Programacin Lineal Contenido

1.- Taller de modas .......................................................................................................................... 2 2.- La dieta ptima ........................................................................................................................... 2 3.- Compaa de inversiones ........................................................................................................ 2 4.- La librera ..................................................................................................................................... 3 5.- Los granjeros de Kentuchy ..................................................................................................... 3 6.- Plan de produccin de una fabrica de taladros mecnicos ......................................... 4 7.- Sailco Iots, S.A. ............................................................................................................................ 5 8.- Fast Catering, S.A. ....................................................................................................................... 5 9.- Mondongo INC. ............................................................................................................................ 6 10.- El banco del Oeste ................................................................................................................... 7 11.- Refineras de Tarragona S.A. ............................................................................................... 8 12.- La pastelera de doa Griselda ........................................................................................... 9 13.- Lnea de montaje de radio transmisores ........................................................................ 9 14.- Los estudiantes y sus dgitos ............................................................................................... 9 15.- La oficina de correos ........................................................................................................... 10 16.- Wilco ........................................................................................................................................ 10 17.- Inversiones rentables ......................................................................................................... 11 18.- La empresa Textilsa (examen MQI 27/4/98) ............................................................. 11 19.- Los mens del sargento Ceprrez .................................................................................. 12 20.- Motonaves de la compaa Motorolo ............................................................................ 12 21. Nuevos compuestos qumicos ........................................................................................... 13 22. Resolucin grfica ................................................................................................................. 14 23.- Logstica en el Valls ........................................................................................................... 15 24. - Cremitas de mano ............................................................................................................... 16 25. Produccin de TX105 ........................................................................................................... 17 26. Caramelos de Naranja .......................................................................................................... 17 27. Problema de distribucin ................................................................................................... 18

1.- Taller de modas Un taller de modas trabaja a pleno rendimiento durante 45 horas a la semana. Fabrica camisas, pantalones y trajes.

PRODUCCION (POR HORA)

VENTAS (DEMANDA

MNIMA)

BENEFICIO (POR PIEZA)

CAMISAS 50 1.000 4

PANTALONES 75 1.500 3

TRAJES 25 500 12 Estudiar la cantidad de fabricacin de camisas, pantalones y trajes para que el taller obtenga mximos beneficios.

2.- La dieta ptima Una organizacin de consumidores ha publicado una tabla en la que aparece la cantidad mnima de los nutrientes que debe tomar un adulto medio en cuanto a caloras y vitaminas. Los requerimientos mnimos son 700 unidades de caloras y 400 unidades de vitaminas. Supongamos que hay 5 tipos de alimentos y conociendo los precios calcular la composicin de la dieta ptima.

ALIMENTOS 1 2 3 4 5 MINIMO CALORAS 1 0 1 1 2 700

VITAMINAS 0 1 0 1 1 400

PRECIO (u.m.) 2 20 3 11 12

3.- Compaa de inversiones Un cliente de una compaa de inversiones personales ha solicitado que le administren una cartera de 100.000 dlares. Al cliente le gustara limitar su cartera a una combinacin de las tres acciones que se muestran en el cuadro adjunto. Formular un P.L. para determinar cuntas acciones de cada clase debera comprar la compaa para maximizar el beneficio anual estimado.

ACCION PRECIO POR ACCIN

BENEFICIO ANUAL ESTIMADO POR

ACCION

MAXIMA INVERSION

POSIBLE GOFER CRUDE $ 60 $ 7 $ 60.000 CANOIL 25 3 25.000

SLOTH PETROL. 20 3 30.000

4.- La librera Una librera ha de decidir qu cantidad de libros ha de comprar a una editorial. Para esta compra dispone de 1.000.000 de ptas. y para guardar los libros que compre de 50 m. de estanteras. Aunque todos los libros que compre acabar vendindolos antes o despus, el gerente ha decidi que, para no tenerlos mucho tiempo, no comprar ms que la cantidad que estima puede vender en un ao. La editorial tiene diez ttulos en catlogo cuyos datos relevantes son:

NMERO PVD (pts.) PVP (pts.) GROSOR (mm) VENTA

MXIMA (ANUAL)

1 150 250 26 1.700 2 300 600 35 800 3 100 175 12 900 4 80 110 8 5000 5 600 1100 37 500 6 150 275 15 3.500 7 60 120 6 3000 8 90 200 10 500 9 140 350 18 10.000 10 280 480 11 1.100

La librera compra los libros al precio de Venta al Distribuidor (PVD) y los vende al precio de Venta al Pblico (PVP). Se pide: a) Establecer un programa lineal que permita determinar la compra a realizar de forma que el

beneficio sea mximo. b) Supongamos que los libros 1, 2, 3 y 5 son libros cientficos y el gerente, gracias a su

experiencia, sabe que en un ao se vendern como mximo 3000. Supongamos tambin que los libros 4, 6 y 9 son novelas y, como mximo, se vendern 20000 libros de este tipo. Finalmente los libros 7, 8 y 10 son de aventuras y se vendern como mximo 4000. Cmo variara el P.L. con la nueva informacin?.

