Liceo Nº35 - IAVA

Matemática II

2018

Haces de circunferencias

Potencia de un punto con respecto a una circunferencia.

Sabes de cursos anteriores que la potencia de un punto P con respecto a una circunferencia C sedefine como el producto de las medidas de los segmentos PA y PB siendo A y B los puntos en los queuna secante cualquiera1 por P corta a C . En particular si consideramos la tangente t a C por P

la potencia de P con respecto a C es igual a

P = (med(PQ))2

Supongamos que la circunferencia C tiene por ecuación en coordenadas cartesianas

x2 + y2 +Ax+By+C = 0

deducimos entonces que las coordenadas de su centro O serán (−A2,−B

2) y que su radio R vale

12

√A2 +B2−4C, entonces

P = d2−R2

siendo d la distancia del punto P al centro O de la circunferencia.

Podemos ecribir entonces que

P = d2−R2 = (xP +A2)2 +(yP +

B2)2− 1

4(A2 +B2−4C

)por lo que finalmente obtenemos

P = x2p + y2

P +AxP +ByP +C

1ya que podemos probar que dicho producto es independiente de la secante utilizada.

Diego Charbonnier 1

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Haces de circunferencias

Podemos ahora desprendernos de la motivación geométrica de la potencia y definir potencia de unpunto con respecto a una circunferencia incluso para puntos que sean interiores a ella. Como resultadode lo anterior, si el punto es exterior a C , la potencia es positiva, si el punto pertenece a C la potenciavale cero y si el punto P es interior a C la potencia es negativa, pero en todos los casos para calcular supotencia con respecto a C , cambiamos las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferenciay el número obtenido es la potencia buscada.

Diferencia de Potencias de un punto con respecto a dos circunferencias. Eje radical de doscircunferencias.

Consideremos ahora dos circunferencias C (O,R) y C ′(O′,R′) y un punto P = (xP,yP) del plano. Apartir de lo visto en el apartado anterior, podemos calcular la diferencia de potencias del punto P conrespecto a C y a C ′

P−P ′ = d2−R2− (d′2−R′2)

lo que puede escribirse como

P−P ′ = (d2−d′2)− (R2−R′2)

pero recuerda que d2 =∣∣PO

∣∣2 = (PO,PO) por tanto la diferencia de potencias puede escribirse como

P−P ′ = (PO,PO)− (PO′,PO′)− (R2−R′2) =((PO+PO′),(PO−PO′)

)− (R2−R′2)

pero el vector PO+PO′ es igual2 al doble del vector PM y el vector PO−PO′ es igual al vector O′O.

P−P ′ = 2(PM,O′O)− (R2−R′2) = 2∣∣PM

∣∣ ∣∣O′O∣∣ .cos(

PM,O′O)− (R2−R′2)

pero recuerda que∣∣PM

∣∣ .cos(

PM,O′O)

es la proyección del vector∣∣PM

∣∣ sobre el vector∣∣O′O∣∣ o

sea que su módulo es igual a∣∣MP′

∣∣ y su signo dependerá del ángulo PM,O′O. Entonces podemosescribir

P−P ′ = 2ProyO′O(PM).∣∣O′O∣∣− (R2−R′2)

2recuerda la definición de suma de dos vectores mediante la ley del paralelogramo

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Haces de circunferencias

por tanto si nos preguntásemos cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la difer-encia de potencias de ellos con respecto a dos circunferencias no concéntricas es una constante k ∈Rdiríamos que es una recta perpendicular a la recta definida por los centros de dichas circunferencias,ya que la proyección de un punto cualquiera del lugar sobre la recta OO′ debe valer

ProyO′O(PM) =k+R2−R′2

2∣∣O′O∣∣

Consideremos ahora el caso particular en el que la constante k = 0.

Definición

El lugar geométrico de los puntos del plano tales que tienen igual potencia con respecto a dos cir-cunferencias no concéntricas se llama eje radical de dichas circunferencias.

