Pid's Carlos Brito
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA-SEDE QUITO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA MECÁNICA
OCTAVO NIVEL
“TEORÍA DE CONTROL”
“Ejercicios PID’S”
CARLOS BRITO RUEDA
Quito, Febrero, 2012
CONTROLADOR HIDRAULICO
1.- La figura muestra un controlador PID hidráulico de
tubos a chorro. El fluido hidráulico se expele del tubo
a chorro. Si el tubo a chorro se cambia hacia la
derecha de la posición neutral, el pistón de potencia
se mueve a la izquierda, y viceversa. La válvula del
tubo a chorro no se usa tanto como la válvula de la
aleta, debido a un gran flujo nulo, a una respuesta
más lenta y a características impredecibles. Su
principal ventaja estriba en su insensibilidad a los
fluidos sucios. Suponga que el pistón de potencia se
conecta a una carga ligera, de modo que la fuerza de
inercia del elemento de la carga es insignificante en
comparación con la fuerza hidráulica que desarrolla el
pistón de potencia.
Que tipo de acción de control produce este
controlador?
Solución. Defina como x el desplazamiento de la tobera a chorro a partir de la
posición neutral y como y el desplazamiento del pistón de potencia. Si la tobera a
chorro se mueve a la derecha un desplazamiento x pequeño, el aceite fluirá al lado
derecho del pistón de potencia y el aceite del lado izquierdo del pistón de potencia
regresará al drenaje. El aceite que fluye hacia el cilindro de potencia está a una
presión alta; el aceite que fluye desde el cilindro de potencia al drenaje está a una
presión baja.
La diferencia de presión resultante provoca que el pistón de potencia se mueva a
la izquierda. Para un desplazamiento pequeño de la tobera a chorro x, el flujo q
hacia el cilindro de potencia es proporcional a x; es decir:
Para el cilindro de potencia:
En donde A es el área del pistón de potencia y p es la densidad del aceite. De este
modo:
En donde K = Ki d(Ap) = constante. Por tanto, la función de transferencia Y(s)/X(s)
es:
CONTROLADOR ELECTRÓNICO
2.- Considere el circuito electrónico con dos amplificadores operacionales que
aparecen en la figura. Se trata de un controlador PID electrónico, en el cual la
función de transferencia contiene un integrador y un término de retraso de primer
orden. Obtenga la función de transferencia de este controlador PID.
Solución. Dado que:
Y:
Tenemos que:
Así mismo:
En consecuencia:
Observe que RICI y R2C2 determinan las ubicaciones de los ceros del
controlador, en tanto que R3 afecta la ubicación del polo en el eje real negativo.
R5/R4 ajusta la ganancia del controlador.
CONTROLADOR NEUMATICO
3.- Considere el sistema de control PID del nivel de líquido de la figura. Suponga que el punto de definición del controlador PID está fijo. Suponiendo una perturbación escalón de magnitud DO, determine el error. Considere que DO es pequeña lo mismo que las variables a partir de sus valores en estado estable respectivos. El controlador es proporcional. Si el controlador no es proporcional sino integral, cuál es el error en estado estable? Solución. La figura es un diagrama de bloques del sistema cuando el controlador es proporcional con una ganancia de K,,. (Suponemos que la función de la válvula neumática es unitaria.) Dado que el punto de ajuste está fijo, la variación en el punto de ajuste es cero o X(s) = 0. La transformada de Laplace de h(t) es:
Entonces:
Por lo tanto:
Dado que:
Obtenemos:
La solución en el tiempo para t > 0 es:
Por tanto, la constante de tiempo es RCI(1 + K,R). (Ante la ausencia del
controlador, la constante de tiempo es igual a RC.) Conforme la ganancia del
controlador crece, la constante de tiempo disminuye.
El error en estado estable es:
Conforme la ganancia Kp del controlador crece, el error en estado estable, o el
offset, se reduce. Por tanto, matemáticamente, entre más grande es la ganancia
Kp, más pequeños son el offset y la constante de tiempo. Sin embargo, en los
sistemas prácticos, si la ganancia Kp del controlador proporcional llega a un valor
muy grande, puede producirse una oscilación en la salida, dado que en nuestro
análisis no se consideran todos los retrasos pequeños y todas las constantes de
tiempo pequeñas que existen en el sistema de control real. (Si en el análisis se
incluyen estos retrasos y constantes de tiempo pequeños, la función de
transferencia ge vuelve de un orden mayor y, para valores muy grandes de Kp,
existe la posibilidad de oscilación o incluso la inestabilidad.)
Si el controlador es integral, suponiendo que la función de transferencia del
controlador es:
Obtenemos:
El error en estado estable para una perturbación escalón D(s) = Dd(s) es:
Por tanto, un controlador integral elimina un error en estado estable o un offset
debido a la perturbación escalón. (El valor de K debe elegirse para que la
respuesta provocada por la entrada del comando y/o la perturbación se amortigüe
con una velocidad razonable.)
CONTROLADOR MECANICO
4.- Suponga que tenemos un problema de masa simple, resorte y amortiguador.
La ecuación de modelo de este sistema es: Tomando transformada de Laplace de la ecuación del modelo: La función de transferencia entre el desplazamiento X(s) y la entrada F(s) es entonces: Sea: M = 1kg
b = 10 N.s/m
k = 20 N/m
F(s) = 1
Introduzca estos valores en la función de transferencia anterior Cuál es la respuesta a lazo abierto?
La ganancia de continua de la función de transferencia de la planta es 1/20, así
que0.05 es el valor final de la salida a una entrada escalón unitario. Esto se
corresponde al error de estado estacionario de 0.95, bastante grande de hecho.
Además, el tiempo de elevación es alrededor de un segundo, y el tiempo de
establecimiento es alrededor de 1.5 segundos. Diseñemos un controlador que
reducirá el tiempo de elevación y el tiempo de establecimiento, y eliminará el error
de estado estacionario.