PLACAS Y BOVEDAS

1. PARTICULARIDADES FUNDAMENTALES DE LAS PLACAS Y BOVEDAS

Se entiende por bveda a todo cuerpo que tiene una dimensin mucho menor que las otras dos. El lugar geomtrico de los puntos equidistantes de las dos superficies de la bveda se denomina superficie media.Si la superficie media de la bveda es un plano, esta bveda se denomina placa. Las placas se clasifican en funcin de la configuracin del borde exterior. Las placas pueden ser circulares rectangulares, trapezoidales, etc. Si la superficie media constituye parte de una esfera, de un cono o de un cilindro, la bveda se denomina entonces esfrica, cnica o cilndrica respectivamente. La geometra de la bveda se determina no slo por la forma de una superficie media. Es necesario conocer tambin la Ley de variacin de espesor de la bveda.Sin embargo, todas las bvedas que se encuentran en la prctica tienen, como regla general, espesor constante.

2. DETERMINACION DE LAS TENSIONES EN LAS BVEDAS SIMTRICAS POR LA TEORA MEMBRANAL

Sea h el espesor de la bveda simtrica, el radio de curvatura del arco del meridiano de la superficie media y , el segundo radio, principal, es decir, el radio de curvatura de la seccin normal perpendicular al arco del meridiano. Este radio es igual al segmento de la normal entre la superficie media y el eje de simetra, y son, en el caso general, funciones del ngulo entre la normal y el eje de simetra.Con dos pares de secciones meridionales y normales cnicas separemos un elemento de la bveda de dimensiones y . Consideramos que sobre las caras del elemento actan las tensiones y las cuales son denominadas tensin meridional y tensin circunferencial, multiplicndolas por las reas correspondientes de las caras del elemento se obtienen las fuerzas y . A este elemento se le aplica tambin la fuerza de la presin normal p . Proyectando todas las fuerzas sobre la normal se obtiene,p - - = 0

Como = , = ,

Obtendremos definitivamente Ec. De Laplace En el caso del elemento de la Fig. 311 se puede plantear tambin otra ecuacin proyectando todas las fuerzas sobre la direccin del eje de la bveda, pero es ms conveniente plantearla, no para el elemento, sino para la parte de la bveda separada por la seccin cnica normal.Designado por P la fuerza resultante axial de las fuerzas exteriores hallaremos, = PDe esta ecuacin se obtiene la tensin meridional . As pues, segn la teora membranal, las tensiones y en la bveda se determinan de las ecuaciones de equilibrio.

TEOREMA 1Si sobre cierta superficie acta una presin uniformemente distribuida, entonces, independientemente de la forma de la superficie, la proyeccin de la resultante de las fuerzas de la presin sobre el eje dado ser igual al producto de la presin p por el rea de la proyeccin de la superficie sobre el plano perpendicular al eje dado.Supongamos dada la superficie F, sobre la cual acta una presin uniformemente distribuida p. Determinar la proyeccin, sobre el eje X, de la resultante de las fuerzas de presin. Esta proyeccin ser,

Siendo , el ngulo entre la normal a la superficie y el eje x.El rea de la proyeccin del elemento dF sobre el plano X perpendicular al eje x ser,dF = dFcos As pues, para determinar la proyeccin de la resultante de las fuerzas de presin sobre el eje x es necesario proyectar previamente la superficie sobre el plano X y multiplicar la presin por el rea de esta proyeccin. Esto es lo que se pretenda demostrar.

TEOREMA 2

Si sobre cierta superficie acta la presin de un lquido (Fig. 334), entonces la componente vertical de las fuerzas de presin ser igual al peso del lquido en el volumen situado sobre la superficie.La componente vertical de las fuerzas de presin para el rea dF es, de acuerdo al primer teorema, igual al producto de la presin que acta sobre esta rea por la proyeccin del rea sobre la superficie del lquido, la fuerza vertical que acta sobre el rea dF ser xdF.Pero xdF es el volumen del prisma elemental situado sobre el rea dF. Por lo tanto, la fuerza que se busca ser igual al peso del lquido en el volumen situado sobre la superficie F.Aclarando este resultado, se debe indicar que la fuerza obtenida no depende de la forma del recipiente que contiene el lquido.

3. FLEXION DE PLACAS CIRCULARES SOMETIDAS A CARGAS SIMTRICASHiptesis: La flecha w de la placa es considerablemente menor que el espesor h de la placa. Se considera invariable la normal (HIPOTESIS DE KIRCHHOFF), es decir, los puntos situados sobre cierta recta normal a la superficie media antes de la deformacin, despus de la deformacin, existir una recta normal a la superficie deformada. Las tensiones normales en las secciones paralelas al plano medio son despreciablemente pequeas en comparacin con las tensiones originadas por la flexin.

