Planificacion Segundo Grado 138 (2)

1

Matemticas 5 A

TURNO: Matutino

OBSERVACIN Y PRACTICA DOCENTE.

Del rio Rodrguez Anallely Elizabeth

Solrzano Nery Julieta

Grupos a trabajar: 2 A y 2D- 2B y 2C

PROFESORA DE OBSERVACION Y PRCTICA DOCENTE: Marleny Hernndez Escobar

PROFESOR TITULAR DE LA MATERIA DE MATEMTICAS: Enrique Parrado Manzano

2

INTRODUCCIN.

En la asignatura de Observacin y Prctica Docente, los estudiantes analizan los conocimientos, habilidades y actitudes que integran

la competencia didctica del maestro y sus formas de expresin en el trabajo escolar; adems, disean y aplican estrategias de

enseanza que pueden favorecer la atencin y comunicacin eficaz con los nios de la escuela. Se espera que los temas y actividades

del curso hayan contribuido al desarrollo de habilidades por parte de los estudiantes para enfrentar situaciones imprevistas y

problemas inherentes al desarrollo de la clase, as como para adquirir mayor confianza y seguridad para el ejercicio de la prctica

docente.

Adems se estudiar con mayor profundidad el proceso de organizacin y desarrollo de la clase para que los estudiantes continen

desarrollando la competencia didctica para trabajar con un grupo y, paulatinamente, definan un estilo de trabajo. Asimismo, se

continuar con el estudio de las estrategias que permiten atender la diversidad en el grupo y propiciar la equidad, considerando las

diferencias individuales de los alumnos.

Los estudiantes realizarn observaciones y prcticas del conjunto de las asignaturas de la educacin primaria espaol, matemticas,

geografa, historia, ciencias naturales, educacin fsica, educacin artstica y, de acuerdo con los criterios que establecen los

programas correspondientes, profundizarn en el anlisis de las experiencias en la escuela primaria. Con el fin de que las prcticas

educativas cumplan su propsito formativo, se han incluido temas sobre la planeacin didctica, la organizacin de actividades en el

aula y el papel del maestro en el proceso de enseanza y aprendizaje.

3

DATOS GENERALES

ESCUELA:

Escuela Secundaria ngel Mara Garibay Kintana 138 Matutino

SESIONES: Diez

UBICACIN:

Puerto Cozumel, Gustavo A. Madero DISTRITO FEDERAL. Mxico

FECHAS: 23/NOV/2015-03/DIC/2015

Grado: 2 Grupos: A y D Bimestre: primero

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BL

OQ

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I

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TEMA CONTENIDO DESGLOSE DE CONTENIDOS

APRENDIZAJES ESPERADOS

SESIONES FECHA F

OR

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SP

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olin

om

ios.

Preguntas acerca de adicin y sustraccin con nmeros enteros.

Pregunta sobre lo que es un monomio y un polinomio

Se busca identificar los conocimientos previos.

Manejo de conceptos por parte de los alumnos y organizacin de contenido.

1 23/11/15

Identifica y resuelve correctamente

Resuelve problemas que impliquen adicin y sustraccin de polinomios. 1 24/11/15

Calendarizacin y dosificacin de los contenidos programticos

5

BL

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IV

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E



SESIONES FECHA F

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s.

Abordar conceptos clave con preguntas, con lo cual se podr obtener el conocimiento previo.

Trabajar con algunos ejercicios en los cuales se empleen monomios y polinomios para resolucin.

Los alumnos utilizan modelos geomtricos para identificar expresiones algebraicas equivalentes mediante la aplicacin de la multiplicacin de monomios y polinomios.

1 25/11/15

Empleo de equivalencias.

Resolucin mediante el empleo de modelos geomtricos.

Los alumnos utilizan modelos geomtricos para identificar expresiones algebraicas equivalentes mediante la aplicacin de la multiplicacin de monomios y polinomios.

1 26/11/15


6

BL

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IV

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SESIONES FECHA F

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ecto

s

Identificacin de conocimientos previos

Introduccin al nuevo tema mediante manejo de contenido y conceptos.

Da referencias utilizando los

aprendizajes previos. Para con

ello poder avanzar al nuevo

contenido.

1 30/11/15

Razonamiento crtico y lgico matemtico.

Manejo de la nueva informacin.

Los alumnos justifican las

frmulas para calcular el

volumen de cubos, prismas y

pirmides rectos con la ayuda

de figuras fsicas, para la

posterior aplicacin en la

resolucin de problemas.

1 01/12/15

Manejo de material

didctico con el cual

podrn observar de

manera cuantitativa la

Infiere como poder comparar volumenes entre diferentes cuerpos geometricos. Los alumnos aprenden a utilizar medios fisicos para la

1 02/12/15


7

comparacin de

volumen.

De forma ldica

aprenden a justificar

las frmulas de

volumen.

demostracion y no solo en un metodo grafico.

Mediante plantillas los alumnos aprenden de manera didctica a justificar volmenes.

Es capaz de justificar formulas con las cuales podr calcular el volumen cubos, prismas, pirmides, de manera autnoma y eficaz.

1 03/12/15

8

DATOS TCNICOS

Antecedentes de educacin Secundaria, Programas de Estudio 2011 (conocimientos previos)

GRADO CONTENIDOS

1

Construccin de sucesiones de nmeros o de figuras a partir de una regla dada en el lenguaje comn. Formulacin en lenguaje comn de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresin aritmtica o geomtrica, de nmeros y de figuras.

Explicacin del significado de frmulas geomtricas, al considerar las literales como nmeros generales con los que es posible operar.

Justificacin de las frmulas de permetro y rea de polgonos regulares con apoyo de la construccin y transformacin de figuras.

Resolucin de problemas que impliquen calcular el permetro y el rea de polgonos regulares.

Uso de las frmulas para calcular el permetro y rea del circulo en la resolucin de problemas.

2

Resolucin de problemas que impliquen en clculo de rea de figuras compuestas, incluyendo reas laterales y totales de prismas y pirmides.

Resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin de monomios

Resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin de polinomios.

Identificacin y bsqueda de expresiones algebraicas a partir de empleo de modelos geomtricos.

Justificacin de las frmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirmides rectos.

Resolucin de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas a excepcin de la divisin entre polinomios

Estimacin y clculo del volumen de cubos, prismas y pirmides rectos o de cualquier termino implicado en las formulas. Anlisis de las relaciones de variacin entre diferentes medidas de prismas y pirmides.

3

Anlisis de las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triangulo rectngulo.

Explicacin y uso del teorema de Pitgoras.

Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de tales.

Construccin de las frmulas `para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las formulas de prismas y pirmides.

9

Estimacin y clculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las formulas.

COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN

Resolver problemas de manera autnoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo, problemas con solucin nica, otros con varias soluciones o ninguna solucin; problemas en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando ms de un procedimiento, reconociendo cul o cules son ms eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o ms valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolucin.

Comunicar informacin matemtica. Comprende la posibilidad de que los alumnos expresen, representen e interpreten informacin matemtica contenida en una situacin o en un fenmeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la informacin cualitativa y cuantitativa relacionada con la situacin; se establezcan nexos entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas matemticas encontradas; se deduzca la informacin derivada de las representaciones y se infieran propiedades, caractersticas o tendencias de la situacin o del fenmeno representado.

Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostracin formal.

