POLINOMIOS ORTOGONALES DE...

POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI-SOBOLEV

NICK DANIEL RIOS GARCIACod:20042167052

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA, D.C.JUNIO DE 2016

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POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI-SOBOLEV

NICK DANIEL RIOS GARCIACod:20042167052

TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR ALTITULO DE:

MATEMATICO

DIRECTOR:D.R. ORIOL MORA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA, D.C.JUNIO DE 2016

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al Dr. Oriol Mora, por la paciencia en la direccion, asesorıa y gran colaboracion en eldesarrollo de este trabajo.

Tambien, agradezco al profesor Luis Alejandro Masmela por su asesorıa en el diseno y la estructurade este escrito.

Agradezco a mi familia por su apoyo y colaboracion para el desarrollo de la carrera, al proyecto cu-rricular de matematicas y a los companeros del grupo de trabajo de Polinomios ortogonales por sucolaboracion en el estudio y realizacion de este trabajo.

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Indice general

INTRODUCCION 2

1. PRELIMINARES 31.1. FUNCION GAMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. FUNCION BETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. FACTORIAL DE POCHHAMMER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. FUNCION HIPERGEOMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Ecuacion diferencial hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. MATRICES Y OPERADORES DE HANKEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. PRODUCTOS INTERNOS ESTANDAR Y DE TIPO SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . 7

2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI 92.1. FUNCIONALES DE MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. POLINOMIOS ORTOGONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS DE JACOBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. POLINOMIOS DE JACOBI-SOBOLEV 24

CONCLUSIONES 26

CONSIDERACIONES 27

ii

Lista de Tablas

2.1. Ecuacion diferencial hipergeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Formula de Rodrigues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

INTRODUCCION

Este trabajo consiste en hacer un estudio de la teorıa basica para comprender las tres primeras sec-ciones del artıculo ”Polinomios ortogonales de Jacobi-Sobolev ”. Dicho artıculo inicia mostrando algunosresultados de la teorıa de los polinomios clasicos de Jacobi; despues partiendo de un producto interno detipo Sobolev y utilizando los resultados de los polinomios clasicos de Jacobi obtiene una formula paralos polinomios de Jacobi-Sobolev en terminos de los polinomios clasicos de Jacobi y de sus primeras ysegundas derivadas con lo que se deduce su propiedad de simetrıa.

Una de las formas de introducir la Teorıa de Polinomios Ortogonales es a partir de la Teorıa de Apro-ximacion. El problema de aproximacion que nos conduce a la teorıa de los polinomios ortogonales esllamado aproximacion por mınimos cuadrados. Para construir la mejor aproximacion en un subespacio dedimension finita, es de gran interes disponer de una base ortonormal, o por lo menos ortogonal, de dichosubespacio. Para ello se hace necesario un algoritmo para construir bases ortogonales en un subespacio. Apartir de una base cualquiera de un espacio prehilbertiano, el conocido procedimiento de Gram-Schmidtpermite obtener una base ortogonal.

Para una mejor comprension de los polinomios ortogonales de Jacobi- Sobolev tratados en el artıculonos proponemos:

Hacer una pequena sıntesis teorica de los polinomios ortogonales clasicos, haciendo un enfasis enlos polinomios de Jacobi.

Utilizar la sıntesis teorica para la comprension de las tres primeras secciones del artıculo y tratarde realizar una reconstruccion de los conceptos tratados en estas secciones.

Las sıntesis teoricas se escogieron de la bibliografıa propuesta en el artıculo y la disponible por mediosfısicos y virtuales. Entre las sıntesis teoricas que se lograron establecer tenemos: Un resumen de la teorıade funciones especiales, teorıa general de los polinomios ortogonales y un estudio particular de los poli-nomios de Jacobi.

Este trabajo esta organizado en tres capıtulos; En el capıtulo uno se definen algunas funciones espe-ciales las cuales seran de gran ayuda para la demostracion de algunas propiedades de los polinomiosortogonales, ademas definimos los productos internos estandar y de Sobolev. Despues en el capıtulo dosestudiaremos la teorıa de los polinomios ortogonales e interpretamos los polinomio ortogonales Clasicos;haciendo un enfasis en los polinomios de Jacobi y algunas de sus propiedades las cuales nos daran expre-siones para la representacion de los polinomios de Jacobi-Sobolev. Por ultimo en el capıtulo tres, partiendode un producto de tipo Sobolev se muestra una representacion para los polinomios de Jacobi. Los cualesllamaremos polinomios ortogonales de tipo Jacobi -Sobolev. Finalmente conclusiones y bibliografıa.

2

Capıtulo 1

PRELIMINARES

En este capıtulo presentaremos las definiciones de algunas funciones especiales y algunas de sus propie-dades, las cuales nos seran de ayuda para la demostracion de propiedades de los polinomios ortogonales.Si se preten de hJacer un estudio de estas funciones especiales se puede consultar en [8].

1.1. FUNCION GAMMA

La funcion Gamma denotada por Γ(x), emplea la integral para generalizar la funcion factorial de losnumeros enteros no negativos a otros valores reales. Algunas maneras de definir la funcion Gamma paracualquier real positivpo es:

Definicion 1.1.1 Definicion clasica:

Γ(x) =

∫ ∞0

tx−1e−tdt, x > 0. (1.1)

Definicion de Gauss:

Γ(x) = lımx→∞

n!nx

x(x+ 1)(x+ 2)...(x+ n).

Definicion de Weierstrass:

1

Γ(x)= xeγx

∞∏n=1

e−x/n(

1 +x

n

)donde γ es la constante de Euler, la cual esta dada por

γ = lımx→∞

(Hn − lnn),

donde

Hn = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n

Yγ ≈ 0.57721566

Una de las propiedades mas importantes de la funcion Gamma es la formula de recurrencia:

Γ(x+ 1) = xΓ(x), x > 0, (1.2)

la cual se obtiene al aplicar integracion por partes en la definicion dada.

3

CAPITULO 1. PRELIMINARES 4

A partir de la formula de recurrencia se puede deducir las siguiente propiedad:Dado n un entero no negativo,

Γ(n+ 1) = n!. (1.3)

La funcion Gamma satisface

Γ(x)Γ(1− x) =π

sen(πx).

Definicion 1.1.2 : Dados n, k numeros enteros no negativos entonces:(nk

)=

Γ(n+ 1)

Γ(k + 1)Γ(n− k + 1). (1.4)

1.2. FUNCION BETA

La funcion Beta denotada por B(x, y) es otra funcion especial que utilizaremos en este trabajo y estadefinida de la siguiente manera.

Definicion 1.2.1 : Se define la funcion Beta por;

B(x, y) =

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt, x, y > 0.

La funcion Gamma y la funcion Beta estan relacionadas mediante la formula:

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y), x, y > 0.

Con esta relacion se puede demostrar que

B(x, y) = B(y, x)

1.3. FACTORIAL DE POCHHAMMER

Definicion 1.3.1 : Si a es un numero complejo y n ≥ 0,n ∈ Z se define

(a)n =

1 si n = 0a si n = 1a(a+ 1)(a+ 2)...(a+ n− 1) si n ≥ 2.

Notese que

(a)k = a(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ k − 1) =Γ(a+ k)

Γ(a).


1.4. FUNCION HIPERGEOMETRICA

Una de las funciones especiales que utilizaremos en este trabajo es la funcion hipergeometrica, quetiene la propiedad especial que su derivada tambien es una funcion hipergeometrica definida de la siguienteforma.Para una mejor comprension de esta funcion ver [8](Cap 4).

