Prof. Javier González Cázares Telesecundaria Secretaría de Educación, México

PERFIL DE UN DIENTE DE ENGRANE GENERADO CON EXCEL

Profr. Javier González Cázares

Conceptos generales

Desde los griegos ya se conocían algunas propiedades de la cicloide, entre otras las que generan el

perfil dentado cicloidal, que no es más que el perfil generado por una epicicloide, cuando se dibuja

una curva engendrada por un punto situado sobre una circunferencia que gira sobre una recta sin

deslizarse1.

En un anterior trabajo mío, ya mencioné como se puede calcular la trayectoria de esta curva, en

éste trataré sus aplicación en el diseño y fabricación del perfil de un engrane.

La involumetría estudia la posición geométrica de todos los centros de curvatura. En esta sección

se estudiará al engrane sin la posición relativa de sus ejes, la dirección relativa de rotación y su

velocidad relativa.

La formación más sencilla del engrane es el perfil recto, su inclinación es el ángulo de presión, la

línea de acción es recta y normal al perfil; los cículos alrededor del centro de rotación y tangente a

la línea de acción se les llama círculos básicos, la evolvente es la curva del perfil en el círculo

básico.

Geometría del perfil de engrane

La evolvente es la trayectoria que describe un punto de una línea recta cuando hay rodamiento sin

deslizamiento entre la línea y circunferencia base de la evolvente.

1 Tomado de: http://www.portaleso.com/portaleso/trabajos/tecnologia/mecanica/elementos_de_maquinas/cicloide.htm y http://es.wikipedia.org/wiki/Epicicloide , 14 septiembre de 2013

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Los elementos de la geometría de la evolvente son:

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Dubley2 coloca al punto P sobre la curva a la cual llama el eje x, la normal en P es el eje y, por lo

que en el punto Q las coordenadas son:

Donde:

r = radio hacia el punto P

= ángulo de presión en el punto P

= ángulo entre los radios dibujados en dos puntos sobre el círculo de base, uno sobre la normal

por P y el otro sobre la normal por Q.

La línea generatriz es normal la evolvente, el ángulo es la pendiente de

la evolvente con respecto al radio vector

R3, las coordenadas de la curva son el

ángulo polar , y el radio R.

El ángulo de presión recomendado para

dientes rectos es de 20°.

En engranes rectos (fig. a la izquierda.), la

normal común a perfil del diente en el

punto de contacto debe pasar siempre por un punto fijo, llamado de tangencia, con el fin de

mantener constante la razón de las velocidades angulares de los engranes. La curva envolvente

satisface la ley del engranaje y es la que se usa más a menudo en el perfil de los dientes de

engranajes. Frecuentemente se utiliza en el perfil de los dientes de un engranaje, una combinación

de las curvas envolventes y cicloide, para evitar interferencia. En esta forma compuesta,

aproximadamente el tercio central del perfil tiene forma envolvente, mientras que el resto es

cicloidal.

Para trazar la involuta (ver sig. fig. siguiente) debe dibujar un radio del círculo base a un ángulo de

presión θ respecto al eje x, obteniéndose así el punto B, luego dibuje una recta tangente a círculo

base a partir del punto B y de longitud igual al arco AB, en donde A es el punto de intersección del

círculo base con el eje x. obtendremos entonces un punto (x, y) que pertenece al lugar geométrico

de la evoluta del círculo base4.

Aplicación

Haga los cálculos necesarios para diseñar el perfil de un engrane recto, que tiene las siguientes

características: calcula las dimensiones de una rueda dentada recta de Z = 15 dientes, módulo 1.

Para ello, usted tiene que dibujar el perfil evolvente del diente, esta trayectoria describe un punto

de una línea recta cuando hay rodamiento sin deslizamiento entre la línea y dicha circunferencia.

