Poligonos

ÁREA : MATEMÁTICA

POLÍGONOSPROF: JAIME QUISPE

CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451

2013

¿Qué es un Polígono?

El Polígono es la figura geométrica cerrada que resulta de unir, mediante segmentos de recta y en forma consecutiva, tres o más puntos no colineales.

A

B

C D

ERegión interior

F

Región exterior

Frontera

Un polígono determina en el plano una región interior y una región exteriorEl polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones

ELEMENTOS DE UN POLIGONO

LADOS: Son los segmentos de recta que determina el polígono.

VERTICES: Se llama vértice al punto común de dos lados.

DIAGONAL: Es el segmento determinado por dos vértices no adyacentes EC

ELEMENTOS DE UN POLIGONO

ÁNGULOS INTERNOS: Son los ángulos en cada vértice y que están en la región cerrada

ÁNGULOS EXTERNOS: Son los formados por un lado del polígono convexo ( CD ) y la prolongación de su adyacente ( DE ). El ángulo CDE es el Angulo exterior del polígono.

PERIMETRO: Es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono, es decir, la longitud de la frontera del polígono.

Medida del ángulo central

A

B

C

DE

Diagonal

Vértice

Medida del ángulo externo

Lado

Medida del ángulo interno

Centro

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

NOMBRES DE LOS POLIGONOSNÚMERO DE LADOS NOMBRE DEL POLÍGONO

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTERO

PENTÁGONO

HEXÁGONO o EXÁGONO HEPTÁGONO o EPTÁGONO

OCTÁGONO o OCTÓGONO

NONÁGONO o ENEAGÓNO

DECÁGONOENDECÁGONO

DODECÁGONOPENTADECÁGONO

ICOSÁGONO

Los demás polígonos se nombra diciendo polígonos de “n” lados

De acuerdo a sus medidas de sus elementos los polígonos pueden ser:

CLASIFICACION DE LOS POLÍGONOS

Polígonos Convexos.- Cuando todos sus ángulos interiores miden menos de 180º, o cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.

A

B

CD

P

Q

Recta secante

Polígono Cóncavo: Al menos uno de sus ángulos interiores miden mas de 180°; también se le reconoce, cuando al trazar una secante lo corta en mas de dos puntos.

CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS

A B

C

D

180º 360º

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Polígonos Equiláteros .- Cuando todos sus lados son de la misma longitud.

Ejemplos: El triangulo equilátero, el cuadrado y el octágono.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Polígono Equiángulo.- Sus ángulosinteriores son de igual medida.Ejemplo: El triángulo equilátero, el

cuadrado , el rectángulo, el hexágono.

Polígonos Regulares: Si los lados y los ángulos interiores son congruentes

Polígonos Irregulares: Son aquellos que tienen uno o mas lados que no miden lo mismo, o que sus ángulos no tienen la misma medida

CLASIFICACION DE LOS POLIGÓNOS

A

B C

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOSEn un polígono se cumple; el número de lados, número de vértices, número de ángulos interiores y número de ángulos exteriores (uno por vértice) son iguales.

• Lados

• Vértices

• Ángulos interiores

• Ángulos exteriores

• Ángulos centrales

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

1.- La suma de las medidas de los ángulos internos (Sint) es

)2n(º180S int donde:

Sint = Suma de los ángulos internos

n = Números de lados del polígono


2.- En un polígono regular todos sus ángulos interiores son congruentes, entonces la medida de uno de sus ángulos interiores es

donde:

n

)2n(º180int


3.- La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º

Se = 360°

+ + + + = 360º


4.- En un polígono regular todos sus ángulos exteriores son congruentes, luego la medida de uno de sus ángulos exteriores es

n

º360ext

5.- El valor de un solo ángulo central ( ) de un polígono regular convexo de “n” lados es

n

º360


6.- El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono esta dado por la siguiente relación d = n – 3

7.- El número total de diagonales de un polígono de “n” lados es

2

)3n(nD


7.- Las diagonales que se trazan de un vértice, descomponen al polígono convexo, en tantos triángulos como lados tienen menos 2

2nN s

28N s

6N s


8.- Al unir los vértices de un polígono convexo, con un punto que se encuentra sobre uno de sus lados, el polígono queda descompuesto en tantos triángulos como lados tenga menos uno

1nN s

18N s

7N s


9.- Al unir los vértices de un polígono convexo, con un punto que se encuentra en su interior, el polígono queda descompuesto en tantos triángulos como lados tenga

nN s

6n

6N s

Calcula la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero y hexágono

180°( 4 - 2 )

= 360º

Si = 180°( n – 2)

Del enunciado:

Luego, reemplazando :

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

180°( 6 - 2 )

= 720º

Si = 180°( n – 2)

Del enunciado:RESOLUCIÓN

180°( 2 )180°( 4 )

Luego, reemplazando :

n = 4n = 6

Como se llama el polígono convexo, cuya suma de las medidas de los ángulos interiores es 1620º

1620º = 180º ( n - 2 )

Si = 180 ( n – 2 )

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

180

16202n

Despejando ( n – 2 ):

n – 2 = 9 n = 11

endecágono

Calcula la medida de cada ángulo interior de un octágono regular

Del enunciado:

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

n

)2n(180int

8

)6(180int

8

)28(180int

º135int

Cuantas diagonales en total tiene un icoságono

Del enunciado:

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

2

)3n(nD

2

)320(20D

10 ( 17 ) 170

En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono.

360° + 180°( n - 2 ) = 1980°

Se + Si = 1980°

Resolviendo: n = 11 ladosn = 11 lados

Número de diagonales:

2

)3n(nND

2

) 311 ( 11ND

ND = 44ND = 44

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo

mi = 8(me )


Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados

Polígono es regular:

)n

360(8

n

)2n(180

Problema Nº 02

Del enunciado:

Reemplazando por las propiedades:

Luego polígono es regular se denomina:

RESOLUCIÓN

Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75.


Luego, el número total de diagonales:

2

)3n(nND

2

) 315 ( 15ND

ND = 90ND = 90

2

) 3n ( n

ND = n + 75

= n + 75

n2 - 5n - 150 = 0

Problema Nº 03

Del enunciado:

Reemplazando la propiedad:

RESOLUCIÓN

Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es:


NV= 5 vérticesNV= 5 vértices


Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n+1) lados

1n

) 21n (180 12

n

) 2n (180

Número de lados = Número de vértices

Problema Nº 04

Del enunciado:

Reemplazando por la propiedad:

RESOLUCIÓN

El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de sus vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono.


mc = 40°


2

)3n(n = 3n

Luego, la medida de un ángulo central:

n

360m c

9

360m c

Del enunciado:

RESOLUCIÓN

ND = 3nReemplazando por la propiedad:

Problema Nº 05

EVALUACION MARCA LA RESPUESTA CORRECTA1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es

cinco veces el numero de ladosa) 10 b) 12 c) 13 d) 15

2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de 900..Hallar su numero de diagonalesa)10 b) 12 c) 13 d) 14

3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene 170 diagonalesa)10º b) 12º c) 13º d) 18º

4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados, la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

¿cuál

sera?

Poligonos

Education

Transcript of Poligonos