Manejar tcnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representacin que hacen los alumnos al efectuar clculos, con o sin apoyo de calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de tcnicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera ptima y quienes alcanzan una solucin incompleta o incorrecta. Esta competencia no se limita a usar de forma mecnica las operaciones aritmticas, sino que apunta

10

.

principalmente al desarrollo del significado y uso de los nmeros y de las operaciones, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema; en la utilizacin del clculo mental y la estimacin; en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una tcnica es necesario que los alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos; as adquirirn confianza en ella y la podrn adaptar a nuevos problemas.

ESTNDARES CURRICULARES

1.2.1 resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar clculos con expresiones algebraicas 1.3.1 resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepcin de la divisin entre polinomios 2.2.1 calcula cualquiera de las variables que intervienen en las formulas de permetro rea y volumen.


Correspondientes al Bloque II:

Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las frmulas para obtener el volumen de

cubos, prismas y pirmides rectos. Establece relaciones de variacin entre dichos trminos.

11

INFORMACION DEL TEMA

Introduccin Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy distinto de sumar y restar nmeros. Cualquiera de los trminos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes puede ser combinado. Sumando Polinomios Sumar polinomios implica combinar trminos. Los trminos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de trminos semejantes y no semejantes:

Monomios Trminos Explicacin

3x

14x semejante

las mismas variables con los mismos exponentes

16xyz2

-5xyz2 semejante

las mismas variables con los mismos exponentes

3x

5y

no semejante

diferentes variables con los mismos exponentes

-3z

-3z2 no semejante

las mismas variables con diferentes exponentes

12

Un trmino es una expresin que est separada por los signos de suma o resta. Ejemplos de trminos: 3x, -2x2, 4

Ejemplo:

3x2 - 4x

3x2 es un trmino. -4x es otro trmino.

Un constante es un trmino que no contiene variables, solamente posee coeficiente.

3x2 + 9x + 8 En este caso, la constante es 8, ya que es el nico trmino sin variables.

Un monomio es un nmero, una variable o un producto de nmeros y variables. Algunos ejemplos de monomios son:

3x 2, 2x, -5, 37 p4, 0

Un polinomio es una expresin cuyos trminos son monomios. x2 + 2x - 8

Un monomio es un polinomio con un trmino. 5x3 Es un monomio

Un binomio es un polinomio con dos trminos. 5y2 - 3x es un binomio.

Un trinomio es un polinomio con tres trminos. 6xy - 2r2s + 4r Es un trinomio.

Polinomios con ms de tres trminos no reciben nombres especiales

13

Los trminos de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha. Esto se llama orden descendente.

4x3 - 3x2 + 6x - 1 5y4 - 2y3 + y2 - 7y + 8

El grado de un polinomio es una variable es el exponente mayor. El Polinomio de 4x3 -3x2 + 6x - 1 es de grado 3 5y4 - 2y3 + y2- 7y + 8 es un polinomio de grado 4.

El procedimiento es el mismo cuando sumamos polinomios que contengan coeficientes negativos o resta como se muestra abajo:

14

Hasta ahora, hemos sumado polinomios leyendo de izquierda a derecha sobre la misma lnea. Algunas personas prefieren organizar su trabajo verticalmente, porque les es ms fcil asegurarse que estn combinando trminos semejantes. El proceso de sumar los polinomios es el mismo, pero el arreglo de los trminos es diferente. El ejemplo de abajo muestra este mtodo "vertical" de sumar polinomios:

Algunas veces en un arreglo vertical, podemos alinear cada trmino debajo de su semejante, como hicimos en el ejemplo de arriba. Pero otras veces no queda tan ordenado. Cuando no existe un trmino semejante para cada trmino, quedar un lugar vaco en el arreglo vertical.

15

Restando Polinomios Restar polinomios tambin implica identificar y combinar trminos comunes. Recuerda que el signo de resta enfrente de los parntesis es como el coeficiente de -1. Cuando restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los trminos en el segundo polinomio y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:

16

Cuando los polinomios incluyen muchos trminos, puede ser fcil perder la nocin de los signos. S muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando restas un trmino negativo.

17

Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la prctica hacen cada vez ms fcil sumar y restar polinomios. Sumario Cuando sumes o restes polinomios, busca trminos semejantes, que son los trminos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Usa la Propiedad Conmutativa de la Suma para reagrupar los trminos en una expresin y formar conjuntos de trminos semejantes. Los trminos semejantes se combinan sumando o restando los coeficientes mientras que las variables y los exponentes se mantienen. Los polinomios no son considerados simplificados hasta que todos los trminos comunes han sido combinados.

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PRIMERA SESIN FECHA: 23 de noviembre del 2015

Bloque: I Contenido: resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin

de polinomios

Eje: sentido numrico y pensamiento algebraico

Desglose de contenidos:

- suma de polinomios

-Resta de polinomios

Tema: problemas aditivos

Aprendizajes esperados.

El alumno: Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las formulas para obtener el

volumen de cubos, prismas y pirmides rectos. Establece relaciones de variacin entre dichos trminos

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Actividad para comenzar bien el da:

Se les solicita a los alumnos que continen con la sucesin

U D T C C S _

Respuesta correcta: O (OCHO)

*Se tiene previsto que los jvenes lo terminen en 5 minutos.

Actividad 1:Clasificacion de terminos iguales de un polinomio

indicaciones:Analiza los monomios y clasificalos con sus terminos semejantes y posteriormente sumalos

Proposito de la actividad: Que los alumnos distingan terminos semejantes que forman parte de un polinomio

Estrategias didcticas: se llevara en una cartulina elavorada previamente con terminos relacionados con polinomio para resolver

dudas en caso de que existan.

Un polinomio es una expresin cuyos trminos son monomios.

3a2 - 4a 5a3 2a 17a3 5a 4a -2a 2 4

18a2 6 9a3 -13a2 3a - 4a -5a3 2a

20

x2 + 2x - 8 Un monomio es un polinomio con un trmino.

5x3 Es un monomio Un binomio es un polinomio con dos trminos.

5y2 - 3x es un binomio. Un trinomio es un polinomio con tres trminos.

6xy - 2r2s + 4r Es un trinomio.

Polinomios con ms de tres trminos no reciben nombres especiales.

Los trminos de un polinomio en una variable se arreglan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha. Esto se llama orden descendente.

4x3 - 3x2 + 6x - 1 5y4 - 2y3 + y2 - 7y + 8

El grado de un polinomio es una variable es el exponente mayor. El Polinomio de 4x3 -3x2 + 6x - 1 es de grado 3 5y4 - 2y3 + y2- 7y + 8 es un polinomio de grado 4.

Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinacin de trminos semejantes.

Por ejemplo simplifica (2x2 + x - 1) + ( 3x3 + 4x2 - 5 ) usando el formato vertical.

Primero los trminos son arreglados. En orden descendente son trminos semejantes en la misma.

21

2x2 + x - 1 + 3x3 + 4x2 - 5 3x3 + 6x2 + x -6

Simplifica (3x3 - 7x + 2) + ( 7x2 + 2x -7) usando el formato horizontal.