5.- Los granjeros de Kentuchy Una familia de granjeros de Kentucky es propietaria de 125 acres y dispone de 40.000 dlares para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3.500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4.000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, las emplearn para trabajar en un campo vecino por 5 dlares la hora durante los meses de invierno y por 6 dlares la hora en verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras (raza Costa Brava importadas directamente de Sant Feliu de Guixols). Para las cosechas no se necesita inversin, pero cada vaca requerir un desembolso de 1.200 dlares y cada gallina costar 9 dlares.

Cada vaca necesita 1'5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre durante el verano; cada una producir un ingreso anual neto de 1.000 dlares por familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son: nada de terreno, 0'6 horas-hombre en el invierno, 0'3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de 5 dlares. Caben 3.000 gallinas en el gallinero y el establo limita el ganado a un mximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son: Soya Maz Avena Horas-hombre en Invierno 20 35 10 Horas-hombre en verano 50 75 40 Ingreso neto anual ($) 500 750 350 a) La familia quiere determinar cuntos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y

cuntas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formular el modelo de Programacin Lineal para resolver la cuestin planteada.

6.- Plan de produccin de una fabrica de taladros mecnicos Una fbrica productora de herramientas industriales y para bricolaje lanz al mercado una lnea de taladradoras para uso domstico. Un taladro mecnico consiste bsicamente en un motor elctrico colocado en una carcasa de plstico y metal. Se fabrican cuatro modelos que difieren en el tamao y composicin de la carcasa y en el dimensionado de los motores. Los modelos 1 y 2 son tradicionales mientras que los 3 y 4 son mas modernos y bsicamente las carcasas son de plstico. La empresa ha desarrollado la tecnologa necesaria para fabricar las carcasas hacerse el bobinado de los motores u los cables elctricos de los motores. Una escasez en la aleacin de cobre usada en la produccin de cable y en la constitucin de las partes metlicas de las carcasas est causando problemas a la empresa y el prximo Plan Trimestral se ver afectado. En la tabla adjunta se dan los requerimientos de materiales para los cuatro modelos. No podrn disponerse ms de 16.000 libras (1 libra = 453'6 gr.) de plstico durante el perodo y no se tendrn ms de 5.000 libras de aleacin de cobre. El cable para los motores se obtiene de dos fuentes. Puede ser producido internamente a un coste de 14 ptas/metro de la aleacin de cobre disponible en mquinas de una capacidad trimestral de 60.000 metros. Cada 100 metros de cable precisa de 3.6 libras de aleacin de cobre. Por otra parte puede ser comprado a proveedores exteriores en cantidades virtualmente ilimitadas a 29 ptas/metro. El stock inicial al principio del trimestre es de 6.000 metros de cable. Los otros materiales necesarios para la produccin de estos modelos de taladros estn en existencias y pueden ser obtenidos fcilmente. El departamento de compras cree que todos los taladros que se fabriquen se vendern, sin embargo existe un compromiso con los distribuidores para que las cantidades a producir de los modelos 1 y 2 sean al menos tantas como las de los modelos del tipo 3 y 4.

MODELO 1 2 3 4 Plstico necesario (lb.) 0'82 0'62 1'42 2'03 Aleacin de cobre necesaria para las carcasas (lb.) 0'43 0'69 0'33 0'20 Cable necesario para el motor (lb.) 15 16 9 9 Distribucin (excluido el coste del cable) (ptas.) 12'50 11'30 17'20 19'90

7.- Sailco Iots, S.A. SAILCO IOTS, S.A. es una empresa que fabrica una embarcacin homologada por la International Yacht Racing Union (I.Y.R.U.), y que ha tenido un notable xito de ventas desde su aparicin en el mercado, tanto en el terreno nacional como en el de la exportacin. SAILCO IOTS, S.A. debe decidir cuntas de estas embarcaciones debe construir en cada uno de los cuatro prximos trimestres. La previsin de la demanda para los prximos cuatro perodos es la siguiente:

TRIMESTRE N DE EMBARCACIONES PRIMERO 40 SEGUNDO 60 TERCERO 75 CUARTO 25

La poltica estratgica de la compaa no concibe rupturas de stocks y considera que debe servir la demanda en el mismo trimestre. Al principio del primer trimestre, tiene un stock de 10 embarcaciones (por tanto, el stock inicial es de 10 unidades). Al principio de cada trimestre se decide cuntas embarcaciones debe producir durante cada trimestre. Se considera que las embarcaciones fabricadas durante un trimestre pueden usarse para satisfacer la demanda del mismo trimestre. Durante cada trimestre, Sailco Iots, S.A., tiene una capacidad productiva de 40 unidades durante la jornada laboral normal de trabajo a un coste de 400 u.m. Contratando empleados a tiempo extra durante un trimestre, es posible producir embarcaciones adicionales a un coste total de 450 u.m. Al final del trimestre (despus de que la produccin se ha completado y la demanda del trimestre ha sido satisfecha), se incurre en unos costes de mantenimiento del stock de 20 u.m. por embarcacin. a) Se trata de planificar la produccin de manera que se minimicen los costes para los

prximos 4 trimestres.

