Polinomios Esfera Unidad

II ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMATICAS

Transformación Espectral de Chistoffel ytransformación Szego en polinomios ortogonales

con soporte en la circuferencia unidad

Edinson Fuentes

Matemáticas

Agosto de 2013

Introducción Polinomios Ortogonales Polinomios Ortogonales en la Circuferencia Unidad y Transformaciones Espectrales La Transformación Szego Transformación Espectral En La Recta Real y En La Circunferencia Unidad: Conexión con la transformación Szego Ejemplos a Algunos Polinomios Ortogonales Bibliografía

Tabla de Contenido

1 Introducción

2 Polinomios Ortogonales

3 Polinomios Ortogonales en la Circuferencia Unidad yTransformaciones Espectrales

4 La Transformación Szego

5 Transformación Espectral En La Recta Real y En LaCircunferencia Unidad: Conexión con la transformación Szego

La transformación de Christoffel.La transformación de Uvarov.La transformación de Geronimus.

6 Ejemplos a Algunos Polinomios Ortogonales

7 Bibliografía

Edinson Fuentes Transformación Espectral de Chistoffel y transformación Szego en polinomios ortogonales con soporte en la circuferencia unidad


Ecuación de Legrende de orden n

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria de segundogrado no lineal

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0

Se conoce como la ecuación de Legrende de orden n, sepresenta con mucha frecuencia enestudios avanzados dematemáticas aplicadas, en física e ingeniería



Pólinomios de Legendre

Si n ∈ Z no negativo, y solucionandola en terminos de seriesde potencias alrededor de x = 0 (ya que este es un puntoordinario de la ecuación de Legendre ) obtenemos.

P0(x) = 1, P1(x) = x

P2(x) = 12(3x2 − 1), P3(x) = 1

2(5x3 − 3x)

P4(x) = 18(35x4 − 30x2 + 3), P5(x) = 1

8(63x5 − 70x3 + 15x)

...



Ecuación de Legrende de orden n

P0(x) = 1, es solución de (1− x2)y′′ − 2xy′ + 0y = 0

P1(x) = x, es solución de (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0

P2(x) = 12(3x2 − 1), es solución de (1− x2)y′′ − 2xy′ + 6y = 0

P3(x) = 12(5x3 − 3x), es solución de (1− x2)y′′ − 2xy′ + 12y = 0

...



Tambien estos polinomios satisfacen la siguiente relación derecurrencia a tres términos

(n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)− nPn−1(x)

donde P−1(x) = 0

Existe una manera practica de encontrar los polinomios deLegendre por diferenciación conocidad como La fórmula deRodrigues.

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 − 1)n



Polinomios de Jacobi

Pα,βn (x) =(−1)n

2nn!(1− x)−α(1 + x)−β

dn

dxn((1− x)n+α(1 + x)n+β)

con α, β > −1, donde w(x) = (1− x)α(1 + x)β se conoce comola función peso.



Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son un caso particular de lospolinomios de Jacobi cuando α = β = 0 y cumplen∫ 1

−1Pn(x)Pm(x)dx = δn,mKn, donde Kn ∈ R



Tchebichev segunda especie

Si α = β = −12 son los Polinomios de Tchebichev de primera

especie y son ortogoales con respecto a la función pesow(x) = 1√

1−x2 , es decir∫ 1

−1Pn(x)Pm(x)

1√1− x2

dx = δn,mKn, donde Kn ∈ R

Tchebichev segunda especie

Si α = β = 12 son los Polinomios de Tchebichev de segunda

especie y son ortogoales con respecto a la función pesow(x) =

√1− x2, es decir∫ 1

−1Pn(x)Pm(x)

√1− x2dx = δn,mKn, donde Kn ∈ R



Sección 1. Polinomios Ortogonales

Sección 1. Polinomios OrtogonalesDefiniciones y propiedades generales.



Sucesión de Polinomios Ortogonales

Sea µ una medida, positiva no trivial de Borel, con soporte enun subconjunto E de la recta real. La sucesión de polinomios{pn}n≥0 con

pn(x) = γnxn + δnx

n−1 + · · · , γn > 0

Es llamado una sucesión de polinomios ortogonales asociadoscon µ if ∫

Epn(x)pm(x)dµ(x) = δm,n, m, n ≥ 0

Ejemplo Los polinomios ortogonales de jacobi con α, β > −1

dµ(x) = (1− x)α(1 + x)βdx = w(x)dx



Polinomios mónicosLos correspondientes polinomios ortogonales monicos, cuyocoeficiente principal es igual a 1 son,

Pn(x) =pn(x)

γn

Relación de Recurrencia a Tres TérminosLa sucesión {pn(x)}n≥0 satisface la siguiente relación derecurrencia a tres términos

xpn(x) = an+1pn+1(x) + bnpn(x) + anpn−1(x), n ≥ 0 (1)

con an = γn−1

γn> 0, n ≥ 1, y bn = δn

γn− δn+1

γn+1, n ≥ 0.