Observaciones:

1) De acuerdo a lo visto anteriormente, el eje radical se corresponde con el caso k = 0, por lo quedicho lugar geométrico es una una recta perpendicular a la recta definida por los centros de dichascircunferencias y que pasa por un punto E tal que

ProyO′O

(PE)=

R2−R′2

2∣∣O′O∣∣

2) Si las circunferencias son secantes o tangentes, sus puntos de intersección verifican

P = P ′ = 0

y por tanto pertenecen al eje radical, lo que nos brinda -en este caso- un método para construírlo.

3) Si las circunferencias no se cortan, entonces el eje radical no corta a ninguna de ellas.

4) Si las circunferencias tienen el mismo radio, el eje radical es la mediatriz del segmento OO′.

5) El eje radical de dos circunferencias exteriores pasa por el punto medio de los segmentos tangentescomunes, lo que nos brinda -en este caso- un método para construírlo.

6) Lo anterior continua siendo válido en el caso en el que uno o las dos circunferencias se reduzca aun punto.

Circunferencias ortogonales

Definición

Dos circunferencias se dicen ortogonales si sus tangentes en un punto de intersección son perpendi-culares.

Teorema

Dos circunferencias son ortogonales sii se cumple alguno de los enunciados siguientes:

1) Los radios en un punto de intersección son perpendiculares.

2) Si las circunferencias tienen radios R y R′ y la distancia entre los centros O y O′ es d, entonces

R2 +R′2 = d2

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3) La potencia de O con respecto a C (O′,R′) vale R2.

4) La potencia de O′ con respecto a C (O,R) vale R′2.

Demostración

La definición es equivalente a 1).

1) equivale a 2) por el teorema de Pitágoras. El triángulo OAO′ es rectángulo en A sii R2 +R′2 = d2.

2) equivale a 3) y 4) porque la potencia de O con respecto a C (O′,R′) vale d2−R′2 = R2 y la potenciade O′ con respecto a C (O,R) vale d2−R2 = R′2.

Haces de circunferencias

Definición

Llamaremos haz de circunferencias a una familia de circunferencias de forma que el eje radical esel mismo para dos circunferencias cualesquiera de la familia.

Observaciones:

1) Los centros de todas las circunferencias del haz están sobre una recta perpendicular al eje radical.

2) Un punto del eje radical tiene la misma potencia con respecto a todas las circunferencias del haz.

Un haz queda entonces caracterizado por

/ el eje radical e

/ una recta c perpendicular a e por un punto E

/ la potencia P de E con respecto a las circunferenicas del haz.

Clasificación de los haces de circunferencias

1) P(E)< 0, entonces el punto E es interior a todas las circunferencias del haz y por tanto la recta ees secante a todas las circunferencias del haz en dos puntos fijos A y B equidistantes de E tales que

d(EA) = d(EB) =√−P(E)

A los puntos A y B habitualmente se les llama puntos bases del haz.

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Toda circunferencia que pase por los puntos base pertenece al haz. La circunferencia del haz de menorradio será la de diámetro AB. Los centros de las circunferencias del haz recorren la recta c.

2) P(E)> 0, entonces el punto E es exterior a todas las circunferencias del haz y por tanto la rectae no corta a ninguna circunferencia del haz. Las circunferencias del haz de menor radio, son las deradio cero centradas en dos puntos I y J , tales que

d(EI) = d(EJ) =√

P(E)

A los puntos I y J habitualmente se les llama puntos límites del haz.

El haz puede interpretarse como formado por dos familias de circunferencias ubicadas en cada unode los semiplano de borde e y que tienen al punto I o al J como punto interior o como punto de ella3.Los centros recorren las semirrectas de origen I que no contiene a J y la semirrecta de origen J queno contiene a I.

Diferentes formas de definir un haz de circunferencias.3este último es el caso de las circunferencias de centro I o J y radio cero.