8.- Fast Catering, S.A. La empresa "Fast Catering, S.A." especializada en trabajos de restauracin en congresos y otros eventos: ha sido encargada del suministro de los lunchs (comida de medioda) del prximo Congreso Internacional sobre Desarrollo Sostenido II que se celebrar en el Campus

de Terrassa en la semana del 21 al 27 de Junio: ms concretamente los das 21, 22, 23, 24 y 25 de dicha semana (Lunes, Martes, Mircoles, Jueves y Viernes). Para llevar a cabo el suministro de la comida, bebida y material necesario para los lunchs, "Fast Catering, S.A." ya ha resuelto la problemtica relativa a la comida y bebida, pero se encuentra ante un problema no resuelto en lo referente a cubiertos y servilletas, ya que la empresa se le presentan dos posibles estrategias a seguir para el aprovisionamiento de dicho material. Sobre estas diferentes posibilidades de suministro hablaremos ms adelante. La empresa conoce las necesidades de conjuntos" para cada uno de los das del congreso, necesidades que se indican a continuacin: DIA N DE CONJUNTOS

Lunes 21/6 2.000 Martes 22/6 2.200

Mircoles 23/6 3.000 Jueves 24/6 3.000 Viernes 25/6 2.500

Un conjunto consta de un tenedor de pescado, una pala de pescado, una cuchara, un tenedor de carne, un cuchillo de carne, una cuchara de postre, un cuchillo de postre, un tenedor de postre y una servilleta de tela. La empresa puede optar ya sea por comprar los conjuntos a un proveedor de Barcelona a 600 u.m. el conjunto, enviar los conjuntos ya utilizados en un lunch a un servicio de lavado, que los devuelve limpios y prestos a ser utilizados e un coste de 200 u.m. silos devuelve al cabo de 24 horas, 6 a un coste de 300 u.m. silos devuelve al cabo de 12 horas (servicio exprs). Obviamente se puede optar por utilizar simultneamente ambas estrategias es decir, cada da comprar algunos conjuntos y enviar a lavar otros. Los conjuntos ya utilizados se envan al servicio de lavado a las 17 horas. Los lunchs se inician siempre a las 13 horas, inicindose la preparacin de las mesas por parte de nuestra empresa a las 9 horas. A usted que es el gerente de "Fast Catering, S.A." le parece que en la asignatura de Administracin de Empresas te han explicado un modelo que soluciona este tipo de problemas, puede hacerlo?. Slo es necesario modelizar la situacin, ya que se dispone de un ordenador y un software de optimizacin que una vez planteado el modelo proporcionar la estrategia a seguir. NOTA: Para el primer da dispone de 500 "conjuntos" provenientes de otro congreso celebrado anteriormente.

9.- Mondongo INC. La empresa MONDONGO Inc. se especializa en la elaboracin de combinados de frutas tropicales sin alcohol. En la planta que dicha empresa posee en Tampa se fabrican tres productos: KACHUMBO, KIMBOMBO y ANGAUA que se venden a un P.V.D. de 29'2575, 25'5375 y 28'3050 $/Galn respectivamente.

Para realizar 100 Galones de cada uno de estos productos se necesitan los siguientes ingredientes: Aguacate

100 Libras Kiwi

100 Libras Mango

100 Libras Azcar

Kg Agua Lts.

KACHUMBO

1 2 - 50 150

KIMBOMBO - 1 1 105 250 ANGAUA 2 - 2 60 100 Para el prximo mes los proveedores han garantizado el suministro de materias primas hasta un mximo de 3000 Libras de Aguacates a un precio de 5 $/Libra, 4000 Libras de Kiwis a 6 $/Libra y 5000 Libras de Mangos a 4 $/Libra. El azcar se compra a Brazil Sugar Co. quien facilita cualquier cantidad deseada a 0.5 $/Kg.El agua utilizada para la elaboracin de los combinados se transporta con camiones cisterna propios desde un manantial cercano, al municipio (propietario del manantial) se le paga un canon de 1 $/m3 mientras que el coste de transporte asciende a 4 $/m3. Finalmente, los productos qumicos empleados (conservantes, colorantes, estabilizantes y antioxidantes) representan un coste de 2 $/Galn para Kachumbo 3 $/Galn para Kirmbombo y 1$/Galn para Angaua. a) Cual es el plan ptimo de produccin de los combinados fabricados por MONDONGO

Inc. para el prximo mes de forma que se maximice el beneficio?