Respuestas correctas:

Actividad 2: Suma de polinomios

2+6+4 =12 3a- 4a+2a+5a+4a =12a

3a2 +18a2-13a2 =6 a2 17a3 + 5a3 + 9a3+-5a3 = 26 a3

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indicaciones: Relaciona cada indicacion con la respuesta que consideres sea la correcta para el procedimiento de la suma de

dos polinomios P(x) = 2x3 + 5x 3 y Q(x) = 4x 3x2 + 2x3

1 Ordenamos los pol inomios, si no lo estn. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 3 x2 + 5x + 4x 3

2 Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x 3) + (2x3 3x2+ 4x)

3 Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x3 3 x2 + 5x + 4x 3

Proposito de la actividad:los alumnos identificaran que para la suma de dos polinomios se suman los coeficientes de los

terminos del mismo grado


1 Ordenamos los pol inomios, si no lo estn. P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x 3) + (2x3 3x2+ 4x)

2 Agrupamos los monomios del mismo grado P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 3 x2 + 5x + 4x 3

3 Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 3 x2 + 5x + 4x 3

Estrategias didcticas: se llevara una lamina previamente elavorada con la actividad no resuelta para que tambien se pase

a solucionar al pizarron por los alumnos que no entiendan.

23

Actividad 3: resolucion de problemas que implican la suma e identificacion de polinomios de grado x: mediante lo ya aprendido los alumnos son capaces de organizar y resolver la suma de un polinomio de cualquier tipo.

indicaciones: copia los sigientes problemas en tu cuaderno y resuelvelos

1) Escribe el siguiente polinomio en orden descendente. 3x2 - 5 + 4x3 - 2x

2) Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x2 -1 + 5x3

3) Identifica el grado del polinomio

8x3 - 2x2 -7


9x4 - 3x2+ 11

5) Simplifica (7y2 - 6y + 9) + (-8y2 -2). Usar el formato vertical.

Nota: Fjate que hemos reescrito 7y2 - 6y + 9 como 7y2 + -6y + 9 (usando las reglas de la resta - restar un nmero es igual que sumar el opuesto del nmero)

6) Simplifica ( 2x2 + 4x -3 ) + ( 5x2 - 6x ). Usar el formato vertical.

24

7) Simplifica ( -4x2 - 3xy + 2y 2 ) + ( 3x2 - 4 y2 ). Usar el formato horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los trminos semejantes. Trminos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.

8) Simplifica (-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy). Usar el formato horizontal.

Proposito de la actividad:el alumno logra resolver de manera individual cada paso para la suma de dos polinomios


1) Escribe el siguiente polinomio en orden descendente. 3x2 - 5 + 4x3 - 2x

Solucin: 4x3 + 3x2 -2x -5 :

2) Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x2 -1 + 5x3

Solucin:

5x3 + 6x2 + x - 1


8x3 - 2x2 -7

Solucin: El exponente mayor de la variable x es 3.

25

El grado de 8x3 - 2x2 - 7 es grado 3.


9x4 - 3x2+ 11

Solucin:

Si el exponente mayor es 4, entonces el grado del polinomio es 4.

5) Simplifica (7y2 - 6y + 9) + ( -8y2 -2). Usar el formato vertical.

Solucin:

7 y2 + - 6y + 9 + -8 y2 + -2 -y2 + -6y + 7

-y2 - 6y + 7 Nota: Fjate que hemos reescrito 7y2 - 6y + 9 como 7y2 + -6y + 9 (usando las reglas de la resta - restar un nmero es igual que sumar el opuesto del nmero)

6) Simplifica ( 2x2 + 4x -3 ) + ( 5x2 - 6x ). Usar el formato vertical.

Solucin:

2x2 + 4x - 3 + 5x2 + -6x 7x2 + -2x +-3

26

7) Simplifica ( -4x2 - 3xy + 2y 2 ) + ( 3x2 - 4 y2 ). Usar el formato horizontal. En este tipo de suma se agrupan horizontalmente los trminos semejantes. Trminos semejantes son aquellos que tienen la misma variable o variables con el mismo exponente.

Solucin:

( - 4x2 - 3xy + 2y2 ) + ( 3x2 - 4y2 )=

-4x2 + 3x2 + -3xy + 2y2 + -4y2 [Cmputo mental]

-x2 - 3xy - 2y2

8) Simplifica (-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy). Usar el formato horizontal.

Solucin:

(-3x3 + 2y2) + (-8x2 + 9xy)

-3x3 +( 2y2 +- 8x2 )+ 9xy

-3x3 -6x2 + 9xy

La respuesta debe estar siempre en orden descendente.

Estrategias didcticas:se trataran de ir escribiendo los problemas en el pizarron en el transcurso dela clase para que los

alumnos que terminen la actividad anterioer mas rapido comienzen a anotar y resolver.

27

ANALISIS PREVIO

Para esta sesion se prevee que los alumnos probablemenete aunque ya hayan visto o utilizado trminos como:

polinomios,monomios, literales, variables, etc, muchos discentes aun tengan deficiencias en este tipo de

definiciones conceptos o tal vez al identificarlos, en este caso se tendr que retomar este tipo de conceptos, ya

que si no, ser prcticamente imposible avanzar en este contenido.

Otro posible problema podra ser que los educandos nos identifiquen como prcticantes y consideren que no

es necesario hacernos caso, por eso se tienen que establecer reglas (bases) desde un inicio para que los chicos

se den cuenta que deben hacer caso y que los trabajos que realicen tendrn validez en su calificacin.

SEGUNDA SESIN

FECHA: 24 de noviembre delo 2015

Bloque: II

28


Contenido: resolucin de problemas que impliquen adicin y sustraccin

de polinomios


- suma de polinomios

-Resta de polinomios

Tema: problemas aditivos con polinomios


El alumno: resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios

Actividad para comenzar bien el da.

Propsito de la actividad: los alumnos despiertan inters por el inicio de la clase

Indicaciones: Realiza los clculos necesarios para que los 3 crculos que se encuentran unidos paralelamente semen 15, debes

colocar las cantidades del 1 al 9 sin que se repitan

29

Estrategias didcticas: se pegara la actividad en una cartulina al frente paraqu todos tengan la posibilidad de copiarla en su

cuaderno

Actividad 1: Resta de polinomios de igual grado

Indicaciones: copia y posteriormente resuelve el ejercicio en tu cuaderno siguiendo los mismos pasos de la suma de polinomios.

30

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x

B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)

B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3)

Propsito de la actividad: los alumnos logran diferenciar la resta y la suma de pol inomios


9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

-

5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

+

-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

______________________________

4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

31

0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

-

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

____________________

0x3 - 3x2 + 5x - 4

+

-4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)

____________________

-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los trminos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y

transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero tambin se puede hacer restando los

coeficientes del mismo grado.

Y tambin se los puede restar "en el mismo rengln", tal como mostr que se puede hacer en la suma.

Actividad 2: Resta de polinomios

Indicaciones: copia y resuelve en tu cuaderno (2a - 3b - c) - (5a - 6b - c).

Propsito de la actividad: Los alumnos descubren que cuando se restan nmeros enteros en lgebra, se agrega el contrario o inverso

aditivo. Por ejemplo, -10 - (-6) = -10 + 6 = -4. Para hallar el opuesto de un nmero entero (excepto 0), solo se debe cambiar su signo.

Para hallar el opuesto de un monomio, cambie el signo del coeficiente numrico.

32

Respuesta correcta:

33

INFORMACION DEL TEMA

Una expresin algebraica: Es un conjunto de cantidades numricas y literales relacionadas entre s, por los signos de las operaciones

aritmticas. Es una expresin que contiene al menos una variable; por ejemplo n+7.

Expresin equivalente: Dos expresiones algebraicas son equivalentes si (y solo si) tienen el mismo valor para cualquier nmero que

sustituya a la variable.

Un monomio es una expresin que puede ser un nmero, una variable o un producto de nmeros y variables con exponentes

enteros. Si el monomio es un nmero lo llamamos constante.