Matriz de Jacobi JLa representación matricial de (1) es

xp(x) = Jp(x)

donde p(x) = [p0(x), p1(x), . . .]t y J es la matriz tridiagonal

J =

b0 a1 0 0 · · ·a1 b1 a2 0 · · ·

0 a2 b2 a3. . .

0 0 a3 b3. . .

......

. . . . . . . . .

J es llamada la matriz de Jacobi.



Matriz de Jacobi monica JSi la sucesión de polinomios es monica La representaciónmatricial de (1) es

xP (x) = JP (x)

donde P (x) = [P0(x), P1(x), . . .]t y J es la matriz tridiagonalsimétrica

J =

b0 1 0 0 · · ·a2

1 b1 1 0 · · ·

0 a22 b2 1

. . .

0 0 a23 b3

. . ....

.... . . . . . . . .

J es llamada la matriz de Jacobi monica.



Funciones de segunda especie asociadas a µ

La función de Stieltjes

S(x) = S0(x) =

∫E

dµ(t)

x− t

tiene una gran importancia en la teoría de polinomiosortogonales, y admite el siguiente desarrollo en serie en elinfinito

S(x) =

∞∑k=0

µkxk+1

donde µk son los momentos asociados con µ dados por

µk =

∫Exkdµ(x), k ≥ 0.



Transformación canónica de Christoffel

Dada una medida µ soportada en la recta real, ver([1],[4]) Laperturbación dµ = (x− β)dµ, β /∈ supp(µ) es la llamadatransformación canónica de Christoffel.Esta es una transformación espectral lineal

EjemploConsideremos los polinomios de Jacobi con β = 1 y α = 0

dµ = (1 + x)dx = dx+ xdx



Transformaciones Espectrales Lineales En La Recta Real

Dada una medida µ soportada en la recta real, consideremostres modelos canónicos ver([1],[4])

La perturbación dµ = (x− β)dµ, β /∈ supp(µ) es la llamadatransformación canónica de Christoffel.La perturbación dµ = dµ+Mrδβ, β /∈ supp(µ), Mr ∈ R esla llamada transformación canónica de Uvarov.La perturbación dµ = dµ

x−β +Mrδβ, β /∈ supp(µ), Mr ∈ R esla llamada transformación canónica de Geronimus.



Transformaciones Espectrales Racional

Llamaremos transformación espectral racional de una funciónde Stieltjes S(x), a una transformación

S(x) =A(x)S(x) +B(x)

C(x)S(x) +D(x)

donde A(x), B(x), C(x), D(x) son polinomios en la variable x yAD −BC 6= 0. Si C(x) = 0 la transformación racional se dicelineal. Las tres perturbaciones canónicas mencionadasanteriormente corresponden a transformaciones espectraleslineales de las correspondientes funciones de Stieltjes.



Sección 2. Polinomios Ortogonales en la CircunferenciaUnidad y Transformaciones Espectrales

Sección 2. Polinomios Ortogonales en la Circunferencia Unidad yTransformaciones Espectrales

Definiciones y propiedades generales.



Transformaciones Espectrales Racional

Sea σ una medida, positiva no trivial de Borel, con soporte enla circunferencia unidad T = {z ∈ C : |z| = 1}. Entonces existeuna sucesión {ϕn≥0} de polinomios ortogonales

ϕn(z) = κnzn + · · · , κn > 0

que satisface∫ π

−πϕn(eiθ)ϕm(eiθ)dσ(θ) = δm,n, m, n ≥ 0. (2)

La correspondiente sucesión de polinomios monicos estadefinidos por

Φn(z) =ϕn(z)

κn



La sucesión {Φn}n≥0 tambien satisface las siguientes formulasde recurrencia (ver [5,13,14])

Φn+1(z) = zΦn(z) + Φn+1(0)Φ∗n(z), (3)

Φ∗n+1(z) = Φ∗n(z) + Φn+1(0)zΦn(z), (4)

y los números complejos {Φn(0)}n≥0 son llamados coeficientesVerblunsky. Ademas |Φn(0)| < 1