10.- El banco del Oeste El Banco del Oeste tiene 1000 millones de recursos totales compuesto por:

65% de depsitos exigibles a la vista 25% depsitos a largo plazo 10% de capital

Estos recursos se pueden distribuir entre los siguientes activos:

RENDIMIENTOS ESPERADOS CAJA 0% PRESTAMOS Prestarnos comerciales 5'5 % Hipotecas de vivienda 5'0 % Hipotecas convencionales 6'2 % Otros prstamos 6'9 % INVERSIONES Bonos tesoro a corto plazo 3'0 % Deuda pblica 4'2 % Por motivos legales y de poltica empresarial se ha de tener en cuenta:

1. El total de prstamos no ha de superar el 65% ni ser inferior al 55% de los activos

totales. 2. Las hipotecas convencionales no han de superar el 20% de los depsitos a plazo fijo. 3. Los prstamos comerciales no han de exceder del 45% ni ser inferiores al 30% del

total de los prstamos. 4. Los otros prstamos no han de exceder al total de hipotecas. 5. Las existencias de caja han de ser como mnimo el 30% de los depsitos exigibles a la

vista. 6. El total de activos excepto la caja y los bonos del tesoro a corto plazo no han de

superar el sxtuplo el capital. a) Plantear un modelo lineal que permita plantear la distribucin de los recursos y haga

mximo el rendimiento.

11.- Refineras de Tarragona S.A. La empresa Refineras de Tarragona S.A. dispone de dos plantas de refino, A y B, que producen combustible para tres puntos de consumo D, E y F. Para la distribucin del producto disponen de una red de oleoductos que se representa en la figura. Se dispone, adems, de los siguientes datos:

Producciones mximas: 1.500 Tm./da (A) 1.000 Tm./da (B) Consumos: 700 Tm./da (D) 300 Tm./da (E) 200 Tm./da (F) Costes de produccin: 1'2 $/Tm. en (A) 1'5 $/TM en (B) Costes de transporte: 0'1 $/Tm. por Km.

a) Plantear el programa lineal que permita determinar la poltica de produccin y

distribucin de coste mnimo, teniendo en cuenta el siguiente esquema:

Nota: Los nmeros situados sobre los arcos indican, respectivamente longitud en Km. y capacidad en Tm./da (esta ltima entre parntesis).

12.- La pastelera de doa Griselda La pastelera de doa Griselda, reconocida estudiosa de la repostera fina, hornea con todo su cario tres tipos de bollitos, cuya receta fue inventada en un alarde de inspiracin y habilidad por dicha repostera. Los ingredientes utilizados son mantequilla, nata y crema. Las cantidades de que dispone de dichos ingredientes son: 232 gr., 300 gr. y 720 gr. respectivamente. Las necesidades requeridas, expresadas en gramos, para la confeccin de cada bollo se encuentran en la tabla siguiente:

Tipo de bollo Mantequilla Nata Crema A 5 8 9 B 6 5 8 C 4 6 12

a) Cul ser el nmero ptimo de bollitos a fabricar en estas condiciones?

13.- Lnea de montaje de radio transmisores Una compaa electrnica tiene una linea de montaje de radio transistores. Todos los componentes son japoneses excepto los transistores, que son de una empresa USA. Debido a los problemas aduaneros la compaa no recibir el pedido de transistores hasta dentro de un mes de la fecha prevista, con lo que deber emplear exclusivamente los transistores que tiene en inventario. Mediante inventario, sabemos que tenemos 4.000 TR1, 3.000 TR2 y 1.000 TR3. El requerimiento de transistores para cada una de las radios se explicita en la siguiente tabla:

RADIOS TR1 TR2 TR3 $ de beneficio 9TRMODEL 6 2 1 20 7TRMODEL 3 3 1 12 5TRMODEL 3 1 1 8 3TRMODEL 1 1 1 3

a) Planificar la produccin para obtener el beneficio mximo. Determinar el modelo lineal.

14.- Los estudiantes y sus dgitos En una regin hay tres distritos escolares. El nmero de alumnos de Educacin Bsica y de Enseanza Secundaria de cada distrito est dado en la tabla adjunta. Del nmero total de alumnos, el 25% (200/800) son estudiantes de Educacin Bsica. La administracin pblica de la zona ha decidido que cada uno de los centros de enseanza (Pasteur y Newton) deben tener el mismo nmero de estudiantes de Educacin Bsica. Las distancias entre los distritos y los centros escolares se dan en la tabla siguiente: Cada centro escolar debe tener entre 300 y 500 alumnos matriculados. Definir las variables y plantear el problema para determinar una poltica de asignacin de estudiantes a los centros que minimice la distancia total que stos deben recorrer.