Un polinomio es una expresin algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes, por lo tanto no

se pueden sumar. El grado de un polinomio es la potencia ms alta de la variable (de coeficiente diferente de 0) que aparece en el

polinomio.

Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3.

Cuando el polinomio consta de tres monomios se denomina trinomio: -2x3 + 3x2+ 5.

Cuando el polinomio consta de tres trminos (monomios) se denomina en general polinomio.

La suma de dos nmeros literales y puede indicarse simplemente como + . Los nmeros y se llaman trminos de la suma.

Se denominan trminos semejantes los que poseen factores literales idnticos: 2, 3,-10 son ejemplos de dichos termnos.

Por otro lado 2 y 3 son trminos no semejantes, ya que tiene a como factor, mientras que 3abd no lo tiene. Los coeficientes

numricos de los trminos no afectan la semejanza o no de stos. Cuando se suman polinomios se combinan nicamente los

trminos semejantes presentes en ellos.

34

Para la multiplicacin de un monomio por un polinomio se utiliza la propiedad distributiva:

(4)( + 4) = (4)() + (4)(4)

= 42 + 16

La multiplicacin de dos polinomios es semejante a la de un monomio y un polinomio donde el primer polinomio se estima como una

sola cantidad.

Para multiplicar ( + 2)( 3), se considera ( + 2) como una cantidad y se aplica la ley distributiva:

( + 2)( 3) = ( + 2)() + ( + 2)(3)

= ( + 2) + (3)( + 2)

Luego se vuelve a aplicar dicha ley:

= 2 + 2 3 6

= 2 6

ANALISIS PREVIO

35

Aun que paresca que los chicos ya no tienen problema alguno en cuanto a las operaciones basicas debido a su

grado de estudios, pudiese haber algunos estudiantes que aun en este nivel tubiesen problemas para multiplicar

y restar, y ms aun si aun tenido problemas en comprender o asimilar los conceptos tales como binomio,

polinomios, literal, etc. Por tal motivo se debe poner una especial atencion al iniciar a resolver problemas de

manera individual, tambin debe haber una participacion activa para con ello tambien los alumnos que aun no

comprenden vean como lo hacen sus compaeros y les sea ms facil comprender el tema o por lo cntrario si

pasa alguien que no sabe podr sear corroborado por sus compaeros y profesora, permitiendole al educando

una mejor comprension.

TERCERA SESIN FECHA: 25 de noviembre del 2015

Bloque: II Contenido: Identifica las expresiones algebraicas equivalentes mediante

la representacin y uso de modelos geomtricos.



-Los alumnos utilizan modelos geomtricos para identificar expresiones

algebraicas equivalentes mediante la aplicacin de la multiplicacin de

monomios y polinomios.

Tema: problemas multiplicativos

36


El alumno: Identifica las expresiones algebraicas equivalentes mediante la representacin y uso de modelos geomtricos.

ACTIVIDAD PARA COMENZAR BIEN EL DA :

Indicaciones: Resuelve lo siguiente

Propsito de la actividad: despertar el inters del grupo y al mismo tiempo desarrollar su pensamiento lgico.

Al leer un libro, si cuentas de la pgina 68 hasta la pagina 98, cuntas veces encontraras el numero 8?

Respuesta: 14 veces.

37

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Indicaciones: Resuelve los siguientes ejercicios de adicin de monomios y polinomios.

a) 3b3+b2+5x4+3x2+7b2+2x2+x4+b3= Se ordenan y asocian las variables de acuerdo a sus exponentes:

3b3+b2+5x4+3x2

+ b3+ 7b2+x4+2x2

4b3+8b2+6x4+5x2

Se ordenan de acuerdo a los exponentes y las variables: 6x4+5x2+4b3+8b2

(3b3+b2+5x4+3x2)+(7b2+2x2+x4+b3)= 6x4+5x2+4b3+8b2

b) x2+2x+4+5+2a+3x2= Se ordenan y asocian las variables de acuerdo a sus exponentes:

x2+2x+4 + 3x2+ +5+2a 4x2+2x+9+2a Se ordenan de acuerdo a los exponentes y las variables: 4x2+2x+2a+9 (x2+2x+4)+(5+2a+3x2)= 4x2+2x+2a+9 c) x2 2x+4+4x2 2x 3= Se ordenan y asocian las variables de acuerdo a sus exponentes: x2 2x+4 + 4x2 2x 3 5x2 4x+1 Se ordenan de acuerdo a los exponentes y las variables: 5x2 4x+1 (x2 2x+4)+(4x2 2x 3)= 5x2 4x+1

38

2. Indicaciones: Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno:

(4x)(x+4)= (4x)(x)+(4x)(4)=4x2 + 16x

(5x)(3x -7)= (5x)(3x)+(5x)(-7)= 15x2 35x

(3x)(4x2+2x+7)= (3x)(4x2)+(3x)(2x)+(3x)(7)=12x3+6x2+21x

(3x2)(x2+5x-3)= (3x2)(x2)+(3x2)(5x)+(3x2)(-3)=3x4+15x3-9x2

3. Indicaciones: Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

(4x2)(3x+5)= (4x2)(3x)+(4x2)(5)=12x3+20x2

(a2)(3a2-4a-3)= (a2)(3a2)-(a2)(4a)-(a2)(-3)=3a4-4a3+3a2

4. Indicaciones: Resuelve la pgina 90 de tu libro de texto.

P= 2x+2(x+y)= 2x+2(x)+2(y)=2x+2x+2y= 4x+2y x+x+x+x+y+y

39

y x

x

+1

x

+1

+1

x x

A= x(x+y)= (x) (x) + (x) (y)= x2+xy

P= x+x + 1+1+1+1= 2x+4 2(x)+2(1+1)= 2x+2+2= 2x+4

A= (x)(1+1)= x+x=2x

P= 1+x+x+1+1+1+x+x= 4x+4 1+2x+3+2x= 4x+4 2(x+x+1)+ 2(1)= 2x+2x+2+2= 4x+4

40

x

x +1 +1 +1

A= (x+x+1)(1)= x+x+x1= 2x+1 (2x+1)(1)= 2x+1

P= x+x+1+1+1+x+1+1+1+x= 4x+ 6 (2)(x)+2(x+1+1+1)= 2x+2x+2+2+2 4x+ 6 (x+3)(2)+2(x)= 2x+6+2x= 4x+6

A= x(x+1+1+1)= x2+x+x+x= x2+3x (x)(x)+(x)(1)+(x)(1)+(x)(1)=x2+x+x+x= x2+3 (x)(x+3)= x2+6

5. Indicaciones: Resuelve la pgina 91 de tu libro de texto.

1) 2x(x+3)

2) (x-2)(x-3)

41

2a

a

x

x

1

1

1

(x)(x) + (-3)(x) + (-2)(x)+ (-2)(-3)= x2-3x-2x+6= x2-5x+6

3) 3x(x-4)

(3x)(x)+ (3x)(-4)= 3x2 -12x

4) (x-2)(x-y+2)