2 En la página de wikipedia aparece un “error” de concepto, en estas fórmulas ya que atribuye otras que no sonmás que fórmulas para perfiles de dientes de biccleta: https://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje, citado el 16 de septiembre de 2013 3 DUBLEY, Darle W.; MANUAL DE ENGRANAJES; compañía editorial continental, S. A., México, 1973 4 http://wapedia.mobi/es/

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Dibuje la evolvente para cada diente, perfiles de rodamiento, generatriz, tome en cuenta el ángulo

de presión de 20°.

Cálculo

Calcula dimensiones de una rueda dentada de Z = 15, módulo 1

Solución:

Diámetro primitivo r = 15 / 2 = 7.5 mm

Cabeza del diente

Pie del diente

Altura total del diente h = 2.25* m = 2.25 mm

Diámetro base db = da – 2*h = 17 – ( 2 * 2.25 ) = 12.5 mm

Paso circular P=

Paso diametral Pd = z / Dp = 15 / 7.5 = 2 mm

Espesor diente S = pi / (2*pd) = pi / (2*2) = 0.8 mm

Angulo del espesor

Diámetro exterior da = d + 2m = 15 + 2* 1 = 17 mm ra = 17 / 2 = 8.5 mm

Diámetro interior df = d – 2.5 m = 15 – 2.5 * 1 = 12.5 mm rf = 12.5 / 2 = 6.25 mm

Angulo de la base y hasta el radio primitivo = GRADOS (ATAN (N28/M28)) = 5.17°

Angulo circular

corregir

Estas dimensiones nos ayudarán a perfilar el diente.

Escriba estos cálculos en una nueva Hoja Excel:

Luego haga los cálculos para las operaciones para el diámetro primitivo:

Primero se escribe los ángulos: en la celda A10 escribe 0, de dos en dos hasta 360 (celda A190),

transforma esos ángulos a radianes (desde B10 hasta B190).

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El diámetro primitivo se calcula a partir de las operaciones de las celdas C10:D190, con la fórmula

inicial: =$C$2*COS(B10), para la proyección en “x”5; y la fórmula =$C$2*SENO(B10) para la

proyección en “y”6, note que $C$2 es el valor del radio primitivo.

El diámetro exterior se calcula a partir de las celdas E10:E190, con la fórmula inicial

=$C$4*COS(B10), para la proyección en “x”7; la fórmula inicial =$C$4*SENO(B10), para la

proyección en “y”8, el valor de $C$4 es el valor del radio exterior.

El diámetro de trabajo se calcula a partir de de las celdas G10:H190, con la fórmula inicial

=$C$7*COS(B10), para la proyección en “x”9; la fórmula inicial =$C$7*SENO(B10), para la

proyección en “y”10, el valor de $C$7 es el valor del radio de trabajo.

Dubley11 recomienda un ángulo de presión de 20°, escriba este valor en la celda J3, transfórmelo a

radianes en la celda K3. Puede iniciar con estos valores, y su perfil resultará casi en la horizontal,

en lo sucesivo se harán los ajustes necesarios, recomiendo iniciar con los primeros valores, así que

prescindirá de algunos datos que siguen a continuación.

Los siguientes datos, se agregarán debido a que el diente tiene que trasladarse, recomiendo que si

usted tiene algunas dudas, hágalo por el método “ensayo-error”, haga sus ajustes.

Bien, en la celda M7 escriba 35, cambie a radianes en la celda N7, en la celda N10, escriba la

fórmula: =24*3+10 (24 es el valor del ángulo circular), cambie este valor a radianes en la celda

O10; en la celda T10, escriba la fórmula =72+6+2*5.17+10, cambie el valor a radianes en la celda

U10.

Diente derecho

Usaremos la fórmula del perfil del diente que recomienda Dubley; en la celda J12 escriba:

=$C$7*(SENO($K$3)*SENO(B10)+COS($K$3)*(B10*SENO(B10)+COS(B10)-1))+$C$7 (copie y pegue

hasta J30).