DISTRITO

ESTUDIANTES EDUC. BASICA

ESTUDIANTES ENS. SEGUNDARIA

PASTEUR (Km.)

NEWTON (Km.)

1 50 200 1 2 2 50 250 2 1 3 100 150 1 1

15.- La oficina de correos Una oficina de correos necesita diferente nmero de empleados a tiempo completo en diferentes das de la semana. El nmero de empleados a tiempo completo est dado en la tabla siguiente:

NUMERO DE EMPLEADOS A T.C. NECESARIOS Da 1= Lunes 17 Da 2 = Martes 13 Da 3 = Mircoles 15 Da4 = Jueves 19 Da5 = Viernes 14 Da6 = Sbado 16 Da7 = Domingo 11 Las reglamentaciones sindicales dicen que cada trabajador de Correos debe trabajar cinco das seguidos y despus tener dos das libres. Por ejemplo, un empleado que trabaja de lunes a viernes debe tener libres sbado y domingo. La Oficina de Correos quiere satisfacer sus necesidades de personal slo con personal con dedicacin exclusiva. a) Formular un Programa lineal para la Oficina de Correos que minimice el nmero de

trabajadores a contratar.

16.- Wilco Wilco vende cuatro tipos de productos. Los recursos para producir una unidad de cada producto y los precios de venta para cada producto estn dados en la Tabla que se adjunta. Actualmente hay una disponibilidad en stock de 4.600 unidades de materia prima y la capacidad de produccin es de 5.000 horas.

PROD.1 PROD. 2 PROD. 3 PROD. 4 Materia Prima 2 3 4 7 Horas de M.O. 3 4 5 6 Precio de venta 4 $ 6 $ 7 $ 8 $

Para satisfacer la demanda de los clientes deben producirse exactamente 950 unidades. Segn una previsin de ventas del producto 4 se tendr como mnimo una demanda de 400 unidades. a) Formular un Programa Lineal que pueda ser usado para maximizar los ingresos en

concepto de ventas de la compaa.

17.- Inversiones rentables Una empresa dispone de 100 u.m. que desea invertir en cinco posibles clases de valores: Valor: Rentabilidad anual Empresas de Carburantes 11'0 % Empresas Bancarias 7'5 % Empresas elctricas Tipo A 8'O % Empresas elctricas Tipo B 6'O % Cdulas del Estado 5'0 % Se han tomado las siguientes decisiones en base a los distintos niveles de riesgo: La inversin total en empresas de carburantes y bancarias no puede exceder las 30 u.m. La inversin total en empresas elctricas no puede exceder las 50 u.m. La inversin en empresas de carburantes no puede superar las 20 u.m. La inversin total en empresas de carburantes y bancarias no puede exceder a la inversin

total en elctricas. La inversin total en carburantes y elctricas del tipo A no debe ser menor que la

inversin en cdulas del estado. 1. Plantear el Programa Lineal que maximice la rentabilidad.

18.- La empresa Textilsa (examen MQI 27/4/98) TEXTILSA, empresa del ramo textil, le ha encargado la elaboracin de su plan maestro de produccin para los prximos seis meses. Para ello cuenta con los siguientes datos: En cada da laborable (ver tabla), la empresa tiene una capacidad de produccin de 15

lotes/da. El coste de fabricacin de cada lote en esas horas es de 100 um/lote. Si se desea, pueden producirse en horas extra - siempre en das laborables - hasta 4 lotes/da, a un coste de 130 um/lote.

Se desea mantener un stock mnimo de seguridad (medido a final de mes), igual al 10%

de la demanda del mes. El mantenimiento de dicho stock, as como del stock adicional que fuera necesario, ser igual a 20 um/lote almacenado a final de mes.

En estas condiciones, el departamento de produccin de TEXTILSA debe cubrir la demanda indicada en la tabla.

MES DEMANDA STOCK SEGURIDAD DAS

LABORABLES stock inicial 50

MAYO 260 26 20 JUNIO 270 27 22 JULIO 200 20 23

AGOSTO 290 29 5 SEPTIEMBRE 270 27 18

OCTUBRE 270 27 21

Con estos datos, se pide: a. Determinar el programa lineal que permita obtener las unidades a producir en cada mes de

manera que se minimicen los costes. En particular, deben definirse con precisin las variables empleadas en el programa, as como las caractersticas de las mismas.

b. Escribir el mismo programa de manera que pueda ser resuelto por el mtodo SIMPLEX (variables de holgura y artificiales). Describir el significado de las variables de holgura.