(x)(x)+ (x)(-y)+(x)(2)+(-2)(x)+(-2)(-y)+(-2)(2)= = x2 xy+2x-2x+2y-4 = x2 xy+2y-4

6. Indicaciones: Resolver la pgina 93 de tu libro de texto.

P= 2(2a) + 2a = 4a+2a = 6a

A= (2a)(a) = 2a2

42

6b

2b

X+2

3

n

2n+1

P= 2(6b)+ 2(2b)= 12b+4b = 16b

A= (6b)(2b) = 12b2

P= 2(x+2)+ 2(3) = 2x+2+6 = 2x+8

A= 3(x+2) = 3x+6

P= 2(2n+1)+ 2(n)= 4n+2+2n = 6n+2

A= (2n+1)(n) = 2n2 + n

43

7. Indicaciones: Responde las siguientes preguntas a partir de las siguientes figuras armadas:

a) Determina el permetro de la figura 1: 10 + 6 + + 4 + 8 + 2 + 2 + 2 + 4 + 6 + + 8 = 54

b) Halla el rea de la figura 1: (10)(8) + ()(2) + (2)(10) + (2)(2) + (2)(4) = 802 + 22 + 202 + 42 + 82 = 1142

c) Encuentra el permetro de la figura 2: 8 + 10 + 6 + 2 + 2 + 8 = 36

d) Determina el rea de la figura 2: (8)(6) + (8)(2) + (2)(6) = 482 + 162 + 122 = 762

e) Halla el permetro de la figura 3: 8 + 10 + + 2 + + 6 + 4 + 2 + 2 + 2 + 4 + 6 = 48

f) Encuentra el rea de la figura 3: (2)(2) + (6)(2) + (4)(2) + (8)(2) + ()(2) = 42 + 122 + 82 + 162 + 22 = 422 Bibliografa: Wade T.L. y Taylor H.E. (1980). Matemticas Fundamentales, Limusa, Mxico, p. 283. ODaffer P.G., Clemens S.R. y Charles R.I. (1992). Prealgebra, Addison-Wesley, Wilmington, Delaware, E.U.A., pp. 509-520, y 560. Gobran A. (1990). Algebra Elemental, Grupo Editorial Iberoamrica, Belmont, California, E.U.A., pp. 68-69, 85-86, 88

44

INFORMACIN DEL TEMA

El volumen de un slido es el nmero de unidades cbicas que se necesitan para llenar la cantidad de espacio que ocupa el slido,

se representa con la letra V y se calcula multiplicando el rea de su base por la altura:

= ( )() =(largo)(ancho)(altura)

Los poliedros son figuras geomtricas tridimensionales que estn limitadas por polgonos, siendo cada uno de ellos una cara. El

significado de "poli" es mucho y el de "edro" es cara; por lo tanto, poliedro significa "muchas caras. Las regiones poligonales que

los delimitan se llaman caras. La interseccin de cada dos caras de un poliedro se denomina arista y los puntos extremos de sta

se denominan vrtices.

Un cubo es un prisma particular formado por 6 caras cuadradas, 8 vrtices y 12 aristas.

Frmula del volumen:

45

3 = ()()()

rea de polgonos: Calcular el rea de un polgono es establecer una aplicacin entre el conjunto de los polgonos y el de los

nmeros reales.

La unidad de superficie es la longitud elevada al cuadrado. Se escribe en la forma m2 y se lee metros cuadrados.

rea del rectngulo: si llamamos b a la longitud de uno de los lados del rectngulo y h a la longitud del otro lado, tendremos el rea

del rectngulo dada por el producto de esas dos longitudes, es decir,

Rectngulo rea =

Y por lo tanto: rea del rectngulo=

La apotema de un polgono regular es el segmento perpendicular a un lado del hexgono y cuyos lados son el centro del polgono

y el punto medio del lado.

A la suma de las longitudes de los lados de un polgono se le llama permetro. Por lo tanto el rea de un hexgono regular es

Hexgono regular rea =

rea del hexgono regular=

46

El resultado se puede generalizar para cualquier polgono regular ya que siempre lo podemos descomponer en tringulos iguales y

realizar el mismo procedimiento que con el hexgono. Tenemos, pues, que el rea de un polgono regular cualquiera es igual a la

mitad del permetro por la apotema.

Para la justificacin de la frmula para calcular el rea de polgonos regulares se parte de la figura de la cual se quiere justificar la

frmula (en este caso un pentgono)

Posteriormente se divide ste en tringulos, los cuales deben coincidir en el centro y sus bases deben ser cada uno de los lados

de la figura original; de la siguiente manera:

47

Posteriormente se corta la figura y se colocan todos los tringulos obtenidos en fila de la siguiente manera:

Ahora dibujamos un rectngulo sobre la figura que obtuvimos al unir en fila los tringulos; de la siguiente manera:

48

Si analizamos la figura anterior podemos visualizar que la altura de cada uno de los rectngulos es la misma altura que la del

rectngulo

Son las mismas alturas. Y estas alturas son mejor conocidas como el

apotema

49

Adems de lo anterior, el permetro del pentgono es lo que para el rectngulo es su base y el lugar ocupado por los tringulos de

colores es exactamente la mitad del rectngulo que dibujamos, y es por esto que se considera:

Finalmente, consideramos la frmula para calcular el rea del rectngulo , y sustituimos por sus igualdades antes establecidas, teniendo: (permetro del pentgono)(apotema), y al retomar la cuestin de que los tringulos de colores ocupan la

mitad del rectngulo, dividimos lo anterior entre dos y resulta la frmula para calcular el rea de cualquier polgono regular a partir

del pentgono:

=

2

Altura del rectngulo=

apotema del pentgono

Base del rectngulo= permetro del pentgono

50

Un prisma es un slido que tiene un par de bases congruentes y paralelas; sus lados son paralelogramos. Un prisma con tringulos

como bases se llama prisma triangular. Un prisma con hexgonos como bases se llama prisma hexagonal.

Caractersticas del prisma:

Es un slido, es decir, es tridimensional.

Es un poliedro que tiene por caras:

- Dos bases paralelas que son polgonos. - Caras laterales que son paralelogramos. La pirmide es un poliedro que tiene una sola base y tantas caras laterales en forma de tringulos como lados tenga la base y que

se unen en un punto denominado vrtice.

Altura: es la distancia vertical que hay de la base al vrtice de la pirmide.

La pirmide regular tiene de base un polgono regular y sus caras laterales iguales.

51

La pirmide irregular tiene de base un polgono irregular.

En la pirmide recta todas sus caras laterales son tringulos issceles y la altura cae al punto medio de la

base.

Demostracin

Considere la pirmide triangular S.ABC de altura h. Trace AD k SB, CE k SB con AD SB CE, luego el slido ABCSDE es un

prisma triangular que tiene la misma base y la misma altura de la pirmide S.ABC.

El volumen del prisma es igual a: Vprisma = (ABC) h, pero observe que el prisma est formado por dos pirmides, S .ABC Y S. ACDE,

cuya base es un paralelogramo, por lo tanto se cumple que ACD ECD, luego VS.ACD VS.ECD As entonces Vprisma = VS.ABC +

VS.ACD + VS.ECD.

ABC DES, entonces VS.ABC = VS.DEC

Vprisma = 3VS.ABC

VS.ABC =1

3 Vprisma

VS.ABC = 1

3 (ABC) h

Donde ABC representa en rea de la base.

El volumen de una pirmide es un tercio del producto de su altura y el rea de la base.

52

CUARTA SESIN FECHA: 26 de noviembre del 2015

Bloque: II

Contenido: Justificacin de las frmulas para calcular el volumen de

cubos, prismas y pirmides rectos Eje: Forma, espacio y medida


Identificacin de conocimientos previos

Introduccin al nuevo tema mediante manejo de contenido y

conceptos.

Razonamiento crtico y lgico matematico.