Definicion 1.4.1 : Sea F (a, b; c; z) definida por:

F (a, b; c; z) = 1 +

∞∑n=1

(a)n(b)nzn

(c)nn!, (1.5)

donde c ni es cero ni es un numero negativo y (a)n representa el factorial de Pochhammer.

Es de nuestro interes estudiar sus propiedades, ası como la ecuacion diferencial que satisface.Desde

lımn→∞

∣∣∣∣ (a)n+1(b)n+1zn+1

(c)n+1(n+ 1)!· (c)nn!

(a)n(b)nzn

∣∣∣∣lımn→∞

∣∣∣∣ (a+ n)(b+ n)z

(c+ n)(n+ 1)

∣∣∣∣ = |z| ,

siempre y cuando ninguno de los terminos a, b, c sea cero o un entero negativo, la serie en (1.5) tiene elcırculo |z| < 1 como su cırculo de convergencia. Si a o b es cero o un entero negativo, la serie termina.En el lımite |z| = 1 de la region de convergencia, una condicion suficiente para la convergencia absolutade la serie es Re(c− a− b) > 0. Para probar esto, sea

δ =1

2Re(c− a− b) > 0,

y comparemos los terminos de la serie

1 +

∞∑n=1

∣∣∣∣ (a)n(b)nzn

(c)nn!

∣∣∣∣con sus correspondientes terminos de la serie

∞∑n=1

1

n1+δ,

conocida por ser convergente. Ya que |z| = 1 y

lımn→∞

∣∣∣∣n1+δ(a)n(b)n(c)n(n)!

∣∣∣∣ ,= lımn→∞

∣∣∣∣ (a)n(n− 1)!na

· (b)n(n− 1)!nb

· (n− 1)!nc

(c)n· (n− 1)!n1+δ

n!nc−a−b

∣∣∣∣ ,=

∣∣∣∣ 1

Γ(a)· 1

Γ(b)· Γ(c)

1

∣∣∣∣ lımn→∞

∣∣∣∣ 1

nc−a−b−δ

∣∣∣∣ = 0,

Porque Re(c− a− b− δ) = 2δ − δ > 0, la serie en [1.5] es absolutamente convergente en |z| = 1 cuandoRe(c− a− b) > 0.Una variacion leve de la notacion F (a, b; c; z) se utiliza a menudo; es

F (a, b; c; z) = F

a, b;z

c

,


que a veces es mas conveniente para la imprension y que tiene la ventaja de mostrar los parametros delnumerador a y b por encima del parametro c del denominador, por lo que es facil de recordar las funcionesrespectivas de a, b, y c.La serie

F

a, b;z

c

=

∞∑n=0

(a)n(b)nzn

(c)nn!, (1.6)

es llamada la serie hipergeometrica. El caso especial a = c, b = 1 produce la serie geometrica elemental∑∞n=0 z

n; de ahı el termino hipergeometrica. La funcion en (1.5) o eun (1.6) se denomina correspondiente-mente la funcion hipergeometrica. Aunque Euler obtuvo muchas propiedades de la funcion F (a, b, c, z), ledebemos mucho de nuestro conocimiento del tema al estudio mas sistematico y detallado hecho por Gauss.

1.4.1. Ecuacion diferencial hipergeometrica

El operador θ = z(ddz

), es utilizado en la derivacion de la

w = F (a, b; c; z) =

∞∑n=0

(a)n(b)nzn

(c)nn!. (1.7)

De [1.7] obtenemos

w(θ + c− 1)w =

∞∑n=0

n(n+ c− 1)(a)n(b)nzn

(c)nn!

w(θ + c− 1)w =

∞∑n=1

(a)n(b)nzn

(c)n−1(n− 1)!,

Cambiando el orden de los subındices

w(θ + c− 1)w =∑∞n=0

(a)n+1(b)n+1zn+1

(c)nn!

= z∑∞n=0

(a+n)(b+n)(a)n(b)nzn+1

(c)nn!

= z(θ + a)(θ + b)w.

Esto muestra que w = F (a, b; c; z) es solucion de la ecuacion diferencial

[θ(θ + c− 1)− z(θ + a)(θ + b)]w = 0. θ = zd

dz. (1.8)

La ecuacion (1.8) se pone facilmente en la forma

z(1− z)w′′ + [c− (a+ b+ 1)z]w′ − abw = 0, (1.9)

mediante el empleo de las sustituciones θw = zw′ y θ(θ − 1)w = z2w′′.


1.5. MATRICES Y OPERADORES DE HANKEL

Una matriz de Hankel es una matriz cuadrada con todas sus diagonales de derecha a izquierda cons-tantes.

Definicion 1.5.1 : Una matriz de Hankel presenta la siguiente estructura:

H =

a1 a2 a3 a4 a5

a2 a3 a4 a5 a6

a3 a4 a5 a6 a7

a4 a5 a6 a7 a8

a5 a6 a7 a8 a9

es decir una matriz de la forma

H = {ai.j : ai,j = ai−1,j+1} .

Un operador de Hankel en un espacio de Hilbert es aquel cuya matriz respecto a una base ortogonal esuna matriz de Hankel infinita.

1.6. PRODUCTOS INTERNOS ESTANDAR Y DE TIPO SO-BOLEV

Sea φ(x) un polinomio y L un funcional de momentos definido positivo. Entonces L admite la siguienterepresentacion integral(ver [4],[9]):

L[φ(x)] =

∫Rφ(x)dσ(x),

donde σ es una medida positiva no trivial, cuyo conjcapıtulos; En el capıtulo unto soporte es un conjuntoinfinito de los puntos R.Si L es definido positivo y se define:

〈p(x), q(x)〉 = L[p(x), q(x)], (1.10)

para dos polinomios cualesquiera p(x) y q(x), entonces (1.10) define un producto interno sobre el espaciovectorial P de todos los polinomios con coeficientes reales.Si {Pn(x)}n≥0 es una SPO para L, entonces:

〈Pn(x), Pm(x)〉 = L[Pn(x)Pm(x)] =

{0 si m 6= nan 6= 0 si m = n.

Definicion 1.6.1 : Un productos interno definido sobre P, se denomina tipo Sobolev si es de la forma:

〈p(x), q(x)〉 = 〈p(x), q(x)〉σ +∑ji=o λjp

(i)(ξ)q(i)(ξ)

=∫Ep(x)q(x)dσ(x) +

∑ji=o λjp

(i)(ξ)q(i)(ξ), (1.11)

. donde E ⊆ R, j ∈ N, ξ ∈ R, λj ∈ R+ y σ es una medida positiva.

La familia de polinomios asociados al producto interno (1.11) se denominan polinomios ortogonales tipoSobolev o polinomios permutados, al producto interno 〈p(x), q(x)〉σ se le denomina estandar y a la familiade polinomios asociados al producto interno 〈p(x), q(x)〉σ se le denomina polinomios originales.En [1], [5]se han realizado estudios de casos particulares acerca de lClasicos; haciendo un enfasis en los


polinomios de Jacobi y algunas de sus propiedades las cuales nos daran expresiones para la representacionde los polinomios de Jacobi-Sobolev. Por ultimo en el capıtulo tres, partiendo de un producto de tipoSobolev se muestra una representacion para los polinomios de Jacobi. Los cuales llamaremos polinomiosortogonales respecto a (1.11), donde se analizan propiedades asintoticas, algebraicas, etc. de tipo Jacobi-Sobolev. Finalmente conclusiones y bibliografıa.