En la celda K12 escriba:

=$C$7*(SENO($K$3)*(1-COS(B10))+COS($K$3)*(SENO(B10)-B10*COS(B10))) (copie y pegue hasta

K30).

Con estos valores su resultante es: =RAIZ (J12^2+K12^2), en la celda L12 (copie y pegue hasta L30)

Con un ángulo de: =ATAN (K12/J12), en la celda M12 (copie y pegue hasta M30)

5 Escriba esta fórmula en la celda C10, copie y pegue hasta C190. 6 Escriba esta fórmula en la celda D10, copie y pegue hasta D190. 7 Escriba esta fórmula en la celda E10, copie y pegue hasta E190. 8 Escriba esta fórmula en la celda F10, copie y pegue hasta F190. 9 Escriba esta fórmula en la celda G10, copie y pegue hasta G190. 10 Escriba esta fórmula en la celda H10, copie y pegue hasta H190. 11 Op Cit.

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Con estos valores podemos ahora sí, hacer el perfil del diente.

Perfil diente derecho:

Eje “x”, en la celda N12 escriba: =L12*COS(M12+$O$10), copie y pegue hasta N30.

Eje “y”, en la celda O12 escriba: =L12*SENO(M12+$O$10), copie y pegue hasta O30.

Diente izquierdo:

Se tiene que hacer cambios en las proyecciones, lo que inicie en la celda P12 con la fórmula:

=$C$7*(SENO($K$3)*SENO(B10)+COS($K$3)*(B10*SENO(B10)+COS(B10)-1))+$C$7, copie y pegue

hasta P30.

En la celda Q12 escriba:

=-$C$7*(SENO($K$3)*(1-COS(B10))+COS($K$3)*(SENO(B10)-B10*COS(B10))), copie y pegue hasta

Q30.

La resultante en la celda R12 con: =RAIZ(P12^2+Q12^2), copie y pegue hasta R30.

El ángulo en la celda S12 con: =ATAN(Q12/P12), copie y pegue hasta S30.

Perfil diente izquierdo

Eje “x”, en la celda T12 escriba: =R12*COS($U$10+S12), copie y pegue hasta T30.

Eje “y”, en la celda U12 escriba: =R12*SENO($U$10+S12), copie y pegue hasta U30.

Hasta aquí, usted a descrito el perfil del diente, sin embargo se requiere el diente se vaya

perfilando poco a poco, es decir se vaya generando a medida que el ángulo crezca desde cero

hasta 35 grados aproximadamente.

En la celda V12 escriba 0, en incrementos de dos, hasta la celda V30.

Vincule una Barra de Desplazamiento en la celda F5, con un límite máximo de 17; en la celda G5

escriba: =F5*2+1.

Perfil derecho animado

En la celda Y12 escriba: =SI($V12<=$G$5,N12,Y11), copie y pegue hasta Y30.

En la celda Z12 escriba: =SI($V12<=$G$5,O12,Z11), copie y pegue hasta Z30.

Perfil izquierdo animado

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En la celda W12 escriba: =SI($V12<=$G$5,T12,W11), copie y pegue hasta W30.

En la celda X12 escriba: =SI($V12<=$G$5,U12,X11), copie y pegue hasta X30.

Diámetro exterior del diente

En la celda P32 escriba =SI($G$5=35,E54,""), copie y pegue hasta P34

En la celda Q32 escriba =SI($G$5=35,F54,""), copie y pegue hasta Q34,

Inserte una gráfica para ver la animación de este perfil con los datos ya “calculados”, para

visualizar el diámetro exterior, diámetro primitivo y diámetro de trabajo.

Imágenes

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El se generará a partir de variar el ángulo del perfil:

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Puede notar todas las características del perfil del diente del engrane generado, los perfiles de

dientes por lo general son cortados mediante perfiles ya hechos llamados “Cortadores”, en la

máquina Fresadora.