Tema: Medida

53

Aprendizajes esperados. Los alumnos justifican las frmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirmides rectos con

la ayuda de figuras fsicas, para la posterior aplicacin en la resolucin de problemas.

Actividad 1.

Comenzando bien el da el alumno mediante el juego deber estar atento para anotar el nmero en la primera celda para posteriormente

continuar contestando las dems celdas segn la, tratando de captar el inters del estudiante y despertar su razonamiento matemtico.

Indicaciones.

Contestar el siguiente Basta Numrico. En caso de ser decimales poner una lnea diagonal (/) en la celda.

+10 -7 X17 +5 /3 X43 +26 -12 Total de aciertos

8 18 1 136 13 / 344 34 -4

9 19 2 153 14 3 387 35 -3

3 13 -4 51 8 1 129 29 -9

6 16 -1 102 11 2 258 32 -6

5 15 -35 65 10 / 215 31 -7

7 17 0 119 12 / 301 33 -5

Estrategias didcticas:

Se llevarn impresiones para poder entregar a los alumnos de manera que puedan resolver ah mismo y posteriormente pegarla en su libreta, as

evitando llevar demasiado tiempo en esa actividad. Deben ser veloces y deben tener la capacidad de hacer un clculo mental.

54

Actividad 1: Los discentes: Responden los siguientes cuestionamientos de forma individual de acuerdo a la definicin de cada

concepto mencionado por el docente.

Indicaciones: De acuerdo a tus conocimientos previos responde los siguientes conceptos:

a) Volumen:

Propsito de la actividad: Reconocer conocimientos previos que ayudarn a la realizacin del nuevo contenido.

Respuesta correcta:

Es el nmero de unidades cbicas que se necesitan para llenar la cantidad de espacio que ocupa el slido.

b) Poliedro:

Respuesta correcta:

Son figuras geomtricas tridimensionales que estn limitadas por polgonos, siendo cada uno de ellos una cara.

c) Cara:

55

Respuesta correcta:

Es la regin poligonales que delimita a un poliedro.

d) Vrtice:

Respuesta correcta:

Es la interseccin de dos aristas.

e) Arista:

Respuesta correcta:

Es la interseccin de cada dos caras de un poliedro

f) Cubo:

Respuesta correcta:

Es un prisma particular formado por 6 caras cuadradas, 8 vrtices y 12 aristas.

56

Estrategias didcticas: Se les pide de forma individual a los alumnos que respondan de acuerdo a sus conocimientos previos,

generando de esta manera su participacin individual que es tomada en cuenta a partir de fichas que se les reparten por cada

participacin frente al grupo. El docente conforme vayan los alumnos participando va generando una definicin de cada concepto

que es dictada al final de este.

Actividad 2: Responden y realizan lo que se les pide en la siguiente hoja de trabajo:

Indicaciones: Cada alumno deber traer 9 cubos armados del mismo tamao, en hojas de colores. Posteriormente se reunirn en

equipos de 3 integrantes y respondern a los siguientes cuestionamientos:

a) Armar el rea de un cuadrado de 9 cm2 con los cubos pequeos. Tomando en cuenta que: 1cubo=1cm3

- Consideras que esta figura es un cubo? Por qu?

Respuestas esperadas:

- no, porque no tiene la forma al cubo que yo conozco.

- si porque se pueden armar diferentes tamaos y formas de cubos.

57

- no porque el cubo es cuadrado y debe tener semejanza en todos sus lados.

Respuesta correcta:

No es un cubo, puesto que las caractersticas de ste deben ser: tener sus lados iguales y ngulos iguales.

- Cmo podras armar un cubo utilizando la base que ya se tiene?


- utilizando cubos con diferentes medidas.

-ponindole ms cubos

-cercar la base

Respuesta correcta:

Poniendo 2 bases ms de cubos encima de la base que ya se tiene para poder formar un cubo.

b) Armar un cubo

58

- Cuntos cubos pequeos adems de los que tiene la base utilizaste para formar el cubo?

Respuesta correcta:

18 cubos pequeos

- Cuntos cubos pequeos contiene el cubo?

Respuesta correcta:

27 cubos

- Cul es la frmula para calcular el rea del cubo?

Respuesta correcta:

3 = ()()()

- Cul es el volumen de este cubo?

Respuesta correcta:

El volumen es de 27cm3

59

- El nmero de cubos equivale al volumen del prisma?

Si porque cada cubo representa una unidad cubica por lo tanto

Propsito de la actividad: Justificacin de la frmula del volumen del cubo mediante la manipulacin de figuras cubicas.

didcticas: Se les pide a los alumnos con anterioridad que traigan 9 cubos armados cada uno, las medidas son las mismas debido

a que el docente les repartir una hoja en donde ya este la figura del cubo, por lo tanto los alumnos solo deben armarlas en sus

casas, posteriormente se forman en equipos de tres alumnos y siguen las instrucciones que la hoja de trabajo contenga.

ANALISIS PREVIO

De acuerdo al contenido a tratar en esta sesin se espera que los alumnos sean capaces de utilizar ciertos conocimientos

previos para que sean la base de un nuevo cimiento para poder pasar al siguiente nivel, no obstante si hubiese algn

conflicto en los conceptos tales como volumen, cuerpo, etc. Se tendr que regresar y explicar con ejemplos prcticos

dichos conceptos, por ejemplo podra tomarse cualquier objeto en el saln de clase, el cual sea parecido a un prima o

cuerpo geomtrico muy conocido a partir de ello establecer ciertas preguntas que lo vayan guiando poco a poco hatsa

que ellos mismo descubran la respuesta, por otro caso si los estudiantes no aceptan este tipo de estrategias se les

dictarn los conceptos.

60

QUINTA SESIN FECHA: 30 de noviembre del 2015

Bloque: II




Tema: Medida



61

Comenzando bien el da el alumno mediante la observacin de la siguiente figura deber pasar el gato tal y como est en la cuadrcula y con

ello poder iniciar la sesin de manera enfocada, tratando de captar el inters del estudiante y despertar su razonamiento y habilidad.

Indicaciones.

Pasar el gato tal y como est en una cuadrcula esto llevar un lmite de tiempo para mostrar la rapidez y las habilidades en que pueden pasar

una figura.


Se llevarn impresiones para poder entregar a los alumnos de la figura de un gato y de manera que puedan resolver ah mismo y posteriormente

pegarla en su libreta, as evitando llevar demasiado tiempo en esa actividad. Deben ser veloces y deben tener la capacidad de observar para

pasar tal cual el gato.

62

Actividad 1: Los discentes: Responden las siguientes preguntas con base a los tres prismas: triangular, rectangular y

pentagonal, que el docente les mostrar.

Indicaciones: Participa de forma voluntaria en los siguientes cuestionamientos.

1.- Qu es un prisma?


a) Una figura con volumen.

b) Una figura con dos caras en forma de rectngulo, tringulo, hexgono, o lo que sea y estn unidas por sus orillas con rectngulos.

c) Una figura geomtrica.

Respuesta correcta:

a) Un prisma es un slido que tiene un par de bases congruentes y paralelas; sus lados son paralelogramos. Un prisma con tringulos

como bases se llama prisma triangular. Un prisma con hexgonos como bases se llama prisma hexagonal.

2.- Qu caractersticas posee un prisma?


a) Tiene dos tipos de caras, dos son iguales, y las que las unen tambin son iguales pero diferentes a las primeras.

b) Tiene dos caras en forma de cualquier figura geomtrica y las otras caras son rectngulos.

