173

CAPITULO 6POTENCIA COMPLEJA

6.1 INTRODUCCION

La potencia compleja (cuya magnitud se conoce como potencia aparente) de un circuito eléctrico de corriente alterna, es lasuma (vectorial) de la potencia que disipa dicho circuito y se transforma en calor o trabajo(conocida como potencia promedio,activa o real) y la potencia utilizada para la formación de los campos eléctrico y magnético de sus componentes que fluctuaráentre estos componentes y la fuente de energía (conocida como potencia reactiva).

Esta potencia no es la realmente "útil", salvo cuando el factor de potencia es la unidad (cos φ=1), y señala que la red dealimentación de un circuito no sólo ha de satisfacer la energía consumida por los elementos resistivos, sino que también ha decontarse con la que van a "almacenar" las bobinas y condensadores. Se la designa con la letra S y se mideen voltiamperios (VA) (la potencia activa se mide en vatios (W), y la reactiva se mide en voltiamperios reactivos (VAR)

Definimos la potencia instantánea como el producto de ( )tV por ( )ti .

Si ( )tV VmSen wt v y ( ) Imti Sen wt i

( ) ImtP Vm Sen wt v Sen wt i

Por identidades trigonométricas la potencia instantánea queda:

( )

Im Im2

2 2t

Vm VmP Cos v i Cos wt v i

Si para hallar la potencia promedio para un periodo T

( )

1 Im

2med t med

VmP P dt P Cos v i

T

Esta potencia la definimos como potencia real o activa que es aquella potencia que es absorbida por una carga resistiva,tomando los valores eficaces de tensión y corriente:

P VICos v i

Pero esta potencia no contiene toda la información de la potencia absorbida por una carga dada. Por lo que ahora hablaremosde una potencia compleja. Si tomamos los valores complejos V V i y I I i

Definimos como potencia compleja al producto del fasor tensión por el fasor conjugado de la corriente:

*S V I VI v i S VI

174

S es el modulo de la potencia compleja que denominaremos potencia aparente cuyas unidades son los Volt-amperios.

S VICos v i jVISen v i

6.2 Potencia activa: Es la potencia que representa la capacidad de un circuito para realizar un proceso de transformación dela energía eléctrica en trabajo. Los diferentes dispositivos eléctricos existentes convierten la energía eléctrica en otras formas deenergía tales como: mecánica, lumínica, térmica, química, etc. Esta potencia es, por lo tanto, la realmente consumida por loscircuitos. Cuando se habla de demanda eléctrica, es esta potencia la que se utiliza para determinar dicha demanda:

EP R S VICos v i Wattios

6.3 Potencia reactiva: Esta potencia no tiene tampoco el carácter realmente de ser consumida y sólo aparecerá cuando existanbobinas o condensadores en los circuitos. La potencia reactiva tiene un valor medio nulo, por lo que no produce trabajonecesario. Por ello que se dice que es una potencia desvatada (no produce vatios), se mide en voltiamperios reactivos (VAR) yse designa con la letra Q:

mP I S jVISen v i Volt Amperios reactivos

S P jQ

El ángulo de desfase que hay en la tensión y la corriente de una fuente es el mismo relacionado con la impedancia o admitanciadel circuito.

Z Z v i

Porque la potencia compleja también puede ser expresada2

2 VS I Z

Z

2 2S I R jI X

Para nuestro triangulo de impedancia considerando a v i

En forma similar podríamos hacer nuestro triangulo de potencias si multiplicamos por2I a cada corriente del triangulo de

impedancias:

175

6.4 Modulo de la potencia compleja:

Potencia aparente2S ZI

Potencia activa2P RI

Potencia reactiva2Q XI

Definiremos como factor de potencia a la razón geométrica entre la potencia activa y la potencia aparente.

Pfdp Cos

S

Donde v i ; es de factor de potencia nos da una ida inmediata de la cantidad de potencia activa o que se estaconsumiendo por la carga resistiva, cuando más cerca de la unidad sea, la carga será más resistiva y si 1fdP la carga espuramente resistiva y la potencia aparente es igual a la activa (el factor de potencia es adimensional) y si 0fdP , la cargaes puramente reactiva 0 1fdP

En un circuito si la corriente adelanta a la tensión es que nuestra carga tiene una reactancia capacitiva y si la corriente atrasa ala tensión la carga será una reactancia inductiva, tomaremos como referencia a la corriente para definir el factor de potencia, esdecir:

FdP en atraso (carga inductiva)

FdP en adelanto (carga capacitiva)

Entonces usando triangulo de potencia quedara

Como ya hemos definido a la potencia aparente con el producto del voltaje por la corriente, en general todos los equipos quetrabajen con CA especificaran su potencia en VA o KVA (Kilovolt-amperios) y su voltaje, ya que con estos valores podremoscalcular en forma inmediata la corriente de trabajo.

