124

Determinantes

b) Si sumamos las ecuaciones tenemos:

21 1

2 1

1 2

1 1

2 3

3X C C

t

22

13

23

21

X

X Y C Y C X Y C X

1 1 1( )

C X1 1

2 1

13

23

21

01

21

20

Y (( )C X1 0 2

2 0

104 Sean F1, F2, F3 y F4 las filas de una matriz cuadrada P de orden 4 4, cuyo

determinante vale 3. Calcula razonadamente el valor del determinante de la inversa

de P, el valor del determinante de la matriz P, donde denota un número real

no nulo, y el valor del determinante de la matriz cuyas filas son 2F1 F4, F3, 7F2 y F4.

(Galicia. Junio 2001. Bloque 1. Pregunta 2)

P PP

31 1

3

1

P P4 43

det ( , , , ) det ( , , , )2 7 7 21 4 3 2 4 1 4 3 2 4F F F F F F F F F F 7 2

7 2

1 4 2 3 4

1 2 3

det ( , , , )

det ( , , ,

F F F F F

F F F F44 1 2 3 414

14 3 42

) det ( , , , )F F F F

PREPARA TU SELECTIVIDAD

1 Sea P x

x

x

x

x

( )

1 1 1

1 1 1

3 3 3

3 3 3

.

Halla dos raíces de este polinomio de grado cuatro.

(La Rioja. Junio 2007. Propuesta A. Ejercicio 2)

x

x

x

x

x

x x

x x

x

1 1 1

1 1 1

3 3 3

3 3 3

1 1 1

1 1 0 0

3 3 0 3 0

3 3 0 00 3

1 0 0

3 3 3 0

3 3 0 3

1

1 1

3 3

x

x

x x

x x

x

x

x( ) xx

x x

x x x x x x

3 0

3 3 0 3

1 3 1 3 22 2( )( ) ( ) ( ) ( 3 3 3

1 3 1 32

)( )

( )( ) ( )( ) (

x

x x x x x x 3 2 3 3

1 3 3 3 62

) ( )

( )( ) ( ) (

x

x x x x x 66

1 3 4 92

x

x x x x

)

( )( )( )

por tanto, x 1 y x 3 son dos raíces del polinomio.

125

2SOLUCIONARIO

2 Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente:

x x x

x x x

x x x

2 1 3 2

2 3 3 4

2 5 3 6

Enuncia las propiedades que has utilizado.

(Castilla-La Mancha. Junio 2003. Bloque 1. Pregunta B)

x x x

x x x

x x x

x

x x

x

2 1 3 2

2 3 3 4

2 5 3 6

1 2 1 3 2

1 2 33 3 4

1 2 5 3 6

1 2 1 3 2

0 2 2

0 4 4

0x

x x

x

x x

En primer lugar, utilizamos la siguiente propiedad: si todos los elementos

de una columna de la matriz están multiplicados por un mismo número,

su determinante queda multiplicado por ese número. A continuación,

a las dos últimas $las le restamos la primera $la de la matriz por la propiedad

que dice que el determinante no varía si a una $la le sumamos una combinación

lineal de las demás. Por último, el determinante es nulo porque tiene

dos $las iguales.

3 Teniendo en cuenta que

a b c

p q r

x y z

7, calcular el valor del siguiente determinante

sin desarrollarlo:

3 3 3a b c

a p b q c r

x a y b z c

(Aragón. Septiembre 2006. Opción B. Cuestión 1)

3 3 3

3

a b c

a p b q c r

x a y b z c

a b c

a p b q c r

xx a y b z c

a b c

p q r

x a y b z c

a b c

p q

3

3 rr

x y z

a b c

p q r

x y z

3 3 7 21

4 Hallar los valores de k para que la matriz

k

k

k k

k k k

4 5 6

1 2 3

0 1

1

:

a) No tenga inversa.

b) Tenga rango 3.

(Canarias. Septiembre 2006. Opción B. Cuestión 3)

126

Determinantes

a)

k

k

k k

k k k

k4 5 6

1 2 3

0 1

1

4 5 6

0 3 3 3

0 kk

k k

k k

k

4 5 7

0 4 5 7

3 3 3

4 5 7

4 kk

k k

k k

k k

k k

5 7

3

1 1 1

4 5 7

4 5 7

3

1 1 1

3 2 0

3 2 0

33 2

3 2

3 3 2 2 3

kk

k k

k k k k[( )( ) ( )] 33 32k k( )

Si k 0 o si k 3 → El determinante es nulo. La matriz no tiene inversa.

b) Si k 0 o si k 3 → El menor de orden 4 es igual a cero.

Comprobamos si hay un menor de orden 3 no nulo.

Si k 0:

4 5 6

1 2 3

0 0 1

4 5

1 23 0 El rango de la matriz es 33.

Si k 3:

4 5 6

1 2 3

3 0 1

12 0 El rango de la matriz es 3.

5 Dada la matriz M

a

a

a

2 1

2 1 1

2 1

:

a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro a.

b) Determinar para qué valores de a existe matriz inversa de M. Calcular dicha matriz

inversa para a 2.

(Madrid. Junio 2006. Opción B. Ejercicio 3)

a)

2 1

2 1 1

2 1

2 2 2 13 2

a

a

a

a a a a( )

b) Si a R { , , }1 0 1 → El menor de orden 3 es distinto de cero. El rango

de la matriz es 3.

Si 0 El rango de la matriz esa2 1

0 12 0 2.

Si 1 El rango de la matriz esa1 1

1 12 0 22.

Si 1 El rango de la matriz esa2 1

2 14 0 2.

127

2SOLUCIONARIO

6 Dadas las matrices A

2 2 1

1 1 1

2 4 3

y T

2 4 1

1 3 1

1 2 1

se pide:

a) Probar que la matriz T tiene inversa, T 1, y calcular dicha inversa T 1.

b) Dada la ecuación con matriz incógnita B, A T 1BT, calcular el determinante de B.

c) Obtener los elementos de la matriz B considerada en el apartado b).

(C. Valenciana. Junio 2006. Ejercicio B. Problema 1)

a) T T1 0

1 2 1

0 1 1

1 0 2

1

b) A T BT B TAT B T A T T A1 1 1 1

2T

A

c) B TAT1

2 4 1

1 3 1

1 2 1

2 2 1

1 1 1

2 4 3

1 2 1

0 1 1

1 0 2

2 4 1

1 3 1

2 4 2

1 2 1

0 1 1

1 0 2

1 0 0

0 1 0

0 0 2