Capıtulo 2

POLINOMIOS ORTOGONALES YPOLINOMIOS DE JACOBI

En este capıtulo presentamos las definiciones y propiedades mas relevantes de los polinomios ortogo-nales en una variable; las cuales serviran como una herramienta fundamental en la construccion de lospolinomios ortogonales de Jacobi-Sobolev. Ademas se dan a conocer los polinomios ortogonales Clasi-cos, en particular los polinomios de Jacobi. Las definiciones y demostraciones de los teoremas se puedenconsultar en [4]

2.1. FUNCIONALES DE MOMENTOS

Las siguientes definiciones estan dirigidas a definir de una manera mas comprensible una sucesion depolinomios ortogonales.

Definicion 2.1.1 : Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K. Una aplicacion T de Ven W es una transformacion lineal si para todo par de vectores u, v ∈ V y para todo escalar k ∈ K, sesatisface:

1. T (u+ v) = T (u) + T (v).

2. T (ku) = kT (u).

Definicion 2.1.2 : Un funcional lineal es una transformacion lineal de un espacio vectorial sobre sucampo de escalares

Definicion 2.1.3 : Sean {µn}n≥0 una sucesion de numeros reales y L un funcional lineal en el espacioP de los polinomios de coeficientes reales, tal que:

L[xn] = µn, n = 0, 1, 2, ... (2.1)

L se denomina un funcional de momentos asociado a la sucesion de momentos {µn}n≥0.

Ademas, el numero µn se denomina momento de orden n del funcional lineal L.Si

φ(x) =

n∑k=0

ckxk, (2.2)

es un polinomio con coeficientes reales, entonces

L [φ(x)] =

n∑k=0

ckµk. (2.3)

9

CAPITULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES Y POLINOMIOS DE JACOBI 10

Definicion 2.1.4 : Un funcional de momentos L se denomina cuasi-definido o regular si y solo si ∆n 6= 0para n ≥ 0, donde ∆n = det(Hn) es el determinante de la submatriz principal de Hankel de tamano n+1

∆n = det (µi+j)ni,j=0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 µ2 · · · µnµ1 µ2 µ3 · · · µn+1

µ2 µ3 µ4 · · · µn+2

......

.... . .

...µn µn+1 µn+2 · · · µ2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(2.4)

2.2. POLINOMIOS ORTOGONALES

Definicion 2.2.1 : Una sucesion de polinomios {Pn(x)}n≥0 se denomina sucesion de polinomios orto-gonales (SPO) respecto al funcional de momentos L, si para cualquier par de numeros naturales n y mse cumple:

El grado de Pn(x)es n,

L[Pn(x)Pm(x)] = Rnδm,n, Rn 6= 0, (2.5)

donde δm,n es la funcion delta de Kronocker definida por:

δm,n =

{0 si m 6= n1 si m = n.

Si {Pn(x)}n≥0 es una SPO respecto a un funcional de momentos L y ademas L[Pn(x)Pn(x)] = L[P 2n(x)] =

1 para todo n ≥ 0, entonces se dice que {Pn(x)}n≥0 es una sucesion de polinomios ortonormales.Siempre que se tenga una SPO {Pn(x)}n≥0, esta se puede normalizar y obtener una sucesion de polinomiosortonormales multiplicando por una constante adecuada para cada polinomio de la SPO, ası:

Qn(x) ={L[P 2

n(x)]}− 1

2 · Pn(x), (2.6)

donde {Qn(x)}n≥0 es la sucesion de polinomios ortonormales correspondientes a la SPO {Pn(x)}n≥0.Si el coeficiente principal de cada Pn(x) es 1, se dice que {Pn(x)}n≥0 es una sucesion de polinomiosortogonales monicos (SPOM ).Siempre que se tenga una SPO existe un correspondiente SPOM, basta con multiplicar cada polinomiopor el inverso de su coeficiente principal, ası:

Pn(x) = k−1n Pn(x). (2.7)

El siguiente teorema (Teorema 2.2.1) nos muestra que para verificar si una sucesion de polinomios{Pn(x)}n≥0 es una SPO, no se necesita verificar las dos condiciones de la definicion original de SPOcon todos los Pn(x) de la sucesion; es suficiente mirar la ortogonalidad de cada polinomio Pn(x) de lasucesion con respecto a los monomios

{1, x, x2, x3, ..., xn

}.


Teorema 2.2.1 Dado L un funcional de momentos y {Pn(x)}n≥0 una sucesion de polinomios. Las si-guientes proposiciones son equivalentes:

1. {Pn(x)}n≥0 es una SPO con respecto a L,

2. Dado φ(x) un polinomio cualquiera de grado m,

L[φ(x)Pn(x)] =

{0 si m < nan 6= 0 si m = n,

(2.8)

3. L[xmPn(x)] = Rnδmn, Rn 6= 0, m = 0, 1, 2, ..., n.

El Teorema 2.2.2 determina que cualquier SPO es una base para el espacio P de los polinomios concoeficientes reales.

Teorema 2.2.2 Sea {Pn(x)}n≥0 una SPO respecto a L. Entonces para todo polinomio φ(x) de grado n,φn esta dado por:

φ(x) =

n∑k=0

ckPk(x). (2.9)

donde

ck =L[φ(x)Pk(x)]

L[P 2k (x)]

, k = 0, 1, 2, 3, ..., n. (2.10)

Un funcional de momentos tiene asociado una unica sucesion de polinomios ortogonales salvo la multi-plicacion por una sucesion de constantes diferentes de cero.

Teorema 2.2.3 Salvo producto por constantes una SPO {Pn(x)}n≥0 es unica. Es decir, dada una SPO{Pn(x)}n≥0 respecto a L, si {Qn(x)}n≥0 es tambien una SPO respecto a L, entonces existe cn 6= 0 talque:

Qn(x) = cnPn(x), n = 0, 1, 2, 3, ... (2.11)

El n-esimo termino de una sucesion de polinomios ortogonales monicos se puede expresar por medio desu anterior y posterior termino mediante la expresion:

Teorema 2.2.4 . (Relacion de recurrencia a tres terminos) Sea L un funcional de momentos cuasi-definido y {Pn(x)}n≥0 la correspondiente SPOM. Entonces existen sucesiones de numeros reales {an}n≥0y {bn}n≥0, tales que:

1.bn 6= 0 para cada n ∈ N (2.12)

2.Pn+1(x) = (x− an)Pn(x)− bnPn−1(x), n = 0, 1, 2, ..., (2.13)

3. conP−1(x) = 0, P0(x) = 1. (2.14)

Ademas, cada elemento de las sucesiones {an}n≥0 y {bn}n≥0 esta dado por:

an =L[xP 2

n(x)]

L[P 2n(x)]

,

bn =L[P 2

n+1(x)]

L[P 2n(x)]

.


DemostracionPor teorema 2.2.2 se tiene que {Pn(x)}n≥0 es una base de P (x) entonces

xPn(x) =

n+1∑i=0

bi,nPi(x), n ≥ 0, (2.15)

donde los bi,n son numeros reales y bn+1,n = 1(ya que tanto xPn(x) como Pn+1(x) son monicos).Para n = 0, 1, 2.4 se puede demostrar facilmente, ası que suponemos que n ≥ 2. Multiplicamos amboslados de la ecuacion(2.15) por Pk(x), donde 0 ≤ k ≤ n− 2, tenemos que

xPk(x)Pn(x) =

n+1∑i=0

bi,nPi(x)Pk(x), n ≥ 0. (2.16)

Tambien

xPk(x) =

k+1∑i=0

bi,kPi(x), n ≥ 0,

ası que

L[xPk(x)Pn(x)] =

k+1∑i=0

bi,kL[Pi(x)Pn(x)], 0 ≤ k ≤ n− 2.