Si Φn(z) =∑n

k=0 akzk un polinomio de grado n entonces el

polinomio reverso es

Φ∗n(z) =

n∑k=0

akzn−k = znΦ(1/z)



ck, es el momento asociado con la médida σ, definido por

ck =

∫ π

−πeikθdσ(θ)

En estas condiciones, podemos introducir una función analíticaen términos de los momentos (desarrollo en serie de Tayloralrededor de z = 0) {cn}n≥0 asi

F (z) = c0 +

∞∑k=1

c−kzk

F (z) es analítica en el interior del disco unidad y <eF (z) > 0en este disco. F (z) es llamada función de Carathéodory ypuede ser representada como una transformaciónRiesz-Herglotz de σ así

F (z) =

∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zdσ(θ)



Transformación canonica de Christoffel

La pertubación dσ = |z − α|2dσ, |z| = 1, α ∈ C, es llamada latransformación Christoffel (Ver [10]).Esta transformación corresponde, de una manera análoga a ladel eje real



Se consideraran tres transformaciones canónicas para [3]

La pertubación dσ = |z − α|2dσ, |z| = 1, α ∈ C, es llamadala transformación Christoffel (Ver [10]).La pertubación dσ = dσ +Mcδα + Mcδα−1, α ∈ C− 0,Mc ∈ C, esta es llamda transformación Uvarov (Ver [8])La pertubación dσ = dσ

|z−α|2 , |z| = 1, α 6= 1, es llamada latransformación Geronimus (Ver [4,6,9]).

Estas tres transformaciones corresponden, de una maneraanáloga a la del eje real, a las transformaciones lineales de lasfunciones Carathéodory correspondientes.



Sección 3. La Transformación Szego

Sección 3. La Transformación Szegola transformación de Szego, establece una relación entremedidas soportadas en el intervalo [−1, 1] de la recta realy ciertas medidas soportadas en la circunferencia unidad.De igual manera existe una relación entre los coeficientesde la relación de recurrencia a tres términos para lospolinomios ortogonales en la recta real y los parámetrosde Verblunsky asociados a la correspondiente medidasoportada en la circunferencia unidadSe muestra una manera sencilla de calcular dichosparámetros de Verblunsky, que está relacionada con lafactorización LU de la matriz de Jacobi asociada con lamedida en la recta real



MedidasPara una médida positiva, no trivial µ, con soporte en [−1, 1],podemos definir una medida σ en [−π, π] así

dσ(θ) =1

2|dµ(cos θ)| (5)

Si dµ(x) = ω(x)dx, entonces

dσ(θ) =1

2ω(cos θ)| sin θ|dθ



Si µ es una médida de probabilidad, es decir∫ 1

−1dµ(x) = 1,

entonces σ es tambien una médida de probabilidad en elcirculo unitario T = {z ∈ C : |z| = 1} es decir∫ π

−πdσ(θ) = 1

Y entonces existe una sucesión de polinomios ortogonales quesatisface (2), así como los correspondientes polinomiosortogonales mónicos. En este caso

Φn(0) ∈ (−1, 1), n = 1, 2, 3, ...



TeoremaLa sucesión de polinomios ortogonales {Φn}n≥0 en el círculounidad asociado con la medida σ tiene coeficientes reales.Además, si x = (z+z−1)

2 entonces

pn(x) =κ2n√

1 + Φ2n(0)[z−nΦ2n(z) + znΦ2n(1/z)]

Por otro lado, los coeficientes de las relaciones de recurrencia(1), (3) y (4) están relacionados por [5]

2an =√

[1− Φ2n(0)][1− Φ22n−1(0)][1 + Φ2n−2(0)], n ≥ 1 (6)

2bn = Φ2n−1(0)[1−Φ2n(0)]−Φ2n+1(0)[1 + Φ2n(0)], n ≥ 0 (7)



TeoremaSea µ una médida de probabilidad con soporte en el intervalo[−1, 1] y sea σ la médida de probabilidad con soporte en elcírculo unitario asociado con µ via la transformación Szego.Sea {Φn(0)}n≥0 son los coeficientes de de Verblunskyasociados con σ y {a2

n}n≥1, {bn}n≥0 son los coeficientes de larelación de recurrencia asociado con los polinomiosortogonales con respecto a µ. Entonces para n ≥ 0

Φ2n(0) = wn + vn − 1, Φ2n+1(0) =wn − vnwn + vn

dondewn = 1− bn − a2

n(wn−1)−1 (8)

vn = 1 + bn − a2n(vn−1)−1 (9)

Son llamadas en la literatura las relaciones inversas deGeronimus (Ver[5])



Si definimos la sucesión {uk}k≥1, con

uk =1

2(1− Φk(0))(1 + Φk−1(0)) (10)

obtenemosa2k = u2ku2k−1, k ≥ 1 (11)

bk + 1 = u2k + u2k+1, k ≥ 0 (12)

y obtenemos una única factorización J + I = LU .