63

Respuesta correcta:

Es un slido, es decir, es tridimensional.

Es un poliedro que tiene por caras:

- Dos bases paralelas que son polgonos

- Caras laterales que son paralelogramos.

3.- Cul es la frmula para calcular el rea de un tringulo?

Respuesta correcta:

=

2

4.- Cul es la frmula para calcular el rea de un rectngulo?

Respuesta correcta:

=

5.- Cul es la frmula para calcular el rea de un pentgono?

Respuesta correcta:

64

=()()

2

6.- Qu es la apotema?

respuestas esperadas:

a) Lnea que une un lado de la figura hasta el centro.

b) Es como el radio del crculo, pero como esta es una figura diferente va desde la mitad de uno de sus lados hasta el centro.

Respuesta correcta:

La apotema de un polgono regular es el segmento perpendicular a un lado del hexgono y cuyos lados son el centro del polgono

y el punto medio del lado.

A la suma de las longitudes de los lados de un polgono se le llama permetro. Por lo tanto el rea de un hexgono regular es:

Hexgono regular rea =

65

rea del hexgono regular=

El resultado se puede generalizar para cualquier polgono regular ya que siempre lo podemos descomponer en tringulos iguales y

realizar el mismo procedimiento que con el hexgono. Tenemos, pues, que el rea de un polgono regular cualquiera es igual a la

mitad del permetro por la apotema.

Propsito de la actividad: Esta actividad es necesaria para la adquisicin de conocimientos sobre el uso de las frmulas para el

clculo del volumen, ya que la percepcin del concepto fue manejada en la clase anterior, adems de su indispensable uso para la

clase posterior debido a que ser utilizada como base para la siguiente adquisicin de conocimientos.

Estrategias didcticas: Se comienza la clase mostrndoles a los alumnos tres prismas: uno triangular, otro rectangular y uno

pentagonal, as como tambin se emplean una serie de cuestionamientos, con el fin de identificar sus conocimientos previos y de

esta manera tener evidencias de los conceptos desde los cuales se debe partir. Se recuerda y reafirma a los alumnos la justificacin

de la frmula para calcular el rea de polgonos regulares partiendo del pentgono, lo cual ser de apoyo para pasar a la posterior

justificacin de la frmula para calcular el volumen de los prismas rectos.

.

ACTIVIDAD 2:Calcula el volumen de los siguientes tres prismas:

Indicaciones: Calcula el volumen de los siguientes prismas:

66

Propsito de la actividad: Aplicacin de la frmula del volumen de los prismas en la resolucin de ejercicios

Orientaciones didcticas: Se les proporciona a los alumnos una hoja de trabajo en la cual calculan el volumen de dos de los

prismas vistos especficamente, y el de un tercero, el cual como se vio (y aunque no es necesario calcular el rea de la base), se

calcula con la misma frmula que la del prisma pentagonal, con lo cual se observa si el alumno ha comprendido la generalizacin

de la frmula para los prismas. El maestro observa y gua el proceso del alumno ya que es la ltima clase especfica de prismas y

es necesario ser completada satisfactoriamente para su posterior uso en la clase de volumen de pirmides.

ANALISIS PREVIO

En esta leccin se espera que los educandos no solo tengan conceptos si no que posean en su conocimiento las frmulas

para calcular el rea de diferentes polgonos, as mismo ellos deben saber cmo emplearlas, ahora se llevar ese

conocimiento a un nuevo contenido, el volumen de cuerpos geomtricos ahora bien si los estudiantes no tienen la

informacin o no manejan las formulas dichas se tendr explicar. No obstante en la primer jornada de prctica se

utilizaron algunas de las formulas necesarias para el clculo de rea de polgonos por ello mismo no se debera tener

inconveniente alguno.

7cm

2 cm

5 cm

B= 45 cm2

15 cm 17.3 cm

B= 117 cm2

67

SEPTIMA SESIN FECHA: 01 de diciembre de 2015

Bloque: II




Tema: Medida



Comenzando bien el da el alumno formar una circunferencia con sus compaeros, a continuacin los alumnos Irn diciendo los nmero

consecutivamente al tocar un nmero que sea primo ellos no dirn el nmero simplemente darn una palmada.

Indicaciones. Formen una circunferencia, continuacin irn diciendo los nmero, 1,,2,3,4,5.etc al tocar un nmero primo no van a decirlo

simplemente darn una palmada, por ejemplo: 1,2, palmada, 4, etc.


68

Se busca reforzar sus conocimiento haciendo un repaso de los nmero primos para con ello tambin activar su atencin y poder de

percepcin.

ACTIVIDAD 1: Los discentes: Responden las siguientes preguntas con la finalidad de llegar a la justificacin de la frmula de

una pirmide.

Indicaciones: Contestar los siguientes cuestionamientos a partir de los cuales se har la explicacin de la justificacin de la frmula

de una pirmide.

a) Qu es una pirmide?


- Es una figura tridimensional cuya base es un polgono y sus lados tringulos

- Poliedro de una sola base y que termina en punta

- Prisma cuyos lados pueden ser de diferentes formas

Respuesta correcta:

La pirmide es un poliedro que tiene una sola base y tantas caras laterales en forma de tringulos como lados tenga la base y que

se unen en un punto denominado vrtice.

69

b) Cmo calcularas su volumen?


- De la misma forma que en los prismas

Orientaciones didcticas: Para la resolucin de los cuestionamientos se toma la participacin de cada uno de los alumnos de

forma ordenada, las respuestas son anotadas en el pizarrn para que de forma general los alumnos obtengan una definicin de

pirmide y para verificar los conocimientos previos de los alumnos y a partir de ellos partir a la explicacin.

Propsito de la sesin: Deduccin de la frmula para calcular el volumen de una pirmide a partir del llenado de un prisma con el

volumen de una pirmide.

ACTIVIDAD 2: Realizan la siguiente actividad en parejas con el objetivo de comprobar su respuesta y as mismo justificar la

frmula.

Indicaciones: Con la pirmide y el prisma solicitados la clase anterior realicen lo siguiente:

a) Una de las bases de cada solido no se pega (tendr la funcin de la tapa).

b) Llenen la pirmide de alpiste o de cualquier otro material. Esta ser la unidad de medida.

c) Contesta las siguientes cuestiones.

- Cuntas pirmides llenan el prisma?

70

Respuesta correcta:

3 pirmides llenan un prisma.

- Con la ayuda de su regla tomen las medidas del prisma, Qu volumen tiene? R= 838.5 cm3

Esto mismo ocurrira con figuras ms grandes o pequeas si tuvieran caractersticas similares?

Explicacin del docente:

Altura: es la distancia vertical que hay de la base al vrtice de la pirmide.

La pirmide regular tiene de base un polgono regular y sus caras laterales iguales.

71

La pirmide irregular tiene de base un polgono irregular.

En la pirmide recta todas sus caras laterales son tringulos issceles y la altura cae al punto medio de la

base.

Demostracin

Considere la pirmide triangular S.ABC de altura h. Trace AD k SB, CE k SB con AD SB CE, luego el slido ABCSDE es un

prisma triangular que tiene la misma base y la misma altura de la pirmide S.ABC.

El volumen del prisma es igual a: Vprisma = (ABC) h, pero observe que el prisma est formado por dos pirmides, S .ABC Y S. ACDE,

cuya base es un paralelogramo, por lo tanto se cumple que ACD ECD, luego VS.ACD VS.ECD As entonces Vprisma = VS.ABC +

VS.ACD + VS.ECD.