Como k ≤ n− 2, tenemos, para i ≤ k + 1, que i ≤ n− 1 < n. Por (2.5),

L[xPk(x)Pn(x)] = 0,

A su vez (2.5) y (2.12) implican que

L[xPk(x)Pn(x)] = bk,nλk,

y, como λk 6= 0, que

bk,n = 0, 0 ≤ k ≤ n− 2.

Entonces

xPn(x) = Pn+1(x) + bn,nPn(x) + bn−1,nPn−1(x), n ≥ 0,

lo cual implica (2.9) con bn,n = an, bn−1,n = bn.Ahora si n ≥ 1

xPn−1(x)Pn(x) = P 2n(x) + an−1Pn−1(x)Pn(x) + bn−1Pn−2(x).

Por tanto

L[xPn−1(x)Pn(x)] = L[P 2n(x)],

y multiplicando por Pn−1(x) ambos miembros de (2.9), llegamos a que

L[P 2n(x)] = bnL[P 2

n−1(x)].

Como para n ≥ 1, L[P 2n(x)] y L[P 2

n−1(x)] son no nulos, la validez de (2.8) queda establecida.

Si {Pn(x)}n≥0 es una SPO no monica, denotando Pn(x) = knPn(x), donde Pn(x) es monico, enton-ces {Pn(x)}n≥0 satisface la relacion de recurrencia de la forma:

Pn+1(x) = (Anx−Bn)Pn(x)− CnPn−1(x), n = 0, 1, 2, ..., (2.17)


con

An = k−1n kn+1, Bn = an+1k−1n kn+1, Cn = bn+1k

−1n kn+1, n ≥ 0,

donde k−1 = 1, y an, bn estan dados por el Teorema 2.2.4 en terminos de{Pn(x)

}.

Para determinar condiciones de existencia de una SPO, tomamos la matriz de Hankel que esta definidamediante:

H =

µ0 µ1 µ2 · · · µn · · ·µ1 µ2 µ3 · · · µn+1 · · ·µ2 µ3 µ4 · · · µn+2 · · ·...

......

. . .... · · ·

µn µn+1 µn+2 · · · µ2n · · ·...

...... · · ·

.... . .

. (2.18)

El siguiente teorema determina condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una SPO{Pn(x)}n≥0 respecto a un funcional de momentos L asociado a {µn}n≥0.

Teorema 2.2.5 Una condicion necesaria y suficiente para la existencia de una SPO con respecto a unfuncional de momentos L asociado a {µn}n≥0 es que L sea regular.

DemostracionSupongamos que ∆n 6= 0. Sean P0(x) = 1 y

Pn(x) =1

∆n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 µ2 · · · µnµ1 µ2 µ3 · · · µn+1

µ2 µ3 µ4 · · · µn+2

......

.... . .

...µn−1 µn µn+12 · · · µ2n−1

1 x x2 · · · xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Si m ≤≤ n

L[xm

Pn(x)] =1

∆n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 µ2 · · · µnµ1 µ2 µ3 · · · µn+1

µ2 µ3 µ4 · · · µn+2

......

.... . .

...µn−1 µn µn+1 · · · µ2n−1L(xm) L(xm+1) L(xm+2) · · · L(xm+n)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (2.19)

Como la fila [L(xm), L(xm+1), L(xm+2), · · · , L(xm+n)] = [µm, µm+1, µm+2, · · · , µm+n] es una de las an-teriores del determinante en (2.19) si m < n, es claro que L(xmPn(x)) = 0. Por otra parte, si m = nentonces usando nuevamente (2.19) , llegamos a que

L[xm

Pn] = L[P 2n(x)] =

∆n

∆n−16= 0 (2.20)

y la condicion es suficiente.Veamos que es necesaria. Supongamos entonces que L es regular y sea {Pn(x)}n≥0 una SPOM conrespecto a L. Demostraremos que si ∆n esta dado por (2.4) entonces ∆n 6= 0 para n ≥ 0. Razonemos porinduccion.Para n = 0, ∆0 = µ0 = L(1) = 1. Supongamos entonces que la afirmacion es valida para n = k o sea,que ∆k 6= 0. Sea


P (x) =1

∆k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

µ0 µ1 µ2 · · · µk µk+1

µ1 µ2 µ3 · · · µk+1 µk+2

µ2 µ3 µ4 · · · µk+2 µk+3

......

.... . .

......

µk µk+1 µk+2 · · · µ2k µ2k+1

1 x x2 · · · xk xk+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ası que P (x) es un polinomio monico de grado k + 1, y por lo tanto

P (x) = Pk+1(x) + akPk(x) + ...+ a0P0(x), ai ∈ R (2.21)

Ahora , si m < k + 1, tenemos como antes, que

L(xmP (x)) = 0.

Por lo tanto, para m < k + 1,L(Pm(x)P (x)) = 0,

ası que multiplicamos sucesivamente ambos lados de (2.19) por Pm(x), m = 0, 1, 2, ..., k, y aplicamos L,llegamos a que am = 0 para m = 0, 1, 2, ..., k, ası que, P (x) = Pk+1(x).Finalmente, de

L(xk+1Pk+1(x)) = L(P 2k+1(x)),

obtenemos que

∆k+1

∆k= L(P 2

k+1(x)),

de donde resulta ∆k+1 6= 0. Esto demuestra el teorema.

Teorema 2.2.6 . Sea {Pn(x)}n≥0 una SPO respecto a L. Entonces para todo polinomio φn(x) de gradon:

L[φn(x)Pn(x)] = anL[xnPn(x)] =ankn∆n

∆n−1, ∆−1 = 1, (2.22)

donde an denota el coeficiente principal de φn(x) y kn denota el coeficiente principal de Pn(x).

Un funcional de momentos L se denomina definido positivo si L[φ(x)] > 0 para todo polinomio φ(x) queno es identicamente cero y es no negativo para todo real x.Dado S ⊂ R un funcional de momentos L se denomina definido positivo sobre S si y solo si L[φ(x)] > 0para todo polinomio φ(x) que no es identicamente cero sobre S y no es negativo sobre S. El conjunto Sse denomina un conjunto soporte para L

Teorema 2.2.7 . (Teorema de Favard) Sean {an}n≥0 y {bn}n≥0 sucesiones de numeros reales y {Pn(x)}n≥0una sucesion de polinomios dada por:

Pn+1(x) = (x− an)Pn(x)− bnPn−1(x), n = 0, 1, 2, ...,

con

P−1(x) = 0, P0(x) = 1.

Entonces existe un unico funcional de momentos L tal que:

L[1] = b0, L[Pn(x)Pm(x)] = 0, para n 6= m, n,m ∈ N.L es cuasi-definido y {Pn(x)}n≥0 es la correspondiente SPOM si y solo si bn 6= 0. Ademas, L es definidopositivo si solo si bn > 0 para n ≥ 1.


Teorema 2.2.8 . (La formula de Christoffel-Darboux) Sea {Pn(x)}n≥0 la SPOM correspondiente al fun-cional de momentos L. Entonces para n ∈ N:

Kn(x, y) =

n∑k=0

Pk(x)Pk(y)

‖Pk‖2=Pn+1(x)Pn(y)− Pn(x)Pn+1(y)

‖Pk‖2 (x− y)(2.23)

donde Kn denota el n-esimo polinomio nucleo.