19.- Los mens del sargento Ceprrez El sargento Ceprrez es el encargado de realizar los mens del acuartelamiento del Nloch, situado en una localidad de la provincia de Barcelona. Como el Sgto. Ceprrez encuentra muy complicado comprar ms de dos tipos de alimentos ha decidido que este mes la tropa del cuartel solamente comer mens en base a carne de cerdo y patatas, productos abundantes en el cercano pueblo y que puede llegar a comprar al precio de 50 y 25 ptas./Kg. respectivamente. Segn la circular mdica realizada por el ministerio en fecha reciente, las clases de tropa y marinera (los soldados) han de ingerir al da un mnimo de 8 unidades de Hidratos de carbono, 19 de vitaminas y 7 de protenas, por lo que el Sgto. ha acudido al teniente mdico del cuartel quien, tras duros esfuerzos, le ha proporcionado los contenidos de hidratos de carbono, vitaminas y protenas por kilo de carne y patatas segn se muestra en la siguiente tabla:

Carne Patatas Hidratos C. 1 3 Vitaminas 3 4 Protenas 3 1

Como se ha de cumplir la normativa vigente de la plana mayor de mando el Sgto. Ceprrez ha ordenado al cabo de cocina, que es licenciado en econmicas, que le suministre la cantidad a comprar de carne de cerdo y de patatas por soldado y da que salga ms barata (de menor coste), y que si no lo hace en menos de 2 horas va a ser arrestado por negativa a cumplir ordenes de un superior y le va a quitar todos los permisos. a) Determinar un programa lineal que permita resolver el problema planteado, indicando:

variables: definicin y caractersticas funcin objetivo restricciones

20.- Motonaves de la compaa Motorolo La Compaa Motorolo construye motonaves acuticas para diversas compaas de ocio en todo el mundo. La ltima etapa en su proceso de produccin es fabricar los motores de chorro y, a continuacin, instalarlos en la estructura de la motonave terminada. La compaa ha conseguido un suculento contrato con su cliente ms exigente "Port Filigrana", y debe programarse ahora la produccin de los motores de chorro para estas

motonaves, para los prximos 4 meses. Para satisfacer las fechas contratadas de entrega, se necesita suministrar motores para su instalacin en las cantidades que se indican en la segunda columna de la tabla siguiente: Tabla: Datos de programacin de la produccin para la Compaa Motorolo.

Mes Instalaciones programadas Produccin

mxima Coste unitario de

produccin Coste unitario de almacenamiento

1 10 15 1.08 2 15 35 1.11 0.015 3 25 30 1.10 0.015 4 20 10 1.13 0.015

El coste esta expresado en millones de pesetas. Los medios de que se dispondrn para producir los motores varan de acuerdo con el resto de producciones, el mantenimiento y el trabajo de renovacin programado durante este perodo. Los valores mensuales resultantes en el nmero mximo que puede producirse y el costo (en millones de pesetas) de producir cada uno se dan en la tercera y cuarta columnas de la tabla anterior. Debido a las variaciones en los costes de produccin, es posible que valga la pena producir algunos de los motores de un mes o ms antes de ser programados para su instalacin y, posiblemente, se est considerando esto. El inconveniente es que tales motores deben almacenarse hasta la instalacin programada (la estructura de la motonave no estar lista con anterioridad) con un coste de almacenamiento de 15.000 Ptas./mes (incluyendo el inters sobre el capital invertido), como se muestra en la ltima columna de la tabla indicada. Por lo tanto, el director de produccin desea un programa desarrollado para el nmero de motores que deban producirse en cada uno de los 4 meses, de manera que se minimice el total de los costes de produccin y almacenamiento. a) Determinar un programa lineal que permita resolver el problema planteado, indicando:

variables: definicin y caractersticas (p.e.: enteras, discretas, no negativas, etc...) funcin objetivo restricciones

21. Nuevos compuestos qumicos Una empresa qumica se dedica a la produccin de un nuevo compuesto altamente resistente y muy til en ciertos sectores dedicados al almacenaje de productos alimenticios. Este compuesto tiene una composicin basada en dos elementos qumicos que llamaremos (A y B). Ms concretamente su composicin, en cm3, debe contener:

al menos un 25% del elemento qumico A entre un 35% y un 65% (ambos incluidos) del elemento qumico B y un porcentaje inferior al 5% de impurezas

El problema que tenemos es que la empresa qumica no dispone de los elementos qumicos A y B de forma independiente, sino que debe conseguirlos a travs de cuatro productos qumicos, cada uno de los cuales tiene unos contenidos fijos del elemento qumico A, del elemento qumico B, y de impurezas que se indican en porcentaje en la siguiente tabla: Productos qumicos (por cm3)

PQ1 PQ2 PQ3 PQ4 % de elemento A 30 35 40 45 % de elemento B 70 65 60 55 % de impurezas 5 10 15 20

