Universidad de Sonora

Departamento de Fsia

Prtia 09

Pndulos aoplados

Ingrid Zabylel Cabrera Valenzuela

Mara Fernanda Moreno Lpez

Jessia Isamar Uriarte Gara

Pedro Ozuna Tarazn

Jess Antonio Castro

Lieniatura en Fsia

Grupo 1 , Horario 17:00-19:00

Hermosillo - 15 de abril de 2015

Pndulos aoplados 3 Maro terio

1. Introdu

in

El pndulo aoplado onsiste en una uerda que se sujeta por sus extremos a

la misma altura. Se oloan dos pndulos iguales, a dos puntos simtrios de la

uerda. Se desplaza uno de los pndulos de su posiin de equilibrio y se suelta.

El pndulo empieza a osilar pero su amplitud disminuye on el tiempo, el otro

pndulo que estaba iniialmente en reposo, empieza a osilar on una amplitud

que aumenta.

2. Objetivos

1. Observar el omportamiendo de dos pndulos aoplados

3. Maro terio

Tomamos el sistema formado por los dos osiladores aoplados de tal forma que

se asemeje al sistema formado por dos partulas iguales de masam oloadas enlos extremos de dos muelles de una misma onstantes elstia k. Las aoplamosuniendo las dos partulas por un muelle entral on onstante kc, omo seobserva en la gura:

Designamos los desplazamientos de ada una de las partulas omo x1 y x2 apartir de su posiin de equilibrio. Tomando omo positivo el desplazamiento a

la dereha. Como se observa en la gura, el muelle de la izquierda se dezplaza

x1 y el de la dereha se omprime x2; el entral se ha deformado x2 x1. Elanalisis de las fuerzas es el siguiente:

1. En la partula de la izquierda observamos una fuerza haia la izquierda

igual a kx1, y tambin otra fuerza proveniente del muelle entral iguala kc(x2 x1). Se toma x2 > x1.

2. En la partula de la dereha observamos la fuerza kx2 y la del muelle

entral kc(x2 x1)

El muelle entral ejere fuerzas iguales y de sentido ontrario sobre ada una de

las partulas.

1 Menia II

Pndulos aoplados 3 Maro terio

Apliamos la segunda ley de Newton a ada una de las partulas, y esribimos

las euaiones del movimiento en forma de euaiones difereniales de segundo

orden:

md2x1dt2

= kx1 + kc(x2 x1)

md2x1dt2

= kx1 kc(x2 x1)

Sumando y restando las dos euaiones difereniales tenemos, la euain dife-

renial de un movimiento armnio simple:

d2(x1 + x2)

dt2+

k

m(x1 + x2) = 0

d2(x1 x2)

dt2+k + 2kc

m(x1 x2) = 0

Estos son dos movimientos armnios simples on freuenias:

2a =k

my 2b =

k + 2kcm

Las soluiones a las euaiones diferenias son:

x1 + x2 = AaSen(at+ a)

x1 x2 = AbSen(bt+ b)

Donde las amplitudes Aa y Ab y las fases iniiales a y b estn determinadaspor las ondiiones iniiales: posiin iniial y veloidad iniial de ada una de

las partulas.

Despejando x1 y x2:

x1 =Aasen(at+ a + Absen(bt+ b

2

x2 =Aasen(at+ a Absen(bt+ b

2

En el instante t=0, las posiiones iniiales de las partulas son xo1 y xo2. Lasveloidades iniiales son 0.

Las euaiones las podemos transformas a:

x1 =xo1 + xo2

2cos(at) +

xo1 xo22

cos(bt)

x2 =xo1 + xo2

2cos(at)

xo1 xo22

cos(bt)

2 Menia II

Pndulos aoplados 4 Proedimiento

Suponiendo que xo2 es ero, omo se hizo en la prtia, las euaiones delmovimiento de las partulas se pueden esribir de forma ms simple usando las

relaiones trigonomtrias:

x1 = xo1cosa b

2tcos

a + b2

t

x2 = xo1sena b

2tsen

a + b2

t

Cuando la amplitud de un osilador vara on el tiempo, se le denomida amplitud

modulada. La amplitud del primer osilador xo1cos(a b)/2 es una funin

oseno que est adelantada p/2 respeto de la amplitud modulada del segundoosilador, que es una funin seno. Debido a la diferenia de fase entre las dos

amplitudes modulantes hay un interambio de energa entre los dos osiladores.

Durante un uarto de periodo modulante, la amplitud de un osilador disminuye

y la del otro aumenta, dando lugar a una transferenia de energa del primero

al segundo. Durante el siguiente uarto de periodo, la situain se invierte y la

energa uye en dire

in opuesta. El proeso se repite ontinuamente.

4. Proedimiento

1. Coloamos ambos pndulos en el soporte de la forma omo se mostraba

en la gura.

2. Nos aseguramos que ambos pndulos estuvieran oloados a ierta distan-

ia entre ellos y de los soportes de tal forma que el ngulo formado por la

uerda que los una al soporte tuvieran el mismo ngulo para los dos.

3. Teniendo ya oloados y alineados lo pndulos oloamos los sensores,

ada uno alineado a un pndulo y a una distania apropiada de modo que

pudiera apturar el movimiento ompleto de los pndulos. (Utilizamos

tambin dos bases, una para ada sensor para que estos quedaran a la

altura adeuada de los pndulos)

4. Medimos la separain que haba entre ambos pndulos (d), as omo la

distania del punto medio de esta al punto donde la uerda se une al

soporte (), la longitud de los pndulos (L) y el ngulo formado entre la

uerda y el soporte ().

5. Hiimos osilar uno de los pndulos y medimos (usando los sensores) los

desplazamientos de ambos.

6. Utilizando los sensores y herramientas omputaionales se rearon las ta-

blas de datos para ambos osiladores as omo sus respetivas graas de

veloidad vs. tiempo.

7. Para obtener un mejor resultado (en uanto a la alidad de las gras)

se repiti el experimento alibrando los sensores a diferentes freuenias

ada vez.

3 Menia II

Pndulos aoplados 6 Conlusiones

5. Resultados

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Bob1

Figura 1: Gra de la posiin en funin del tiempo para la partula 1

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Bob2

Figura 2: Gra de la posiin en funin del tiempo para la partula 2

6. Conlusiones

Como pudimos observar al unir los dos pndulos por medio de una uerda, en

la ual, uno de ellos es desplazado y el otro se mantiene en reposo, despus

de un ierto perodo de tiempo el otro pndulo omienza a osilar hasta que

la energa del pndulo que se desplaz iniialmente es transferida al pndulo

que estaba en reposo. Idealmente aislado seguira habiendo esa transferenia de

energa entre un pndulo y otro seguira de forma perpetua. Pero en realidad

existen prdidas de energa por fri

in, entre otras osas. Entones, por ausa

de estas prdidas, en ada transferenia se va disipando la energa hasta que los

dos pndulos llegan al reposo.

4 Menia II

IntroduccinObjetivosMarco tericoProcedimientoResultadosConclusiones