ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALINGENIERÍA CIVIL

MATERIA: HIDROLOGÍA APLICADA

TEMA: APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS ESTADÍSTICOS EN LA HIDROLOGÍA

AUTOR: WILMER USHIÑA

AÑO: 2015

TRABAJO 1

OBJETIVOS

Reforzar los temas tratados en clase, mediante la aplicación de un ejercicio. Aplicar y diferenciar los distintos métodos tratados para el cálculo de probabilidades. En base a los parámetros estadísticos, determinar cuál de los métodos presenta mayor

factibilidad para ser aplicado en los periodos de retorno.

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo muestra el tratamiento estadístico de una serie de 24 datos de caudales máximos que se obtienen para la muestra de las características estadísticas y en base a esto se puede obtener un coeficiente de asimetría con el que se definirá el método estadístico que se va a calcular los valores probables de caudales de eventos establecidos de acuerdo a los periodos de retorno, también se va a aplicar un método grafico el cual nos servirá para la comparación de resultados con los otros métodos estadísticos antes mencionados.

INFORMACIÓN DISPONIBLECaudales máximos AÑO Q (m̂ 3/ s)

1990 151.41991 399.41992 374.81993 262.31994 363.31995 355.71996 726.21997 429.41998 136.81999 466.82000 742.22001 868.12002 469.12003 437.92004 504.42005 371.52006 837.22007 3382008 378.12009 1572010 112.92011 854.72012 229.42013 358

MARCO TEÓRICO:

Probabilidad

Es la posibilidad que existe entre varios eventos, que un hecho o condición se produzcan.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir.

La función de densidad de probabilidad, describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.

La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.

La representación gráfica de la función de densidad en un sistema de ejes cartesianos es la de una curva continua, construida de forma tal que la altura de la curva, sobre el eje de las X, en cada punto es el cociente entre el diferencial de la probabilidad en dicho punto y el diferencial de x. Esta construcción es una extensión por diferenciación del concepto de histograma.

Como consecuencia, la integral de f(x) sobre todo el campo de variación de X es igual a 1.

Para variables continuas también se define la función de distribución, de la siguiente manera:

Las características de F(x) son iguales a las expuestas para el caso de las variables discretas, salvo que, obviamente, nunca se expresan en forma tabular.

En general, cualquiera que sea el tipo de variable, las funciones de distribución nos pueden servir para calcular probabilidades.

Dada su definición, resulta que, para variables continuas, la función de densidad es la derivada respecto a X de la función de distribución.

Distribución de probabilidades

Las distribuciones de mayor interés en hidrología son:

Distribución Normal: Distribución Log- Normal Distribución Pearson tipo III Distribución Gumbel Distribución Log Gumbel

METODOLOGÍA:

a) Obtener las características estadísticas de Q estas son: media (Xm), desviación típica (S), número de elementos de la serie (n), coeficiente de variación (Cv) y coeficiente de asimetría (Cs).

b) Para el método analítico obtener los valores de Kp que se encuentran en tablas para las siguientes distribuciones:

Distribución Normal: Distribución Pearson tipo IIIA continuación, con estos valores de Kp se procederá a obtener la variable casual usando la siguiente formula:

X P=X+KP∗S

X P=variable casualX=mediaS=varianza

c) Para el método gráfico generar la siguiente tabla:

AÑO m xi (mm) xi * (mm) Ln (xi) p* (%) p(x>xi) 100 - p*

Luego se procede a graficar xi* vs 100-p* en los siguientes papeles de probabilidades. Para hallar la variable casual se traza una curva que pase por la mayoría de puntos dibujados, para interpolar y extrapolar valores de Xi.

PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

MÉTODO ANALÍTICO

Parte a)

AÑO Q (m̂ 3/ s)1990 151.41991 399.41992 374.81993 262.31994 363.31995 355.71996 726.21997 429.41998 136.81999 466.82000 742.22001 868.12002 469.12003 437.92004 504.42005 371.52006 837.22007 3382008 378.12009 1572010 112.92011 854.72012 229.42013 358

n 24media 430.192S 225.788Cv 0.525Cs 0.701

Tr (años) P ( X>Xi) P ( X<Xi) kp Xp

2 0.5 0.5 0.000 430.19

5 0.2 0.8 0.842 620.22

10 0.1 0.9 1.282 719.55

25 0.04 0.96 1.751 825.48

30 0.033333 0.966667 1.834 844.27

50 0.02 0.98 2.054 893.90

100 0.01 0.99 2.326 955.45

200 0.005 0.995 2.576 1011.78

500 0.002 0.998 2.878 1080.05

1000 0.001 0.999 3.090 1127.93

Dis. Normal

Parte b)

Tr (años) P ( X>Xi) P ( X<Xi) kp Xp

2 0.5 0.5 -0.1153 404.1545 0.2 0.8 0.7877 608.03510 0.1 0.9 1.3306 730.63525 0.04 0.96 1.9663 874.14730 0.033333 0.966667 2.0853 901.03050 0.02 0.98 2.4092 974.151100 0.01 0.99 2.8300 1069.163200 0.005 0.995 3.2342 1160.429500 0.002 0.998 3.7491 1276.6981000 0.001 0.999 4.1271 1362.047

Dis. Pearson tipo III

MÉTODO GRAFICO

Parte c)

AÑO mXi

(m^3/s) Xi* Ln(Xi*) P*(%) 100-P*1990 1 151.4 868.1 6.766 4% 96%1991 2 399.4 854.7 6.751 8% 92%1992 3 374.8 837.2 6.730 12% 88%1993 4 262.3 742.2 6.610 16% 84%1994 5 363.3 726.2 6.588 20% 80%1995 6 355.7 504.4 6.223 24% 76%1996 7 726.2 469.1 6.151 28% 72%1997 8 429.4 466.8 6.146 32% 68%1998 9 136.8 437.9 6.082 36% 64%1999 10 466.8 429.4 6.062 40% 60%2000 11 742.2 399.4 5.990 44% 56%2001 12 868.1 378.1 5.935 48% 52%2002 13 469.1 374.8 5.926 52% 48%2003 14 437.9 371.5 5.918 56% 44%2004 15 504.4 363.3 5.895 60% 40%2005 16 371.5 358 5.881 64% 36%2006 17 837.2 355.7 5.874 68% 32%2007 18 338 338 5.823 72% 28%2008 19 378.1 262.3 5.569 76% 24%2009 20 157 229.4 5.435 80% 20%2010 21 112.9 157 5.056 84% 16%2011 22 854.7 151.4 5.020 88% 12%2012 23 229.4 136.8 4.919 92% 8%2013 24 358 112.9 4.727 96% 4%

Tr (años) kp

2 400

5 593

10 740

25 880

30 900

50 990

100 1065

200 1150

500 1265

1000 1355

Metodo Grafico

CONCLUSIONES

Considerando la aplicación del parámetro Cs, el método que se recomienda para este caso es la Distribución Pearson tipo III, ya que el Cs que se obtiene es igual a 0.70, valor que no es muy cercano a 0 ni a 1.14.

Al comparar el método gráfico con el método analítico de Distribución Pearson tipo III, se puede observar que se obtienen valores casi semejantes de caudales para los periodos de retornos dados; por lo tanto se puede concluir que la Distribución Pearson tipo III presenta mejores resultados.

BIBLIOGRAFÍA

MONSALVE, Germán (1995). Hidrología en la Ingeniería. ECI.

CHOW V., M. D. (1988). FREQUENCY ANALYSIS. En M. D. CHOW V., Applied Hydrology (págs. 380-410). Singapore: McGraw-hill international editions.

ALMEIDA M. (2010). Instructivos de precesamiento de información hidrometerológica. Tesis. Quito: EPN.

http://fluidos.eia.edu.co/hidrologiai/probabilidad/probabilidad.htm