176

6.5 POTENCIAS REALES Y CONSERVACIÓN DE LA POTENCIA EN CA

Si tenemos un circuito en CA con conexiones serie y paralelo o combinación de estas, la potencia aparente total del circuito seráigual a la suma de todas las potencias aparentes de cada rama.

1 2 3totalS S S S

Entonces:

La suma potencia activa total en un circuito es igual a la suma aritmética de

todas las potencias activas en cada rama del circuito TP

La potencia reactiva total en un circuito es igual a la suma aritmética de

todas las potencias reactivas en cada rama del circuito TQ

2 TT T T

T

PS P Q fdP

S

6.6 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA

Si tenemos una carga que es alimentado por una línea de tensión la corriente que suministra a la carga debe intentarse que seala menor posible, esto se logra haciendo una corrección del factor de potencia para una carga inductiva-resistiva la fuente

alimentara con una corriente 1i

Para que la carga siga manteniendo suscaracterísticas eléctricas colocaremos en paralelo

una carga capacitiva para que 1i y la tensión ensus terminales de la carga originada siga siendo

ABV

Donde el valor del capacitor que se debe colocares:

2

1 2CC

VQ PTan PTan

X

1 22

P Tan TanC

WV

POTENCIA

177

COMPLEJAPROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA Nº01.

Una carga tiene en su placa inscrita las siguientes especificaciones:

20 AS KV 400V V 0.1Cos

Si un alumno coloca un vatímetro en un determinado instante y observa que el vatímetro marca 4000W ¿qué reacción tendría elalumno?

Resolución:Corriente máxima

2000050

400I A

¿Podrás Explicar que sucede?

PROBLEMA Nº02

El diagrama muestra la disposición de cargas en cada rama, encuentre la TP , TQ , TS , el factor de potencia del circuito y la

corriente.

Solución:

700

100

100

900

Ptotal

W

0.994

0.994

6.34

9.05 6.34

TS

Cos

I

905.54T AS V

200

0

300

100 ( )

Qtotal

VAR C

178

500 2.0628.59

1208

N

N

120 0 120 011.3 0.0063

0.5 2 10.615 0.069.99 0.318 8

o o

I jj

j j

PROBLEMA Nº03

De la fuente mostrada en la figura se pide:

La tensión en los terminales A-B cuando no se suministra carga.El valor de N (entero máximo) si se requiere que la corriente máxima en corto circuito sea como máximo 500ASi se conecta a la fuente una carga en paralelo de un condensador de 10 f en una resistencia de 10 . Calcule laspotencias activas, reactiva, absorbidas por la carga, la tensión entre A-B, con el valor de N obtenidos.

120 0

0.5 2

50

oEg V

Zg j

f Hz

10.1 0.0031

19.99 0.31

Y jWC jR

Z jY

g

R XZ j

g g

Resolución:

Cuando la fuente no suministra potencia alguna la corriente es nula por lo que la tensión en sus terminales es de 120V120ABV V

si seconecta lacarga en

paralelo la admitancia equivalente es de

0.1 0.0031 9.99 0.31RCY j Z j

119.34 1.44ºRCV I Z

2 2

120

0.5 2I

N N

120 120500

2.062 2.062

N NI A

179

Potencia absorbida por la carga

113 1.4 11.3 0.32 1276.32 38.32o oS j

PFdP

S

PROBLEMA Nº04

Un motor de 5 HP con una eficiencia del 90% y un factor de potencia de 0.8 en atraso está conectado a una fuente de 220 a 60Hz

Determine:

a) El triangulo de potencias de la cargab) El capacitor que debe conectarse para hacer una corrección del FdP a 0.95 en atraso en el sistema después de la

corrección del FdP . Los cambios de corriente

Resolución:

Encontrando la potencia eléctrica:

0P 1 746HP W 5 5 746HP W

0

5 7464144.44

0.9iP P W 0

i

P

P

10.8 37.86Cos , en adelanto4144.44 37.86 3221.71 ARQ Tan V 4144.44 3221.71 5249.36 AS j V