Coste por cm3 1 2 3 4

Ejemplo: Segn la tabla anterior: 1 cm3 del producto qumico PQ1 tiene un 70% del elemento qumico B. O en otras palabras, un 1 cm 3 de PQ1 contiene 0'70 cm3 del elemento qumico B. Adems, la cantidad del producto qumico PQ2 en la solucin no puede superar al doble de la suma de los producto qumicos PQ1 y PQ3. Por ltimo, tambin nos dicen que el coste total para producir 100 cm3 del nuevo compuesto debe ser inferior a 1000 . Plantear un modelo de permita determinar la cantidad de cada uno de los productos qumicos que debe constituir el compuesto final para minimizar los costes si queremos producir 100 cm3 del nuevo compuesto . Con este objetivo se pide responder la siguientes pregunta: a. Escribir y definir las variables de decisin b. Escribir y explicar la funcin objetivo a optimizar c. Escribir y explicar cada una de las restricciones del problema. d. Escribir el modelo lineal completo en sintaxis LINDO NOTA: Los resultados de los apartados 1, 2 y 3 NO deben darse en sintaxis LINDO, sino en la sintaxis utilizada en el libro.

22. Resolucin grfica Tenemos el siguiente problema de programacin lineal con dos variables (x e y) y cuatro restricciones (R1, R2, R3 y R4):

[MAX] z = 2x + y R1) y x + 4 R2) y 5 R3) y -x +8 R4) y -3x + 18 x, y 0

Se nos pide lo siguiente: a. Encontrar la solucin del modelo anterior grficamente, y justificar qu tipo de solucin

es. b. Indicar y justificar qu variables son bsicas y qu variables son no bsicas c. Obtener una solucin mltiple modificando nicamente un coeficiente de costes. Justificar

la solucin. d. A partir de la solucin encontrada en el apartado a), obtener el rango de de valores del

trmino independiente de la restriccin R4 en donde la base ptima no vara. Justificar la solucin.

23.- Logstica en el Valls Una empresa de logstica del Valls tiene la tarea de planificar el transporte de fruta desde tres campos de cultivo (que llamaremos 1, 2 y 3) hasta los tres mercados locales ms importantes de la zona: Terrassa, Manresa y Sabadell. Para ello cuenta con la siguiente informacin:

El transporte de un kilogramo de frutas desde cada campo de cultivo a cada mercado tiene un coste diferente que depende de la distancia existente entre ellos. La tabla 1 muestra el coste de transporte de un kilogramo de fruta entre los campos de cultivo y los mercados locales.

La cantidad disponible de fruta existente en cada campo de cultivo se encuentra en la tabla 2.

Por ltimo, la previsin de la demanda de cada mercado local se encuentra en la tabla 3. Se puede observar que la cantidad total de fruta disponible en los campos de cultivo es superior a la demanda de los tres mercados locales, por lo que se podr servir toda la demanda de los mercados locales.

Campo 1 Campo 2 Campo 3

Terrassa 2 /Kg 4 /Kg 5 /Kg Manresa 4 /Kg No se ofrece servicio 3 /Kg Sabadell No se ofrece servicio 3 /Kg 2 /Kg Tabla 1 Costes de transporte entre campos de cultivo y los mercados locales

Campo 1 Campo 2 Campo 3

Oferta 150 Kg 175 Kg 200 Kg Tabla 2 Oferta de los tres campos de cultivo

Terrassa Manresa Sabadell

Demanda 100 Kg 150 Kg 125 Kg Tabla 3 Demanda exacta de los tres mercados locales

El problema del jefe de logstica es determinar qu cantidad de fruta debe transportar desde cada campo de cultivo a cada mercado local para cubrir la demanda prevista minimizando la suma de los costes de transporte.

Con estos datos, responder a las siguientes cuestiones: a. Plantear el modelo de programacin lineal que permita resolver el problema, indicando el

significado de las variables de decisin, y definiendo funcin objetivo y restricciones. b. Escribir el modelo en forma estndar, indicando el sentido de las variables de holgura y

exceso. c. Resolver el modelo planteado en el apartado a) utilizando un programa informtico, como

por ejemplo el LINDO. d. Resolver el modelo planteado en el apartado b) utilizando un programa informtico, como

por ejemplo el LINDO. e. Indicar cules son las variables bsicas y las variables no bsicas en el ptimo. f. Expresar la solucin en trminos del enunciado original.

