GEOMETRÍA

Figura geométrica formada por la unión de tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta no secantes, de tal manera que dicha figura limite una región del plano.

ELEMENTOS

Vértices:A; B; C; D; E y F

Lados:

NOTACIÓN

Polígono ABCDEF

ELEMENTOS ASOCIADOS AL POLÍGONO

ÁNGULOS DETERMINADOS

Medida de los Ángulos Interiores

α1; α2; α3; α4; α5; α6

Medida de los Ángulos Exteriores

ω1; ω2; ω3; ω4; ω5; ω6

LÍNEAS ASOCIADAS

Diagonal ( )

Segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.

Diagonal Media ( )Segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

Por la región que limitan

POLÍGONO CONVEXOEs aquel polígono cuyo interior es una región convexa.

POLÍGONO NO CONVEXO (CÓNCAVO)Es aquel polígono cuyo interior es una región no convexa.

Por las medidas de sus elementos(Lados y ángulos)

POLÍGONO EQUILÁTEROEs aquel polígono cuyos lados tiene la misma longitud.Un polígono equilátero puede ser convexo o no convexo (cóncavo)

A

B

C

D

E

F

α1

α2

α3 α4

α5

α6

ω1

ω2ω3

ω4

ω5

ω6

A

B

C

D

E

F

M

N

Si A y B que pertenecen a la región P, tal que P.

P: es una región convexa

Polígono Convexo

M

NREGIÓN Q

Q: es una región no convexa

A

B

REGIÓN P

Polígono no Convexo o Cóncavo

a

aa

a

a

a

b

bb

b

b

b

Si M y N que pertenecen a la región Q,

Q.

Perímetro = n.(longitud del lado)

Academia “ADUNI INGENIEROS”

POLIGONO EQUIÁNGULOEs aquel polígono cuyos ángulos interiores tienen medidas iguales y sus ángulos exteriores también tienen medidas iguales.Todo polígono equiángulo es convexo.

POLÍGONO REGULAREs aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a una circunferencia.

Ángulo Central ( AOB)Ángulo cuyo vértice es centro del polígono regular y cuyos lados contiene a dos vértices consecutivo.

O: centro del polígono regular (punto de concurrencia de la mediatrices de los lados).

PROPIEDADES DEL POLÍGONO

En todo polígono de n lados

Suma de medidas angulares interiores

Suma de medidas angulares exteriores

NÚMERO DE DIAGONALES

Número de diagonales trazadas desde un vértice.

Número total de diagonales.

NÚMERO DE DIAGONALES MEDIAS

Número de diagonales medias desde un punto medio.

Número total de diagonales medias.

RESUMEN

n NOMBRESm

iD DM

3 TRIÁNGULO 180º 0 3

4 CUADRILÁTERO 360º 2 6

5 PENTÁGONO 540º 5 10

6 HEXÁGONO 720º 9 15

7 HEPTÁGONO 900º 14 21

8 OCTÓGONO 1080º 20 28

9NONÁGONOENEÁGONO

1260º 27 36

10 DECÁGONO 1440º 35 45

11UNDECÁGONOENDECÁGONO

1620º 44 55

12 DODECÁGONO 1800º 54 66

15PENTADECÁGON

O2340º 90 105

20 ICOSÁGONO 3240º 170 190

A los demás polígonos se les menciona por su número de lados. (Polígono de 13 lados)

αω

α

α

αα

α

ω

ωω

ω

ω

ω

a

α

α

α α

α α

O

a

a

a

a

a

a

a

α

α

A

B

# vértices = # lados = #ángulos internos = n

Sm i = 180º(n - 2) (convexos y no convexos)

Sm e = 360º (convexos)

D un vértice = (n - 3)

Dtotales =

D un punto medio = (n - 1)

Dmedias =

Academia “ADUNI INGENIEROS”

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el número de diagonales de un pentadecágono.a) 45 b) 80 c) 90d) 100 e) 120

02. Como se llama el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40ºa) Octágono b) Dodecágonoc) Pentágono d) Nonágonoe) Hexágono

