of Pedro Othechar