L =

1 0 0 0 · · ·u2 1 0 0 · · ·

0 u4 1 0. . .

0 0 u6 1. . .

......

. . . . . . . . .

U =

u1 1 0 0 · · ·0 u3 1 0 · · ·

0 0 u5 1. . .

0 0 0 u7. . .

......

. . . . . . . . .



Por lo tanto de (10)

Φk(0) = 1− 2uk1 + Φk−1

(0) (13)

o

Φk(0) = 1−2uk

2−2uk−1

2−2uk−2

2−. . .

2−2u2

2− 2u1

(14)

se obtiene una sucesión que se puede utilizar para determinarde una manera muy simple los coeficientes de VerblunskyΦk(0) de la medida σ con soporte en el círculo unidad.



Funciones de Stieltjes y Carathéodory

Como los momentos {cn}n≥0 son reales por lo tanto la funciónde Carathéodory F (z) asociado con σ tiene coeficientes reales.entonces existe una relación entre la función Stieltjes y lafunción de Carathéodory asociadas con µ y σ respectivamente,así

F (z) =1− z2

2z

∫ 1

−1

dµ(t)

x− t=

1− z2

2zS(x) (15)

con x = z+z−1

2 , z = x+√x2 − 1 (Ver[12])

F (z) =

∫ π

−π

eiθ + z

eiθ − zdσ(θ) =

1− z2

2z

∫ 1

−1

dµ(t)

x− t=

1− z2

2zS(x)



Sección 4. Transformación Espectral En La Recta Real y EnLa Circunferencia Unidad: Conexión con la transformaciónSzego

Sección 4. Transformación Espectral En La Recta Real y En LaCircunferencia Unidad: Conexión con la transformación Szego

El objetivo es aplicar la transformación espectral lineal deChriistoffel a la función de Stieltjes S(x) (asociada a lamedida µ) y estudiar la transformada de lacorrespondiente función de Carathéodory F (z) por mediode la transformación Szego



La transformación de Christoffel.

La transformación de Christoffel.

Consideremos la transformación de Christoffel de S(x) dadapor

S(x) =(x− β)S(x)− 1

µ1 − β(16)

que representa la perturbación de la medida de probabilidad µ

dµ =x− βµ1 − β

dµ,

Como µ es una medida de probabilidad entonces µ también esuna medida de probabilidad.



Sustituyendo (15) en (16)

2z

1− z2F (z) =

( z+z−1

2 − β) 2z1−z2F (z)− 1

µ1 − β

F (z) =( z+z

−1−2β2 )F (z)− 1−z2

2z

µ1 − β

F (z) =(z2 − 2βz + 1)F (z) + z2 − 1

2z(µ1 − β)

Entonces, la transformación resultante para la función deCarathéodory se puede representar mediante latransformación espectral racional lineal

F (z) =A(z)F (z) +B(z)

D(z)

con A(z) = (z2−2βz+1)2(µ1−β) , B(z) = z2−1

2(µ1−β) , D(z) = z



En [8], se muestra que la transformación canónica deChristoffel de una función de Carathéodory está dada por

F1(z) =A1(z)F1(z) +B1(z)

D1(z)

dondeA1(z) = −αz2 + (1 + |α|2)z − α

B1(z) = −αz2 + (αc1 − αc1)z + α

D1(z) = z



Normalizando F1(z) de tal manera que c0 = 1, los polinomiosde la transformación anterior se convierten en

A1(z) =−αz2 + (1 + |α|2)z − α(1 + |α|2)− 2<e(αc1)

B1(z) =−αz2 + (αc1 − αc1)z + α

(1 + |α|2)− 2<e(αc1)

D1(z) = z



Así, comparando los coeficientes de B(z) y B1(z), tenemos

αc1 − αc1 = 0

por lo tanto α ∈ R, ya que c1 ∈ Rcomparando los coeficientes de A(z) y los restantescoeficientes de B(z) con los coeficientes de A1(z) y B1(z),respectivamente, encontramos:

−α(1 + |α|2 − 2αc1)

=1

2(µ1 − β)(17)

y(1 + α2)

(1 + |α|2 − 2αc1)=

−2β

2(µ1 − β)(18)



De (17)− 2α(µ1 − β) = (1 + |α|2)− 2αc1 (19)

y de (18) y (19)

−(1 + α2)

2α(µ1 − β)=

−2β

2(µ1 − β)

entoncesα2 − 2αβ + 1 = 0

y finalmente

α = β ±√β2 − 1, con |β| ≥ 1.

