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Indice General
1. ASPECTOS GENERALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Título . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Autor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Asesor de Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Planteamiento del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Justi�cación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Objetivos del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.1 Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6.2 Objetivos Especi�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6. Marco Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Ecuaciones de Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7. METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8. ÁMBITO DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9. ADMINISTRACION DEL PROYECTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9.1 Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
9.2 Presupuesto del Trabajo de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
10. BIBLIOGRAFIA Y FUENTES DE INFORMACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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1. ASPECTOS GENERALES
1.1. TITULO
�Aplicación de la transformada Z en las ecuaciones de diferencias paralos problemas de inventarios �
1.2. AUTORES
Bach. Róger CCAMA ALEJO
1.3. ASESOR DE TESIS
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Las ecuaciones diferenciales es una rama de la matemática de amplia aplicación a la
ingenieria.
Es normal que en los primeros inicios en el estudio de las matemáticas se abor-
den temas desde las funciones continuas, ya sea por facilitar su comprensión o simple-
mente por que .es costumbre". Esto ocaciona en los estudiantes una inclinación hacia
la continuidad, en cambio con la mayoría en los fenómenos físicos que �nalmente son
modelados por funciones continuas. Realmente en asignaturas como física, estadistica
y economia donde empieza a notarse esta inclinación, que conlleva a di�cultades en el
manejo matemático de estas áreas. Igual ocurre al momento de resolver una ecuación
diferencial, donde las técnicas de solución en forma exacta parecieran indicar que estos
siempre es posible, en tanto que la realidad muestra que soluciones de ecuaciónes diferen-
ciales en términos de funciones elementales son muy pocas y que los métodos de solución
aproximada cada vez son mas usados.
Este trabajo muestra la estrecha relación entre ecuación diferencial y ecuación en
diferencias, siendo éstas últimas un recurso útil en la solución de las primeras. En la
solucion de ecuaciones en diferencias que expondremos aquí, además de detallar por
completo su solución en el caso de primer y segundo orden. Se busca presentar con-
ceptos que ayuden a interpretar de forma más sencilla dicha solución. Planteándonos
las siguientes interrogantes: ¿La transformada Z es posible aplicar en las Ecuaciones de
2
Diferencia? ¿Cómo se puede Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias
de la forma: an+1 � an�1 = f(n) y an+1 + an�1 = f(n)?. Estas son preguntas que son
estudiadas en este trabajo.
Problema General:¿La transformada Z es posible aplicar en las Ecuaciones de Diferencia?
Problemas especí�cos:¿Cómo se aplica la Transformada Z en una ecuación diferencial de primer orden?
¿Cómo se aplica la Transformada Z en la ecuación de Metzler?
3. JUSTIFICACION DEL PROYECTO
La presente investigación se justi�ca, porque permite aplicar el método heurístico,
en el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, aplicando el conocimiento
propio del problema y técnicas realizables en la resolución de problemas en un tiempo
razonable en los estudiantes de las Escuelas Profesionales de Ingeniería económica de la
Universidad Nacional del Altiplano.
El método heurístico permite la búsqueda de algunas alternativas de solución que
coadyuven a la mejoría en la resolución de problemas de las Ecuaciones de Diferencias
en los estudiantes de escuelas profesionales de Ingenierías.
Así mismo permitirá el empleo del método heurístico en la enseñanza de la matemáti-
ca, contribuyendo a lograrla la búsqueda de independencia cognitiva de los estudiantes
y la integración de nuevos conocimientos con los preexistentes en la construcción de los
aprendizajes.
Considero que bastaran estos elementos aquí planteados para justi�car un trabajo
de esta naturaleza que busque contribuir a la solución de un problema especí�co, pero
de gran relevancia por estar relacionado con muchas áreas del conocimiento y de las
investigaciones cientí�cas.
El estudio es importante porque permite aplicar el método heurístico en el apren-
dizaje de ecuaciones de diferencias, cuyas bondades permitirá a�anzar los aprendizajes
de manera signi�cativa, haciéndoles participes a los sujetos del aprendizaje.