Se emplea la siguiente notacion para las derivadas parciales de Kn(x, y):

∂i+j (Kn(x, y))

∂i(x)∂j(y)= K(i,j)

n (x, y).

2.3. POLINOMIOS ORTOGONALES CLASICOS

En esta seccion definiremos los polinomios ortogonales clasicos mediante dos tipos de definiciones, lascuales se pueden probar que son equivalentes. Tambien mostraremos algunos de los polinomios clasicosmas utilizados en la matematica, ası, como su representacion mediante estas dos definiciones.

Definicion 2.3.1 Una SPO {Pn(x)}n≥0 se denomina clasica, si cada polinomio de la sucesion es solucionpolinomica de una ecuacion diferencial de segundo orden de tipo:

π(x)y′′(x) + τ(x)y′(x) + λny(x) = 0, (2.24)

donde π(x) es un polinomio de grado a lo sumo 2, τ(x) es un polinomio de grado 1 y λn representa unnumero real.

Definicion 2.3.2 Una SPO {Pn(x)}n≥0 se denomina clasica, si cada polinomio de la sucesion puede sergenerado por una formula que contiene derivadas de orden n del tipo:

Pn(x) = [Knω(x)]−1dn

dxn[ρn(x)ω(x)], n = 0, 1, 2, ..., (2.25)

donde ρ(x) es un polinomio independiente de n, de grado a lo sumo 2 y ω(x) es una funcion positiva eintegrable sobre un conjunto (a, b), la cual se denomina funcion peso.

La ecuacion (2.24) se denomina ecuacion diferencial hipergeometrica, ya que satisface la Propiedad de hi-pergeometricidad que consiste en que sus soluciones y sus n-esimas derivadas y(n) cumplen la ecuacion delmismo tipo. Por tal razon los polinomios clasicos tambien se les denomina polinomios hipergeometricos.La ecuacion diferencial hipergeometrica clasifica a los polinomios ortogonales clasicos en tres familias enfuncion del grado del polinomio π(x). Cuando π(x) es un polinomio de grado 2, los polinomios correspon-dientes se denominan polinomios de Jacobi Pα,βn (x), cuando π(x) es de grado 1, polinomios de LeguerreLαn(x) y cuando π(x) es de grado 0 polinomios de Hermite Hn(x).La siguiente tabla muestra los parametros de la ecuacion diferencial hipergeometrica para las sucesionesde polinomios ortogonales monico clasicos.

Pα,βn (x) Lαn Hn(x)π(x) (1− x)(1 + x) x 1τ(x) −(α+ β + 2)x+ β − α −x+ α+ 1 −2xλn(x) n(n+ α+ β + 1) n 2n

Tabla 2.1: Ecuacion diferencial hipergeometrica.

La ecuacion (2.25) se denomina formula de Rodrigues, donde para los polinomios de Jacobi, Leguerrey Hermite se tiene:


Pα,βn (x) Lαn(x) Hn(x)Kn (−2)nn! n! (−1)n

ρ(x) (1− x)(1 + x) xn 1ω(x) (1− x)α(1 + x)β xαe−x e−2x

(a, b) (−1, 1) (0,∞) (−∞,∞)

Tabla 2.2: Formula de Rodrigues.

Ademas, para las familias de polinomio clasicos se cumple:

dk

dxk[ρn(x)ω(x)] = 0, 0 ≤ k < n, (2.26)

donde x = a y x = b.

2.4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE JACOBI

Definicion 2.4.1 Los polinomio de Jacobi Pα,βn (x) estan definidos mediante la formula de Rodrigues por:

Pα,βn (x) = (−2)−n(n!)−1(1− x)−α(1 + x)−βdn

dxn[(1− x)n+α(1 + x)n+β

], (2.27)

donde α, β son parametros mayores que −1.

Dependiendo de los valores de α y β, existen tipos de polinomios de Jacobi que merecen especial atencion.A continuacion los mas importantes:

Cuando α = β = − 12 (Polinomios de Chebyshev de primera especie).

Cuando α = β = 12 (Polinomios de Chebyshev de segunda especie).

Cuando α = 12 y β = − 1

2 (Polinomios de Chebyshev de tercera especie).

Cuando α = − 12 y β = 1

2 (Polinomios de Chebyshev de cuarta especie).

Cuando α = β = 0 (Polinomios de Legendre).

Cuando α = β (Polinomios ultraesfericos o Polinomios de Gegenbauer).

La ecuacion diferencial hipergeometrica que satisfacen los polinomios ortogonales de Jacobi es:

(1− x2)y′′(x) + [−(2 + α+ β)x− α+ β]y′(x) + n(n+ 1 + α+ β)y(x) = 0. (2.28)

2.5. PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS DE JACOBI

A continuacion mostraremos algunas de las propiedades mas importantes de los polinomios de Jacobi,las cuales utilizaremos para la representacion de los polinomios de Jacobi-Sobolev. Estas propiedades ylas de otros polinomios Clasicos e pueden estudiar en [6].

Teorema 2.5.1 Formula de simetrıaLa sucesion de polinomios ortogonales de Jacobi

{Pα,βn (x)

}n≥0, satisface

Pα,βn (x) = (−1)P β,αn (−x), (2.29)


DemostracionHipotesis de induccion: Supongamos que la propiedad de simetrıa se cumple hasta n, es decir

Pα,βn (x) = (−1)nP β,αn (−x). (2.30)

Ahora tenemos que demostrar que

Pα,βn+1(x) = (−1)n+1P β,αn+1(−x). (2.31)

Utilizando la formula de Rodrigues

Pα,βn+1(x) =(−2)

−n−1

(n+ 1)!(1− x)

−α(1 + x)

−β[dn+1

dxn+1(1− x)

n+1+α(1 + x)

n+1+β

]

Pα,βn+1(x) = (−2)−n−1

(n+1)! (1− x)−α

(1 + x)−β ·[

dn

dxn (−1)(n+ 1 + α) (1− x)n+α

(1 + x)n+1+β

+ (n+ 1 + β) (1− x)n+1+α

(1 + x)n+β

]

Pα,βn+1(x) = (−2)−n−1

(n+1)! (1− x)−α

(1 + x)−β ·[

dn

dxn (−1)(n+ 1 + α)(1 + x) (1− x)n+α

(1 + x)n+β

+ (n+ 1 + β)(1− x) (1− x)n+α

(1 + x)n+β

]

Pα,βn+1(x) = (−2)−n(−2)−1

(n)!(n+1) (1− x)−α

(1 + x)−β {

(−1)(n+ 1 + α)[[

dn

dxn (1 + x)]

(1− x)n+α

(1 + x)n+β

+ (1 + x)[dn

dxn (1− x)n+α

(1 + x)n+β

]]+(n+ 1 + β)

[[dn

dxn (1− x)]

(1− x)n+α

(1 + x)n+β

+ (1− x)[dn

dxn (1− x)n+α

(1 + x)n+β

]]}

Pα,βn+1(x) = (−2)−1

(n+1) [(−1)(n+ 1 + α)(1 + x) + (n+ 1 + β)(1− x)](−2)−n(n)! (1− x)

−α(1 + x)

−β[dn

dxn (1− x)n+α

(1 + x)n+β

]Pα,βn+1(x) =

(−2)−1

(n+ 1)[(−1)(n+ 1 + α)(1 + x) + (n+ 1 + β)(1− x)]Pα,βn (x).