Debemos corregir el fdp a 0.95

0.95 18.19oCos

El valor del capacitor:

2

4144.44 37.86 19.67

220 377

Tan TanC

95.37C f

1

5249.3623.86 37.86

220I

2

3907.3017.76 19.67

220I

PROBLEMA Nº05

180

Un transformador cuyas característica: S = 50 KVA 10/0.22 KV Alimenta a una planta industrial que consta de motores y hornosa un mismo voltaje. Se observa que un amperímetro conectado a una de las líneas del secundario del transformador da unalectura de 160 A y un waltímetro en el secundario da una lectura de 28.16 kw.

Se coloca el único banco de condensadores disponible de potencia1CQ para corregir el factor de potencia y se observa que el

amperímetro no sufre alteración. ¿Cuál es la potencia de este banco de condensadores?.

Se decide instalar otro banco de condensadores con potencia 2CQcon lo cual la corriente disminuye a 142,2 Amp. ¿Cuál es

la potencia del nuevo Banco de Condensa?

A w

Z

10000

2 2 0 V ITI

1CI 2CI

1C 2C

Resolución:De los datos podemos encontrar el fdp:

3

160

28.16 10

220

A A

w x w

V v

220 160 35200S x

328.16 10cos 0.8 36.87

35200

P x

S

El Voltaje de entrada lo coloca como referencia entoncescomo las cargas son inductivasla corriente se atrasa 36.87 a la tensión.

160 160 36.87

200 0

I A I

V

1

1

2 160 36.87

192

c

c

I x sen

I

1

220

192cc

Vx

I

160TI

160

36.87

160 36.87I

160 36.87sen

220 0V

CI

50

10 / 0.22

S KVATrafo

KV

181

1

1

2 2 220. 192

192

42240var

c c

c

Q I d X

Q

142.24 varcQ k

Otro Banco Condensador

Del gráfico

142,2cos 160cos 36.87

cos 0.9

25.82

También: 2

142,2 25.82 160 36.87csen I sen

2

160 36.87 142.2 25.82 34.1cI sen sen

234.1cI Amp

2 2 2 2

22220 220. 34.1 7502

34.1 34.1c C c cX Q I X x

27.502 varcQ k

PROBLEMA Nº06

Un Motor funciona normalmente a 220 voltios y 60 Hz, absorbiendo una corriente de 11 amperios retrasado 30 ° con respecto alvoltaje, el motor es instalado mediante una línea monofásica de “R” por conductor con un condensador en serie “C” que sealimentan desde una fuente de 220 v y 60 Hz. Si se desea que el motor opera normalmente, calcular:

a) El máximo valor de “R” y el valor del condensador para esta condición.b) El ángulo de la tensión en la entrada, después de la conexión de “C”.c) La potencia media disipa en el sistema.

LineaGenerador Condensador y carea

R C

R

160I 2cI

142,2sen142,2TI 36.87

142,2cos

160cos 36.87

220 0V

182

Resolución2R

gV220V

220V

11Amp

cjX

2g R C mV V V V

2220 220 0R CV V

Diagrama fasorial

* 220 30CV sen

110CV

* 2220cos30 220RV

2 29.47RV

2RV

cV

mI

2RV

220cos30

220gV

200mV

220 30sen

( / ) R( ) 2R conductor Total Línea

Voltaje motor nV como referencia

220 0

11 30m

m

V

I

183

Pero: 2 2RV I x R29.47 11 2x x R

El capacitor: 110 11 10c c c cV I X x X X

Pero:

41 1 110 2.65 10

377 10 377cc

X c xw c x

Pmedia del sistema:

* 220 30 11 30 220 11mS Vg x I x x 2420 0S j

; 0Q

Otra forma:

2 22 2 11 2 1.34 324.28R mP I R x watts

cos 220 11cos 30 2095.78motorP VI x

PROBLEMA Nº07

Se han de suministrar 750 kw a 2200 v y 60 Hz en los extremos de una línea de 10 KM, siendo los parámetros de la línea0.162 /LR Km y 0.277 /LK Km , por conductor. Determinar que valor tendrá el voltaje y el factor de

potencia (f.d.p) en la estación generadora y la pérdida de potencia de una línea en %, cuando el fdp de la carga en losextremos de la línea es de 80% en atraso, así mismo calcule la potencia cedida por la estación generadora y el rendimiento enel transporte. Finalmente haga usted el diagrama fasorial de tensiones y corrientes. Resolver gráficamente u analíticamente.