El método heurístico en el aprendizaje de Ecuaciones de Diferencias es importante,
porque permitirá construir y desarrollar �la Didáctica de Ecuaciones Diferenciales Or-
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dinarias�, para los estudiantes de escuelas profesionales de Ingenierías y otras escuelas
profesionales.
4. OBJETIVO DEL PROYECTO
4.1. OBJETIVOS GENERALES
Determinar la aplicación de la transformada Z en las ecuaciones de diferencias.
5. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1+an�1 =
f(n) tiene como solución general
a�2in(1 + (�1)n)� a�1
2in�1(1 + (�1)n�1) + 1
2
nPm=0
[im�1(1 + (�1)m�1)f(n�m)]
Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1�an�1 =f(n) tiene como solución general
12[(1 + (�1)n)a� + (1� (�1)n)a�1 + (1� (�1)n) � f(n)]
6. ANTECEDENTES
Se considera como antecedentes los siguientes trabajos de investigación por la relación
que tiene con el proyecto de investigación.
� Ecuación de diferencias y la transformada Z aplicada a la solución de un problemade amortización de préstamo Bancario. Jairo José Pertuz Campo
� Transformada Z y su aplicación en Economía .Victor Adrian Quiroz Aran XalapaVeracruz julio de 2008
7. MARCO TEORICO
Ecuaciones de DiferenciasDe�nición 7.1 Sea h un número real �jo y f una función dada, la función �f está
de�nida por la ecuación
�f(x) = f(h+ x)� f(x)
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Se llama primera diferencia de f , (ó diferencia de .ordenüno de f) y está de�nida para
aquellos puntos x para los que tanto x y los x+ h están en el dominio de f:
PROPIEDADES
i). �(cf(x)) = c�f(x)
ii). �(f(x) + g(x)) = �f(x) + �g(x)
De�nición 7.2 Sea u(x) y v(x) dos funciones continuas en todo el dominio, entonces
se tiene:
�(u(x)v(x)) = u(x)�v(x) + v(x)�u(x) + �u(x)�v(x)
De�nición 7.3 Una ecuación de diferencias de primer orden la llamaremos lineal, se
puede escribirse en la forma:
f(x)y(x) + g(x)y(x+ 1) = h(x)
De�nición 7.4 Sea y = g(x); es una solución particular de la ecuación
a�y(x) + a1y(x+ 1) = h(x)
si la satisface en todo el dominio. El conjunto de todas las funciones que la satisfacen
es llamado solución general de:
a�y(x) + a1y(x+ 1) = h(x)
De�nición 7.5 Dada la ecuación lineal con coe�cientes constantes a�y(x)+a1y(x+1) =
h(x); (x = 0; 1; 2; 3:::) si la función h es constante h(x) = G entonces la relación
anterior, se reduce a:
y(x+ 1) = Ay(x) +B
Donde:
�A = a�a1y
�B = ba1
son constantes.
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Teorema 7.6 La función y(x), dada en la relación
y(x) =� Axy(0)+B( 1�A
x
1�A ) , A6=1y(0)+Bx , A=1
es solución de la ecuación de diferencias
y(x+ 1) = Ay(x) +B
Teorema 7.7 La ecuación de diferncias y(x+ 1) = Ay(x) +B tiene solución única.
Corolario 7.8 Sea y(x) una solución de la ecuación de diferencias y(x+1) = Ay(x)+B:
existe una constante c; para la cual;
y(x) =� cAx+B( 1�A
x
1�A ) , A6=1c+Bx , A=1
De�nición 7.9 Una sucesión fy(x)g es convergente si l��mx!1
y(x) existe, en cuyo caso la
sucesión converge al valor del límite.
De�nición 7.10 Si fy(x)g converga a un valor y y su comportamiento satisface y(k) >y; y(k+1) < y; y(k+2) > y; y(k+3) < y; ::: a partir de algun k 2 Z+; entonces fy(x)gconverge a y por oscilación.