Sea h el espesor constante de una placa, solicitada por fuerzas situadas simtricamente con respecto al eje z de la placa. Las deformaciones, los desplazamientos las tensiones que aparecen en la placa sern tambin simtricos respecto al eje z.La flecha de la placa se designa por w y el ngulo de giro de la normal, por . Las magnitudes w y son funciones del radio r solamente y estn relacionadas entre s por la expresin, =

El signo negativo se escoge de acuerdo al esquema de la flecha en la figura 345. Cuando disminuye la flecha w, el ngulo aumenta. El signo no tiene especial importancia por depender solamente de la direccin en que se miden las flechas w.En la figura 346 est representada una seccin axial de la placa.Los puntos situados sobre la normal , despus de la flexin de la placa, forman la normal girada un ngulo . La normal girar el ngulo +d .El segmento CD situado a la distancia z del plano medio y orientado radialmente recibe el alargamiento siguiente,z(+d ) - z = zd El alargamiento unitario ser

El alargamiento unitario en el punto C en la direccin perpendicular al plano del dibujo se puede obtener, comparando las longitudes de las circunferencias correspondientes, antes y despus de la deformacin. Antes de la deformacin de la placa, la longitud de la circunferencia que pasa por el punto C era 2, mientras que despus de la deformacin, ser 2(r+ z ). Por lo tanto, el alargamiento unitario circunferencial ser,

Separamos, mediante dos secciones axiales que forman un ngulo d y dos superficies cilndricas de radios r y r+dr (Fig. 344). Como en las secciones paralelas al plano medio no existen tensiones normales, los alargamientos y las tensiones estarn unidos por la ley de Hooke en la forma siguiente,, ,

Expresando las tensiones por las deformaciones, obtenemos , ,O tambin, , ,

Sobre las caras del prisma (Fig. 347) pueden actuar no solamente tensiones normales, sino tambin tensiones tangenciales. De la condicin de simetra se deduce fcilmente que las tensiones tangenciales pueden aparecer solamente en los planos perpendiculares al radio r y que se orienta verticalmente. Veamos ahora las condiciones de equilibrio del prisma separado.Para ello, hallaremos primero las resultantes de las fuerzas que actan sobre las caras del elemento. Las tensiones tangenciales en la cara (Fig. 347) originan una fuerza resultante cortante dirigida segn el eje z. La intensidad de esta fuerza es decir, la magnitud de la fuerza se refiere a la unidad de longitud del arco rd se designa por Q. La fuerza cortante en la cara , (Q+dQ)(r+dr)d (Fig. 348).Como las tensiones en las capas superiores e inferiores son iguales, pero de signo opuesto, sern nulas las fuerzas normales sobre las caras del elemento. Las tensiones que actan sobre las caras correspondientes se reducen a momentos resultantes en los planos verticales.La intensidad de los momentos sobre las caras y , es decir, las magnitudes de los momentos referidos a las unidad de longitud de la seccin se designan por .Conociendo las tensiones determinaremos los momentos resultantes sobre las caras como sigue, , Adems , ,Teniendo en cuenta que Se deduce; , Dnde: D = ()Esta magnitud se denomina rigidez de la placa a la flexin.Entre las fuerzas aplicadas al elemento (Fig.348) se incluye tambin la fuerza exterior prddr, siendo p la presin que puede variar en funcin del radio r. Proyectando todas las fuerzas que actan sobre el elemento (Fig.348) sobre el eje de simetra obtendremos,(Q+dQ)(r+dr)d Qrd prddr = 0 pr= Planteamos ahora la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto al eje y, tangente al arco del circulo de radio r en el plano medio.()(r+dr)d- - prdrd O, prescindiendo de las magnitudes de orden superior y pasando al lmite, = QrLas ecuaciones de equilibrio restantes se satisfacen automticamente debido a las condiciones de simetra.Introduciendo de las expresiones , en la expresin = Qr y suponiendo que la rigidez D es constante, resulta,r + Esta ltima transformacin se comprueba fcilmente derivando la ltima expresin.Despus de una doble integracin, hallamos,

Siendo y , las constantes arbitrarias de la integracin que se deben determinar de las condiciones de frontera, en cada caso concreto.La fuerza cortante Q se puede obtener de la ecuacin de equilibrio pr= , pero esto resulta mucho ms cmodo, analizando las condiciones de equilibrio de la parte central de la placa que se obtiene por seccin cilndrica de radio r. Una vez obtenida la funcin , hallamos, de la expresin , , los momentos flectores y de la expresin = , la flecha w. Conociendo los momentos flectores es fcil obtener las tensiones. Comparando, , y , se demuestra que y E introduciendo la expresin de D, se obtiene , Las tensiones mximas surgen cuando y, por lo tanto,

BORDES SIMPLEMENTE APOYADOSEjemplo: Sea una placa de acero E= 2x , de dimensiones L = 204.5cm, h=2 cm, cargada uniformemente a razn de q= 5 . Determinar la fatiga mxima.SolucinDe la ecuacin Dnde: y Reemplazando, obtendramos: 4529.295 = 15.886 , u= = 6.261La fatiga de extensin producida por la fuerza longitudinal S es,

Y el momento flector mximo en el centro de la tira, es

Por la Tabla III

Como u= 6.261, Interpolando = 0.051

Entonces1333.020 kg.cm

La fatiga mxima correspondiente a la flexin es Superponiendo las dos clases de fatiga se tiene, BORDES EMPOTRADOSEjemplo:Sea una placa de acero E= 2x , de dimensiones L = 204.5cm, h=2 cm, cargada uniformemente a razn de q= 5 . Determinar la fatiga mxima.SolucinDe la ecuacin Dnde: y Adems, 1 + = x , x= 16.219Adems, 1 + = x Para la fatiga de extensin Dnde: 15.886

Entonces: Para la fatiga de flexinSabiendo que u= = 12.256Por la Tabla III, interpolando tendremos, = 0.224 = 3903.223 kg.cmEntonces, La fatiga mxima total es,