03. ¿En qué polígono el número de diagonales es igual al número de lados?a) Hexágono b) Pentágono c) Heptágono d) Octágonoe) Nonágono

04. Hallar la suma de ángulos internos del polígono que tiene 54 diagonales.a) 1260º b) 1080º c) 900ºd) 1440º e) 1620º

05. Calcular el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es igual al triple del número de lados.a) 10 b) 11 c) 12d) 9 e) 8

06. Del gráfico ABCDEF es un hexágono regular; calcular “x”

a) 30º b) 15º c) 20ºd) 45º e) 60º

07. La diferencia entre el ángulo interno y el ángulo externo de un polígono regular es igual a la medida de su ángulo central. ¿Cómo se llama el polígono?a) Triángulo b) Pentágonoc) Hexágono d) Cuadriláteroe) Heptágono

08. El lado de un polígono regular mide 8m. ¿Cuántos lados tiene el polígono si su

número total de diagonales equivale a cuatro veces su perímetro?a) 67 b) 56 c) 72d) 36 e) 52

09. Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número de lados, entonces la suma de sus ángulos internos se duplica. Hallar el número de vértices del polígono.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Cómo se llama el polígono en el cual al aumentar su número de lados en tres, su número total de diagonales aumenta en 15?a) Pentágono b) Hexágonoc) Triángulo d) Heptágono e) Octágono

11. Si la relación entre el ángulo interior y exterior de un polígono regular es de 7 a 2. Hallar el número total de sus diagonales.a) 27 b) 20 c) 35d) 44 e) 56

12. Determinar el número de lados de un polígono, donde el número de diagonales es igual a ocho veces el número de lados.a) 15 b) 16 c) 17d) 19 e) 18

13. Hallar el número de diagonales de un pentágono.a) 80 b) 70 c) 90d) 100 e) 85

14. Los lados de un polígono regular miden 3cm, su número de diagonales es numéricamente igual a su perímetro. Hallar el número de lados.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

15. El lado de un polígono regular mide 4cm, su perímetro es numéricamente igual al número de diagonales. Encontrar la suma de las medidas de los ángulos interiores.a) 1540º b) 1620º c) 1630ºd) 1650º e) 1610º

16. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular es igual a 56 veces la medida de un ángulo recto.

Academia “ADUNI INGENIEROS”

Hallar la medida de uno de los ángulos centrales. a) 8º b) 10º c) 12ºd) 14º e) 15º

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. El ángulo interior de un hexágono regular mide:a) 60º b) 120º c) 72ºd) 108º e) 150º

02. Como se llama el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 72º.a) Cuadrilátero b) Pentágonoc) Hexágonod) Octágono e) Decágono

03. ABCDE…….. es un polígono de 20 lados.

Calcular “x” a) 38º b) 20º c) 18ºd) 36º e) 27º

04. Si el ángulo central de un polígono regular mide 30º. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?a) 35 b) 54 c) 44d) 90 e) 100

05. ¿Cuántos ángulos internos tiene el polígono cuyo número de diagonales es igual al número de sus lados?a) 4 b) 3 c) 5d) 6 e) 8

06. Determinar la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantas diagonales como número de lados.a) 180º b) 360º c) 540ºd) 720º e) 900º

07. Calcular el número de lados de aquel polígono en el cual su número de lados más su número de diagonales es 28.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

08. Calcular el número de lados de aquel polígono en el cual al disminuir dos lados su número de diagonales disminuye en 19.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

09. Si se quintuplica el número de lados de un polígono convexo, la suma de las medidas de sus ángulos internos queda multiplicada por seis. ¿Cuál es el polígono?a) Pentágonob) Dodecágonoc) Decágonod) Octágono e) Pentadecágono

10. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3960º?

a) 21 b) 20 c) 22d) 18 e) 24

11. Un polígono convexo de “n” lados tiene “d” diagonales y otro polígono de “2n” lados tiene “5d” diagonales; Hallar “n”.

a) 8 b) 9 c) 7d) 16 e) 24

Academia “ADUNI INGENIEROS”

12. En un polígono regular la relación entre la medidas de un ángulo interior y exterior es como 3 es 2. Calcular el número de lados del polígono.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8