Teorema 7.11 La solución general de la ecuación y(x+1)+ay(x) = r(x) tiene la forma
y(x) = yh(x) + yp(x):
Donde:
�yh es la solución de la ecuación homogenia asociada.�yp es una solución particular.
Teorema 7.12 Dadas dos soluciones y1(x) e y2(x) de la ecuación de diferencias y(x+
2) + a1y(x + 1) + a�y(x) = 0; la función y(x) = c1y(x) + c2y(x); donde c1 y c2 son
constantes arbitrarias tambien es solución de la ecuación homogenea.
Soluci�onAproximada de unaEcuaci�onDiferencial Ordinaria de Primer
Orden Usando Ecuacines de Diferencias
Hasta ahora, en este trabajo, se ha estudiado en forma detallada las ecuaciones de
diferencias en cuanto a su de�nición, propiedades, soluciones, etc. Queremos mostrar a
continuación su estrecha relación con las ecuaciones diferenciales de primer orden.
consideremos el problema general de valor inicial.
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� dydx=f(x;y)
y(x�)=y�
con f y @f@ycontinuas en un rectangulo R = f(x; y) 2 R=a � x � b; c � y � dg
Transformada ZDe�nición 7.13 Sea la función discreta f(n) que adquiere valores
f(0); f(1); f(2); :::; f(n); :::
y considérese la sucesión geométrica en la variable z (variable de transformación).
1; z; z2; z3; :::; zn; :::
formando un producto interno co estas sucesiones.
De�nición 7.14 (pulso unitario en el origen) Sea la fución �(n) se de�ne de la sigu-
iente manera:
�(n) =�1 , si n=00 , si n6=0
De�nición 7.15 (Pulso unitario en el puto m) Sea la función f(n) se de�ne tam-
bien mediante la delta de Kronecker.
f(n) = �(n�m) =�1 , si n=m0 , si n6=m
así:
Tz(�(n�m)) =1Pn=0
�(n�m)zn = zm
De�nición 7.16 La función escalon unitario u(n) esta de�nido de la siguiente forma:
u(n) =�1 , si n�00 , si n<0
así:
Tz(u(n)) =11�z
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De�nición 7.17 Sea f(n) = an entonces aplicando la de�nición de transformada Z.
Tz(an) = 1
1�az ; j az j< 1,j z j= 1jaj
T�1z�
1z2+1
�= 1
2in(1 + (�1)n)
donde T�1z representa la transformada Z inversa.
T�1z�
1z2+1
�= 1
2in�1(1 + (�1)n�1)
T�1z�
11�z2
�= 1
2(1 + (�1)n); n � 0
T�1z�
z1�z2
�= 1
2(1� (�1)n); n � 0
MODELO DE INV ENTARIO DE METZLER
Si el nivel de inventario deseado en un 40% del consumo del período
anterior y la propensión a consumir es de 0.6: St = 0;4Ct�1; Ct = 0; 6Yt: combinando
ambas expresiones, tenemos St = 0;4 � 0; 6Yt�1.El inventario al �nal del periodo t-1, con expresión St�1� c(Yt�1� Yt�2) = kcYt�2�
c(Yt�1 � Yt�2) estará dado por:
St�1 � 0;6(Yt�1 � Yt�2) = 0;6 � 0;4Yt�2 � 0;6(Yt�1 � Yt�2)
Teniendo en cuenta las ventas esperadas, la iversión en inventarios y la inversión
atónoma, podemos averiguar la produccin del periodo t, segun la expresión
Yt�2 � c(2 + k)Yt+1 + c(1 + k)Yt = I�
Dada por una ecuación por diferencias de segundo orden
Yt�2 � 1; 44Yt+1 + 0; 84Yt = I�
las raices de la ecuación característica son complejas: r = 0; 72 � 0; 5677i; cuyo
módulo es � = 0;9165 < 1; por lo tanto la solución es no monótona convergente.