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Haces de circunferencias

a) Dadas dos circunferencias base.

C1 : x2 + y2 +A1x+B1y+C1 = 0C2 : x2 + y2 +A2x+B2y+C2 = 0

}→ C1 +λC2 = 0

x2 + y2 +A1x+B1y+C1 +λ (x2 + y2 +A2x+B2y+C2) = 0⋃

x2 + y2 +A2x+B2y+C2 = 0

(recuerda los convenios de notación que hicimos en clase)

b) Una circunferencia y el eje radical.

C1 : x2 + y2 +A1x+B1y+C1 = 0e : ax+by+ c = 0

}→ C1 +λe = 0

x2 + y2 +A1x+B1y+C1 +λ (ax+by+ c) = 0⋃

ax+by+ c = 0

c) Una circunferencia y un punto límite.

Sea S el punto medio del segmento JT , entonces se cumple

que SJ2= ST 2 por lo que el eje radical e es la recta perpen-

dicular a la recta AJ por S.

C1 : x2 + y2 +A1x+B1y+C1 = 0C2 : (x− x0)

2 +(y− y0)2 = 0

}→ C1 +λC2 = 0

x2 + y2 +A1x+B1y+C1 +λ ((x− x0)2 +(y− y0)

2) = 0⋃(x− x0)

2 +(y− y0)2 = 0

d) Un punto límite y el eje radical.

e : ax+by+ c = 0C1 : (x− x0)

2 +(y− y0)2 = 0

}→ C1 +λe = 0

(x− x0)2 +(y− y0)

2 +λ (ax+by+ c) = 0⋃

ax+by+ c = 0

e) Dos puntos límites.

Al igual que en casos anteriores, si L es el punto medio del

segmento IJ, entonces se cumple que el eje radical e es la

recta perpendicular a la recta IJ por L.

C1 : (x− x0)2 +(y− y0)

2 = 0C2 : (x− x1)

2 +(y− y1)2 = 0

}→ C1 +λC2 = 0

(x− x0)2 +(y− y0)

2 +λ ((x− x1)2 +(y− y1)

2) = 0⋃(x− x1)

2 +(y− y1)2 = 0

f ) Dos puntos bases.

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Haces de circunferencias

Sean M y N los puntos bases dados, entonces el eje radical e

es la recta MN, por lo que dos circunferencias bases del haz

pueden ser la circunferencia de diámetro MN y la recta e.

Hallemos primero la ecuación de la recta e : y−y0 =y1− y0

x1− x0(x−x0) . Para hallar la ecuación de la

circunferencia C1 de diámetro MN, necesitamos conocer las coordenadas de su centro A, que por ser

punto medio del segmento MN, queda A = (x0+x12 , y0+y1

2 ), entonces la ecuación de la circunferencia

es

x2 + y2− (x0 + x1)x− (y0 + y1)y+(

x0 + x1

2

)2

+

(y0 + y1

2

)2

−

[(x1− x0)

2 +(y1− y0)2

4

]= 0 −→

C1 : x2 + y2− (x0 + x1)x− (y0 + y1)y+ x0x1 + y0y1 = 0

Entonces la ecuación del haz puede construirse como

C1 : x2 + y2− (x0 + x1)x− (y0 + y1)y+ x0x1 + y0y1 = 0

e : y− y0 =y1− y0

x1− x0(x− x0)

→ C1 +λe = 0

x2+y2−(x0+x1)x−(y0+y1)y+x0x1+y0y1+λ (y1− y0

x1− x0(x−x0)−(y− y0))= 0

⋃(y1− y0

x1− x0(x−x0)−

(y− y0)) = 0

g) Eje radical y punto doble.

C1 : (x− x0)2 +(y− y0)

2 = 0e : ax+by+ c = 0

}→ C1 +λe = 0

(x− x0)2 +(y− y0)

2 +λ (ax+by+ c) = 0⋃

ax+by+ c = 0

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