ABC DES, entonces VS.ABC = VS.DEC

Vprisma = 3VS.ABC

VS.ABC =1

3 Vprisma

VS.ABC = 1

3 (ABC) h

Donde ABC representa en rea de la base.

El volumen de una pirmide es un tercio del producto de su altura y el rea de la base.

72

Propsito de la sesin: Reconocimiento de los conocimientos previos para la construccin de la definicin y la frmula para calcular

el volumen de una pirmide.

Orientaciones didcticas: Los alumnos en parejas rellenan un prisma con una pirmide y contestan los cuestionamientos, se

observa el trabajo en equipo y las respuestas son revisadas de forma grupal para que los alumnos comiencen a deducir la frmula.

Medir el prisma para el clculo de su volumen ayuda a que los alumnos se plateen algunos cuestionamientos los cuales se resuelven

con una explicacin posterior a la actividad.

Propsito de la sesin: Aplicacin de los conocimientos obtenidos en la resolucin de ejercicios que impliquen el empleo de la

frmula para calcular el volumen de cualquier pirmide.

Resuelven los siguientes ejercicios a partir de la explicacin dada por el docente.

Indicaciones: Calcular el volumen de las siguientes pirmides:

a) Una pirmide triangular cuya base es un tringulo equiltero de lado 1.5 cm, tiene una altura (H) de 3.6 cm y la altura (h)

de la base mide 0.43 cm. Calcula el volumen de la pirmide redondeando a dos cifras decimales.

73

Respuesta:

=(1.5)(0.43)

2

= 0.3225

= 1

3( )()

=(0.3225)(3.6)

3

= 0.387 3

74

b) Por lo general las famosas pirmides de Egipto son pirmides cuadrangulares. La pirmide de Keops es una de las ms

famosas. Aproximando sus medidas podemos afirmar que tiene por base un cuadrado de lado 230.35 m y una altura de

146.61 m, calcula el volumen que ocupa dicha pirmide. Redondea a dos cifras decimales en los casos que sea necesario.

75

Orientaciones didcticas: La actividad es dada en una hoja de trabajo y es resuelta de forma individual, se observa si los alumnos

aplican de forma correcta la frmula y se revisan los resultados mediante las participaciones de los alumnos.

Respuesta :

= (230.35)(230.35)

= 53061.12

= 1

3( )()

=(53061.12)(146.61)

3

=(7779290.80)

3

= 2593096.93.04 3

ANALISIS PREVIO

En esta sesin se considera no habr muchas dificultades con los discentes puesto que son ejercicios bsicos y

prcticos con los cuales ellos pueden comprender fcilmente las formulas ya que estamos hablando de volmenes,

caras, aristas, etc. Es decir lo visto desde la primera sesin. Si se tuvieran algunos conflictos al trabajar demasiados

decimales se pedir a los chicos solo tomen dos cifras despus del punto decimal.

76

OCTAVA SESIN FECHA: 02 de diciembre del 2015

Bloque: II




Mediante plantillas los alumnos aprenden de manera didctica

a justificar volmenes.

As mismo se repasa lo aprendido.

Tema: Medida



Comenzando bien el da

El alumno mediante la observacin de una figura deber contabilizar los tringulos equilteros que hay dentro, para con

ello poder iniciar la sesin de manera enfocada, tratando de captar el inters del estudiante y despertar su razonamiento

matemtico.

77

Indicaciones.

Responde la siguiente cuestin: Cuntos tringulos equilteros hay en la siguiente figura? R= 60 tringulos.


Se llevaran impresiones para poder entregar a los alumnos de manera que puedan resolver ah mismo y posteriormente

pegarla en su libreta, as evitando llevar demasiado tiempo en esta actividad.

78

MOMENTO 1:

Los discentes:

Reafirman el contenido de volumen de cubos, prismas y pirmides rectos, para esto realizan la construccin de los cuerpos

geomtricos.

Indicaciones: En equipos de tres personas, armarn los siguientes prismas y pirmides, posteriormente colocarn las figuras en

un cartn o papel cascarn y as mismo pondrn la frmula correspondiente a cada figura.

79

Respuestas:

81

Propsito de la actividad: Identificacin del volumen de cada cuerpo geomtrico aplicando y reforzando lo aprendido en las clases

anteriores.

Estrategias didcticas: Durante la actividad, el docente pasa con cada equipo a verificar que estn realizando lo que se les

indic, los alumnos trabajan con los desarrollos de las figuras que el profesor les proporcion y con un pedazo de papel cascarn

que se les ha pedido que trajeran. Al terminar de armar y colocar las figuras, miden uno de los lados de la base de la figura para

obtener el rea de la base y sacar el volumen de cada cuerpo, conforme terminen se pasa a revisar a sus lugares.

1. Indicaciones: Calcula el volumen de los siguientes prismas:

82

=

= (7 2 )(5 ) = (14 2)(5 )

= 70 3

= = (45 2)(15 )

= 675 3

= = (117 2)(17.3 )

= 2024.1 3

Propsito de la actividad: Identificacin del volumen de cada cuerpo geomtrico aplicando y reforzando lo aprendido en las clases

anteriores.

ANALISIS PREVIO

Esta al ser la ultima sesin donde se impartir clase, puede haber algunos conflictos con el control de grupo, ya que

algunos alumnos saben que solo vamos a prcticar y estarmos un cierto tiempo, por otro lado se debe procurar seguir

con la misma postura que haya funcionado en cuanto a control de orden, sin olvidar que no se debe reprimir a los

adolescentes.

7cm

2 cm

5 cm

B= 45 cm2

15 cm 17.3 cm

B= 117 cm2

83

En pro del contenido podra haber algunas dificultades al comprender la relacion entre el rea para calcular el volumen

de piramides y prismas, otro posible problema es que al llevar material didactico los estudiantes se en vez de

concentrarse se distraigan, o comiencen a jugar y utilizar el materia con otros fines, si esto llegase a suceder se tendra

que cambiar la dinamica de inmediato, por ejemplo se podra llevar a los alumnos a la sala de medios y ponerles un video

donde se explique el contenido (esto debera premeditarse y prepararse con anterioridad, si es un grupo muy inquieto,

donde pudiese suceder esto).

Por ultimo puede que los prvulos no encuentren dica relacion y por lo tanto no podran establecer la formula para la

obtencion de volumen en una piramide, en este caso el docente tendr que otorgar la formula y dispersar las dudas

existentes.

84

RECURSOS DIDCTICOS EVALUACIN

-hojas de trabajo

-hojas de colores

-figuras geomtricas

-regla

- Lista de cotejo

- Participacin

- Material

85

Bibliografa:

Sep (1990). Matemticas 1, Corporacin editorial, Estado de Mxico, pp.401-402.

Nichols E.D., Palmer, W.F. y Schacht J.F. (1996). Geometra moderna, Continental, Mxico, pp. 529.

ODaffer P.G., Clemens S.R. y Charles R.I. (1992). Prealgebra, Addison-Wesley, Wilmington, Delaware, E.U.A., pp. 390.

86

Elabor

DE RIO RODRGUEZ ANALLELY SOLORZANO NERY JULIETA

Vo. Bo. _______________________________

MARLENY HERNANDEZ ESCOBAR

__________________________________

Enrique Parrado Manzano ASESOR TITULAR TUTOR

Planificacion Segundo Grado 138 (2)

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