Suponiendo I� = 300, encontramos la solución de equilibrio:
Y ct =3001�0;6 = 750:
La solución general es
Yt = 0;9165t(c1 cos 0;6672t+ c2 sin 0;6672t) + 750
no monótona, convergente a 750:
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8. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN
8.1. HIPÓTESIS GENERALES
La aplicación de la Transformada Z en las ecuaciones de diferencias.
8.2. HIPÓTESIS ESPECIFICOS
Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1+an�1 =
f(n)
Aplicar la Transformada Z en una ecuación de diferencias de la forma: an+1�an�1 =f(n)
8.3. SISTEMA DE VARIABLES.
8.3.1. Variable Independiente ( X )
Transformada Z.
8.3.2. Variable dependiente ( Y )
Ecuaciones de diferencias.
9. METODOLOGIA
La metodología que se utilizara en el presente trabajo de investigación estará caracter-
izada por el uso de los métodos inductivo, deductivo, sintético y además del demostrativo
ya que será de uso constante en el desarrollo de la investigación.
La estrategia para el avance será a través de exposiciones del trabajo al asesor, como
también consultas a docentes y otros entendidos en la materia.
10. AMBITO DE ESTUDIO
El ámbito de estudio está considerado dentro de la ciudad de puno, donde tendrá
lugar la asimilación y revisión bibliográ�ca. Este estudio se realizara mas precisamente
en la ciudad universitaria de la UNA-PUNO utilizando los servicios que presentan como la
biblioteca central, biblioteca especializada y el laboratorio de computo de nuestra escuela
profesional de Ciencias Físico-Matemáticas. Puesto que este es un trabajo netamente
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teórico, la parte de exploración se tendrá en cuenta el material bibliográ�co de otras
universidades y de la Internet.
11. ADMINISTRACION DEL PROYECTO
11.1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADESActividades (2012) Ene Feb Mar Abl May Jun Jul Ago Set
Exploración y estructuracion x x x x
Per�l del proyecto x x x
Tipeo y borrador x x x
Revision y presentación x x
Defensa x
11.2. PRESUPUESTODEL TRABAJODE INVESTIGACIÓNdescripción Unidad Cantidad Precio unit Parcial
Inscripción del Proyecto 3080.00
Adquisición de material bibliogra�co Unit 50.00 30.00 1.500
Alquiler de Computadoras H.M 500.00 1.00 500.00
Papel bond Millar 2 25.00 50.00
Papel bulky Millar 1 10.00 10.00
Memoria (USB) Unit 2 62.00 124.00
Folder Unit 10.00 1.00 10.00
Alquiler de internet H.M 200.00 1.00 200.00
Empastado de tesis Unit 7 20.00 140.00
Trabajo de impresion Millar 3 200.00 600.00
Fotocopias Millar 3 12.00 36.00
Total 6250.00
12. BIBLIOGRAFIA Y FUENTES DE INFORMACIÓN
References
[GJ] Glyn James, Matemática Avanzada para Ingenierías segunda edición (2002).
[C.F.J] Carlos Fernández Pérez, Francisco José Vázquez Hernandez, José Manuel Vegas
10
Montaner. Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias "Sistemas Dinámicos.Edición
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[Gr] Grossman, D. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Fondo Educativo In-
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[Iv] Ivorra, C. Funciones de Variable Compleja.
[Ja] Jau¤red, F. J. Moreno, A. Tecnicas Discretas en Ingeniería de sistemas, Tomo I.
[Le] Levinson, N., Redhe¤er, R. Complex Variable. Editorial Reverté.
[Do] Donald, Kreider. Robert, Kuller. Elementary Di¤erential Equations. Publicada
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[Ma] Martnes Coll, J. Equilibrio y Fiscalidad en la Economía de Mercado, Virtudes e
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[Mo] Mochón, F. Beker, V. Economía, Principios y Aplicaciones. Editorial Mc. Graw
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[Be] Bernardello, Alicia. Bianco, Maria. Casparri, Maria. Matemática para Econo-
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FUENTES DE INFORMACION
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