Utilizando la hipotesis de induccion

Pα,βn+1(x) =(−2)

−1

(n+ 1)[(−1)(n+ 1 + α)(1 + x) + (n+ 1 + β)(1− x)] (−1)nP β,αn (−x).

Organizando terminos tenemos

Pα,βn+1(x) = (−2)−1

(n+1) [(−1)(n+ 1 + α)(1 + x) + (n+ 1 + β)(1− x)]

(−1)n (−2)−n

(n)! (1 + x)−α

(1− x)−β[dn

dxn (1 + x)n+α

(1− x)n+β

]Pα,βn+1(x) = (−1)

n+1 (−2)−1

(n+1) [(n+ 1 + α)(1− (−x)) + (−1)(n+ 1 + β)(1 + (−x))](−2)−n(n)! (1− (−x))

−α(1 + (−x))

−β[dn

dxn (1− (−x))n+α

(1 + (−x))n+β

] .Entonces

Pα,βn+1(x) = (−1)n+1

P β,αn+1(−x),

lo que termina la demostracion.

El siguiente teorema muestra otra representacion de los polinomio de Jacobi la cual nos facilitara lademostracion de las demas propiedades:


Teorema 2.5.2 . La sucesion de polinomios ortogonales de Jacobi{Pα,βn (x)

}n∈N, satisface:

Pα,βn (x) = 2−nn∑k=0

(n+ αn− k

)(n+ βk

)(1− x)

k(1 + x)

n−k(2.32)

.

DemostracionRecordemos la formula de Leibniz para la n-esima derivada de un producto:

(f · g)(n)

=

n∑k=0

(nk

)f (n−k)g(k)(x)

Utilizando la definicion de Rodrigues para un polinomio de Jacobi tenemos

A = (−2)nn! (1− x)

α(1 + x)

βP (α,β)n (x) =

dn

dxn

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+β].

Aplicando la formula de Leibniz,tenemos

A =

n∑k=0

(nk

)[(1− x)

n+α](n−k) [

(1 + x)n+β

](k)(x),

derivando n− k veces (1− x)n+α

y k veces (1 + x)n+β

tenemos

A =

n∑k=0

(nk

)(−1)n−k

(α)n+1

(α)k+1(1− x)

α+k (β)n+1

(β)n−k+1(1 + x)

n+β−k.

Utilizando propiedades de la funcion gamma tenemos

A =

n∑k=0

(nk

)(−1)n−k

Γ(α+ n+ 1)

Γ(α+ k + 1)(1− x)

α+k Γ(β + n+ 1)

Γ(β + n− k + 1)(1 + x)

n+β−k,

A =

n∑k=0

Γ(n+ 1)

Γ(k + 1)Γ(n− k + 1)(−1)n−k

Γ(α+ n+ 1)

Γ(α+ k + 1)(1− x)

α+k Γ(β + n+ 1)

Γ(β + n− k + 1)(1 + x)

n+β−k,

A = n!

n∑k=0

(−1)n−k(n+ αn− k

)(n+ βk

)(1− x)

α−k(1 + x)

β+n−k.

Empleando operaciones elementales y despejando tenemos

Pα,βn (x) = 2−nn∑k=0

(n+ αn− k

)(n+ βk

)(x− 1)

k(x+ 1)

n−k.

Este corolario muestra una representacion del coeficiente principal en termino de combinatorias.

Corolario 2.5.1 .El coeficiente principal de un polinomio de Jacobi de grado n, Pα,βn (x) es:

kn = 2−nn∑k=0

(n+ αk

)(n+ βn− k

)= 2−n

(2n+ α+ β

n

).


Demostracion Es simple ver que el unico termino de la sumatoria que no se anula es el de k = 0, esdecir

Pα,βn (x) = 2−n(n+ αn

)(x+ 1)

n+ 2−n

n∑k=1

(n+ αn− k

)(n+ βk

)(x− 1)

k(x+ 1)

n−k.

Evaluando en x = 1 tenemos

Pα,βn (1) = 2−n(n+ αn

)(1 + 1)

n+ 0 =

(n+ αn

)=

Γ(n+ α+ 1)

Γ(n+ 1)Γ(α+ 1).

Esta es una expresion para el polinomio de Jacobi no monico y monico en el punto x = 1.

Corolario 2.5.2 .

1.

Pα,βn (1) =

(n+ αn

)=

Γ(n+ α+ 1)

Γ(n+ 1)Γ(α+ 1).

2.

Pα,βn (1) =2n(α+ 1)n

(n+ α+ β + 1)n.

Demostracion Al dividir Pα,βn (1) en su coeficiente principal kn se obtiene la igualdad.

Los polinomios de Jacobi monicos y no monicos se pueden expresar de la siguiente manera:

Corolario 2.5.3

1.

Pα,βn (−1) = (−1)n(n+ βn

)= (−1)n

Γ(n+ β + 1)

Γ(n+ 1)Γ(β + 1).

2.

Pα,βn (−1) =(−1)n2n(β + 1)n(n+ α+ β + 1)n

.

Demostracion

1. Se utiliza propiedad de simetrıa en Pα,βn (1).

2. Se utiliza propiedad de simetrıa en P(α,β)n (1).

A continuacion mostraremos el producto interno que cumplen los polinomios de Jacobi.

Corolario 2.5.4 Los polinomios de Jacobi cumplen la siguiente relacion de ortogonalidad:∫ 1

−1Pα,βm (x)Pα,βn (x)dσ(x) =

2α+β+1Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)

n!(2n+ α+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1)δmn,m, n ≥ 0, (2.33)

dondedσ(x) = w(x)dx = (1− x)

α(1 + x)

βdx, x ∈ [−1, 1], α, β > −1.

Demostracion Utilizando el Teorema 2.2.6,

∫ 1


∫ 1

−12−m

(2m+ α+ β

m

)xm(x)Pα,βn (x) (1− x)

α(1 + x)

βdx


∫ 1


2−m

(−2)nn!

(2m+ α+ β

m

)∫ 1

−1xm(x)

dn

dxn

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+βdx]dx,

Integrando por partes y usando (2.26),

∫ 1


2−m(−m)

(−2)nn!

(2m+ α+ β

m

)∫ 1

−1xm−1(x)

dn−1

dxn−1

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+βdx]dx,

Asumiendo que 0 ≤ m ≤ n y repitiendo el procedimiento de integrar por partes m veces,

∫ 1


2−m(−1)mm!

(−2)nn!

(2m+ α+ β

m

)∫ 1

−1

dn−m

dxn−m

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+βdx]dx,

∫ 1


(−1)m−nm!

(−2)n+mn!

(2m+ α+ β

m

)∫ 1

−1

dn−m

dxn−m

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+βdx]dx,

(2.34)consideremos dos casos:i. m < n.Integrando una vez mas tenemos∫ 1


(−1)m−nm!

(−2)n+mn!

(2m+ α+ β

m

)[dn−m−1

dxn−m−1

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+βdx]]1−1,

y aplicando (2.26) ∫ 1

−1Pα,βm (x)Pα,βn (x)dσ(x) = 0, m < n. (2.35)

ii. m = n(2.34) se convierte en:∫ 1


1

(−2)2n

(2n+ α+ β

n

)∫ 1

−1

[(1− x)

n+α(1 + x)

n+βdx]dx,

integrando∫ 1


22n+α+β+1

(−2)2n

(2n+ α+ β

n

)Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)

Γ(2n+ α+ β + 2),

∫ 1

−1Pα,βm (x)Pα,βn (x)dσ(x) = 2α+β+1 Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)

n!(2n+ α+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1). (2.36)

De (2.35) y (2.36) se obtiene lo esperado:∫ 1

−1Pα,βm (x)Pα,βn (x)dσ(x) = 2α+β+1 Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)

n!(2n+ α+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1)δmn.