Esto significa que el cero del polinomio complejo de grado 1 enla transformación canónica de Christoffel debe ser real.



La transformación de Uvarov.

La transformación de Uvarov.

Consideremos la transformación de Uvarov de la función deStieltjes de S(x) asociada con µ

S(x) =S(x) +Mr(x− β)−1

1 +Mr(20)

que representa la perturbación de la medida de probabilidad µdefinida por

dµ =dµ+Mrδβ

1 +Mr,

nuevamente, µ es una medida de probabilidad.



Usando (15) y (20) concluimos que

F (z) =A(z)F (z +B(z))

D(z)(21)

Donde

A(z) =z2 − 2βz + 1

1 +Mr

B(z) =(1− z2)Mr

1 +Mr

D(z) = z2 − 2βz + 1



Por otro lado de [8] sabemos que la transformación general deUvarov tiene la forma de

˜F1(z) = F (z) +B1(z)

D1(z)(22)

Donde

B1(z) = (α− αz2)(Mc + Mc)− (1− |α|2)(Mc − Mc)z

D1(z) = (z − α)(αz − 1)

y F (z), F1(z) son las funciones de Carathéodory asociadas a σy su transformación de Uvarov σ1, respectivamente..



Comparando coeficientes entre F (z) y F1(z) obtenemos que

α− αz2

(z − α)(αz − 1)=

1− z2

z2 − 2βz + 1(23)

así como(1− |α|2)(Mc − Mc) = 0

Como consecuencia, se analizan dos situaciones.Si |α| = 1 entonces de (23) α

α = 1 y β = 1. Esto significaque α± = ±1. Como conclusión la transformación deUvarov de la medida σ aparece con la adición de unamasa Mr en el punto α± = ±1



Si |α| 6= 1, entonces Mc ∈ R y Mc = Mr2 por otra parte de

(23) αα = 1 asi como 1+α2

α = 2β es decir α = α yα2 − 2βα+ 1 = 0 esto significa que

α± = β ±√β2 − 1, ‖β| > 1

Como conclusión la transformación de Uvarov de lamedida σ es el resultado de la adición de dos masasreales Mr

2 en los puntos α± = β ±√β2 − 1, con |β| > 1



La transformación de Geronimus.

La transformación de Geronimus.

La transformación de Geronimus de la función de Stieltjes S(x)asociada con µ está dada por

S(x) =S(β) +Mr − S(x)

(x− β)(Mr + S(β))

y representa la siguiente transformación de la medida µ

dµ =(x− β)−1dµ+Mrδβ

Mr + S(β)

nuevamente, µ es una medida de probabilidad.



La correspondiente transformación racional es

F (z) =A(z)F (z) +B(z)

D(z)(24)

DondeA(z) = z

B(z) =1

2(z2 − 1)[S(β) +MR]

D(z) = −1

2(z2 − 2βz + 1)[S(β +Mr)]



Por otro lado la transformación general de Uvarov es

F (z) =A1(z)F (z) +B1(z)

D1(z)(25)

DondeA1(z) = z

Bz(z) = αz2 − 2i=m(q0)− α

D1(z) = −αz2 + (1 + |α|2)z − α

y q0 es un parámetro libre dado por

q0 = c0 − αc1



comparando los coeficientes de (24) y (25), obtenemos q0 ∈ R,

α ∈ R, Mc =S(β) +Mr

4α

yα2 − 2βα+ 1 = 0

entonces,α± = β +±

√β2 − 1 con |β| > 1

Esto es, en la transformación canónica de Geronimus, seagregan dos masas reales en los puntos α± = β +±

√β2 − 1



Sección 5. Ejemplos a Algunos Polinomios Ortogonales

Sección 5Ejemplos a Algunos Polinomios Ortogonales



Sección 6. Bibliografía

Sección 6Bibliografía



Bibliografía

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