24. - Cremitas de mano La empresa Cremitas, S.L. se dedica a la produccin, almacenaje y transporte de cremas de mano para hombres y mujeres. Actualmente, la empresa tiene dos fbricas y tres almacenes repartidos por el Valls Oriental. El primer almacn slo recibe mercanca producida en la primera fbrica. El segundo almacn recibe mercanca slo producida en la segunda fbrica. El caso del tercer almacn es diferente. Debido a su situacin estratgica y a su capacidad, recibe mercanca procedente de las dos fbricas de la empresa. El coste de transportar una tonelada de mercanca desde la primera fbrica a cualquier almacn posible es de 3 unidades. En cambio, el transporte desde la segunda fbrica a cualquier almacn posible es de 2 unidades. Las capacidades de los almacenes son de 100, 200 y 300 toneladas de mercanca respectivamente. Los almacenes no tienen inicialmente existencias de ninguno de los productos y no se desea que quede ningn stock despus de los envos. As mismo, la capacidad de produccin de las fbricas es de 150 y 250 toneladas respectivamente. La empresa Cremitas. S.L. tambin se dedica a la entrega de su mercanca a los tres mayoristas con los que trabaja. Despus de estudiar la distribucin y las distancias existentes entre los almacenes y los mayoristas, el jefe de logstica ha decidido que los pedidos del primer mayorista deben ser cubiertos por la mercanca de los almacenes uno y tres, con un coste de 1 y 3 unidades por tonelada respectivamente. Los pedidos del segundo mayorista deben ser cubiertos por el segundo almacn con un coste de 2 unidades por tonelada. Por ltimo, el tercer mayorista que se encuentra en el centro del Valls puede recibir mercanca de cualquier almacn con un coste de 3, 4 y 3 unidades por tonelada respectivamente. La demanda de los mayoristas uno, dos y tres es de 130, 170 y 240 toneladas respectivamente. Plantear un modelo que permita determinar la cantidad a producir en cada fbrica y de almacenar en cada almacn para minimizar los costes. Con este objetivo se pide responder la siguientes preguntas:

a. Escribir y definir las variables de decisin b. Escribir y explicar la funcin objetivo a optimizar c. Escribir y explicar cada una de las restricciones del problema. d. Escribir el modelo lineal completo en sintaxis LINDO

25. Produccin de TX105 Una empresa qumica est planificando la produccin del TX105. La siguiente tabla muestra la demanda total (en toneladas) en periodos bimensuales, para los prximos aos segn han comunicado sus clientes. ENE-FEB MAR-ABR MAY-JUN JUL-AGO SEP-OCT NOV-DIC

Demanda de TX105 (ton) 1.000 3.500 1.500 2.000 3.000 2.500

El encargado de la planta nos ha informado que se necesita un litro del reactivo REC109 para producir 100 toneladas de TXC105. Este reactivo tiene una vida til de seis meses consecutivos (es decir, si introducimos un litro del reactivo en marzo, esta cantidad de reactivo nos durar hasta finales de agosto). Por cierto, este reactivo slo se puede introducir en el sistema al principio de cada perodo bimensual. Adems el encargado de la planta nos ha comentado que, en cualquier perodo, no podemos introducir ms del doble del reactivo que se introdujo en el perodo anterior. Plantear un modelo que permita determinar la cantidad de reactivo a utilizar en cada perodo para minimizar la cantidad del reactivo total a largo plazo. Con este objetivo se pide responder a las siguientes preguntas: a. Escribir y definir las variables de decisin b. Escribir y explicar la funcin objetivo a optimizar c. Escribir y explicar cada una de las restricciones del problema.

26. Caramelos de Naranja Una empresa de Terrasa se dedica a la produccin de caramelos de naranja y est planificando su produccin para los siguientes tres meses. A continuacin se muestra la demanda total para estos meses segn sus clientes han comunicado.

La demanda de Enero es de 1.200 toneladas La demanda de Febrero es de 1.500 toneladas La demanda de Marzo es de 1.600 toneladas

El encargado de la planta nos ha informado que la capacidad de produccin mensual de la fbrica es de 1.450 toneladas y que disponen de un stock inicial de 400 toneladas de caramelo. As mismo, el encargado tambin nos ha explicado que el empresa puede almacenar caramelos en un almacn cercano a la fbrica con un coste de 6 euros/tonelada y de la poltica de la empresa obliga a mantener un stock mnimo de seguridad de 200 toneladas de caramelos. Por ltimo, el coste de producir una tonelada de caramelos difiere en funcin del mes en el que se produzca. El coste es de 5 euros/tonelada en Enero, 8 euros/tonelada en Febrero y de 7 euros/tonelada en Marzo.

Plantear un modelo que permita determinar la cantidad de caramelos a producir en cada mes minimizar los costes.

27. Problema de distribucin Una empresa cuenta con dos fbricas, que llamaremos oAy oB, y tres almacenes, que llamaremos d1, d2, y d3. Las distancias en KM entre las fbricas y almacenes, as como las capacidades mximas de las fbricas y la demanda mnima de los almacenes (en Kg) se encuentran en la tabla 1. Los costes de produccin son de 3 unidades monetarias (um) por Kg para oA y de 4 um por Kg para oB. Los costes de transporte son de 0,1 um por Kg y Km. El objetivo es determinar cmo se tiene que cubrir la demanda desde las dos fbricas para minimizar la sume de los costes de transporte y produccin. Con este objetivo se pide responder a las siguientes preguntas:

d1 d2 d3 Capacidad oA 30 80 70 1500 oB 90 70 40 1700 Demanda 300 600 800