Lo que termina la demostracion.

Ahora miraremos la el producto interno para los polinomios de Jacobi monicos.

Corolario 2.5.5 .Los polinomios monicos de Jacobi Pα,βn (x) cumplen la relacion de ortogonalidad:∫ 1


22n+α+β+1n!Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1)

Γ(2n+ α+ β + 1)Γ(2n+ α+ β + 2)δmn,m, n ≥ 0,


DemostracionSabemos que Pα,βn (x) =

Pα,βn (x)

kα,βny por linealidad de la integral tenemos

∫ 1


1

kα,βm kα,βn

∫ 1

−1Pα,βm (x)Pα,βn (x)dσ(x).

Por corolario 2.5.4 solo miramos la expresion para m = n es decir∫ 1

−1Pα,βn (x)Pα,βn (x)dσ(x) =

1

(kα,βn )2

∫ 1

−1Pα,βn (x)Pα,βn (x)dσ(x),

∫ 1


1

(kα,βn )22α+β+1 Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)

n!(2n+ α+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1).

Reemplazando kα,βn quedarıa∫ 1


2n(n!)2(Γ(n+ α+ β + 1))2

(Γ(2n+ α+ β + 1))22α+β+1 Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)

n!(2n+ α+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1),

simplificando obtenemos∫ 1


22n+α+β+1n!Γ(n+ α+ 1)Γ(n+ β + 1)Γ(n+ α+ β + 1)

Γ(2n+ α+ β + 1)Γ(2n+ α+ β + 2).


Esta es una expresion para la derivada de un polinomio de Jacobi.

Corolario 2.5.6 :

dPα,βn (x)

dx= Cn,α,βP

α+1,β+1n−1 (x), Cn,α,β =

1

2(n+ α+ β + 1).

DemostracionEl coeficiente principal de un polinomio de Jacobi de grado n− 1 y parametros α+ 1, β + 1,Pα+1,β+1

n−1 (x)es:

2−(n−1)(

2(n− 1) + α+ 1 + β + 1n− 1

)= 2−n+1

(2n+ α+ βn− 1

).

Ademas el coeficiente principal del polinomio de grado n− 1,dPα,βn (x)

dx es:

2−nn

(2n+ α+ β

n

).

Por la propiedad de hipergeometricidad de los polinomios ortogonales de Jacobi, la sucesion{dPα,βn (x)

dx

}n≥1

tambien es una SPO y el polinomiodPα,βn (x)

dx es de grado n− 1, por teorema (2.2.3)

dPα,βn (x)

dx= Cn,α,βP

α+1,β+1n−1 (x),

para alguna constante Cn,α,β .En particular, para el coeficiente principal de los dos polinomios se debe cumplir:

2−nn

(2n+ α+ β

n

)= Cn,α,β2−n+1

(2n+ α+ βn− 1

),


despejando Cn,α,β , se obtiene

Cn,α,β =1

2(n+ α+ β + 1).

Por tanto,dPα,βn (x)

dx=

1

2(n+ α+ β + 1)Pα+1,β+1

n−1 (x).


Definiremos la formula de Christoffel-Darboux la cual nos dara una expresion para los nucleos de lospolinomios de Jacobi.

FORMULA DE CHRISTOFFEL-DARBOUX.La formula de Christoffel-Darboux para un polinomio de Jacobi es:

n−1∑m=0

Pα,βm (x)Pα,βm (y)

d2m=

1

x− yPα,βn (x)Pα,βn−1(y)− Pα,βn−1(x)Pα,βn (y)

d2n−1, n = 1, 2, 3, ... (2.37)

tambien denotaremos por

Kα,β(p,q)n (x, y) =

n∑m=0

(Pα,βm

)(p)(x)(Pα,βm

)(q)(y)

d2m=

δp+q

δxpδyqKα,βn (x, y), (2.38)

los nucleos de los polinomios de Jacobi, ası como sus derivadas con respecto a x e y, respectivamente.Mediante el uso de la propiedad de simetrıa es sencillo demostrar las siguientes propiedades de simetrıapara los nucleos Jacobi

Kα,βn (x, y) = Kβ,α

n (−x,−y),

Kα,β(0,1)n (x, y) = −Kβ,α(0,1)

n (−x,−y),

Kα,β(1,1)n (x, y) = K

β,α(1,1)n (−x,−y).

(2.39)

En nuestro trabajo necesitamos las expresiones explıcitas de los nucleos Kα,βn−1(x, 1), K

α,β(0,1)n−1 (x, 1),

Kα,βn−1(x,−1) y K

α,β(0,1)n−1 (x,−1), respectivamente. Para obtener estos nucleos podemos utilizar la formula

Christoffel-Darboux, la relacion estructura, la relacion de recurrencia de tres terminos y la formula dediferenciacion para los polinomios de Jacobi monicos clasicos, respectivamente. En las formulas anterioresy en todo el trabajo utilizaremos la notacion κα,βn = (2n+ α+ β + 1)γα,βn

Kα,βn−1(x, 1) =

Pα,βn (1)

d2n−1kα,βn

[(1 + x)(Pα,βn )′(x)− nPα,βn (x)

], (2.40)

Kα,β(0,1)n−1 (x, 1) =

Pα,βn (1)

d2n−1kα,βn

[(1 + x)(Pα,βn )′(x)− nPα,βn (x)

]−

Pα,βn (1)

d2n−1kα,βn (α+1)

[(1 + β)(Pα,βn )′(x) + (x+ 1)(Pα,βn )′′(x)

] . (2.41)

A partir de las dos formulas anteriores y utilizando las propiedades de simetrıa, encontramos

Kα,βn−1(x,−1) =

Pα,βn (−1)[(1− x)(Pα,βn )′(x)− nPα,βn (x)

]d2n−1k

α,βn

,

Kα,β(0,1)n−1 (x,−1) = −

(Pα,βn )′(−1)[(1− x)(Pα,βn )′(x)− nPα,βn (x)

]d2n−1k

α,βn

+Pα,βn (−1)

[(1− x)(Pα,βn )′′(x)− (α+ 1)(Pα,βn )′(x)

]d2n−1k

α,βn (β + 1)

.


Tambien son necesarios para realizar una expresion de los polinomios de Jacobi-Sobolev, los siguientesvalores

Kα,βn−1(1, 1) =

(Pα,βn (1))2n(n+ β)

d2n−1kα,βn (α+ 1)

,

Kα,β(0,1)n−1 (1, 1) =

(Pα,βn (1))′Pα,βn (1)(n+ β)

d2n−1kα,βn (α+ 2)(n− 1)

,

Kα,βn−1(1,−1) =

nPα,βn (−1)Pα,βn (1)

d2n−1kα,βn

,

Kα,β(0,1)n−1 (1,−1) =

(Pα,βn )′(−1)Pα,βn (1)(1− n)

d2n−1kα,βn

,

Kα,β(1,1)n−1 (1, 1) =

Pα,βn (1)(Pα,βn )′(1)(n+ β)[(α+ 2)(n2 + nα+ nβ)− (α+ 1)(α+ β + 2)

]2d2n−1k

α,βn (α+ 1)(α+ 2)(α+ 3)(n− 1)−1

,

Kα,β(1,1)n−1 (1,−1) =

Pα,βn (1)(Pα,βn )′(−1)(1− n)[n2 + nα+ nβ − α− β − 2

]2d2n−1k

α,βn (α+ 1)

.