1.34R

265c F

2420P watts

2420totalP watts

184

En la carga:

2200cV (Referencia) ;

2200 0cV 0.8 36.87fdp j

3cos 220 0.8 750 10VI P xIx x 426.14 426.14 36.37I I

g L C L LV V V V I x Z

426.14 36.87 5.58 54.5LV x

2377.86 17.63LV

Resolución:

Parámetros de la línea 2 0.162 0.227 10j x KmKm

3.24 4.54 5.58 54.5LZ j

gV 750

2200

60

0.8

Kw

V

Hz

fdp

CCV

LV

2 L LR jX

Generador Línea 10 Km carea

185

Diagrama Fasorial

426.14 4.54 1934.68

426.14 3.24 1380.7LIX x

IR x

22 22200cos36.87 2200 36.87g LV IR sen IX

4523gV voltios

2200 36.87 1934.68tan

2200cos 36.87 1380.7

sen

46 36.87 46 36.87 9.13 4523 9.13gV cos46 0.7

4523 9.13 426.14 36.87 1927431.2 46 1338906.2 1386478totalS x j

1339 ; 1386 varT TP Kw Q K

22 426.14 3.24 588.36lineaP I P x kw

Rendimiento en el trasporte

. 75056%

. 1339motor

total

PPot Útil

Pot Total P

0.7gerenadorfdp

186

23.62 19.69I

Voltaje en la impedancia

22.24 7.96 6 8

69.76 225.368

236.22 72.82

L

L

L

V j j

V j i

V

PROBLEMA Nº08

Encuentre la magnitud y posición de fase de la corriente de los 2 generadores conectador en paralelo, así como también la pot.Generada y la pot. absorbida en el circuito que se muestra.

carga

LíneaGenerador 1

-

+ +

-

1Z

1E

1LZ2LZ

2Z

1 2

1 2

1 2

1350 0 1300 10

1 3 1 3

2 1 2 1L L

E E

Z j Z j

Z j Z j

Carga: en vacío

Resolución

Circuito equivalente

-

+ +

-

+ -6 8j

1350 0 1300 10

I

1350 0 1300 10 6 8j I

1350 0 1300 10

6 8

69.75 225.7422.24 7.96

6 8

Ij

jI j

j

187

PROBLEMA Nº09

En el circuito de la figura, se tienen 2 motores cuyas características son:

Motor M1: 400 HP - Cos φ 0.8 - inductivo – eficiencia 0.85Motor M2: 75 HP - Cos φ 0.8 - atraso - eficiencia 0.85

M2 trabaja a plena carga y ambos rotores son alimentados a través de una línea R= 1.6 ohmios, L= 6.355x10-3 Henrios.El generador es de 2.3 KV. Y se conoce que entrega en los bornes una potencia de 200W.Hallar la potencia que consume el motor M1, la tensión de operación de los motores M1 y M2 y la potencia total que entrega elgenerador.

72.82

236.721300

19.69 1350

I2E

23.62

10

Pto. En G1

1 1

1

cos 1350 23.62 cos 19.69

30022.55

P VI x x

P watts

Pto. En G2

2 2

2

cos 1300 23.62 cos 15031

26674.85

P VI x x

P

Potencia en la Impedancia

22 23.62 6

3347.42L

L

P I R x

P

1 2 LPG P P

1

1

26674.85 3347.42

30022.27

G

G

P

P

188

Resolución

De (a): 376.1 1 CosZR r

KWP 200

6.037

8.037

Sen

Cos

Luego: )1..(..........8.06.1200 21 IZKW

Donde:

1

3.2

Zeq

KVI

)2.(..........

6.039.28.06.1

3.222 ZeqZeq

KVI

189

De (1) y (2) obtenemos:57.19Zeq

376.1

2002

ZeqCos

KWI

AI 48.107

22 48.1078.064.193764.19 CosIWmotores

KWWM 504.181

190

Calculemos W2:

HP

CPn

75

..2

85.01

746.075

2

HPxW

KWHPxn

KWW 82.652

21 WWW M ; KWW 684.1151

Como:

KW

HPxxP

W

Pn HP

HP

746.0

1684.11585.01

1

HPPHP 8.1311