Capıtulo 3

POLINOMIOS DEJACOBI-SOBOLEV

En este capıtulo trataremos de mostrar la definicion, en terminos de los nucleos y sus derivadas, delos Polinomios de Jacobi-Sobolev de una manera sencilla .Ver [3]Consideremos el producto interno en el espacio de los polinomios con coeficientes reales

〈p, q〉 = 〈p, q〉c +A1p(1)q(1) +B1p(−1)q(−1) +A2p′(1)q′(1) +B2p

′(−1)q′(−1), (3.1)

donde 〈p, q〉c es el producto interno de Jacobi

〈p, q〉c =

∫ 1

−1p(x)q(x)(1− x)α(1 + x)βdx α > −1, β > −1, (3.2)

y A1,A2,B1 y B2 son numeros reales no negativos.Denotaremos por

{Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x)

}n

la sucesion ortogonal de polinomios monicos con respecto alproducto interno (3.1). Ellos seran llamados polinomios ortogonales de tipo Jacobi-Sobolev.Vamos ahoraa encontrar una representacion explıcita del polinomio Qα,β,A1,A2,B1,B2

n (x) en terminos de los clasicos.Una representacion de un polinomio de Jacobi-Sobolev en terminos de los polinomios de Jacobi es:

Qn ≡ Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x) = Pα,βn (x) +

n−1∑k=0

an,kPα,βk (x), (3.3)

donde Pα,βn (x) es un polinomio de Jacobi monico de grado n. Para encontrar los coeficientes an,k usaremosla ortogonalidad de los polinomios Qα,β,A1,A2,B1,B2

n (x) con respecto a 〈, 〉, es decir⟨Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x), Pα,βk (x)

⟩= 0 0 ≤ k < n. (3.4)

Por lo tanto, de acuerdo con (3.1) tenemos⟨Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x), Pα,βk (x)

⟩=⟨Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x), Pα,βk (x)

⟩c

+

A1Qα,β,A1,A2,B1,B2n (1)Pα,βk (1) +B1Q

α,β,A1,A2,B1,B2n (−1)Pα,βk (−1)+

A2(Qα,β,A1,A2,B1,B2n )′(1)(Pα,βk )′(1) +B2(Qα,β,A1,A2,B1,B2

n )′(−1)(Pα,βk )′(−1),

(3.5)

Utilizando (3.3) tenemos que⟨Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x), Pα,βk (x)

⟩c

= an,k

⟨Pα,βk (x), Pα,βk (x)

⟩= an,kd

2k, (3.6)

teniendo en cuenta (3.5) y despejando an,k tenemos

an,k = −(d2k)−1A1Qα,β,A1,A2,B1,B2n (1)Pα,βk (1)−B1Q

α,β,A1,A2,B1,B2n (−1)Pα,βk (−1)−

(d2k)−1A2(Qα,β,A1,A2,B1,B2n )′(1)(Pα,βk )′(1)−B2(Qα,β,A1,A2,B1,B2

n )′(−1)(Pα,βk )′(−1),(3.7)

24

CAPITULO 3. POLINOMIOS DE JACOBI-SOBOLEV 25

para k < n.Finalmente la ecuacion (3.3) quedarıa

Qα,β,A1,A2,B1,B2n (x) = Pα,βn (x)−A1Q

α,β,A1,A2,B1,B2n (1)Kα,β

n−1(x, 1)−B1Qα,β,A1,A2,B1,B2n (−1)Kα,β

n−1(x,−1)−A2(Qα,β,A1,A2,B1,B2

n )′(1)Kα,β(0,1)n−1 (x, 1)−B2(Qα,β,A1,A2,B1,B2

n )′(−1)Kα,β(0,1)n−1 (x,−1),

(3.8)Con el fin de encontrar las incognitas

Qα,β,A1,A2,B1,B2n (1), Qα,β,A1,A2,B1,B2

n (−1),

(Qα,β,A1,A2,B1,B2n )′(1), (Qα,β,A1,A2,B1,B2

n )′(−1),

evaluamos la ecuacion (3.8) y su derivada en x = 1 y x = −1. Esto conduce a un sistema lineal deecuaciones

K · Qn = Qn, (3.9)

donde K es la matriz de coeficientes del sistema definida por sus columnas k1, k2, k3 y k3

k1 =

1 +A1K

α,βn−1(1, 1)

A1Kα,βn−1(1,−1)

A1Kα,β(0,1)n−1 (1, 1)

A1Kα,β(0,1)n−1 (1,−1)

, k2 =

B1K

α,βn−1(−1, 1)

1 +B1Kα,βn−1(−1,−1)

B1Kα,β(0,1)n−1 (−1, 1)

B1Kα,β(0,1)n−1 (−1,−1)

,

k3 =

A2K

α,β(0,1)n−1 (1, 1)

A2Kα,β(0,1)n−1 (1,−1)

1 +A2Kα,β(1,1)n−1 (1, 1)

A2Kα,β(1,1)n−1 (1,−1)

, k4 =

B2K

α,β(0,1)n−1 (−1, 1)

B2Kα,β(0,1)n−1 (−1,−1)

B2Kα,β(1,1)n−1 (−1, 1)

1 +B2Kα,β(1,1)n−1 (−1,−1)

,

y Qn y Qn son los vectores columnas

Qn =

Qα,β,A1,A2,B1,B2n (1)

Qα,β,A1,A2,B1,B2n (−1)

(Qα,β,A1,A2,B1,B2n )′(1)

(Qα,β,A1,A2,B1,B2n )′(−1)

Qn =

Pα,βn (1)Pα,βn (−1)(Pα,βn )′(1)

(Pα,βn )′(−1)

respectivamente. Vamos a denotar Kj(Qn) la matriz obtenida sustituyendo la columna j en K por Qn.Utilizando la regla de Cramer el sistema (3.9) tiene una solucion unica si solo si el determinante de K nose anula. Ademas, la solucion esta dada por

Qα,β,A1,A2,B1,B2n (1) =

detK1(Qn)

detK, Qα,β,A1,A2,B1,B2

n (−1) =detK2(Qn)

detK

(Qα,β,A1,A2,B1,B2n )′(1) =

detK3(Qn)

detK, (Qα,β,A1,A2,B1,B2

n )′(−1) =detK3(Qn)

detK

En este trabajo no se alcanzo a trabajar los calculos explicitos. Para ver un calculo detallado de estasexpresiones se sugiere ver [2].

CONCLUSIONES

Realizamos la sıntesis teorica de los polinomios ortogonales clasicos y observamos que son una buenabase ortogonal para funciones de P (x). Los polinomios de Jacobi tienen varias representaciones; utilizan-do su representacion por medio de combinatorias se pueden demostrar sus propiedades, su relacion deortogonalidad y la representacion de sus nucleos.

Utilizando la sıntesis teorica reconstruimos las propiedades, que intervienen en la elaboracion de unpolinomio de Jacobi, que cumple un producto interno de tipo Sobolev. En la representacion de los poli-nomios de Jacobi-Sobolev trabajada en el artıculo intervienen muchas variables las cuales dificultan sucalculo.

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CONSIDERACIONES

No se pudo realizar un estudio completo del articulo, ya que la teorıa previa abarco gran parte denuestro trabajo.

Se puede senalar que un calculo mas explıcito de los polinomios de Jacobi-Sobolev requiere de un trabajomas extenso y especializado.

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Bibliografıa

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